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【重难点专项点拨-资料】资料分析 4
（讲义+笔记）
主讲教师：牟立志
授课时间：2024.06.12
粉笔公考·官方微信【重难点专项点拨-资料】资料分析 4（讲义）
2010年，全年社会固定资产投资 278140 亿元，同比增长了 23.8%，比上年
回落了6.2个百分点。其中，城镇固定资产投资完成241415亿元，同比增长24.5%，
比上年回落了5.9个百分点。
1.2010年全社会固定资产投资额比2008年上升了（ ）。
A.17.6% B.23.8%
C.53.8% D.60.9%
2017年，S市服务业小微样本企业总体实现营业收入 105.39 亿元，同比增
长3.1%，比2016年回落了15.7个百分点，户均实现营业收入510.63万元。
2017年，S市服务业小微样本企业总体资产938.58亿元，同比增长4.2%，
增速比 2016年下降 0.9 个百分点，户均资产 4547.40 万元。分门类看，除房地
产业，交通运输、仓储和邮政业，教育业资产总计比2016年分别下降3.1%、5.4%
和3.8%外，其他行业资产总计同比均有不同程度的增长。
2.2017 年，S 市服务业小微样本企业平均每万元资产实现营业收入比 2015
年：
A.增长了不到5% B.增长了5%以上
C.下降了不到5% D.下降了5%以上
1（2018 年）海洋生物医药业、海洋电力业这两个新兴产业产值增速领先，
分别达9.6%、12.8%。
3.如果 2019年我国海洋新兴产业保持 2018年的增速，则 2019年我国海洋
新兴产业产值将比2017年多约（ ）。
A.22% B.27%
C.32% D.37%
2021年，全国纺织品服装出口3155亿美元，同比增长8.4%。其中，纺织品
出口 1452.2 亿美元，同比下降 5.6%，较 2019 年增长 22.0%；服装出口 1702.8
亿美元，同比增长24.0%，较2019年增长16.0%。其中，针织服装及衣着附件出
口864.8亿美元，同比增长39.0%；梭织服装及衣着附件出口701.2亿美元，同
比增长12.6%。
4.2020年，全国服装出口额比2019年：
A.增长了10%以上 B.下降了10%以上
C.增长了不到10% D.下降了不到10%
22021年上半年，S市工业战略性新兴产业总产值7164.68亿元，比去年同期
增长19.6%，两年平均增长12.3%。其中，新能源汽车、新能源和高端装备产值
同比分别增长2.5倍、32.1%和24.5%。
5.2020年上半年，S市工业战略性新兴产业总产值同比增长在以下哪个范围
内？
A.不到7% B.7～10%
C.10～13% D.超过13%
2021年1～2 月，全国网上零售额 17587 亿元，同比增长 32.5%，两年平均
增长13.3%。其中，实物商品网上零售额 14412亿元，同比增长 30.6%，两年平
均增长 16.0%，占社会消费品零售总额的比重为 20.7%；在实物商品网上零售额
中，吃类、穿类和用类商品分别增长41.6%、44.3%和25.1%，两年平均分别增长
33.8%、8.7%和16.0%。
6.在2020年1～2月①全国网上零售额和②实物商品网上零售额中：
A.仅①同比正增长 B.仅②同比正增长
C.①和②均同比正增长 D.①和②均未同比正增长
2021年1～2 月，全国网上零售额 17587 亿元，同比增长 32.5%，两年平均
增长13.3%。其中，实物商品网上零售额 14412亿元，同比增长 30.6%，两年平
均增长 16.0%，占社会消费品零售总额的比重为 20.7%；在实物商品网上零售额
中，吃类、穿类和用类商品分别增长41.6%、44.3%和25.1%，两年平均分别增长
33.8%、8.7%和16.0%。
7.2020年1～2月，将吃类、穿类和用类商品的实物商品网上零售额同比增
速从高到低排列，下列排序正确的是：
A.吃类、用类、穿类 B.吃类、穿类、用类
C.穿类、吃类、用类 D.穿类、用类、吃类
38.2015～2018年，我国原油加工量年均增长约（ ）。
A.3.0% B.4.1%
C.5.0% D.6.2%
9.2011～2016年，中央税收收入年均增速约为：
A.6.2% B.7.1%
C.7.6% D.7.9%
4根据B市住户抽样调查显示，1985年户籍居民人均可支配收入为1915元，
到1994年，户籍居民人均可支配收入首次突破万元大关，达 10503元，九年间
年均增长 20.8%。随后又经过了六年时间，至 2000 年，户籍居民人均可支配收
入为 20906 元，六年间年均增长 12.2%。至 2004 年户籍居民人均可支配收入达
到27596元，比1985年增长13.4倍，年均增长15.1%，扣除价格因素，实际年
均增长7.0%。2009年该市户籍居民人均可支配收入达到29245元，比2005年增
长了36.1%。
10.2005年至2009年，户籍居民人均可支配收入年均约增长：
A.7.2% B.8.0%
C.8.7% D.9.0%
2016 年女性参加生育保险的人数达 8020 万人，比 2010 年增长 49%。2016
