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2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共16小题，1-6小题每题3分，7-16小题每题2分，共38分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．某细菌的直径为 毫米，数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故选： ．
【点睛】本题考查科学计数法．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
2.如图，已知在 ABC中，AD是高，若∠DAC=50°，则∠C的度数为（ ）
△
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】C
【分析】先根据AD⊥BC得出∠ADC=90°，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
∵∠DAC=50°，
∴∠C=90°﹣50°=40°．故选C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3.如图，直线a//b，直线l与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数
为（ ）
.
A 25° B. 40° C. 50° D. 130°
【答案】B
的
【分析】由平行线 性质得到∠MAC＝90°，再根据平角的定义即可得解．
【详解】解：如图，
∵AC⊥b于点C，
∴∠ACN＝90°，
∵a∥b，
∴∠ACN+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝90°，
∵∠1+∠MAC+∠2＝180°，∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线 的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题关键．
4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项错误，不符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5.嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号使结果等于4，图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方
法得25分，嘉淇的得分为（ ）
① ② ③ ④
A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分
【答案】D
【分析】根据实数的运算法则分别求出四个算式的运算结果即可得到答案．
【详解】解： ，计算结果正确；
，计算结果正确；
，计算结果正确；
，计算结果正确；
∴四个计算结果都正确，即得分为100分，
故选D．
【点睛】本题主要考查了实数的运用，正确计算是解题的关键．6. 已知 +（b+2）2=0，则（a+b）2017的值为（ ）
A. 0 B. 2016 C. 1 D. ﹣1
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，计算即可．
【详解】由题意得：a﹣1=0，b+2=0，解得：a=1，b=﹣2，则（a+b）2017=﹣1．
故选D．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是
解题的关键．
7.平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】如图，设这个凸四边形为 ，连接 ，并设 ，先在 中，根据三角形的三
边关系定理可得 ，再在 中，根据三角形的三边关系定理可得 ，
即 从而可得 ，据此即可解答．
【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，在 中， ，即 ，
所以
观察四个选项可知，只有选项B符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线、构造两个三角形是解题关键．
8.如图，在边长为1的正方形网格中，线段 的长度在数轴上的（ ）
A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解 的长度，再利用无理数的估算即可
判断．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故线段 的长度在数轴上对应的点应落在标注的③段，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数与数轴，理解无理数的意义是解题关键．
9. 如图， 内接于 是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得 ，根据同弧所对的圆周
角相等可得 ，再根据三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角问题，理解圆周角意义及三角形内角和的熟练应用是解题关键．
10.如图， 是 以点O为位似中心经过位似变换得到的，若 的面积与 的面
积比是4：9，则 ：OB为
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9
【答案】A
【详解】分析：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
详解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与 ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
△∴OB'：OB=2：3.
故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交
于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
11.如图， 为半圆 的直径， 是半圆上一点，且 º，设扇形 、 、弓形
的面积为 、 、 ，则他们之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图
形面积，比较即可求解．
【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S ＝ ；
扇形AOC
S ＝ ．
扇形BOC
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝ ，CD＝ ，BC＝ R，∴S ＝ ，S ＝ ＝ ，
△OBC 弓形
＞ ＞ ，
∴S＜S＜S．
2 1 3
故选：A．
【点睛】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式
计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面
积关系．
12. 代数式 的值为 ．则 为整数值的个数有（ ）
A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个
【答案】B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定 为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【详解】解：
，∵代数式 的值为 ，且F为整数，
∴ 为整数，且
∴ 的值为： ，共7个，
∴对应的F值有7个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的计算和化简，熟练化简分式是解题关键．
13．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超
长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从 3层直达7层，“飞梯”的截面如图， 的长为50米，
与 的夹角为 ，则高 是（）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形 的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形和锐角三角函数，可以表示出 的值．
【详解】解：∵ ，
米，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算，熟练解直角三角形是解题的关键．
14.在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除了颜色不同外，其它都相同，贝贝同学摸
出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两个摸到1个红球1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据题意用列表法表示出贝贝摸出球的所有可能结果，根据表格可知所有等可能的结果共有 9中
种，其中贝贝摸到1红1黄的共有4种，贝贝摸到2红的共有4种，根据概率公式即可得出贝贝摸到1红1
黄的概率及贝贝摸到2红的概率；莹莹同学一次摸2个球，一共有3种情况：红1红2，红1黄，红2黄.根
据概率公式即可得出莹莹摸到1红1黄的概率及莹莹摸到2红的概率，再将它们的概率进行比较即可.
