2023数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

第一篇 最最新用真真题题 22002233年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试 数数学学(（二二)）参参考考答答案案 一一、、选选择择题题 (（11)）【【答答案案】】 BB.. 【【解解析析】】(（方方法法一一)） e+ 1 k k= =l ilmim y 乏= =li mlilmnl ( nfeH-----\ == 11,, x → x—1 →0 1 bb == lliimm(y( y—- kkxx) )== limlixmx ee+ x x — - 1 1 1 )--11] r→00 X工-→^o0o0 二 = limr [ In| (1+ 1 = lim 工 = e 1, →m e(x—1) e(x—1) 1 则则所所求求斜斜渐渐近近线线方方程程为为' =y=x+ e — e r.1 ( ( 方 方 法 法 二 二 ) ) 、 y= = x l H n l | n ( ( e e + + 占 1 )==工工+ +xl招n 1++ 1 —x—1 e(x—1) =x+ 1 + [ 1 1 , = x + l+jxxllnn[1l ++ ^Ty]-|), e e e(x—1) 其其中中 → lliimmx(lnx [ l1n+[l+^ 1 4j)[ ]- , 7 1 e ) = = 0 , 0 则 ,则 所 所 求 求 斜 斜渐 渐 近 近 线 线 方 方 程 程 为 为 / = y 工 =x + + § 1 e . e(x—1) （(22)）【【答答案案】】 DD.. 1 [,1 d&x,, x1≤ w0 o,, √1+x 【【解解析析】】 f/(（］x）)&dx == < |(x + l)cos xdx> x > 0, (x+1)cosxdx,x>0, = 人 [Ilnn((xx ++√』Tx 2++ 11) )++ GC, , x«≤z <0 0,, [((xx ++1 1)) ssini xn x++ ccoso xs x++ CC2 ?> ,xx >>0 ,0, 为为连连续续函函数数，所，以所以G C=? =I1 ++C C?2,, 儿 |/(x)dx = 人 fllnn((xx++ 7√x2x+2l+)1 +) +l+1+CC,, x • ≤ r < 0 0 , , f(x)dx= [((zx ++ 11))ssini xn +x +cocso 1s +x +CC, ,x•z> >0 .0. （(DD)）为为正正确确答答案案.. ·1 · -1数学历年真题全精解析·提高篇(数学二) 数学历年真题全精解析:提高篇（数学二） (（33)）【【答答案案】】 BB.. 【解析】 由递推关系可知，(x,),{y。}均为单调减数列，且为无穷小. 【解析】 由递推关系可知均为单调减数列，且为无穷小. 1 由由y少?== 万2, , H y+ th 1 = = y : V 可 ：可 知 知 ， , = 1 2 1 22 1 2" 1 2-1· ( ) ( ) ( ) ( ) y?= ,y?= ,…,ya+1 = 2 2 2 4 2 π 1 x(0> —πx °<-<72 , ， 则 则由 由 X x i ? = = 2 ,x+:= = s i s n i n x x , „ 可 可 知 知 ， ， 7T 2 2 2 2 1 2 , x Z 。 n+l + > 1 — πx Xn , > > (" π >) x•,•1 •>>…(>*( π )) x?= 2 ( π ) ~2 21 1 ( 1) 则则o0 V< x y B m + + 1 1< 1 4 4 ( 2) →0 0 , , 故故当当n〃→ — 8时，时y,。以是是x,的的高高阶阶无无穷穷小小.. 2 π 2 (（44)）【【答答案案】】 CC.. -a±√a2—46 —Q 士 Ju? — 4b· 【【解解析析】 】 微 微分分方方程程的的特特征征方方程程为为冒x2++办al++ 3 b = = 0 , 0 特 , 特征征根根为为λ九i, 2 z= 2 2 若若aa22 --4b 4>b0 >,则 0特,则征特方征程方有程两有个两实个根实且根λ且?A≠z尹λA?2.. 微微分分方方程程的的解解为为v y== CG?eel"2 ++C C?2ee1?^2在在（(一- c8o,, ++c 8)上）上无无界界.. a · 若若 aa22 —-4 4b6= =0, 0则,则λ人?1 ==λ Az2 ==—— 2 乙 微微分分方方程程的的解解为为 3- y = =( （ C G ?+ + C? G x) z e ） - e ÷ ”，+在在( （- - 0 c 0 ∞ ,4 ,+ -0 c) 0 上）上无无界界.. -a±√4b-a2i· 若 若 aa22--44b6<<0,0则, 则 λ A?.,2? == -a士 2 ( √4b-α √4b-α2 x) · 微微分分方方程程的的解解为 为y y= =eTe^+1（CG?ccooss —^~xx ++C G?ssiinn "% "*）. 