年，参加城镇职工基本医疗保险的女性 1.4 亿人，比 2011 年增长 21.5%；参加
城镇居民基本医疗保险的女性1.9亿人，比2011年增长了1.5倍。
11.2016 年参加城镇职工和城镇居民基本医疗保险的女性比 2011 年增长了
约多少倍？
A.0.7 B.1.2
C.1.7 D.2.2
512.2020年3～12 月，J 省当月发电量同比增速快于当月累计发电量同比增
速的月份有几个？
A.5 B.6
C.7 D.8
2018年我国全年规模以上港口完成货物吞吐量 133亿吨，同比增长 2.7%，
其中外贸货物吞吐量42亿吨，同比增长2.0%。规模以上港口集装箱吞吐量24955
万标准箱，同比增长5.2%。
13.2018年我国全年规模以上港口完成非外贸货物吞吐量同比增速：
A.低于1.5% B.在1.5%～2.5%之间
C.在2.5%～3.5%之间 D.高于3.5%
6【重难点专项点拨-资料】资料分析 4（笔记）
【注意】本节课的主要内容是特殊增长率，也是方法精讲4中所讲的间隔增
长率、年均增长率、混合增长率的内容，对于学过的内容，需要优化做题技巧和
习惯，对没有学过的内容进行知识点的补充。
知识点一：间隔增长率的正向考查。
难点：和=2*r±百分点。
1
例：2024 年志哥工资的同比增速为 10%，增长率比上年降低 10个百分点，
2024年志哥工资比2022年增长百分之多少。
【注意】知识点一：间隔增长率的正向考查。
1.间隔增长率的公式是和加积的形式（r =和+积），这个公式占大头的是加
间
和，占小头的是乘积。例如，r =和+积=10%+8%+10%*8%=18.8%，其中加和为18%，
间
说明加和很重要，大部分情况下，做题时只需考虑加和就能解决问题。
2.难点：为了更快计算出加和，可以记下公式：和=2*r±百分点。
1
3.例：2024年志哥工资的同比增速为10%，增长率比上年降低8个百分点，
2024年志哥工资比2022年增长百分之多少。
答：r =r+r+r*r ，r=10%，r 没有直接给出，是在 r （10%）的基础上通
间 1 2 1 2 1 2 1
过高减低加得到的，“降低”做加法，则 r=10%+8%，r =2*10%+8%+r*r ，即
2 间 1 2
r+r=2*10%+8%，和=2*r±百分点。
1 2 1
2010年，全年社会固定资产投资 278140 亿元，同比增长了 23.8%，比上年
回落了6.2个百分点。其中，城镇固定资产投资完成241415亿元，同比增长24.5%，
比上年回落了5.9个百分点。
1.2010年全社会固定资产投资额比2008年上升了（ ）。
A.17.6% B.23.8%
C.53.8% D.60.9%
【解析】1.2010 年比 2008 年（间隔一年）+上升+%→间隔增长率问题，已
知“2010 年，全年社会固定资产投资 278140 亿元，同比增长了 23.8%，比上年
7回落了 6.2 个百分点”，r=23.8%，“回落”做加法，和（r+r ）=2*r+百分点
1 1 2 1
=2*23.8%+6.2%≈54%，r =和（54%）+积，则r ＞54%，对应D项。【选D】
间 间
【注意】和=2*r ±百分点。已知“同比增长了 23.8%，比上年回落了 6.2
1
个百分点”，r=23.8%，“回落”应当用加法，r=23.8%+6.2%，故和=2*r+百分点
1 2 1
=2*23.8%+6.2%。
2017年，S市服务业小微样本企业总体实现营业收入 105.39 亿元，同比增
长3.1%，比2016年回落了15.7个百分点，户均实现营业收入510.63万元。
2017年，S市服务业小微样本企业总体资产938.58亿元，同比增长4.2%，
增速比 2016年下降 0.9 个百分点，户均资产 4547.40 万元。分门类看，除房地
产业，交通运输、仓储和邮政业，教育业资产总计比2016年分别下降3.1%、5.4%
和3.8%外，其他行业资产总计同比均有不同程度的增长。
2.2017 年，S 市服务业小微样本企业平均每万元资产实现营业收入比 2015
年：
A.增长了不到5% B.增长了5%以上
C.下降了不到5% D.下降了5%以上
【解析】2.“2017 年……平均每……比 2015 年”（间隔一年）+增长/下降
+%→平均数的增长率结合间隔增长率计算问题。平均数的增长率r=（a-b）/（1+b），
需要找到对应的a、b，营业收入的间隔增长率对应a，总体资产的间隔增长率对
应b。已知“2017年，S市服务业小微样本企业总体实现营业收入105.39亿元，
同比增长 3.1%，比 2016 年回落了 15.7 个百分点”，“回落”用加法，营业收入
的间隔增长率 a=和+乘积=2*r+百分点+乘积=2*3.1%+15.7%+乘积≈2*3%+16%+乘
1
积=22+%；已知“2017年，S市服务业小微样本企业总体资产938.58亿元，同比
增长4.2%，增速比2016年下降0.9个百分点”，“下降”用加法，总体资产的间
隔增长率b=和+乘积=2*r+百分点+乘积=2*4.2%+0.9%+乘积≈2*4%+1%+乘积=9+%。
1
再计算平均数的增长率，先口算“a-b”，a-b=22+%-9+%≈13%＞0，上升，排除C、
