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2024 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求
解即可．
【详解】解： 的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数。
2．某购物平台在一个活动期间的总成交额约为213500000000元，这个数据用科学记数法表示为（
）
A． 元 B． 元
C． 元 D． 元
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定
n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数。
3．如图，是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图的画法，确定从正面看时每列正方形的个数，即可正确解答.
【详解】从正面看易得第一列有3个正方形，第二列最下面一层有1个正方形，第三列有2个正方形，所
以该几何体的主视图为选项A所示图形.
故选：A.
【点睛】此题考查简单几何体的三视图.
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项正确，符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、
十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
5．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）A．66° B．104° C．114° D．124°
【答案】C
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再根据三角形内角和定理可得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌
握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
6．如图，四边形 内接于 为对角线， 经过圆心 ．若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 为圆的直径，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，
掌握它们是关键．
7．对于实数a，b定义新运算： ，若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围
是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式
非负即可求得m的范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ 有两个实数根，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程。
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于 为半径作弧，
两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针
旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E.若 ，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴
对称的点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由尺规作图的步骤可判断MN为线段OA的垂直平分线，借助 可证明 为等边三
角形，由旋转可知 ，过点D作 轴，垂足为H，利用三角函数解直角三角形确定DH、
OH的长度即可得到D点坐标，最后确定点D关于x轴对称的点的坐标即可．
【详解】解：由题意可知，MN为线段OA的垂直平分线，即 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形， ，
∵点A的坐标是（6，0），即 ，
∴ ，
∵OD由OC旋转60°得到，过点D作 轴，垂足为H，
则 ， ，
在 中，
，
，
∴点D的坐标为 ，
其关于x轴对称的点的坐标是 ．故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法、等边三角形的性质、几何图形的旋转及三角函数解直角三角
形等知识，综合性强，解题关键是根据题意弄清几何图形的变化，灵活运用相关知识进行解答．
9．一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断 的符号，
进而判断出二次函数的图象即可．
【详解】解：∵直线 过一，三，四象限，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 轴，与 轴交于负半轴，
故符合题意的只有选项C；故选D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断 的符号，
进而判断出二次函数的图象．
10．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度
通常在 以下；如果血乳酸浓度降到 以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据
实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下
列叙述错误的是（ ）
A．体内血乳酸浓度和时间是变量
B．当 时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C．采用静坐方式放松时，运动员大约 后就能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横纵坐
标表示的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
、体内血乳酸浓度和时间 均是变量，该说法正确，故选项 不合题意；
、当 时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 ，该说法正确，故选项 不合题意；
、采用静坐方式放松时，运动员大约 后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项 符合题意；
、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法正确，
故选项 不合题意；
故选： ．
【点睛】 本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解。
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．某电子产品的进价为 元，超市将价格提高 作为零售价销售，则该商品的零售价为元（用含 的代数式表示）．
【答案】
【分析】此题的等量关系：进价×（1+提高率）=售价列出代数式即可．
【详解】解：商品的售价为 元．
故答案为： ．
【点睛】此题考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系
进行解题．有关销售问题中的提高 名词要理解透彻，正确应用．
12．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，
根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪
录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为
．
【答案】
【分析】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式．画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙
两人选择同一部电影的结果有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：A表示《热辣滚烫》、B表示《飞驰人生2》、C表示《熊出没逆转时空》、D表示《第二十
条》，
画树状图如下：
共由16种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，
甲、乙两人选择观看相同影片的概率为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式。13．若不等式组 只有一个正整数解，则写出一个满足条件的m值为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先确定不等式组的整数解，再求出m的取值范围即可解答．
【详解】解：由 得： ，
由 得： ，
∵不等式组只有一个整数解，
∴ ，
则m可取 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．
14．如图，以 为直径作半圆O，C为 的中点，连接 ，以 为直径作半圆P，交 于点D．若
，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 /
【分析】如图，连接 ，先由垂径定理的推理得到 ，再由圆周角定理得到 ，则由垂径
定理可得 ，利用勾股定理求出 的长，进而求出 ，再根据
进行求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．∵C为 的中点，
∴ ，
∵ 是小圆的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推理等等，
熟知垂径定理和垂径定理的推论是解题的关键．
15．如图，矩形 中， ， ，点 为矩形对角线 ， 的交点，将 绕点 顺时针
旋转 ，点 的对应点为 ，连接 ，当点 落在矩形 的对称轴上时， 的长
为 ．
【答案】2或 / 或2
【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
， ， ，
，，
如图，当 落在 的垂直平分线上时，
，
将 绕点 顺时针旋转 ，
，
当点 落在 的垂直平分线上时，连接 ，设 的垂直平分线与 交于点 ，
同理可得 ，
，
四边形 是菱形，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述： 的长为2或 ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（ ）计算： ；
（ ）化简： ．
【答案】（ ） ；（ ） ．
【分析】（ ）根据立方根、绝对值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解；
（ ）根据二次根式的性质、运算法则进行计算即可解答；
【详解】解：（ ）原式 ，
；
（ ）原式
，
．
【点睛】本题考查了实数的运算，分式的化简，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键。
17．（9分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各