2 2 如如果果此此解解在在（一(8-,,+ + c o o ) o 上 ） 上有有界界，，则则a a== 00,,进进而而6b >>0 .0. 因因此此答答案案选选(（CC)）.. 【【评评注注】】 本本题题还还可可从从选选项项出出发发，，验验证证只只有有（( C C) ） 符符合合条条件件.. (（5 5 ) ） 【【答答案案】】 C C . . 【【解解析析】】 当当 t ttN≥0O时时， , ， {[ x x = = 3 t, y v = = 工 ^3 T s -s i i n nj工r *3. · y = tsin t, \y = Zsin t, 5 〕 当 当 t y <0 o 时 ， 时， { r x y = = = - t t ' , s ‘ in , t, y y = = -x — s x i s n in z x. .贝 则 !1 y y = = { 〈 3■ 工x 3 T- s si i• n n 工 ~3 x 6 r ~ , , x≥ •z > 0 0 , , =— isin -xsin x,x<0. .一 xsin x, x < 0. 工-sin 工 -0 —3 •27 si• n —3 JC — 0zx -xsin x-0 则 则由 由 y j4 +( ( 0 0 ) ) = = l l i im m -—— x-——==00,y*-(00))== l ilimm x 笑==0,o得,得y '7((00)) == 0 0.. →o+ x-*0+ x x工→一0 0 ?一 ~ 人 1 x - 3 1 -Ss. ilnn_工 3 X 十 +. _ 9 JC cCoOsS工_ 3 X,,x z > > 0 , 0, y'(x)= = v 0, x=0, 0, z = 0, -sinx-xcosx, x<0. —sin — xcos x, z V 0. jc · 2 · -2 -绍《癸202冬3年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试数数学学(瑚二)参参考考答答案案 由由此此可可知知y/'(（xX)）连连续续，，又又由由 1 cos 1 -s. in 工JC I 工JC 工JC -0 质3-sm —3 十+ —9cos — 3 — 0 = 2 , y并4((0 0 ) ) = = l l i im m -——-——x --------—— 9 2 _。+ 工 — sin x-xcos x y义"(（00）) == lliimm 二必*二 x 买空z ==--22,, xx→-»00?~ Z 可知y”(0)不存在. 可知/（0）不存在. 【【评评注注】】 泰泰勒勒公公式式判判断断导导数数存存在在性性.. { 4 工， s s i i n n y x = =专 工( （亲 x + + … ••• ) ） 二= x 号 2 ++……,,x了≥20。,， y = 3 3 3 3 9 j, = < O 0 o \ O / j -—xxssiinn xx ==-—x x(（xx -—… •.•)） ==-—x 2x2+ +… ,x。时收敛，所以-(a)的定义域为a>0. 【解析】 广义积分 当α>0时收敛，所以f(a)的定义域为a>0. J22 xx( (lInn xx))+ 当a 0时 当a>0时， 2 =— f()=「+0 8 0 d & x = = r+ + o 0 ° 0 ddlinn hx = _ 1 ] ++080 = = _] 1 _ f(a)= 0 J 2 2 xx( l(Inn xx))+0*11 J22 ((Ilnn 工x))+*1' aa( (lInn xx)°)° 2 * aa( l(Inn 2 2)·)°" 人 1 , 0>.o , 0o<<αg<<--ln , In(ln 2) 记记 gg((aa))= =a( Ian( ln2 )2°)a, 9gg'(\aa))= (=In (2In) °2)+。a(+I na (2ln)° 2I)anl(nI(nl n2 )2.)< 1 <0, a>- V。，a>-raT2)* In(ln 2) 1 1 所以g(a)在ao =- 1 L °、点取得最大值，/Xa)在a。=一 j #芥点取得最小值. 所以g(a)在ao =一 点取得最大值，f(a)在ao=- 点取得最小值. Ilnn((llnn 22)) ln(In 2) In(ln 2) ((77))【 【答答案案】】 CC.. 【【解解析析】 】 由 由/(fx()x )== ((xx22++a)ae)2e可x可知知，， ff'((x工))==(x(x22+ +2 x2工+ a+) ae)2ex,, ff"" ((xx) )== ((xx22 ++4 4x工+ +a a+ 2+) 2e)2ex,, 要要使使得得yf((zx))没没有有极极值值，二，次二多次项多式项x2式 +x22x+ +2x a+a的的判判别别式式△ △= =4 4—- 44aa≤(00,,aa≥211;； 要要使使得得/f'((x*))有有拐拐点点，二，次二多次项多式项x2 式+4xx2++4(xa+ +(a 2+)2的)的判判别式别△式=△ 16= —16 4-(4a( +a +22))>>00,,aa<<22.. 