D 项，b＞0，结果的绝对值＜13%，A、B 项均小于 13%，所求=（a-b）/（1+b）
≈13%/（1+9+%）≈13%/1.1=1X%，对应B项。【选B】
8【注意】正向求间隔增长率，有时会和其他题型杂糅在一起，本题就是间隔
增长率和平均增长率杂糅在一起的题目。2017年比2015年（两期）+平均每（平
均数），两期平均数；出现“增长+%”，平均数的增长率问题。常规的做法是代入
平均数的增长率公式：r=（a-b）/（1+b），解题方法：第一步，直接口算“a-b”，
“a-b”＞0，结果为正，今年平均数同比上升，“a-b”＜0，结果为负，今年平
均数同比下降；第二步，b＞0，绝对值是下降的（结果的绝对值＜|a-b|），b＜0，
绝对值是上升的（结果的绝对值＞|a-b|）。本题中营业收入的增长率对应a，总
体资产的增长率对应b，但材料中没有直接给出a、b，需要用间隔增长率公式求
出a、b，然后再代入公式r=（a-b）/（1+b）求解。
（2018 年）海洋生物医药业、海洋电力业这两个新兴产业产值增速领先，
分别达9.6%、12.8%。
3.如果 2019年我国海洋新兴产业保持 2018年的增速，则 2019年我国海洋
新兴产业产值将比2017年多约（ ）。
A.22% B.27%
C.32% D.37%
9【解析】3.2019年……比2017年（间隔一年）多约+%→间隔增长率计算问
题。海洋新兴产业分为海洋生物医药业、海洋电力业两个部分，考虑混合增长率。
已知“（2018年）海洋生物医药业、海洋电力业这两个新兴产业产值增速领先，
分别达9.6%、12.8%”。
方法一：混合的增长率居于两个部分（海洋生物医药业、海洋电力业）的增
长率的中间，即 2018 年海洋新兴产业的增长率介于 9.6%～12.8%之间。定位图
表材料可知，2018年海洋生物医药业产值413亿元，海洋电力业产值172亿元，
偏向量大的，即 2018 年海洋新兴产业的增长率靠近 9.6%，那么 2018 年海洋新
兴产业的增长率可以取值为10%（或11%），“如果2019年我国海洋新兴产业保持
2018 年的增速”，则 r=r=10%，所求（r ）=r+r+r*r ≈20%+r*r ，最接近 A
1 2 间 1 2 1 2 1 2
项，B项27%与所求结果差距太大，A项当选。
方法二：“如果 2019 年我国海洋新兴产业保持 2018 年的增速”，2019 年海
洋生物医药业产值比2017年增长：9.6%+9.6%+9.6%*9.6%≈20%；2019年海洋电
力业产值比 2017 年增长：12.8%+12.8%+12.8%*12.8%≈26%，混合后居中，则我
国海洋新兴产业的增长率在 20%～26%之间，偏向量大的，定位表格材料，可知
2018 年海洋生物医药业与海洋电力业的产值分别为 413 亿元与 172 亿元，故所
求增长率更接近20%，结合选项判断，A项当选。【选A】
【注意】方法一是有弊端的。2018 年海洋新兴产业的增长率介于 9.6%～
12.8%之间，9.6%、12.8%之间的差距较小，可以选择10%、11%、12%，只需选择
接近 9.6%的数求出结果即可，估算的误差不大；但假如海洋电力业的增速为
32.8%，则 2018 年海洋新兴产业的增长率介于 9.6%～32.8%，9.6%、32.8%之间
的差距较大，无法取值估算，此时只能用线段法计算。
10知识点二：间隔增长率的反向考查
认知过程：时间→基期→关键词→增长率→给现期r 与间隔r→基期增长率
1
r
2
例：2024 年志哥工资的同比增长率为 10%，比 2022 年同比增长率为 15%，
2023年志哥工资比2022年增长_____%
【注意】知识点二：间隔增长率的反向考查。
1.间隔增长率正向考查→给r、r，求r 。间隔增长率的反向考查→给r、
1 2 间 1
r ，求r。一般不会给r、r ，求r，因为一般情况下，材料给的是2024年（现
间 2 2 间 1
在的）增长率，2023年相对于2024年是基期，求的是基期的增长率。r 是现期
1
的增长率，一般通过r=增长量/基期公式求解即可，求r 一般不会用间隔增长率
1
公式。
2.认知过程：时间→基期→关键词→增长率→给现期r 与间隔r→基期增长
1
率r。
2
3.例：2024年志哥工资的同比增长率为10%，比2022年同比增长率为15%，
2023年志哥工资比2022年增长_____%。
答：r=10%，r =15%，求r。识别：最直接的感受是求基期的增长率（题目
1 间 2
给2024年的增长率、求2023年的增长率）。若题目给的是现在的增长率（r）、
1
与上一年的百分点的关系，求上一年增长率利用高减低加求；若题目给的是现在
的增长率（r）、间隔增长率，则是间隔增长率的逆向考查，代公式即可求r。
1 2
11公式：r=（r -r）/（1+r）。r ＞r→r 为正，r ＜r→r 为负
2 间 1 1 间 1 2 间 1 2
例：2024 年志哥工资的同比增长率为 10%，比 2022 年同比增长率为 15%，
2023年志哥工资比2022年增长_____%。
例：2024年志哥工资的同比增速为10%，两年平均增长12%，2023年志哥工