【详解】不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个，
红1 红2 黄
红1，红 红2， 黄，红
红1
1 红1 1
红1，红 红2， 黄，红
红2
2 红2 2
红2，
黄 红1，黄 黄，黄
黄
一种9种结果， P = ，P = ，
（贝贝摸到1红1黄） （贝贝摸到2红）
莹莹同学一次摸2个球，一共有3种情况：红1红2，红1黄，红2黄，
P = ， P = ，
（莹莹摸到1红1黄） （莹莹摸到2红）
A. ，错误，
B. ，错误，
C. ，错误，
D. ，正确，
故选D.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点是：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C ，将C 向右
1 1
平移得到C ，C 与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C 、C 共有3个不同的交点，则k的最大值是
2 2 1 2
（ ）
1
A． B．2√5﹣6 C．6+4√2 D．6﹣4√2
2
【答案】D
【分析】本题首先要确定直线可能所处的位置（如下图所示），一种情况是直线m与抛物线相切，另一种
情况是直线n过B点，进而求出k的值．
【详解】解：如图
抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：（1，0）、（3，0），
由抛物线从C1：y=-x2+4x-3平移得到抛物线C2，则容易得到其的方程为：y=-（x-4）2+1，
（3≤x≤5）．
直线y=kx-k过点A（1，0），
当直线m与C2只有一个交点和在x轴的位置时，直线y=kx-k与C1、C2共有3个不同的交点，
而直线为m时，k值最大，
联立C2与直线的表达式可得：kx-k=y=-（x-4）²+1
Δ=0，即k²-12k+4=0，解得：k=6±4√2（舍去6+4√2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图形结合问题，熟练掌握图象特殊点的代数意义是解题的关键．
16.如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC
与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x≤4时，利用直角三角形的
性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】解：过点C作CM⊥AB于N，DG=3，
在等腰Rt△ABC中，AB=2，
∴CN=1，
①当0≤x<1时，如图，CM=x，
∴PQ=2x，
1 1
∴y= ⋅PQ⋅CM= ×2x⋅x=x2 ，
2 2
∴0≤x<1，y随x的增大而增大；②当1≤x<3时，如图，
1
∴y=S = ×2×1=1，
△ABC 2
∴当1≤x<3时，y是一个定值为1；
③当3≤x≤4时，如图，CM=x−3，
∴PQ=2(x−3)，
1 1 1 1
∴y= AB⋅CN− PQ⋅CM= ×2×1− ×2×(x−3) 2=1−(x−3) 2 ,
2 2 2 2
当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，
结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊图形的移动与函数求极值，注意分段分类讨论．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，17题2分，18-19小题各4分，共10分）
17．如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，则 的面积是_______【答案】
【分析】根据反比例函数 几的何意义，即可求解．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， 轴于点
∴ 的面积是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，熟练掌握反比例函数 的几何意义是解题的关键．
18. 中，AB＝AC， 的中垂线与 所在直线相交成的锐角为 ，则底角 的大小为
_________．
【答案】70°或20°
【分析】由于 ABC的形状不能确定，故应分 ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
【详解】如图△①，当AB的中垂线与线段AC相△交时，则可得∠ADE=50°，
∵∠AED=90°，
∴∠A=90°-50°=40°，
∵AB=AC，∴ ；
的
如图②，当AB 中垂线与线段CA的延长线相交时，则可得∠ADE=50°，
∵∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-50°=40°，
∴∠BAC=140°，
∵AB=AC，
∴ ．
∴底角∠B为70°或20°．
故答案为：70°或20°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相
等是解答此题的关键．
19.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度ℎ（米）与物体运动的时间t
（秒）之间满足函数关系ℎ =−5t2+mt+n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发
射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时ℎ的值的“极差”（即0秒到t秒时ℎ的最大值与最小值
的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是_________；当2≤t≤3时，w的取值范围是_________．
【答案】0≤w≤5．5≤w≤20．
4×(−5)×n−m2
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0， =20，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，
4×(−5)根据定义计算确定即可．
4×(−5)×n−m2
【详解】解：根据题意，得-45+3m+n=0， =20，
4×(−5)
∴ m2+20n−400=0，
∴ m2−60m+500=0，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴h=−5t2+10t+15，
10
∵对称轴为t=− =1，a=-5＜0，
2×(−5)
∴0≤t≤1时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且h =20（米）；当t=0时，h最最小，且h =15（米）；
max min
∴w=h −h =20−15=5，
max min
∴w的取值范围是0≤w≤5，
故答案为：0≤w≤5．
当2≤t≤3时，w的取值范围是
10
∵对称轴为t=− =1，a=-5＜0，
2×(−5)
∴1＜2≤t≤3时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且h =20（米）；当t=3时，h最最小，且h =0（米）；
max min
∴w=h −h =20−15=5，w=h −h =20−0=20，
max min max min
∴w的取值范围是5≤w≤20，
故答案为：5≤w≤20．
【点睛】本题考查了二次函数极值的计算，熟练掌握函数图象意义是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）如图为一个运算程序，其结果为 ，
（1）当 为4时，求 的值；
（2）若 为非负数，求 的最小整数值．【答案】（1） ；
（2）x的最小整数值为1．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（1）根据运算规则列不等式，解不等式即可求解；
【详解】（（1）解：当 为4时，
∴ ；
（2）解：由题意得 ，
解得 ，
∴x的最小整数值为1．
【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算、解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式
是解答的关键．
21.（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，
BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD=60°，AD=2 时，求∠EDB的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】：（1）先依据平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再依据矩形的性质得到
∠COB=90°，故此四边形OBEC是矩形；