所所以以 aa∈ £( 1[1,,22)).. … ((88)) 【【答答案案】】 DD.. 【【解解析析】】((方方法法一一)) 分分别别令令(A()A()B()B(C)()C(D))(D选)项选中项的中矩的阵矩为阵I为? … ,LI?,L,IA?,1，L4.. L = … A A E E- ] [ F A E H "]I儿 ■|| AA || BB'- -B-*BA °A# ]r ["I| AA l| AABB*, ••• ] - , I:= _ I!= 0 B. 0 B. -O B- Lo BJl OO |1 BB| A| °A-. · L 一A 4 E E]1， 不不能能保保证证I |AA\|AABB*- ==|A| |A| B| || BE ,| 所E,以所I以?L不不是是 ，,选选项项（(AA)）不不正正确确..同同理理，，选选项项（(BB）)也也 0 B. -O B - r 不不正正确确.. [ 「 A 4 E E ] l _[「 A A E E 7 ] 儿 「| BB| |A A**— -BB*A' ’A'] - I?= O B B .」' — LO o B b .」 L OO |I AA| BI °b-. = [ -A\A||\\BB|\EE —-AABB*'AA*' ++|| AAI |B B*…] ,,（(CC)）不不正正确确.. 0 . O A\A|\|\BB|\EE . ·3 · • 3 •数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·二提提高高篇篇(（数数学学二二)） 》鸳夜巨:瞬藉 7 ] 'A E ] - I.= F A E £ ] 1 儿 [-|| BB |1 AA'* —_A A*，B' ] . = [ ■|| AA l||| BBI | EE --|-A\ |AB\ °B'+ +|\A |AB\ °B-- r — - 0 O B B . - 1 4 — - 0 o B b .JI OO |1 AA| B| °B- J 0 O |\AAl\\|BB\|EE . = [ ■|\AAl\|\BB|\EE 0 O ] - , - 0 O |\ AAI\I \ BB I\ EE. 选选项项(（D D )是 ）是正正确确的的。. · = [ A A E E ' ~ ] A E I [ F A E' 1 〕 -1 1 =| A II B 1 [ " A A - - 1 1 —A 一 - A 1 —】 B-1 (- (（方方法法二二)） -O 0 B B . - 0 B1 L0o Be b . J =|A||B| - 0 O B B -1 l - ; = = [ -|\AA|W|BB|\AA--11--1| AA| | || BB || AA/'BB1 ] - [ ■|| BB丨 1 AA** —-AA-*BB'* - 0 O |\AA|\\|BB\|BB~1' . OO |1 AA| | BB'-- 【 【评 评 注 注 】 】 · 本 本 题 题 用 用 到 到 分 分 块 块 矩 矩 阵 阵 的 的 逆 逆 或 或 伴 伴随 随 ， ，设 设AA e .,B，3。 e = = )_ A A C C * '] • AA C c | [A A C C * ~儿 -1 [ A-1 —A-1CB-1 ] [■|| BB| | AA*-—一A *AC，CBB'— ], ・O O B B . .· O O B B - O O B B . - ==|1 AA| || | BB| | . 0 O B B - - 1 1 = O O | 1 A A | | B B ' - J = = [A A O° Q- 1 • A A O ° [C 0 o ] - 1-1 [ " A A - ~ 1 l 0 O ] - [ ■ |1 BB || AA"- 0 o ] - , - C C B B . . · C C B B ;- C C B B . . ==|1 AA| ||| BB| | — B B- 'C 1C A A- -1 1 B B -1 1. = .—一 矿B *CCVA' | 1 A A | B | ° 矿」' [ B C C A O “ A . - ] • = C B C A O A 「 B C c A A O " ~ -1 ==(（-一11)广* |I AA| || |BB| I 『 4 0 -1 — A- B B 1 - O 1 1 R-1 ] -B O- B o -B O- -A^CB1 1 [ I A | ■, O ||A|B* =(一1) · |B|A*——A A*COB*'. = )0 O A A ' ']' 0 O A A 1 [r0o AA - ] --i1 [ • — - B B -1CA-1 B B -1 1 ] ' B C. B C B C. ==(（-一1)1） E || AA |I|I BB| 1 A-1 0 -B C- B C\LB C- A-1 O - [—-B -BC*ACA' * \ |AA |\ BB*' ] ' =(-1)” =（_/ 0 .