资比2022年增长_____%。
【注意】知识点二：间隔增长率的反向考查。
1.公式：r=（r -r）/（1+r）。r ＞r→r 为正，r ＜r→r 为负。
2 间 1 1 间 1 2 间 1 2
2.推导：r =r+r+r*r→r -r=r*（1+r）→r=（r -r）/（1+r）（推导
间 1 2 1 2 间 1 2 1 2 间 1 1
不重要，记住公式即可）。1+r 一定是正的，则分子的正负决定着r 的正负，若
1 2
r ＞r，则r -r＞0，则r 为正；r ＜r，则r -r＜0，则r 为负。
间 1 间 1 2 间 1 间 1 2
3.例：
（1）2024年志哥工资的同比增长率为10%，比2022年同比增长率为15%，
2023年志哥工资比2022年增长_____%。
答：r=10%，r =15%，则 r=（r -r ）/（1+r ）=（15%-10%）/（1+10%）
1 间 2 间 1 1
=5-%。
（2）2024年志哥工资的同比增速为 10%，两年平均增长 12%，2023年志哥
工资比2022年增长_____%。
答：r=10%，两年平均增长12%（间接给间隔增长率的方式）→相当于每一
1
年都增长 12%，r =12%+12%+12%*12%=24+%，一般情况下，这里只需要计算加和
间
即可，乘积没必要计算，可以写成r =（2*年均增长率）+=2*r+。所求=（24+%-10%）
间
/（1+10%）。
122021年，全国纺织品服装出口3155亿美元，同比增长8.4%。其中，纺织品
出口 1452.2 亿美元，同比下降 5.6%，较 2019 年增长 22.0%；服装出口 1702.8
亿美元，同比增长24.0%，较2019年增长16.0%。其中，针织服装及衣着附件出
口864.8亿美元，同比增长39.0%；梭织服装及衣着附件出口701.2亿美元，同
比增长12.6%。
4.2020年，全国服装出口额比2019年：
A.增长了10%以上 B.下降了10%以上
C.增长了不到10% D.下降了不到10%
【解析】4.2020年比2019年+增长/下降+%→相当于求基期的增长率问题，
要么高减低加，要么求 r，材料给出 2021年全国服装出口额的同比增速以及相
2
对于 2019 年的增速，可判定本题为间隔增长率的逆应用。已知“（2021 年）服
装出口1702.8亿美元，同比增长24.0%（r），较2019年增长16.0%（r ）”，r=
1 间 2
（r -r）/（1+r）=（16%-24%）/（1+24%），结果一定是负的，排除A、C项；
间 1 1
16%-24%=-8%，除去1.X，一定下降了不到10%，对应D项。【选D】
【注意】r -r=16%-24%=-8%，负的代表下降了，排除A、C项；r=（r -r）
间 1 2 间 1
/（1+r）和平均数的增长率r=（a-b）/（1+b）类似，（r -r）/（1+r）和（a-b）
1 间 1 1
/（1+b）代公式的逻辑是一样的，先口算出“a-b”，然后再看b（r）的符号，
1
r 是正的，则所求的绝对值比|-8%|还要小，到不了10%以上，对应D项。
1
2021年上半年，S市工业战略性新兴产业总产值7164.68亿元，比去年同期
增长19.6%，两年平均增长12.3%。其中，新能源汽车、新能源和高端装备产值
同比分别增长2.5倍、32.1%和24.5%。
5.2020年上半年，S市工业战略性新兴产业总产值同比增长在以下哪个范围
内？
A.不到7% B.7～10%
C.10～13% D.超过13%
【解析】5.2020 年上半年+同比增长+%→增长率问题，材料给出 2021 年 S
市工业战略性新兴产业总产值的上半年增速（r）和两年平均增速（间接给r ），
1 间
13间隔增长率的逆应用。“2021 年上半年，S 市工业战略性新兴产业总产值比去年
同期增长19.6%，两年平均增长12.3%”，r=19.6%，r =（2*年均增长率）+=24.6+%，
1 间
r=（r -r）/（1+r）=5%/1+，一定不到7%，当选A项。【选A】
2 间 1 1
2021年1～2 月，全国网上零售额 17587 亿元，同比增长 32.5%，两年平均
增长13.3%。其中，实物商品网上零售额 14412亿元，同比增长 30.6%，两年平
均增长 16.0%，占社会消费品零售总额的比重为 20.7%；在实物商品网上零售额
中，吃类、穿类和用类商品分别增长41.6%、44.3%和25.1%，两年平均分别增长
33.8%、8.7%和16.0%。
6.在2020年1～2月①全国网上零售额和②实物商品网上零售额中：
A.仅①同比正增长 B.仅②同比正增长
C.①和②均同比正增长 D.①和②均未同比正增长
【解析】6.“2020年1～2月①全国网上零售额和②实物商品网上零售额中”
+正增长→增长率问题，材料给出2021年1～2月①、②的增长率（r）32.5%、
1
30.6%和分别对应的两年平均增长率（间接给r ）13.3%、16%，求r，间隔增长
间 2
率的逆应用。则①：r=32.5%，r =26.6+%，r -r=26.6+%-32.5%，结果为负，则
1 间 间 1
