文档内容
2013 云南省中考数学真题试卷和答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．±6 D．
[来源:学
科网ZXXK]
2．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．m6÷m3=m2 B．3mn2•m2n=3m3n3 C．（m+n）2=m2+n2 D．2mn+3mn=5m2n2
3．（3分）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
[来源:学科网]
A． B． C． D．
[来源:学科网ZXXK]
4．（3分）2012年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示
为（ ）
A．1.505×109元 B．1.505×1010元 C．0.1505×1011元 D．15.05×109元
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．S
▱ABCD
=4S△AOB B．AC=BD
C．AC⊥BD D． ▱ABCD是轴对称图形
6．（3分）已知⊙O 的半径是3cm，⊙ 的半径是2cm，O O = cm，则两圆的位置关系是（ ）
1 2 1 2
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
7．（3分）要使分式 的值为0，你认为x可取得数是（ ）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
8．（3分）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一坐标系数中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
第 1 页 共 19 页二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）25的算术平方根是 ．
10．（3分）分解因式：x3﹣4x= ．
11．（3分）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）．
13．（3分）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．
14．（3分）下面是按一定规律排列的一列数： ， ， ， ，…那么第n个数是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．（4分）计算：sin30°+（ ﹣1）0+（ ）﹣2﹣ ．
16．（5分）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只
能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
[来源:学科网ZXXK]
17．（6分）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．
（1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形．
（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
第 2 页 共 19 页18．（7分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校
学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以
下是本次调查结果的统计表和统计图．
组别 A B C D E
时间t（分钟） t＜40 40≤t＜60 60≤t＜80 80≤t＜100 t≥100
人数 12 30 a 24 12
（1）求出本次被调查的学生数；
（2）请求出统计表中a的值；
（3）求各组人数的众数及B组圆心角度数；
（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．
19．（7分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李
各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到
一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率．
20．（6分）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏
东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问
船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
21．（7分）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
第 3 页 共 19 页22．（7分）某中学为了绿化校园，计划购买一批棕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购
买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．
（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕
树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．
23．（9分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，
1），点C的坐标为（2，3）．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
答案
一、 选择题
1-4 BBDB 5-8 ACDA
二、填空题
9、 5
10、 x （ x+ 2 ）（ x ﹣ 2 ）
11、 x≥ ﹣ 1 且 x≠ 0
12、
13、 44 °
第 4 页 共 19 页14、
三、解答题
15、解：原式= +1+4﹣ =5．
16、
解答：解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，
综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或
AC=AE或BE=DC）；
故答案为：∠C=∠E；
（2）选∠C=∠E为条件．
理由如下：在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
17、
解答：解：（1）如图所示：
．
（2）结合坐标系可得：A'（5，2），B'（0，6），C'（1，0）．
18、
解答：解：（1）12÷10%=120（人）；
[来源:学科网] （2）a=120﹣12﹣30﹣24﹣12=42；
（3）众数是12人；
（4）每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数是：2400× =1560（人）．
19、
解答：解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
（2）所有等可能的情况数为9种，其中是x2﹣3x+2=0的解的为（1，2），（2，1）共2种，
则P是方程解= ．
20、
解答：解：过点A作AD⊥BC于D，根据题意得
第 5 页 共 19 页∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°，
∴CA=CB．
∵CB=50×2=100（海里），
∴CA=100（海里），
在直角△ADC中，∠ACD=60°，
∴CD= AC= ×100=50（海里）．
故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
21、
解答：解：（1）∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6× =3，
在直角△ACD中，
AD= = =4，
∴S矩形ADBE =BD•AD=3×4=12．
22、
解答：解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，
根据题意得， ，
解得 ，
答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；
（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，
根据题意得， ，
解不等式①得，a≥58，
解不等式②得，a≤60，
所以，不等式组的解集是58≤a≤60，
∵a只能取正整数，
∴a=58、59、60，
因此有3种购买方案：
方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，
方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，
方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．
第 6 页 共 19 页23、
解答：解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：
，解得 ，
∴y=x+1，
当y=0时，x=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴点D的坐标为（0，3）．
（2）设过A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
，解得 ，
∴抛物线的关系式为：y=x2﹣2x+3．
（3）存在．
①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P ，交AC于点F．
1
∵OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP =∠AEO=45°，∴△FEP 为等腰直角三角形．
1 1
∵A（﹣1，0），C（2，3），点F为AC中点，
∴F（ ， ），
∴等腰直角三角形△FEP 斜边上的高为 ，
1
∴EP =1，
1
∴P （0，2）；
1
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P ，P ．
2 3
可求得圆的半径长AP =AC=3 ．
2
连接AP ，则在Rt△AOP 中，
2 2
OP = = = ，
2
∴P （0， ）．
2
∵点P 与点P 关于x轴对称，∴P （0，﹣ ）；
3 2 3
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P ，P ，则圆的半径长CP =CA=3
4 5 4
，
在Rt△CDP 中，CP =3 ，CD=2，
4 4
∴DP = = = ，
4
∴OP =OD+DP =3+ ，
4 4
∴P （0，3+ ）；
4
同理，可求得：P （0，3﹣ ）．
5
综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P（0，2），P（0， ），P（0，﹣ ），P
1 2 3 4
（0，3+ ），P （0，3﹣ ）．
5
第 7 页 共 19 页云南省 2013 年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2013•云南）﹣6的绝对值是（B ）
