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2024 年中考押题预测卷【湖南长沙卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（共30分，每题3分）,每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：① 类，
如 ， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如
（两个1之间依次增加1个0）， （两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解： ，根据无理数的定义可知，四个数中只有 是无理数，故选：C．
2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一进行
判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，
不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，
不符合题意；故选C．
3．下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；D． ，故选项正确，符合题意．故选：D．
4．平行四边形的一条边的长度为12，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6和14 B．10和14 C．18和20 D．12和36
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边
可构成三角形．根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】解：如图，设 ，长对角线为 ，短对角线为 ，对角线相交于点E，
A．它的两条对角线的长为6和14时， ， ，故不符合
题意；B．它的两条对角线的长为10和14时， ， ，故不符
合题意；C．它的两条对角线的长为18和20时， ， ，符合
题意；D．它的两条对角线的长为12和36时， ， ，故不
符合题意；故选：C．
5．下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．手可摘星辰
C．锄禾日当午 D．大漠孤烟直
【答案】A
【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件的概念．根据各诗句的意义，分析其发生的可能性，
一定发生的是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
【详解】A.黄河入海流，这是必然事件；B.手可摘星辰，这是不可能事件；C.锄禾日当午，这是随机事件；
D.大漠孤烟直 ，这是随机事件．故选：A．
6．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组
平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的
小组是（ ）甲 乙 丙 丁
平均数 92 98 98 91
方差 1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了平均数，方差，根据方差越小越稳定决策即可．
【详解】解： 丙的平均数最大，方差最小， 丙成绩好且状态稳定，故选：C．
7．如图，已知直线 ，直角三角板的直角顶点在直线a上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，掌握三角板的特点和平行线的性质定理是解题关
键．根据“两直线平行，同旁内角互补”可求出 ，结合题意和三角板的特点即可求解．
【详解】解：如图，
因为 ，所以 ．因为 ， ，所以 ，所以 ．故选
C．
8．如图，依据尺规作图痕迹，若 ， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．66° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的
性质．本题先证明 ，求解 ，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答
案．【详解】解：由作图可得： 是 的垂直平分线，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，由作图可得： 是 的角平分线，
∴ ；∵ ，∴ 故选：C．
9．下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率
为（精确到 ）（ ）
转动转盘的次数
落在“谢谢参与”区域的
次数
落在“谢谢参与”区域的
频率
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【详解】解：观察表中数据可知，转到“谢谢参与”的频率逐渐稳定在 左右，所以转到“谢谢参与”
的概率约是 ．故选：D．
10．如图，反比例函数 的图像与矩形 的边 、 分别相交于点D、E，连接 、 ，
直线 与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（ ）
① ，② ，③ ，④）若 ， ，则 ．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D【分析】本题考查反比例函数图像与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合
思想是解答的关键．根据相关知识逐个分析即可作出判断．
【详解】解：设 ，则 ， ，①∵点D、E在反比例函数 的图像上，
∴ ， ，∴ ， ，∴ ，
，∴ ，故①正确；②∵ ， ，
∴ ，故②正确；③∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，则 ，
故③正确；④由 得 ，
则 ，又 ，∴ （负值舍去），故④正确，综上，正确的结论为
①②③④，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科
学记数法表示为 ．
【答案】3.4×10-10
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0．00000000034=3.4×10-10．故答案为：3.4×10-10．
12．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得出 ，代入分式进行计算即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ 即 ，