r 为负，①下降了；②：r=30.6%，r =32+%，r -r=32+%-30.6%，结果为正，则
2 1 间 间 1
r 为正，②上升了，仅②同比正增长，B项当选。【选B】
2
【注意】
1.判别主体增长情况的方法：
（1）现期大于基期，增长了。
（2）r＞0，增长了。
（3）增长量＞0，增长了。
2.材料给的是2021年1～2月，①全国网上零售额和②实物商品网上零售额
的增长率和两年平均增长，因此本题要从增长率的角度分析。
2021年1～2 月，全国网上零售额 17587 亿元，同比增长 32.5%，两年平均
增长13.3%。其中，实物商品网上零售额 14412亿元，同比增长 30.6%，两年平
14均增长 16.0%，占社会消费品零售总额的比重为 20.7%；在实物商品网上零售额
中，吃类、穿类和用类商品分别增长41.6%、44.3%和25.1%，两年平均分别增长
33.8%、8.7%和16.0%。
7.2020年1～2月，将吃类、穿类和用类商品的实物商品网上零售额同比增
速从高到低排列，下列排序正确的是：
A.吃类、用类、穿类 B.吃类、穿类、用类
C.穿类、吃类、用类 D.穿类、用类、吃类
【解析】7.“2020年1～2月，……同比增速从高到低排列”，材料给出2021
年 1～2 月，吃类、穿类、用类商品的实物商品网上零售额同比增速（r ）和两
1
年平均增速（间接给r ），求r，可判定本题为间隔增长率问题。已知“在实物
间 2
商品网上零售额中，吃类、穿类和用类商品分别增长41.6%、44.3%和25.1%，两
年平均分别增长33.8%、8.7%和16.0%”，吃类、穿类和用类商品 r 分别为67+%、
间
17+%、32+%，吃类商品：r -r=67+%-41.6%＞0，r 为正；穿类商品：r -r=17+%-44.3%
间 1 2 间 1
＜0，r 为负；用类商品：r -r =32+%-25.1%＞0，r 为正；则穿类商品最小，结
2 间 1 2
合选项，对应A项。【选A】
知识点三：年均增长率计算
看条件：若给出每年的增长率，可用算术平均数估算，增长率波动较大时，
慎用
看选项：选项大部分在10%以内，①算总增长率
②估算：总增长率/年份差，偏大选小
选项唯一，直接选，不唯一，间隔增长率代入
选项大部分在10%以上，居中代入或间隔增长率代入
【注意】知识点三：年均增长率计算。不怎么考，但不能保证这次考试不考，
具有一定地域特色，广东、深圳每年基本都有一道题，联考可能偶尔会出现一年，
存在即合理，比如 2020 年联考考了一道题，当年的考生预料不到会考到，出现
要能够处理好，有舍有得，影响不大。如果有同学纠结，感觉资料分析很重要，
每道题都想做好，结果计算量大、没算好、耽误时间、影响心态。追求极致这种
题要学，其实不难。
151.看条件：若给出每年的增长率，增长率比较接近时，可用算术平均数估算，
增长率波动较大时，误差较大，慎用。
2.看选项（不给每年的增长率）：
（1）选项大部分在10%以内（增长率都比较小）：
①算总增长率。比如问2011～2015年的年均增长率，先算2011～2015年总
体的增长率。
②估算：总增长率/年份差，偏大选小；选项唯一，直接选，不唯一，间隔
增长率代入。比如正常代入年均增长率公式，按照增长2年代入，（1+r）²=现期
/基期→1+2r+r²=现期/基期→2r+r²=现期/基期-1=总体增长率。r小，则r²小，
可以忽略不计，2r≈总体r，则r≈总体r/2。“偏大选小”如何理解：“你（2r）
+我（r²）”一起分担总体r，结果“我”（r²）跑了，则“你”（2r）要独自承受
更多，实际不用承受这么多，不用这么大，因此偏大选小。
（2）选项大部分在10%以上，居中代入或间隔增长率代入。
8.2015～2018年，我国原油加工量年均增长约（ ）。
A.3.0% B.4.1%
C.5.0% D.6.2%
【解析】8.求年均增长率，看条件，给了每一年的同比增长率，波动不大，
2015～2018 年增长 3 年，所求≈（3.6%+4.9%+6.4%）/3=14.9%/3≈5%，不用偏
大选小，选最接近的即可，对应C项。【选C】
16【注意】
1.3.6%、14.9%、36.4%算波动大。
2.先看条件，再看选项；给了条件要学会利用。
3.除几个，看增长几年即可，2015～2018年增长了3次，年份差是3，则除
以3，从后往前找3个增长率。
4.1个增长率代表增长1次，增长3次是3个增长率。
5.波动大（比如3.6%、14.9%）就会有一定误差。
9.2011～2016年，中央税收收入年均增速约为：
A.6.2% B.7.1%
C.7.6% D.7.9%
【解析】9.年均增长率计算，求中央税收收入年均增速，时间是2011～2016
年，材料没有给每一年的增长率，看选项，都在10%以内，先求总体r，2011年
=48632、2016 年=65669，保留三位，总体 r≈（657-486）/486=171/486≈35%
（直除），年份差=2016-2011=5，r ≈总体 r/年份差≈35%/5=7%，偏大，原本
年均
不应该承受7%，选项只有一个小于7%，直接选择A项。【选A】
17根据B市住户抽样调查显示，1985年户籍居民人均可支配收入为1915元，