|I BB| 1 AA'" O - — （(99)）【【答答案案】】 BB.. 【【解解析析】】(（方方法法一一)） 配配方方法法 (（Xx1? ++x X?2)）22 ++(x（工?+1 x+? 工)32 尸—一4(4x（?X—2 一x ?了)3）22 — = = x X i ? + + 2 x 2X ? 1 x X ? 2 + + x X 2 2 + + x 1 X1 + + 2—x 2 ? X1 x X ? 3 + + x 隽}-一4x 4 2 x| + + 8 x 8 ? x2 x x ? 3 - — 4 4 x x 2 1 =2x1-3x1-3x3+2x?x?+2x?x?+8x?x? =2xi — 3x| — 3x| + 2xiX2 + 2工1了3 + 8x2x3 ==22 [ [(（xZ?i ++ 号 1 x互? ++ 1 x? ) ） 2 ---- 1 — - x2— 1 x3— — - 1 yxx?2xx?3 」 ] - — 3 3 x x i f - — 3 x2+ + 8x 8 ? x x 2x ? 3 2 2 4 4' 2 1 1 2 7 7 == 22(（xX;1 十+ 1 2 x ^ ? 2 十 十 . ~2 1 2x^3? ) — 21 % x2玖- -- 2 --x^33 ++7 x7x ?2xX:3 1 1 1 7 =2| ( xZ,l 十+ $ 2 1x2? 十+ 2 X? ) 2 (x?—x?)2 正正确确答答案案为为(（BB)）.. (（方方法法二二)） 合合同同变变换换法法 2 1 1 尸 ■2 1 1 ■ , 1-3 4 二二次次型型对对应应的的对对称称矩矩阵阵AA== 1 -3 4 1 4 —3. _1 4 -3. · 4 · ・4 -- — 您 《 癸 20 年 23年 全— 全 国 国 硕 硕 主 士 研 研 究 究 生 生 招 招 至 生 考 考试 试 数 敬 学 学 ( （ 二 三 ) ） 参 参 考 考 答 答 案 案 ? 4 — 2 0 0 1 0 0 ~2 0 0 ] 2 0 0 尸 r 1 0 0 -| z u u - 2 2 1 1 - - 1 3 1 3 4 1 4 1 [ 0C - 7 2 2 7 — 7 2 2 7 0 0 - 一成 7 2 7 0 o 0 0 0 0 - - 0 0 1 1 0 0 0 0 [ A [ = 1 4-3 0n 7 7 7 7 0 0 0 1 √2 1 4 -3 0 T2 -T2 0 0 0 1 _ VL -_11 r 1 1 0 0 1 √2 2√7 E E . 1 —0 0 1 1 11 一- * --11 y/2 2a/7 11 - 1 1 2 0 0 1 1 0 0 2 2 2 2 2 0c √ 72 2 1、 _ 0 0 10 0 1 1 - 0 0 11 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 √ 4 — 1 7 1 L0o 00 11」 00 (0 0 1 1 _ 0 0 0 0 1 1 . 1 √2 1 V2 -1 —1 √ V2 2 22√777 令令pP_=_ 00 √ 也 2 1 , ,x x = = P P y y , , 则 则 f f = = y 1 yi - — y2 境 . . 1 √7 VF/1 0 0 1 0 0 1 (（方方法法三三)） 特特征征值值 7 2 .1 1 2 .1 1 n 1-3 4 二二次次型型对对应应的的对对称称矩矩阵阵A A== 1 -3 4 1 4 —3. 」 4 -3_ a-2 -1 -1 A-2 -1 -1 由由 || AλE—E-4A l| == - -1 1 λ A + + 3 ：3 — -4 4 ==λA((Aλ ++ 77))((Aλ-3-3) )== 00,,得得 AA的 的特特征征值值为为 33,,--7,0, --11 --44 λA ++3 3 故故正正惯惯性性指指数数为为11,,负负惯惯性性指指数数为为11,故,故选选(（BB).）. （(方方法法四四)） 可可逆逆线线性性变变换换 人z?=x;+x。, Z] = X1 + x2» 令令Y x z z 2 ? = = x X1 ? + + 工 x? 3 , , 则 则 / f = = x i+ + z2 Z - 2 4 — ( 4 z （ ? 。 -z 一 ? 五 )2 ） 2 = - = 3 — z1 3 好 -3 — z2 3z + f 8 + z ? 8 2 — 2 羽 . ・ z?=x?, 、恋 ， 3 = 13 再再由由配配方方法法、、合合同同变变化化法法或或特特征征值值.. 