∴ ，故答案为： ．13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x，x，且 ，则m= ．
1 2
【答案】 /-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x+x=-2m，xx= ，再由x2+x2= 变形得到（x+x）2-2xx= ，即
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
可得到4m2-m= ，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x+x=-2m，xx= ，∵x2+x2= ，∴（x+x）2-2xx= ，∴4m2-m= ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴m=- ，m= ，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞ 或m＜0时，∴m= 不合题意，故答案为： ．
1 2
14．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处
时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
【答案】6
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线
三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】解：∵ ，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即 ＝ ，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即 ，∴ ＝ ，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，设AB＝x，BC＝y，
∴ ，即 ，即2（y+1）＝y+5，解得：y＝3，则 ，解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
15．如图，在 中，AB是 的弦， 的半径为3cm，C为 上一点， ，则AB的长为
cm．【答案】
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得 ，
，再根据等腰三角形的性质可得 ，利用含30°角的直角三角形的性质和勾
股定理即可求解．
【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
故答案为： ．
16．《中国好声音》有4位导师共收了51位学员，那么下列说法一定成立的是
①恰有一位导师收了13位学员 ②恰有一位导师收了至多12位学员
③恰有一位导师收了至少13位学员 ④至少有一位导师收了至少13位学员
⑤至少有一位导师收了刚好12位学员 ⑥至少有一位导师收了至多12位学员
【答案】④⑥
【分析】本题考查了抽屉原理的应用，关键是理解抽屉原理的含义；计算 ，根据商与余数，
利用抽屉原理分析即可．
【详解】解：由于 ，由算式知，每位导师平均分12位学员，还余下3位学员，可以分给其中
的3位导师，每人一位学员，因此至少有一位导师收了至少13位学员，也至少有一位导师收了至多12位
学员；故正确的有④和⑥，其余说法不一定成立；故答案为：④⑥．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题
每小题9分，第25、26题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算．根据乘方运算法则，二次根式化简，特殊角的锐角三角函数值，零指数
幂，以及绝对值符号化简即可解答．
【详解】解：
．
18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，8．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把原式化简，再把 代入即可求解，掌握分式化简的一般步骤
是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
19．长沙摩天轮，位于新世纪体育文化中心，曾是亚洲第一高摩天轮，它建在屋顶之上，号称“长沙之
眼”，在顶上一览夜景，非常震撼．如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即 米），以
的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以 的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．
（人的身高忽略不计）
(1)求摩天轮的最低处到地面的距离 的长；（精确到个位）
(2)求摩天轮圆轮直径 的长．（精确到个位）
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【详解】（1）在 中， ， ， ，
（米 ．
答：摩天轮的底部 点）到地面 点）的距离为20米．（2）在 中， ， ， ，
（米 ． （米 ．
答：摩天轮的圆轮直径（即 是 米．
20．近年来，小龙虾因肉味鲜美深受人们欢迎．又逢吃虾季，某餐厅为了解消费者对去年销量较好的麻辣
味、蒜香味、酱爆味、十三香味这四种不同口味小龙虾的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅统计图
（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的居民有______人， ______；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)初二（1）班的小巴同学喜欢吃小龙虾，端午节妈妈从餐厅打包了5只小龙虾给小巴，另外3只是蒜香
味，小巴吃了5只中的两只．请用画树状图或列表的方法求小巴吃的两只小龙虾中一只麻辣味，一只蒜香
味的概率．
【详解】（1）本次参加抽样调查的居民有： （人）；蒜香味所占的百分比是：
，
则 ；故答案为：800，15；
（2）麻辣味的人数有： （人），酱爆味的人数有： （人），补全统计图如下：
（3）两只麻辣味的小龙虾分别用A、B表示、蒜香味的三只分别用C，D、E表示，画图如下：共有20种等可能的情况数，其中两只小龙虾中一只麻辣味，一只蒜香味的有12种等可能性，则小巴吃的