到1994年，户籍居民人均可支配收入首次突破万元大关，达 10503元，九年间
年均增长 20.8%。随后又经过了六年时间，至 2000 年，户籍居民人均可支配收
入为 20906 元，六年间年均增长 12.2%。至 2004 年户籍居民人均可支配收入达
到27596元，比1985年增长13.4倍，年均增长15.1%，扣除价格因素，实际年
均增长7.0%。2009年该市户籍居民人均可支配收入达到29245元，比2005年增
长了36.1%。
10.2005年至2009年，户籍居民人均可支配收入年均约增长：
A.7.2% B.8.0%
C.8.7% D.9.0%
【解析】10.问年均增长率，找户籍居民人均可支配收入，时间是2005年至
2009年，“2009 年该市户籍居民人均可支配收入达到 29245元，比 2005年增长
了 36.1%”，直接给了总体的增长率为 36.1%，年份差=2009-2005=4，r ≈
年均
36.1%/4=9+%，算出的结果“冤”，实际不应该承受这么多，选项都有可能（都比
9+%小），偏大选小，不唯一，只能代入验证，验证总体增长率是否为36.1%。
用间隔增长率代入法，2005～2009年中间隔了2006、2007、2008年，增长
4次，把选项往里代，看整个的间隔是否为 36.1%；居中代入，代入整数比较好
算，则代入B项：假设每一年增长率都为8%，2005～2007年间隔增长率为16.64%，
2007～2009年间隔增长率也为16.64%，16.64%与16.64%再间隔一次，2005～2009
年间隔增长率约为33.2%+2.56%=35.76%＜36.1%，8%不够，排除A项；题干为“约”，
不一定准确，需要斟酌，如果是 C 项，每一个加和都要多出 0.7%，加和总共多
出2.8%，35.76%+2.8%太大了，因此最终选择B项。【选B】
18知识点三：年均增长率计算
看条件：若给出每年的增长率，可用算术平均数估算，增长率波动较大时，
慎用
看选项：选项大部分在10%以内，①算总增长率
②估算：总增长率/年份差，偏大选小
选项唯一，直接选，不唯一，间隔增长率代入
选项大部分在10%以上，居中代入或间隔增长率代入
【注意】
1.先看条件，若给出每年的增长率，可用算术平均数估算（选择接近的），
波动较大时慎用，可以考虑代入。
2.整体增长率=（现期- 基期）/基期。
3.为什么偏小：年均增长率公式是（1+r）n=现期/基期，n可以取2、3、4……，
取2有助于分析，（1+r）²=现期/基期，展开得：1+2r+r²=现期/基期，移项：2r+r
²=现期/基期-1=总体增长率，分析 r²，“百分数*百分数”很小，忽略不计，总
体r原本由 2r 和r²共同承担，现在 r²跑了，2r需要独自承担很多，剩下 2r≈
总体r→r≈总体r/2，原本不用承受这么多，很“冤”，实际数值要偏小。
2016 年女性参加生育保险的人数达 8020 万人，比 2010 年增长 49%。2016
年，参加城镇职工基本医疗保险的女性 1.4 亿人，比 2011 年增长 21.5%；参加
城镇居民基本医疗保险的女性1.9亿人，比2011年增长了1.5倍。
1911.2016 年参加城镇职工和城镇居民基本医疗保险的女性比 2011 年增长了
约多少倍？
A.0.7 B.1.2
C.1.7 D.2.2
【解析】11.问2016年比2011年增长了多少倍，增长+倍数，求增长率；求
的是“城镇职工和城镇居民基本医疗保险”，两个主体一起求，城镇职工、城镇
居民是保险常见主体，要记住两者之间的差异。材料给了城镇职工增长率为
21.5%（0.2倍左右），城镇居民增长了1.5倍（150%），放在一起求混合增长率，
混合增长率介于两者之间，即0.2～1.5，排除C、D项；看偏向：0.2倍的有1.4
亿人，1.5倍的有 1.9亿人，认为居中偏向 1.5，选择 B项就错了；实际是偏向
基期量大的，有时候会用现期量代替，比如今年我的工资比郭子少，去年大概率
也是这个情况，但也可能去年不如你、今年超过你。从现期角度看，1.9＞1.4，
从基期角度看，1.4/1.2=1+＞1.9/（1+1.5）=1-，大小反过来了，要以基期为准，
0.2倍对应的量更大，居中偏向0.2，对应A项。【选A】
【注意】
1.本题属于特殊情况，选择A项而非B项。
2.增长率差得远，现期接近，极有可能导致基期和现期的大小差异，需要以
基期为准看偏向。
3.识别：增长+倍数，求增长率；相当于给了男生增长率、女生增长率，问
男生+女生的增长率。
2012.2020年3～12 月，J 省当月发电量同比增速快于当月累计发电量同比增
速的月份有几个？
A.5 B.6
C.7 D.8
【解析】12.本题是混合增长率的一种考法，属于简单的套路题。当月增长
率和当月累计增长率比较，“只要思想不滑坡，当月总比累计多”，这句话表述不
严谨，因为“等于”也算“不滑坡”，但“等于”不满足要求；则只要累计增速
不断上升，说明当月增长率一直领先于平均水平，有“人”一直在拽它向上进行
增长，比如 1～2月+3月=1～3月，r ＜r ＜r ，只要“r ＜r ”就
1～2月 1～3月 3月 1～2月 1～3月
能满足当月增速＞当月累计增速。找累计增速上升的，共有7个月份符合，对应