『-3 4 0 -3 4 0一 4-30 二二次次型型对对应应的的矩矩阵阵4A== 4 -3 0 ,,人A的的特特征征值值为为次1,-一7,70,,0正,正惯惯性性指指数数为为11,负,负惯惯性性指指数数 0 0 0- _ 0 0 0_ 为为11,,故故选选(（BB)）.. (（1100)）【【答答案案】】 DD.. 【【解解析析】】设设 γ=x?a;+x?a?=x?β+ +x? 了β。,即,即 y = xiQi + x2a2 = aA 4 2 x; C a l\ : + + x X ? 2U a 2 ? — -x ^ ? 3 β fll — -x Z ? 4 β “2 = = 0. 。. ( ( * * ) ) 下下面面求求解解该该方方程程组组：： 7 12 -2 -17 100 3 ~1 0 0 3 " [a;，,。α，?—,夕-β，—,-怯β]]= 21-5 0 行行初初等等变变换换 0 0 1 1 0 0 - - 1 1 ((行行最最简简形形)),, [«1 2 1 31 -9 —1. 001 1 0 0 1 1 _ 人x?=— 33x?9, JC\ =z 方方程程组组((** ))与与Yx工?=x?, 同同解解，. 2 = X4 , x?=—x0? ·5 · • 5 •数学历年真题全精解析·提高篇(数学二) 数学历年真题全精解析•提高篇(数学二) x? -3 1 x? 通解为x= =x? -1 ,x?∈ R. X? 1 2 x4 (2' γ=x?a;+x?α?=—3x? +x? 1 3 1 -3 2 =工， -6 十工 1 = k 5 ,k =—x?∈ R. -9 1 8 正正确确答答案案为为((DD)).. 二二、、填填空空题题 ((1111))【【答答案案】】 一-22.. 【【解解析析】】 由由题题设设知知 z2 ax+bx2+x一 ax+I bx, 22 +II n1 (1+1 x)、 ar + bx2 + x----2+o+(ox(2x)2) 11 == l liimm 皿 +气 +就1+力== lliimm--------------------?--- ---------- c21— cos x x2 →l0。 e，一 cos 工 x l → 。 0 [[]1++工x22++o。(3x2))]]_-[ [ ]1_- 苏 + + o 。 ( ( x 了 22) )1] 2 ((aa ++1 1))x工十+ ( (bb一-- 2 1 捽 )x +2+。o(了(x2)2) , = lim =lim-------------3-----------------------------» →l0。 ^-xx22++oo((xx22)) 2 则则 a ==-—1 ,1b==2. 2故.故a bab ==-—2 .2. q 4 ((1122))【【答答案案】】7√33++j-nπ。. 3 【【解解析析】】 、y== 「 √媚3的-td定t的义定义域域为为[[-一√3,,,√屈3],，所所求求弧弧长长为为 J - -V 3 T r厅Vs 、[__1__+__y—2 dx= 花r万VT √,__4__-__r__2 dx=2了r 5 VT √,__4__-__x__dx 5s二 = 5a/1 + y2 Ajc = 5 \/4 — x2 dx = 2 \/4 — x2 dx J ~yy J —vs* j 0o r i = = 2 s 2 i s n i n t / f寻f 8 cos_' td, t = 4 ff 量 ( (1+cos 2t)dt=√3+ 4 4 π。 ,"' 8 cos2idz = 4 (1 + cos 2t)dl = 4^ + 3 J 0o J 0o 3 3· 3 ((1133))【【答答案案】】 一 2· 公・ 【【解解析析】 】当 x 当= xy= =y= 11时时，，#e+'；2+z==11,,得得zz ==0 0.. 方方程程eez2 ++ x j: = z 2=x— 2xy —两 y边两对边x对求x偏求导偏 a ， z 导有，有 ax ee2* ·•a教x 十 + 之z +十 *x a静x == — 22.. ①① ①①式式两两端端再再对对xz求求偏偏导导数数，，有有 az az e e 2· (a a y z x )) 2 + + e 2 e · ‘ ・a a —x 2 2 z 2 + + a L x + a L x + + x z Ta a ~x 2 22 x = =0 ° . ・ ②② \OT / dx2 dx dx dx2 将x = y = l,z = 0代入①得a孚z| I == 11,, 将x=y=1,z=0代入①得 3oxx| I ((11.,11)) Ox a2x 3 再 再将 将 t x = = y y = = 1 l , ,z x = = 0 0 , ,a|^x ==1 代1 代 入 入 ②得 ② a 得 x2 I =— V 2· *· ox dx I ((11,.11)) Z ·6 · , 6 •《2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案 11 ((1144))【［答答案案】】 一一晋. 9 【解析】将x=1代入3x3=y?