文档内容
2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对
应题目答案的相应字母处涂黑.
1. －3的倒数是（ ）
A. B. C. －3 D.3
2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给
260000平方米，将260000用科学记数法表示应为 （ ）
A. 0.26×106 B. 26×104 C. 2.6×106 D. 2.6×105
3. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90O，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35 O，
则∠A的度数为 （ ）
A. 35O B. 45º C. 55º D. 65º
4. 若 ，则 的值为 （ ）
A. －4 B. －1 C. 0 D. 4
5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，
32，28，这周的日最高气温的平均值为。（ ）
A. 28ºC B. 29ºC C. 30ºC D. 31ºC
6. 把代数式 分解因式，下列结果中正确的是。（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，
在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 （ ）
A. B. C. D.
8. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的
展开图，那么这个展开图是 （ ）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9. 若分式 的值为0，则 的值为 .
10. 若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 .
11. 在五环图案内，分别填写五个数 ， ， ， ， ，如图： ，其中 ，
是三个连续偶数 ， ， 是两个连续奇数 ，且满足 ，
例如： ，. 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：
12. 2007年北京市统招右图是对种中心为点 的正六边形，如果用一个含30º角的直角三
角板的角，借助点 （使角的顶点落在点 处），把这个正六边形的面
积 等分，那么 的所有可能的值是 .
三、解答题（共5个小题，共25分）
13.（本小题满分5分）
2007年北京市统招计算：
14.（本小题满分5分）
解方程：
15.（本小题满分5分）
计算：16.（本小题满分5分）
已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.
求证：AB=CD
17.（本小题满分5分）
已知 ，求代数式 的值.
四、解答题（共2个小题，共10分）
18.（本小题满分5分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC = AD，∠C=60º，AE⊥BD于点E，
AE=1，求梯形ABCD的高.19.（本小题满分5分）
2007北京统考 已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A
的直线交于B点，OC = BC，AC = OB
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.
五、解答题（本题满分6分）
20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制
如下统计图表：
（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清
河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005
年全市的水资源总量（单位：亿m3）；
（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿
m3，请你选计算环境用水量（单位：亿m3），再计算2005年北京市用水总量
（单位：亿m3）；
（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿m3）；
（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法.六、解答题（共2个小题，共9分）
21.（本小题满分5分）
在平面直角坐标系 中， 为正方形，点 的坐标为（1，1），将一个最短
边长大于 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 上，
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点 重合，一条
直角边落在直线 上时，这个三角形纸片正方形
重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点 、 重合，且两
条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形 重叠部分
的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出
求解过程），22.（本小题满分4分）
在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像与 的图像关于 轴对称，
又与直线 交于点 ，试确定 的值.
七、解答题（本题满分7分）
23. 如图，已知
（1）请你在 边上分别取两点 、 （ 的中点除
外），连结 、 ，写出使此图中只存在两对面
积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的
三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明 .八、解答题（本题满分7分）
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 ， 两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 ，将直线 沿 轴向下平移两个单位得到直线 ，直线
与抛物线的对称轴交于 点，求直线 的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线 、 、 距离相等的点的坐标.
九、解答题（本题满分8分）
25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对
边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在 中，点 、 分别在 、 上，设 、 相交于 ，若
， ，请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图
中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在 中，如果 是不等于60º的锐角，点 、 分别在 、 上，且
，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并
证明你的结论.
2007 年北京市高级中等学校招生统一考试（课标
卷）
数 学 试 卷 · 参 考 答 案
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名。
2．第Ⅰ卷是基础题，机读阅读。3．第Ⅱ卷包括填空题；为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细。
考生只要写明
主要过程即可。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给
分。解答右端所注分数。表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
第Ⅰ卷
（共32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A D C C B A B D
第Ⅱ卷
（共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12
或
6 10 10 12 14 2、3、
17 19
答 案 2 11 13