C项。【选C】
21知识点三：线段法
线段法是一种计算混合比例的方法，与十字交叉一样，都是根据列方程后的
比例推导外化的一种计算形式
应用范围：混合增长率、混合平均数、混合比重、溶液混合等
引例：A克浓度为a的溶液，与B克浓度为b的溶液，混合后的浓度为c
A*a+B*b=（A+B）*c
A*a+B*b=A*c+B*c
A*a-A*c=B*c-B*b
A*（a-c）=B*（c-b）
A/B=（c-b）/（a-c）
结论：距离（部分比例与混合比例的差值）与量（比例的分母）成反比
【注意】知识点三：线段法。
1.线段法是一种计算混合比例的方法，与十字交叉一样，都是根据列方程后
的比例推导外化的一种计算形式。
2.应用范围：混合增长率、混合平均数、混合比重、溶液混合等。
3.引例：A克浓度为a的溶液，与B克浓度为b的溶液，混合后的浓度为c。
存在等量关系，溶液混合，溶质不变，溶质+溶质=混合后的溶质，A*a+B*b=（A+B）
*c→A*a+B*b=A*c+B*c→A*a-A*c=B*c-B*b→A*（a-c）=B*（c-b）→A/B=（c-b）
22/（a-c），A 和 B 是溶液的质量，浓度=溶质/溶液，量指的是比例的分母，此时
分母是溶液，则量之比是溶液的比例，后一段是 c-b、前一段是 a-c，两者成反
比。
4.结论：距离（部分比例与混合比例的差值）与量（比例的分母）成反比。
结论：距离（部分比例与混合比例的差值）与量（比例的分母）成反比
①平均分=总分/总人数
问1：班级男生平均分为70分，女生平均分为73分，全班平均分为71分，
则班级男女比例为多少？
问2：班级男生20人，平均分为70分，女生60人平均分为74分，则全班
平均分为多少？
②比重=部分/总体
问1：班级男生戴眼镜占比20%，女生为30%，全班为24%，则班级男女比例
为多少？
问2：班级男生20人，戴眼镜占比10%，全班60人，戴眼镜占比20% ，则
女生戴眼镜占比为多少？
③浓度=溶质/溶液
问1：甲溶液浓度为12%，乙溶液浓度为17%，混合后浓度为15%，则甲、乙
溶液比例为多少？
问2：甲溶液100g，浓度为12%，乙溶液300g，浓度为20%，混合后浓度为
多少？
④增长率=增长量/基期
注：资料分析中一般不直接给出基期，故拿现期替代基期进行估算
引例：班级男生私房钱 200 块，同比增长 3%，女生私房钱 800 块，同比增
长13%，则班级所有人私房钱增速约为多少？
23【注意】
1.平均分=总分/总人数，比例的分母是人数，算出的量之比是人数之比。
2.比重=部分/总体，混合比重算出的量之比是总体的比例，比如男生占比
20%、女生占比30%、全班占比24%，距离之比是4：6=2：3，则量之比是3：2，
即男生人数和女生人数之比。
3.增长率=增长量/基期，混合增长率的量之比是基期的比例，故看偏向要用
基期，资料分析中一般不直接给出基期，算基期太麻烦，故拿现期替代基期进行
估算，会存在一定误差，甚至在某些特定题型中会出现错误，但情况很少。
计算混合增长率之“牟式无脑三角杀”
原理：线段法的操作优化，线段法能解决，就能解决
①无脑作差：已知的两个增速，大-小
②无脑倍数：部分的具体量的倍数，大÷小
③算差距：大→÷、小→*、混合→÷（倍+1）
注：求部分增速，差距是与混合的差距；求混合增速，差距是与部分（大）
的差距
例1：班级男生私房钱 200 块，同比增长 3%，班级所有人私房钱 1000块，
同比增长7%，则女生私房钱增速约为多少？
24例2：班级男生私房钱 800 块，同比增长 8%，班级所有人私房钱 1000块，
同比增长7%，则女生私房钱增速约为多少？
例3：班级男生私房钱200块，同比增长3%，女生私房钱800块，同比增长
13%，则班级所有人私房钱增速约为多少？
【注意】计算混合增长率之“牟式无脑三角杀”：将线段法口算过程总结出
来得出的方法。
1.原理：线段法的操作优化，线段法能解决，就能解决。有利有弊，线段法
通俗易懂，本方法需要背的东西多，但可以口算，看哪个方法适合你，不想记忆
可以用线段法，有余力可以学。部分写两边、混合写中间，部分分为“大部分”
和“小部分”，“大”和“小”指的是量，比如男生100人（少）→小部分，女生
500人（多）→大部分。
（1）无脑作差：已知的两个增速，大-小。混合增长率是给两个增长率求另
一个，不管部分还是总体，找到两个增长率无脑作差，大的-小的。
（2）无脑倍数：部分的具体量的倍数，大/小。指的是两个部分量的倍数关
系，比如大/小=500/100=5倍。
（3）算差距：求大部分的增长率→差/倍数、求小部分的增长率→差*倍数、
求混合增长率→差/（倍数+1）。记忆：大除小乘，混合除以“倍+1”。
（4）注：求部分增速，差距是与混合增长率的差距；求混合增速，差距是
与部分（大）增长率的差距。
2.例1：班级男生私房钱200块，同比增长3%，班级所有人私房钱1000块，
同比增长7%，则女生私房钱增速约为多少？
答：画线段，男生、女生标在两边，男生（3%）、全班（7%）、女生，男生是
200，全班是 1000，女生是 800，给了量之比为 200：800=1：4，距离之比（反