+2y3得y=1.等式3x3=y?+2y3两端对x求导得 【解析】 将X = 1代入3x3 = + 2j3得y = 1.等式3x3 = + 2y3两端对x求导得 9x2=5y?y′+6y2y'. - 9x2 = syy + 6yy. 9 将将xz= =1, 1y，=v1 =代 1入代上入式上式得得y′y ((11))== 号,，所所以以，，曲曲线线3^33 x=3 =J/y5 ?++ 22yy33在在xz= =1对 1应对应点点处处的的法法线线斜斜率率 11 11 为 为 七一 F9 11 。 。 1· 。 ((1155))【【答答案案】】 y2. 门 【 【解 解析 析 】 】 f/((xx))ddxx— = J f/((xx))ddxx ++ [ /f((xx))ddxx.. x=t+2 •3 /f((, x x))ddj , xc — X = — t + 2 ff{(tt ++2 2))ddtz == f f/((xx ++2 2))ddxjr = 0 J 0 门。 1 [f(x)+x]dx= f/((xx))ddxx ++ {, [/&) + x~\dx = 2 0 o = Z 力 1 1· J f/((xx))ddxx == J f/((xx))ddxx ++ J ff{(xx})ddxx ++ ~一^ ~ =—J_ 2 2 0 2 一万. ((1166))【【答答案案】】 88.. 【【解解析析】 】 已 已知知题题中中方方程程组组有有解解，，所所以以r(rA()A )== rr((BB)),, a 01 a 011 a 0 r a 0 1 r 1 a 1 1 a 10 其其中中AA == 1 1 2 Q a 1 , ,B B = = 1 1 2 a a 1 0 0 1 2 a 1 2 0 q a b 0 a b 02] — .a b 0. _a b Q 2_ a 01 a 0 1 又又因因为为 1 1 a a l 1 = = 4 4 ≠ 丈0 0 ,所 ,所以以 r r ( ( A A ) ) = = 3 3 , ,从从而而 r r (B ( ) B ) = = 3 3 , , | | B B | | = = 0 0 . . 1 2 a 1 2 a a 0 1 1 a 0 1 a 1 a 0 1 a 1 a 0 1 1 a 10 1 a 按4列展开 1 2 a +2 1 a 1 |BB|= 2 a + 2 1 a 1 12 a 0 1 2 a b 0 1 2 a b 0 1 2 a a b 02 b 1 a 1 1 = 8一 1 2 a = 0. =8 — 1 a b0 a 1 a 1 1 a 1 1 2 a =8. 所所以以 1 2 a =8. aa bb 00 三三、、解解答答题题 ( (1 1 7 7 ) ) 【 【 解 解 】 】(( I I ) ) 设 设 曲 曲 线 线 V y = = y(x)在 在点 点 & ( , x 少 ,y 处 )处 的 的 切 切 线 线 方程 方 为 程 Y 为 — Y y - y = = y y f ( ' X ( X — - x x ) ) , ,则 则 在 在 、 y 轴 轴 1 上的截距为y-xy',从而有x=y-xy',即y′- x'-y =-1,解此方程得 上的截距为y — xyr,从而有x = y — xy .即3/-----y =— 1,解此方程得 x yyC(xx)) ==x (xC(C-I —n Inx )x.). ·7 · -7 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇■((数数学学二二)) 由由 y3^((ee22)) ==0 0可 可知知，，CC ==2 ,2则,则y (x)=x=( 2x—(2 I—n Inx )x.). ((Ⅱ D)) 设 设 曲 曲 线 线 y y = = x x ( ( 2 2 — - I In n x x ) ) 在 在点 点 ( ( 了 x 以 ,y ) ) 处 处 的 的 切线 切 方 线 程 方 为丫 程 一 为 了 Y - = y 3 = / y ( ' 乂 ( 一 X - 1 x)) ,令 ,令 X X = =0 。 得 得 x YY ==y厂-x书y''==x工,,令令YY ==0。得得XX == I畚n 丁x—该1切,该线切与线两与坐两标坐轴标轴所所围围三三角角形形的的面面积积为为 1 x2 Ss(x&)=T 2 1 X 州 Y= =疝 r2 & 5,， 2(ln x—1) (2ln x—3) 则则SS('Gx))== f^^,，令令SS("x))==0°得得驻驻点点，x==e』t,，且且当当eeV>0 ,0故,故S(Sx()x在)在x=xe2=处 e取i处最取小最值小，值最，最小小值值为为S(Se(2J))= =e .e因3.