A．﹣6 B．6 C．±6 D．
2．（3分）（2013•云南）下列运算，结果正确的是（ ）
A．m6÷m3=m2 B．3mn2•m2n=3m3n3 C．（m+n）2=m2+n2 D．2mn+3mn=5m2n2
点评：本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解
题的关键．
3．（3分）（2013•云南）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
第 8 页 共 19 页A． B． C． D．
考点：由三视图判断几何体．
分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：解：由主视图和左视图为矩形判断出是柱体，由俯视图是正方形可判断出这个几何体应该是长方
体．
故选D．
点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、
左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．（3分）（2013•云南）2012年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科
学记数法表示为（ ）
A．1.505×109元 B．1.505×1010元 C．0.1505×1011元 D．15.05×109元
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将150.5亿元用科学记数法表示1.505×1010元．
故选B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2013•云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．S
▱ABCD
=4S△AOB B．AC=BD
C．AC⊥BD D． ▱ABCD是轴对称图形
考点：平行四边形的性质．
3718684
分析：根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
解答：解：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，DO=BO，
∴S△AOD =S△DOC =S△BOC =S△AOB ，
∴S
▱ABCD
=4S△AOB ，故此选项正确；
B、无法得到AC=BD，故此选项错误；
第 9 页 共 19 页C、无法得到AC⊥BD，故此选项错误；
D、 ▱ABCD是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
6．（3分）（2013•云南）已知⊙O 的半径是3cm，⊙ 的半径是2cm，O O = cm，则两圆的位置关系是
1 2 1 2
（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
考点：圆与圆的位置关系；估算无理数的大小
分析：由⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O O = cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆
1 2 1 2
半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O O = cm，
1 2 1 2
又∵3+2=5＞ ，3﹣2=1 ，
∴两圆的位置关系是相交．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量
关系间的联系．
7．（3分）（2013•云南）要使分式 的值为0，你认为x可取得数是（ ）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
考点：分式的值为零的条件．
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣9=0，3x+9≠0，
由x2﹣9=0，得x=±3，
由3x+9≠0，得x≠﹣3，
综上，得x=3．
故选D．
点评：本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不
为0．这两个条件缺一不可．
8．（3分）（2013•云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一坐标系数中的大致图象是（
）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
解答：解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确；
B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；
C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误；
D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误；
故选A．
第 10 页 共 19 页点评：本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）（2013•云南）25的算术平方根是 5 ．
考点：算术平方根．
分析：根据算术平方根的定义即可求出结果．
解答：解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故填5．
点评：易错点：算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．规律总结：弄清概念是解决本题的
关键．
10．（3分）（2013•云南）分解因式：x3﹣4x= x （ x+ 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解
因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
11．（3分）（2013•云南）在函数 中，自变量x的取值范围是 x≥ ﹣ 1 且 x≠ 0 ．
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意
义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．
解答：解：根据题意得：x+1≥0且x≠0
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0
点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（3分）（2013•云南）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）．
考点：扇形面积的计算；弧长的计算
分析：
利用扇形的面积公式S扇形= lR（其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径）求解即可．
解答：解：设扇形的弧长为l，
由题意，得 l×3=2π，
解得l= ．
故答案为 π．
点评：
本题主要考查了扇形的面积公式，计算扇形的面积有2个公式：S扇形= 或S扇形= lR（其中n
第 11 页 共 19 页为圆心角的度数，R为扇形所在圆的半径，l为扇形的弧长），需根据条件灵活选择公式．
13．（3分）（2013•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= 44 ° ．
考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．
分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．
解答：解：∵AB=AC，∠ABC=68°，
∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=44°．
故答案为：44°．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
14．（3分）（2013•云南）下面是按一定规律排列的一列数： ， ， ， ，…那么第n个数是 ．
考点：规律型：数字的变化类．
专题：规律型．
分析：观察不难发现，分子是连续的奇数，分母减去3都是平方数，根据此规律写出第n个数的表达式即
可．
解答：解：∵分子分别为1、3、5、7，…，
∴第n个数的分子是2n﹣1，
∵4﹣3=1=12，7﹣3=4=22，12﹣3=9=32，19﹣3=16=42，…，
∴第n个数的分母为n2+3，
∴第n个数是 ．
故答案为： ．
点评：本题是对数字变化规律的考查，从分子与分母两个方面考虑求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）
15．（4分）（2013•云南）计算：sin30°+（ ﹣1）0+（ ）﹣2﹣ ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：分别进行零指数幂、负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．
解答：
解：原式= +1+4﹣ =5．
点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟记特殊角
的三角函数值．
16．（5分）（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使
△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ∠ C= ∠ E ．
第 12 页 共 19 页（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
考点：全等三角形的判定．
3718684
专题：开放型．
分析：（1）可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件；
（2）根据全等三角形的判定方法证明即可．
解答：解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，
∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，
若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，
若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，
综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或
BE=DC）；
故答案为：∠C=∠E；
（2）选∠C=∠E为条件．
理由如下：在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加
的条件也不相同．
17．（6分）（2013•云南）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．
（1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形．
（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
考点：利用平移设计图案
