文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（云南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.“你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行．”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲《早安隆回
》成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了4.5亿，数据450000000用科学记数
法表示为( )
A. 0.45×109 B. 4.5×108 C. 4.5×109 D. 4.5×107
【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查科学记数法，把较大的数写成a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数位数减一
【解答】
解：450000000=4.5×108
2.昭通是历史上中原文化进入云南的重要通道，是中国“南丝绸之路”的要冲，气候宜人.今年1月某日的
最高气温为9℃，最低气温为−1℃，则该日的最大温差为( )
A. 8℃ B. −8℃ C. 10℃ D. −10℃
【答案】C
【解析】解：根据题意得：9−(−1)=9+1=10，
则该日的最大温差为10℃．
故选：C．
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了有理数的减法，以及正数和负数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.如图，先在纸上画两条直线a，b，使a//b，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线
b上，若∠2=50°，则∠1的度数是( )A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】解：∵∠2=50°，
∴∠3=180°−90°−50°=40°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=40°．
故选：B．
由平角定义求出∠3=180°−90°−50°=40°，由平行线的性质推出∠1=∠3=40°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠1=∠3．
4.下列运算正确的是( )
A. B.
(4ab) 2=8a2b2 2a2+a2=3a4
C. D.
a6÷a4=a2 (a+b) 2=a2+b2
【答案】C
【解析】解： 、 ，故A不符合题意；
A (4ab) 2=16a2b2
B、2a2+a2=3a2，故B不符合题意；
C、a6÷a4=a2，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
(a+b) 2=a2+2ab+b2
故选：C．
根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，准确
熟练地进行计算是解题的关键．
5.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是( )A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：D．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．
6.压力F、压强p、受力面积S之间的关系为：F=pS，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是
( )
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】解：∵F=pS，
F
∴当压力F一定时，S= ，此时S与p符合反比例函数关系，且第一象限内，S随p的增大而减小，
p
故选：D．
根据题意，可以得到S与p符合反比例函数关系，且第一象限内，S随p的增大而减小，然后即可判断哪个
选项符合题意．
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.已知a=6，b=8，c=10，则cos∠A的值为( )
3 3 4 4
A. B. C. D.
5 4 5 3
【答案】C
【解析】解：在△ABC中，
∵a=6，b=8，c=10，a2+b2=62+82=36+64=100，c2=100．
∴a2+b2=c2．
∴△ABC是直角三角形．
b 8 4
∴cosA= = = ．
c 10 5
故选：C．
先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
8.按一定规律排列的单项式：3x，−4x2，5x3，−6x4，7x5，……，则第n个单项式是( )
A. B.
(n+2)xn −(n−2) n ⋅xn
C. D.
(−1) n ⋅(n+2)xn (−1) n+1 (n+2)xn【答案】D
【解析】解：第 个单项式是 ，
1 3x=(−1) 1+1 (2+1)x1
第 个单项式是 ，
2 −4x2=(−1) 2+1 (2+2)x2
第 个单项式是 ，
3 5x3=(−1) 3+1 (2+3)x3
…，
第 个单项式是 ．
n (−1) n+1 (n+2)xn
故选：D．
通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值是n+2，次数是n，由此可
解出本题．
本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的
积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
9.如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S ：S =( )
△DOE △COB
A. 2
1
B.
2
1
C.
3
1
D.
4
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．因为
BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是DE//BC，得出△DOE∽△COB，
再根据相似比即可求出面积比．
【解答】
解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，∴DE是△ABC的中位线，
1
于是DE//BC，DE= BC
2
∴△DOE∽△COB，
S DE 1故选D．
∴ △DOE=( ) 2=
S BC 4
△COB
10.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学
生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 0 1 2 3 4
人数 4 12 16 17 1
关于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
【答案】A
【解析】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
99
(0×4+1×12+2×16+3×17+4×1)÷50= ．
50
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2．
故选：A．
先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出
现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．
本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
11.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 温州博物馆
B. 西藏博物馆
C. 广东博物馆
D. 湖北博物馆
【答案】A
【解析】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
12.如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数√10的点应在( )
A. 线段AB上 B. 线段BC上 C. 线段CD上 D. 线段DE上
【答案】C
【解析】解：∵3<√10<4，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，
∴表示数√10的点应在线段CD上，
故选：C．
根据算术平方根的定义，估算无理数√10的大小，再根据数轴上A，B，C，D，E五个点在数轴上的位置
进行判断即可．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的前
提．
13.如图所示，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱
形ABCD的周长等于( )
A. 4√5 B. 4√3 C. √5 D. 20
【答案】A
【解析】解：∵A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，
，
∴AB=√22+12=√5
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的周长为4√5，
故选：A．
根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理解答．
14.二道区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万
元.设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A. B.