因而而所所求求点点为为((G，号e* ) ),，所所围围 2 三三角角形形的的最最小小面面积积为为e3e3.. f.=e"+x=0, {(ffx = e008 y + x = 0, k ((1188)【)【解解】】 由由匕； 得得驻驻点点为为((一-ee'i->1 ^,,如kπ)以)(=k=00,,±士11,,……)).. f,=-xsin ye2my= 0' =-xsin /e00" = 0 可 可 计 计算 算、A ， = A = f f 'n 。 = = 1 1 , ,B B = = f , f = , - s = i — n s y in e " ye ' C , M C y = ,C f " — , =-x = (c — os x (c y o - s s y i — n2 s y in ) 2 e > ^ )e " c y os . >, 在在驻驻点点处处，，判判别别式式△ =△ B=B。2一-AACC= -=e'--e1>0, 不0,是不极是值极点值，点， 当当kk为为偶偶数数时时,△， =△-e=2 ->0 0,, 此此时时函函数数取取极极小小值值为为 , e2 f(-e,m =一§，以为偶数). f(-e,kπ)=- ,(k为偶数). 2 ((1199))【【解解】】((II))所所求求面面积积为为 1 d = =— +00 dx dx x S= — x√1+x2 .1 x2 1+ ( 1 )2 1 1+ ( 1 ) ? x x =—In (1 + 1+ 1 ) +0a = In(1+√2). x x2 1 ((ⅡR))所所求求旋旋转转体体体体积积为为 V =π dx =π [++08(/11 11 )X dx Jl1 xx22((l1 ++xx22)) . J 1 . Wx2 11++xx22； π = = — — π * ( (( 1 x§ ++ aarrccttaann x | +00 =π (1—- ) 4 1 【【评评注注】】 第 第 I I问问的的积积分分计计算算还还有有其其他他方方法法.. = 方方法法一一 令令 t t== √/工x2 2++ ]1 ,,sS == J f 匹 + √ 0 t t 2 2 山 d — - t 1 1 1 = 2 - 1 乙 |- -lInn t t t 1 — + i 1 l 1 + √^2 0 2 0 == Ilnn((7√2 2++1 1)).. 1 x= tmt 中 sec2t 丁量 方方法法二二 5= x √ J1 1 + +x / 2 -dx 情 ― t ta an n s 」 t Z s c e s c e ' c — t ' t d dtz == J [ 青十 2 cesscc ttddtt X 4 量 ==-—InInl c| secsct +t c+o tco tt t| | :==1nln((√722 ++1 1)).. 量 ((2200))【【解】解 】曲曲线线x2 x+2 y+2y —2 -xxyy ==1 1, ,xx22 +yy22- —xy x=y2 =的 2极的坐极标坐标方方程程为为 rǐ= 1 1 ,r2= 2 2 “ 11— — ccooss θOssiinn O0 '' \1 —— ccoos sθ ^ssiinn θ' ·8 · -8 -。 《2023年全国硕士研究生招生考试数学(二)参考答案 . 《202 3年全国硕士研究至招芭考试数学 参考答案 （=2 。 1 √ · 1 则4订辛护dx心dy == 「d阿θ -产(3心打茹荀·• rrddrr 3x2+y2 √ (3cos2θ+sin2θ) = = 传。 [*3 作 I \ n n √ \[ 2 2 · • ----27 1 ^；— d;。d0 3cos2θ+ sin26 J o 3cos20 + sin20 = 1 dtan 0 l^In o2· 仔 dtan 0 = *2 n2・J° 3M+Pt atann2节0 0 = In 2 tan θ 号 蛙·.a racrtcatann 竺W 2√3 √③ 0 2^3 V3 0 √3ln 2. _ V31n 2π. 三 24 ((2211))【【证证明明】】 ( I( I))由由泰泰勒勒公公式式可可知知 f(n) f(n) f(x)= f(0)+f(0)x+ x2=f(0)x+ x2,其中η介于0与x之间. /(X)= /(O) + f (0)了 + 2! =，(0)l + 2! ，其中"介于。与 Z 之间. (m) 则则 f /( ( a a ) ) = = f f\ ( O 0 ) ) a a + + 2! a a 2 2 » , ( ( 0 0 < <； η ^ < < a ) a , ), ①① Z! f”(n) /(一 a) =-/(0)a +乌衬 a，,(—a V恰 VO), ② f(-a)=-f(0)a+ a2,(-a<η<0), ② 2! Z! a2 ①①++② ②得得 f/( (aa))++/f((—-aa)) == ¥[[，f(η颌))+子+，”((宓n))]].