专题：作图题．
分析：（1）将各能代表图形形状的点向右平移5个单位，顺次连接即可；
（2）结合坐标系，可得出A′、B′、C′的坐标．
解答：解：（1）如图所示：
第 13 页 共 19 页．
（2）结合坐标系可得：A'（5，2），B'（0，6），C'（1，0）．
点评：本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求规范作图．
18．（7分）（2013•云南）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育
部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调
查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图．
组别 A B C D E
时间t（分钟） t＜40 40≤t＜60 60≤t＜80 80≤t＜100 t≥100
人数 12 30 a 24 12
（1）求出本次被调查的学生数；
（2）请求出统计表中a的值；
（3）求各组人数的众数；
（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．
考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表；众数．
分析：（1）根据A组有12人，占被调查总数的10%，据此即可求得总人数；
（2）总人数减去其它各组的人数即可求得；
（3）根据众数的定义即可求解；
（4）利用2400乘以对应的比例即可求解．
解答：解：（1）12÷10%=120（人）；
（2）a=120﹣12﹣30﹣24﹣12=42；
（3）众数是12人；
（4）每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数是：2400× =1560（人）．
点评：本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题
的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（7分）（2013•云南）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，
小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游
戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率．
第 14 页 共 19 页考点：列表法与树状图法；一元二次方程的解．
专题：计算题．
分析：（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）找出恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的情况数，求出所求的概率即可．
解答：解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
（2）所有等可能的情况数为9种，其中是x2﹣3x+2=0的解的为（1，2），（2，1）共2种，
则P是方程解= ．
点评：此题考查了列表法与树状图法，以及一元二次方程的解，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
20．（6分）（2013•云南）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛
A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东
30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．
先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则
CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD= AC=50海里．
解答：解：过点A作AD⊥BC于D，根据题意得
∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°，
∴CA=CB．
∵CB=50×2=100（海里），
∴CA=100（海里），
在直角△ADC中，∠ACD=60°，
∴CD= AC= ×100=50（海里）．
故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
第 15 页 共 19 页点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问
题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
21．（7分）（2013•云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四
边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
考点：矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
分析：（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；
（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
解答：解：（1）∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6× =3，
在直角△ACD中，
AD= = =4，
∴S矩形ADBE =BD•AD=3×4=12．
点评：本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．
22．（7分）（2013•云南）某中学为了绿化校园，计划购买一批棕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟
树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．
（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕
树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据单价之间的关系和340元两个等量
关系列出二元一次方程组，求解即可；
第 16 页 共 19 页（2）设购买榕树a棵，表示出香樟树为（150﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等
式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．
解答：解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，
根据题意得， ，
解得 ，
答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；
（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，
根据题意得， ，
解不等式①得，a≥58，
解不等式②得，a≤60，
所以，不等式组的解集是58≤a≤60，
∵a只能取正整数，
∴a=58、59、60，
因此有3种购买方案：
方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，
方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，
方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到
关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
23．（9分）（2013•云南）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴
交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用待定系数法求出直线EC的解析式，确定点A的坐标；然后利用等腰梯形的性质，确定点D
的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）满足条件的点P存在，且有多个，需要分类讨论：
①作线段AC的垂直平分线，与y轴的交点，即为所求；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求；
第 17 页 共 19 页②以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求．
解答：解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：
，解得 ，
∴y=x+1，
当y=0时，x=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴点D的坐标为（0，3）．
（2）设过A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
，解得 ，
∴抛物线的关系式为：y=x2﹣2x+3．
（3）存在．
①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P ，交AC于点F．
1
∵OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP =∠AEO=45°，∴△FEP 为等腰直角三角形．
1 1
∵A（﹣1，0），C（2，3），点F为AC中点，
∴F（ ， ），
∴等腰直角三角形△FEP 斜边上的高为 ，
1
∴EP =1，
1
∴P （0，2）；
1
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P ，P ．
2 3
可求得圆的半径长AP =AC=3 ．
2
连接AP ，则在Rt△AOP 中，
2 2
OP = = = ，
2
∴P （0， ）．
2
∵点P 与点P 关于x轴对称，∴P （0，﹣ ）；
3 2 3
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P ，P ，则圆的半径长CP =CA=3 ，
4 5 4
在Rt△CDP 中，CP =3 ，CD=2，
4 4
∴DP = = = ，
4
∴OP =OD+DP =3+ ，
4 4
∴P （0，3+ ）；
4
同理，可求得：P （0，3﹣ ）．
5
综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P（0，2），P（0， ），P（0，﹣ ），P（0，3+ ），
1 2 3 4
P （0，3﹣ ）．
5
第 18 页 共 19 页点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的判定、勾股定理
等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的点P有多个，需要分类讨论，避免漏解；其次注意解答中确
定等腰三角形的方法，即作垂直平分线、作圆来确定等腰三角形．
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