3000(1+x2 )=5000 3000x2=5000
C. D.
3000(1+x) 2=5000 3000(1+x%) 2=5000
【答案】C
【解析】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2022的教育经费为：3000×(1+x)万元，
的教育经费为： 万元，
2023 3000×(1+x) 2
那么可得方程： ．
3000×(1+x) 2=5000
故选：C．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，参照本题，如果设教育经费的年平均增长率
为x，根据“2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元”，可以分别用x表示2021以后两年的投
入，然后根据已知条件可得出方程．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预
计投入的教育经费相等的方程．
15.已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 45° D. 70°
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的⏜ ⏜
圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出 AB=AC ，再由
圆周角定理即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接OC．
∵OA⊥BC，
⏜ ⏜
∴AB=AC ，
∴∠AOC=∠AOB=70°，
1
∴∠ADC= ∠AOC=35°．
2
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
√x+2
16.在函数y= 中，自变量x的取值范围是__________．
x
【答案】x≥−2，且x≠0
【解析】【分析】
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开
√x+2
方数x+2≥0；根据分式有意义的条件，x≠0，则函数y= 的自变量x取值范围就可以求出．函数自
x变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是
分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
【解答】
{x+2≥0
解：根据题意得：
x≠0
解得x≥−2，且x≠0，
即：自变量x取值范围是x≥−2，且x≠0．
17.如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB= ______°.
【答案】120
【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=(6−2)×180°÷6=120°，
故答案为：120．
根据多边形的内角和及正多边形的性质计算即可．
本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者出生年份分布扇形图和1990
年后出生的互联网行业从业者岗位分布条形图．根据该统计结果，估计1990年后出生的互联网行业从业者中，从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比
是______.(精确到1%)
【答案】22%
【解析】解：由图得，整个互联网行业从业者中1990年后占56%，
∵1990年后出生的互联网行业从业者中从事技术岗位的人数占39.6%，
∴56%×39.6%≈22%，
∴从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是22%．
故答案为：22%．
将相关的两个百分比相乘即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，解题关键是百分比的含义．
19.如图，等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，连接OB，OC，把
△BOC绕着点CO旋转到△AO'C的位置，在这个旋转过程中，线段OB所
扫过的图形的面积是______．
16
【答案】 π
9
【解析】解：∵等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，
4√3
∴OB=OC= ，
3
4√3
60⋅π×( ) 2
∴线段OB所扫过的图形的面积 60⋅π×16 3 8π 8π 16π，
=S −S = − = − =
扇 形ACB扇 形O' CO 360 360 3 9 916π
故答案为： ．
9
4√3
根据等边三角形的性质得到OB=OC= ，根据扇形的面积公式即可得到结论．
3
本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.(本小题7分)
1 1 1
先化简，再求值；( + )÷ ，其中，x=√5+2，y=√5−2．
x+ y x−y x+ y
x−y x+ y
【答案】解：原式=[ + ]⋅(x+ y)
(x+ y)(x−y) (x+ y)(x−y)
2x 2x
= ⋅(x+ y)= ，
(x+ y)(x−y) x−y
当x=√5+2，y=√5−2时，
2√5+4
原式=
√5+2−√5+2
2√5+4 √5+2 √5
= = = +1．
4 2 2
【解析】本题主要考查分式的混合运算−化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x和y的值代入计算可得．
21.(本小题6分)
已知：如图，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：∠B=∠E．
【分析】由AF=DC，得AC=DF，由AB//DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△≝(SAS)，故
∠B=∠E．
【解析】证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△≝¿中，
{
AB=DE
∠A=∠D，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(SAS)，
∴∠B=∠E．
22.(本小题7分)
为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力.某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购
买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B
种奖品的件数相同.求A，B两种奖品的单价各是多少元？
【答案】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，
300 240
依题意得： = ，
x+10 x
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=40+10=50．
答：A种奖品的单价为50元，B种奖品的单价为40元．
【解析】(1)设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，利用数量=总价÷单价，结合用
300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验
后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分
式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.(本小题6分)
为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说
再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图(其中A表示
“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”)．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为______人，m= ______，A所对的圆心角度数是______°；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学(其中有一名男生，三名女生)中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用
树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】40 30 36
【解析】解：(1)获奖总人数：8÷20%=40(人)，
40−4−8−16
m%= ×100%=30%，即m=30：
40
4
A所对的圆心角度数为360°× =36°，
40
故答案为：40；30；36；
(2)画树状图为：
一共有12种等可能的情况，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的情况数为6，
6 1
∴P(抽取同学中恰有一名男生和一名女生)= = ．
12 2
(1)将B组人数除以其所占百分比，即可求出获奖总人数；将C组人数除以总人数乘以100即可求出m的值；
将A组所占百分比乘以360°即可求出A所对的圆心角度数；