比）为 4：1，4 份对应 7%-3%=4%，1 份对应 4%/4=1%，女生增长率=7%+1%=8%。
方法优化：无脑作差为7%-3%=4%，无脑作倍数为800/200=4，求部分（大）的增
25长率，大除小乘，4%/4=1%，部分（女生）和混合增长率的差距是1%，已有一个
3%比7%小，所求比7%大，距离是1%，则女生增长率=7%+1%=8%。
3.例2：班级男生私房钱800块，同比增长8%，班级所有人私房钱1000块，
同比增长7%，则女生私房钱增速约为多少？
答：男生是800，女生是200，无脑作差，8%-7%=1%；无脑倍数，800/200=4。
女生是小部分，大除小乘，求小部分用乘法，1%*4=4%，和7%的距离是4%，已有
一个比7%大，所求比7%小，差距是4%，则女生增长率=7%-4%=3%。
4.例3：班级男生私房钱200块，同比增长3%，女生私房钱800块，同比增
长13%，则班级所有人私房钱增速约为多少？
答：求全班的混合增长率。无脑作差，13%-3%=10%；无脑倍数，800/200=4。
算混合增长率要“÷（倍数+1）”，10%/（4+1）=10%/5=2%，女生是大部分，差距
是与大部分（13%）的差距，所求比13%小2%，为13%-2%=11%。
2018年我国全年规模以上港口完成货物吞吐量 133亿吨，同比增长 2.7%，
其中外贸货物吞吐量42亿吨，同比增长2.0%。规模以上港口集装箱吞吐量24955
万标准箱，同比增长5.2%。
13.2018年我国全年规模以上港口完成非外贸货物吞吐量同比增速：
A.低于1.5% B.在1.5%～2.5%之间
C.在2.5%～3.5%之间 D.高于3.5%
【解析】13.问非外贸，给了总体和外贸，有混合关系；已知货物吞吐量（总
体）为 133、增长率为 2.7%，外贸货物吞吐量为 42、增长率为2%，则非外贸货
物吞吐量为91；无脑作差，2.7%-2%=0.7%；无脑倍数，91/42=2+；算距离，求大
26部分的增长率，算大的部分用除法（大除小乘），0.7%/2+=0.35-%，是与混合增长
率（2.7%）的距离，已有2%比2.7%小，则所求比混合增长率大，约为2.7%+0.35-%
≈3%，对应C项。【选C】
【注意】“三角杀”就是线段法的口算版。
14.2019年12月，A地区社会消费品零售总额同比增速约为：
A.3% B.6%
C.10% D.15%
【解析】拓展1.问2019年12月的增长率，材料给了1～12月增长率为6.7%，
给了 1～11 月增长率为 6.3%，考查混合增长率。“三角杀”，无脑作差，
6.7%-6.3%=0.4%；无脑倍数（部分量的倍数），已知 1～12 月约为 6600、1～11
月约为6000，则12月≈6600-6000=600，6000/600=10倍；大除小乘，600是小
部分，用乘法，0.4%*10=4%，是和 6.7%的距离，比 6.7%大，6.7%+4%，选择 C
项。【选C】
272020年上半年，我国农产品进出口总额达1159.0亿美元。农产品进口额为
807.5亿美元，同比增长 13.2%。受新冠肺炎疫情影响，我国农产品出口额同比
下降3.8%，为351.5亿美元。
15.2020年上半年，我国农产品进出口额同比增长约：
A.2.5% B.5.0%
C.7.5% D.10.0%
【解析】拓展2.问农产品进出口额的同比增长率，给了进口增长率（13.2%）、
出口增长率（-3.8%）；无脑作差，13.2%-（-3.8%）=17%，无脑倍数，部分量之
间为 807.5/351.5=2+倍；求混合增长率，“÷（倍数+1）”，17%/3+≈5%，是和大
部分（13.2%）之间的差距，结果比13.2%小约5%，选择C项。【选C】
【注意】
1.“三角杀”就是记住方法无脑代入的过程，实际就是线段法；线段法熟练
就用线段法做，“三角杀”有余力就学。
2.乘积增长率可以听录播课，资料4的名师录播课，讲完间隔增长率之后补
充了乘积增长率；如果没有，可以去老师微博找专项讲解。
3.乘积增长率：长方形面积=长*宽，如果长的增长率为 r 、宽的增长率为
1
r，面积增长率=r+r+r*r，跟间隔增长率形式一样。推导：S=a*b，S’=a*（1+r）
2 1 2 1 2 1
*b*（1+r），r=现期/基期-1=S’/S-1=a*（1+r）*b*（1+r）/（a*b）=（1+r）
2 1 2 1
*（1+r）-1=r+r+r*r+1-1=r+r+r*r。
2 1 2 1 2 1 2 1 2
4.求增长率：
（1）直接型：现期、基期、增长量任意给 2 个，可以直接求，代入公式直
除。
（2）间接型：数据不全，有 2种，一种是A=B+C→考查混合增长率（口诀、
线段法、“三角杀”）；一种是 A=B*C→考查乘积增长率。混合考查居多，乘积考
查较少。
（3）比如A=B/C，B的增长率是r、C的增长率是r，考查很少；求比值的
1 2
r，基本就是考查平均数增长率，代入“（a-b）/（1+b）”即可。
285.“大除小乘”算的是差距，求部分是和混合的差距，求混合是和部分（大）
的差距。
【答案汇总】
1-5：DBADA；6-10：BACAB；11-13：ACC
29遇见不一样的自己
Be your better self
30