• ③ ③ 2 又又子r”(x()x在)在以[n，,小η]]上上连连续续，，则则必必有有最最小小值值mm和和最最大大值值MM..而而 1 mm≤ 品[/[(f小”)(+n/)*+(f争(n))]]≤VMM.. 2 1 由由介介值值定定理理知知，存，在存 $ 在 6 E [ ∈ w [n i , ] η U ] ( C - ( a - , a a ;a ) ) & ,使 得得尸f ( ( f e ) ) = = y2E [f” /( ( 7 η i) ) + +f / ” /( ( ? p 2 ) ) ] 1 . 1 代 代 入 入 ③ ③ 式 式 得 得 f / ” (? (E ) ) = = a 4 2 [〔f，((aa))++f /((--a )a])].. a ((Ⅱ U))设设f / ( ( x x ) ) 在在x Z ? o ∈ E( -(a―,。a,)。取)取得得极极值值，，则则f广(x&? 0 ))= = 0, 由 0, 泰由泰勒勒公公式式可可知知 f”(E) f/((xx)) == ff((x工?o))++ fr((xio?))((zx —-xZoo))++ 2! ((xx ——x x?0))22 ”(2) =/(xo) +乌目& — io)?,其中S介于io与]之间， =f(x?)+ 2! (x-x?)2,其中=介于x。与x之间， f”(5) 则 则 / f (— (- a a ) ) = = f /( ( x x o ? ) ) + + f ((―- qa - — x Z 。 o 尸 ) ， 2 ( , 一 ( Q - a V < 5 & < V x。 J；。 ) ) , ， 2! f”(5?) /(a) = /(x0) +』并)(a — x0)2，(工o V 包 V a), f(a)=f(x?)+ (a-x?)2,(x?<∈≥2^ lI ffC(aa))--ffC(--aa))1 .|. 2a2 1 1 100 = 1 1 1 -1 0 0一 「1 1 1 - (（2222）)【【解解析析】】（(II）)AA == AAEE == AA 0 0 1 1 0 0 = 2 2 - 一 1 1 1 1 0 0 1 0 .1 —1 _0 0 1. _0 1 -1_ 1-λ 1 1 1 -A 1 1 2 -1-λ 1 ((Ⅱ口))令令 I |AA--AλEE || == 2 1-A 1 0 1 -1-λ 0 1 1 一 A 1-λ 1 2+λ 1-A 1 2 + A 22 --11--λA 1-1(-1(1++λA)2)2 (1+λ)c十( (1+QC2+C3 1 0 0 1 0 ==-—(λ(A ++2 2))((义λ一-22)()义( +a +11) )== 00 求求得得AA的的特特征征值值为为人λ1 ;==-—1 ,1λ,义2? ==-—2, 2λ，人?3 == 2 2.. 先先求求解解方方程程组组(A( +A+ EE))xx == 00 1 211 10 「2 1 11 2 A+E= 201 行行变变换换 A + E= 2 0 1 -------- 010 010. 000 (（AA ++E E)x）x= 0=的 O 通的解通解为为x= 乂k ;=(知-1（,一0,12,0),T2,）k丁?以∈］e R R.. 取A的属于λ;=-1的特征向量为5=(-1,0,2)T. 取A的属于义1 =— 1的特征向量为& = （― 1,0,2）丁. 再再求求解解(A( +A+ 22EE)x) x== 00 1 311 100° 「3 1 r ri 0 on A+2E= 211 行行变变换换 011 A + 2E = 2 1 1 0 1 1 011 000 3 1 i_ 0 0 o_ ( (A A + + 2 E 2E )x )x = 0 = 的 0 通的解通解为为x = x k = ?( S 0,(1 O , , - l, 1 — ) π l)T , k以? 2 ∈ 6 R R . . r 取A的属于λ?=-2的特征向量为5=(0,1,-1)T. 取A的属于人2 =— 2的特征向量为& = (0,1, — 1)丁. 最最后后求求解解(A(A--22EE))xx == 00 - - 1 1 1 1 1 1 - -110 0—-44”- , A A - -2 2 E E = = 2 2 . - — 3 3 1 1 行行变变换换 00 11--33 _ 0 0 11 --33-. 0 0 0 0 0 0 _ ((AA -一2 E2)Ex)x= 0=的 0通的解通为解x为=xk ?=(4心,3(4 , , 1 3 ) , ? 1 , )T k? ,应∈ 3 e R R . . 取取AA的的属属于于义λ3 =?= 22的的特特征征向向量量为为& 5== (（44,,33,,11），) [-10 -1 0 0 -1 0 4' -1 0 0' 令令 PP ==[ [5g,l，5§2,，&s3]〕== 0 0 1 1 3 3 ,，则则 PP--'1AAPP == 0 0 - - 2 2 0 0 2 -11 0 0 2. _ 2 - 1 1_ .0 0 2. ·-1100 ·-