两只小龙虾中一只是麻辣味、一只是蒜香味的概率是 ．
21．如图，在 中， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 ， 分别相交于点 ，
， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 是边长为2的等边三角形，求 的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴
，
∵四边形 是平行四边形，∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ 是边长为2的等边三角形，∴ ，∵ ，∴
,∵四边形 是菱形，∴ ，∵ ∴ ，
∴ ，∴ ，在 中， ，∴ ，
∴ ，在 中， ，∴ ．
22．在国庆期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件 元，现以每件 元销售，每天可售出 件．
在试销售阶段发现，若每件童装降价 元，那么每天就可多售 件，设每件童装单价降价了 元．
(1)若销售单价降低 元，则该款童装每天的销售量为 件，每天利润是 元；
(2)请写出每天销售该款童装的利润 （元）与每件童装降价 （元）之间的函数关系式；
(3)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【详解】（1）解：∵每天可售出 件．每件童装降价 元，那么每天就可多售 件，
∴销售单价降低 元，则该款童装每天的销售量为 （件），
每天的利润为： （元），故答案为： ， ；
（2）由题意，得 ，
∴ 与 的函数关系式为 ；（3）解：由（ ）知： ， ∵ ，
∴当 时，销售单价定价为 元时，商场每天可获得最大利润 元．
23．（北雅）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
⊙
（2）过点B作 O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝ ，求BE的长．
⊙
【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°，
又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，
∴CD是 O的切线；
（2）解：∵EB为 O的切线，∴ED＝EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，
⊙
⊙
∴ ∠ ABD ＝ ∠ OEB ， ∴ ∠ CDA ＝ ∠ OEB ． 而 tan∠ CDA ＝ ， ∴ tan∠ OEB ＝ ＝ ，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CD＝ ×6＝4，在 Rt△CBE 中，设 BE＝x，∴
（x+4）2＝x2+62，
解得x＝ ．
24．我们称关于x的二次函数 为一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数．
一次函数 和反比例函数 的交点称为二次函数 的“共赢点”．
(1)二次函数 是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
(2)已知二次函数 与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且 ，求a的
值；
(3)若一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 ， ，其
中实数 ， ．令 ，求L的取值范围．
【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；
（2）对于二次函数 ，令 ，则 ，得到交点M，N的横坐标满足， ，根据两点间距离公式有 ．二次函数
是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，由 得
，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足 ， ，纵坐标满足 ，
，根据两点间距离公式有
，由 ，即可求出a的值；
（3）由 ， 得到 ， ， ， ，从而 ，由题意可
得 ， ，从而 ，根据二次函数的增减性
并结合 ，可求出L的取值范围．
【详解】（1）根据题意，二次函数 中， ， ， ，
∴二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，
解方程组 得 ， ，经检验， ， 都是方程组的解，
∴一次函数 与反比例函数 图象的交点为 ， ，
即二次函数 的“共赢点”是 ， ；
（2）∵二次函数 与x轴的交点为M，N，
∴令 ，则 ，∴交点M，N的横坐标满足 ， ，
∴ ，
∵二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，有A，B两个
“共赢点”，∴由 得 ，∴ ，∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足， ，纵坐标 ， ，∴ ，
，
∴
，∵ ，∴ ，∴
，∵二次函数 与x轴有两个交点M，N，
∴ ， ∴ ，∴ ；
（3）∵ ， ，∴ ， ， ， ，∴ ，
∵一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 ， ，
∴ ， 是方程 ，即 的两个根，∴ ， ，
∵
，∵ ，∴ ，即 ．
25．如图， 的弦 ， 为 所对优弧上一动点，且 的外角 的平分线
交 于点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)设 ，求 关于 的函数解析式；
(3)若点 在点 的右侧，记 、 、 的面积分别为 ，且 ．①求 的值；
②求证： 为直径．
【分析】（1）根据圆的性质证明即可；
（2）根据圆的性质结合勾股定理计算出 的长度，然后由 计算即可；
（3） ，根据 列出方程计算即可；
（4）根据题意证明 即可．
【详解】（1）解：如图，连接PC，
∵四边形 内接于 ， ， ， ，
∵外角 的平分线 交 于点 ， ， ， ，
， ，∴ ；
（2）如图，连接 ，过点 作 于点 ，
由垂径定理得， 垂直平分 ，且直线 经过点 ， ， ，
， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ， ，即， ，设 ，
， 关于 的函数解析式为： ；（3）①设 ，高为 ，则 ， ， ，
， ， ， ， ，
， （不符合题意，舍去）， ， ；
②如图，
设 ，由（2）得 ， ，
， 为直径．