4、6、12
三、解答题（共5个小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算： ．
解：原式
14．（本小题满分5分） 解方程： ．
解：
代入公式，得
15．（本小题满分5分） 计算： 。解：
16．（本小题满分5分） O
已知：如图， 是 和 的平分线， ．
求证： ．
证明：因为OP是 AOC和 BOD的平分线
所以 AOP= COP， BOP= DOP
所以 AOB = COD
在△AOB和△COD中，
A B D
OA=OC C
AOB= COD
OB=OD
P
所以 △AOB≌△COD
所以AB=CD
17．（本小题满分5分）
已知 ，求代数式 的值．
解：原式
当 时，原式= 。
四、解答题（共2个小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
如图，在梯形 中， ， ， ，
于点 ，
求梯形 的高．
A D
解：作DF⊥BC于点F，
因为 AD//BC，AB=CD
所以 1= 2， 2= 3 E
所以 1= 3
B C
又因为 AB=DC，所以 C=60°
所以
又 于点E，AE=1，
在 中，由正弦定义，可得 DF=所以 梯形ABCD的高为 。
19．（本小题满分5分）
解：（1）证明：如图，连接OA 。
因为OC=BC，AC= OB
D O
所以OC=BC=AC=OA；
所以△ACO是等边三角形， E C
故 ∠O = 60°
又可得∠B=30°，所以∠OAB=90° A B
所以AB是⊙O的切线；
（2）作AE⊥CD于点E，
因为∠O=60°，所以∠D=30°，
又∠ACD=45°，AC=OC=2，所以在Rt△ACE中，CE=AE= ，
在Rt△ADE中，因为∠D=30°，所以AD= ，
由勾股定理，可得DE= ，
所以CD=DE+CE= + 。
五、解答题（本题满分6分）
2005年北京市水资源统计图（单位：亿）
解：（1）补全2005年北京市水资源统计图，
如右图： 8
6.78 6.88
7
水资源总量为23.18 亿m3。
6
水
（2）设2005年环境用水量为 亿m资3 , 5
源 4 2.79 3.22 3.54
依题意，得 量 3
2
解得： 1
0
所以2005年环境用水量为1.1亿m3，
永 潮 北 蓟 大 水系
因为13.38+1.1+6.413.22=34.5， 定 白 运 运 清
河 河 河 河 河
所以2005年北京市用水总量为34.5 亿m3。
水 水 水 水 水
（3）因为34.5-23.18=11.32 系 系 系 系 系
所以2005年北京市缺水量为11.32亿m3 。
（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能够提出积极、正确看法的均
给分。
六、解答题（共2个小题，共9分）
21．（本小题满分5分）
解：（1） ； （2）直角顶点的坐标为 和 ，此时的
图形如下：22．（本小题满分4分）
解：依题意得，反比例函数 的解析式为 的图象上。
因为点A（m,3）反比例函数 的图象上，
所以 ，即点A的坐标为（- 1，3）
由点A（- 1，3）在直线 上，
可求得a= - 1。
A
七、解答题（本题满分7分）
23．解：（1）如图1,BD=CE≠DE;
△ ABD 和 △ ACE , △ ABE 和 △ ACD ;
B C
(2)证法一: 如图2, 分别过点D、B作CA、EA的平行线， D E
两线相交于F点，DF于AB交于G点。
所以 ，
在△AEC和△FBD中，又CE=BD，
可证 △AEC≌△FBD，
所以AC=FD，AE=FB， F A
在△AGD中，AG+DG>AD，
在△BFG中，BG+FG>FB，
所以AG+DG-AD>0, BG+FG-FB>0, G
所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0, B C
即AB+FD>AD+FB， D E
所以 AB+AC>AD+AE .
证法二: 如图3，分别过A、E作CB、CA的平行线，
两线相交于F点，EF于AB交于G点，连结BF，
F A
则四边形FECA是平行四边形。
G
所以FE=AC，AF=CE
因为BD=CE，
所以BD=AF
B C
所以四边形FBDA是平行四边形。
D E
所以FB=AD
在△AGE中，AG+EG>AE； 在△BFG中，BG+FG>FB，
可推得：AG+EG+BG+FG>AE+FB
所以AB+AC >AD+AE.证法三: 如图4，取DE的中点O，连结AO并延长到F点，
使得FO=AO，连结EF、CF，延长AE交CF于G点。 A
在△ADO和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO，
可证：△ADO≌△FEO 所以AD=FE
因为BD=CE，DO=EO， 所以BO=CO，
同理可证△ABO≌△FCO 所以 AB=FC E
B C
在△ACG中，AC+CG>AE+EG， D O
G
在△EFG中，EG+FG>EF，
可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF， F
即AC+CF>AE+EF,
所以AB+AC>AD+AE。
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1）根据题意得
解得
所以抛物线的解析式为：
（）由 得抛物线的顶点坐标为B（ ，1），
依题意，可得C（ ， - 1）， 且直线 过原点， 设直线 的解析式为
，
则 解得
所以直线 的解析式为
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，
由勾股定理得 OB=OC=BC=2，
所以△OBC为等边三角形。
易证 轴所在的直线平分∠BOC， 轴是△OBC的一个外角的平分线，
作∠BCO的平分线，交 轴于M 点，交 轴于M 点，
1 2
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交 轴于M 点，
3
反向延长线交 轴于M 点，
4
可得点M ，M ，M ，M 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。
1 2 3 4可证△OBM 、△BCM 、△OCM 均为等边三角形，可求得：
2 4 3
①OM ，所以点M 的坐标为（ ，0）。
1 1
②点M 与点A重合，所以点M 的坐标为（0，2），
2 2
③点M 与点A关于 轴对称，所以点M 的坐标为（0，-2），
3 2
④设抛物线的对称轴与 轴的交点为N，
M N ，且ON= M N，
4 4
所以点M 的坐标为（ ，0）
4
综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：
M （ ，0）、 M （0，2）、 M （0，-2）、M （ ，0）。
1 2 3 4
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。
（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
四边形DBCE是等对边四边形；
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。
证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。 A
因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，
F E
所以△BCF≌△CBG，
所以BF=CG， G
O
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
B
所以∠BDF=∠BEC， C
可证△BDF≌△CEG，
所以BD=CE
所以四边形DBCE是等边四边形。
证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。
A
因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，
E
所以△BDC≌△CFB，
F
所以BD=CF，∠BDC=∠CFB，
O
所以∠ADC=∠CFE，
B
C
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
所以∠ADC=∠FEC，所以∠FEC=∠CFE，
所以CF=CE，
所以BD=CE，
所以四边形DBCE是等边四边形。
说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有次证法，只给1分。