有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩 （单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
众
年级 平均数 中位数 方差
数
七年
84 90
级
八年
84 87
级
根据以上信息，回答下列问题：(1)填空： _______， ________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】(1)85，87，七；
(2)220
(3)八年级，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，
94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为 ，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数 ，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2） （人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以
八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计
算方法是解题的关键．
18．（9分）如图，四边形 是平行四边形．(1)尺规作图；作对角线 的垂直平分线 （保留作图痕迹）；
(2)若直线 分别交 ， 于 ， 两点，求证：四边形 是菱形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）设 与 交于点 ，证明 ，得到 ，得到四边形 为平行四边
形，根据 ，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
如图：设 与 交于点 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．
熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．
19．（9分）如图，堤坝斜坡 长为 ，坡度i为 ，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一
深沟，山顶D处立有高 的铁塔 ．小明欲测量山高 ，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线 上，
又在坝顶B处测得塔底D的仰角 为 ．求堤坝高及山高 ．（ ， ，
，小明身高忽略不计，结果精确到 ）
【答案】堤坝高为8米，山高 约为23米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过B作 于H，设
， ，根据勾股定理得到 ，求得 ，过B作
于F，则 ，设 ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图所示，过B作 于H，
∵坡度i为 ，∴ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过B作 于F，则四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∵坡度i为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
答：堤坝高为8米，山高 约为23米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定。
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中， 的边 在x轴上，对角线 交于点M，点
，若反比例函数 的图象经过A，M两点，求：
(1)点M的坐标及反比例函数的解析式；(2) 的面积；
(3) 的周长．
【答案】(1) ； ；
(2)9；
(3)28
【分析】(1)利用中点坐标公式计算，代入解析式确定k．
(2) 过点A作 轴于点D，过点M作 轴于点E，利用 计算即可．
(3)利用勾股定理求得OA的长即可．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，对角线 交于点M，点 ，
∴点 ．
将点 代入 中，得
．
∴反比例函数解析式为 ．
（2）如图，过点A作 轴于点D，过点M作 轴于点E．
∵四边形 是平行四边形，点 ，
∴点A的纵坐标为4，即 ．
将 代入 中，得 ，即点 ．
∴ ．
由（1）知点 ，即 ．∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）∵点 ，
∴ ．
在 中， ．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ 的周长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，反比例函数的性质和解析式，中点坐标公式，熟练掌
握平行四边形的性质，灵活运用中点坐标公式是解题的关键．
21．（9分）某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，
需 元；购进3件A 服装和4件B服装，需 元．
(1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？
(2)设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当 时，A 服装的日销售量
y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元/件）
日销售量y（件）
请写出当 时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为 元，当A服装的销售单价x（元/件）定为多少时，日销
售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A、B两种服装的进货单价分别是 元/件、 元/件；
(2)y与x之间的函数关系式为 ；
(3)当A服装的销售单价定为 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值
等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．（1）设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设 与 之间的函数关系式为 ，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解∶设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件
由题意得： ，
解得 ，
∴A、B两种服装的进货单价分别是 元/件、 元/件；
（2）解：设y与x之间的函数关系式为 ，将 ， 代入得∶
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（3）解：由题意得∶
∴当 时， 取得最大值 ，
∴当A服装的销售单价定为 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值
等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴分别交于A，B两点，点A
的坐标是 ，点B的坐标是 ，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P
作 轴，垂足为D，线段 与直线 相交于点E．(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 ，是否存在点P，使得 ？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的横坐标为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母
的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）延长 到H，设 ，连接 ，证明 ，可得 ，设 ，
则 ，根据 ，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，
∴可设抛物线的表达式为： ，
∵抛物线的表达式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设存在点P，使得 ，理由如下：
对于 ，当 时， ,∴点C的坐标为 ，即 ，
延长 到H，设 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 或 （舍去），
∴点P的横坐标为 ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母
的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
23．（11分）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸我们既可以得到许多美丽
的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学
的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段 ，将纸片沿线段 折叠（如图②）．
①重叠部分的 的形状 （是、不是）等腰三角形．
②如果长方形纸片 ，重叠部分 的面积为 ．
(2)如图③，长方形纸片 ，点E为边 上一点，将 沿着直线 折叠，使点C的对应点F落在
边 上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置．
(3)如图④，长方形纸片 ， ，若点M为射线 上一点，将 沿着直线 折叠，
折叠后点B的对应点为 ，当点 恰好落在 的垂直平分线上时，求 的长．
【答案】(1)①是；②
(2)见解析
(3)15或9
【分析】（1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得 ，即可；
②过点C作 于点H，则 ，根据勾股定理可得 的长，再由三角形的面积
公式计算，即可；
（2）以点B为圆心，以 长度为半径作圆交 于点F，作 的角平分线 ，交 于点E，即可；
（3）分两种情况讨论：当点 落在长方形纸片 的外部时；当点 落在长方形纸片 的内部时
结合锐角三角函数，即可求解．【详解】（1）解：①如图，设纸片右下角的点为点M，
根据题意得： ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
②由①得： ，
过点C作 于点H，则 ，
∴ ，
∴重叠部分 的面积为
故答案为：
（2）解：以点B为圆心，以 长度为半径作圆交 于点F，作 的角平分线 ，交 于点E，
作图如下：
（3）解：当点 落在长方形纸片 的外部时，
如图，过点 作 于点H，交 于点，根据题意得： ，
∵点 恰好落在 的垂直平分线上，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
解得： ，
∴ ；
当点 落在长方形纸片 的内部时，
同理 ；
综上所述， 的长为15或9．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵
活运用这些性质解决问题是解题的关键．