(2)利用列表法或树状图法解答即可．本题考查扇形统计图，条形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率．能从统计图中获取有用信息，
掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
24.(本小题8分)
如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
1
(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB= ，求BC的长．
2
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=∠AEB=90∘，
∵AE=BE，AB=2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
√2
∴AE=BE= AB=√2，
2
AE 1
又∵tan∠ACB= = ，
EC 2
√2 1
∴ = ，
EC 2
∴EC=2√2，
∴BC=BE+EC=√2+2√2=3√2．
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质求出AF=EC，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据
对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；(2)证明△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE=√2，然后解直角三角形求出EC即可．
25.(本小题8分)
2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性.小明同学发现
水龙头关闭不严会造成滴水浪费.为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放
置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况.已知量杯中原来装有10mL水，30min内7个时间点量杯中的水
量变化如表所示，其中t(min)表示时间，y(mL)表示量杯中的水量．
时间t/min 0 5 10 15 20 25 30
量杯中的水量y/mL 10 20 30 40 50 60 70
为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：
k
y=kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y= −(k≠0)．
x
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表
达式；
(2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少mL？
【答案】解：(1)由表格中数据，在坐标系内描点，连线，如图所示：由图象可知，最符合实际情况的函数类型y=kx+b(k≠0)，
设量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y=kt+b，
{ b=10
把(0,10)，(5,20)代入y=kx+b得： ，
5k+b=20
{k=2
解得 ，
b=10
∴量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y=2t+10；
(2)一天24小时=1440分钟，
∴当t=1440时，y=2×1440+10=2890，
∴一天量杯中的水量约为2890mL．
【解析】(1)用描点，连线的方法画出函数图象，并用待定系数法求函数解析式；
(2)把t=24小时=1440分钟代入解析式求出y的值．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点
E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
(1)求证：DE⊥AC；
(2)若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD//AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10−x，OH=DE=8−(10−x)=x−2．
在 Rt△AOH中 ， 由 勾 股 定 理 知 ： AH2+OH2=OA2， 即
x2+(x−2) 2=102，
解得x =8，x =−6(不合题意，舍去)．
1 2
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
1
∴AH=FH= AF，
2
∴AF=2AH=2×8=16．【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．
(1)欲证明DE⊥AC，只需推知OD//AC即可；
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x.则由矩形的性质推知：AE=10−x，
在 中，由勾股定理知： ，通过解方程得到
OH=DE=8−(10−x)=x−2. Rt△AOH x2+(x−2) 2=102 AH
的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．
27.(本小题12分)
如图，已知二次函数 y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A(−1,0)，C(4,0)，
AC=BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段AB上一动点(不与A，B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最
大时，求点E的坐标及S ；
△ABF
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所
有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，C(4,0)，
∴AC=5，OC=4，
∵AC=BC=5，
∴B(4,5)，
把A(−1,0)和B(4,5)代入二次函数y=x2+bx+c中得：
{ 1−b+c=0 {b=−2
，解得： ，
16+4b+c=5 c=−3
∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3；(2)如图1，∵直线AB经过点A(−1,0)，B(4,5)，
设直线AB的解析式为y=kx+b'，
{−k+b'=0 {k=1
∴ ，解得： ,
4k+b'=5 b'=1
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2−2x−3，
∴设点E(t,t+1)，则F(t,t2−2t−3)，
3 25
∴EF=(t+1)−(t2−2t−3)=−(t−
)
2+
，
2 4
3 25
∴当t= 时，EF的最大值为 ，
2 4
3 5
∴点E的坐标为( , )，
2 2
1 1 25 125
∴S = EF⋅(x −x )= × ×(4+1)= ．
△ABF 2 B A 2 4 8
(3)存在，y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴设P(1,m)，
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，
∴(4−1) 2+(m−5) 2+(4+1) 2+52=(1+1) 2+m2，
解得：m=8，
∴P(1,8)；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，
∴(1+1) 2+m2+(4+1) 2+52=(4−1) 2+(m−5) 2，
解得：m=−2，
∴P(1,−2)；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，
∴(1+1) 2+m2+(4−1) 2+(m−5) 2=(4+1) 2+52，
解得：m=6或−1，
∴P(1,6)或(1,−1)；
综上，点P的坐标为(1,8)或(1,−2)或(1,6)或(1,−1)．
【解析】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数和一次函数图
象上点的坐标的特征，三角形面积公式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合
及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．
(1)先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求
得b、c的值；
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，则可得到 与 的函数关系式，利用
(2) E (x,x+1) F F(x,x2−2x−3) EF x
配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABF的面积；
(3)存在，设P(1,m)，分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方
程，解方程即可．