（2）依据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得到BD=2 ，然后利用特殊锐角三角函数值可求
得AO的长，从而得到BE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】（1）∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形OBEC为平行四边形．∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AD=AB=2 ．
∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴∠BAO=30°，∴OC=OA=3，∴BE=3，
∴tan∠EDB= = = ．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定、菱形的性质、锐角三角函数的定义、特殊锐角三角函数值，熟练
掌握相关图形的性质是解题的关键．
22.（9分）新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：
邀请甲乙两名同学（看成点）分别在数轴 和5的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行
诗歌竞猜，规则如下：
①一人获胜，甲向右移动3个单位长度，乙向左移动1个单位长度：
②若平局，甲向右移动1单位长度，乙向左移动3单位长度：
（1）第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是 ；
（2）第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请补全下面的树状图，并求出点
（甲，乙）落在第二象限的概率．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）若一人获胜，则甲停留在 ，乙停留在4；若平均局，则甲停留在 ，乙停留在2；再根
据概率公式求解即可；
（2）根据题干要求补全树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）若一人获胜，则甲停留在 ，乙停留在4；若平均局，则甲停留在 ，乙停留在2；
所以第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是 ；
故答案为： ；
（2）补全树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中点（甲，乙）落在第二象限的有3种结果，
所以点（甲，乙）落在第二象限的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 ，再从中选
出符合事件A或B的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件A或A的概率．
23.（10分）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地
少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元(a>0)给慈善机构；若选择方式二，
农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，
直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
【答案】（1）500；（2）当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
（3）0<a<30.
【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可；
（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可；（3）根据题意得到关系式w=−5x2+(300−a)x+1800，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得
关于a的不等式，即可求出a的即会范围．
【详解】
解：(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：
400+5×(100−80)=500（元）
故答案为：500；
(2)设出租x亩土地，则方式一的每亩年租金为：400+5(100−x)=900−5x，
∴方式一的年总租金为：x(900−5x)=−5x2+900x;
方式二的年租金为600×x=600x
设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，
y=−5x2+900x−600x
=−5x2+300x
=−5(x−30) 2+4500
∵−5<0
∴当x=30时，y有最大值为4500
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
(3)设出租x亩土地，方式一的年收入为：−5x2+900x−ax;方式二的年收入为：600x−1800；
设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，
w=−5x2+900x−ax−600x+1800
=−5x2+(300−a)x+1800
300−a 1
所以，对称轴为直线x=− =30− a
2×(−5) 10
∵a>0
1
∴对称轴直线x=30− a<30
10
∵0<x<60
∴当x=60时，w取得最小值
=−5×602+(300−a)×60+1800=−60a+1800
租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则−60a+1800>0
即：60a<1800
解得，a<30，
∵a>0
∴a的取值范围为：0<a<30
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解二次函数求极值是关键，注意区分实际意义。
24.（10分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与
△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段
EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ= 时，P、Q
两点间的距离 (用含 的代数式表示)．
【答案】(1)见解析（2）见解析，P、Q两点间的距离是
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，
利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外
角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求
得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
,
，
，
，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，，
在Rt△APQ中， ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾
股定理、解直角三角形．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．
25.（12分）如图1， 内接于 ，作 于点D．
(1)连结 ， ．求证： ；
(2)如图2，若点E为弧 上一点，连结 交 于点F，若 ， ，连结
，求证： 平分 ；
(3)在（2）的条件下，如图3，点G为 上一点，连结 ， ．若 ， ，
求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合 ，即可作答；
（2）先根据三角形的外角性质，得 ，等角对等边，得 ，即可证明
，结合全等三角形的对应角相等，即可作答；
（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得 ，由三角形的内角和，得 ，等角对
等边，得 ，进而证明 ，得 ，等角对等边，得 ，故，因为 ， ，证明 ，得 ，
解得 ，由勾股定理建立式子，即可作答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（3）解：连接 ，过点E作 于点M交 的延长线于点N，
由（2）得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形
的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的
辅助线是解题的关键．
26.（13分）我们将抛物线 且 与抛物线 称为“美轮美色抛物线”．例如：抛物线 与抛物线 就是一组“美轮美
奂抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
（1）已知抛物线 ，直接写出其“美轮美争抛物线” 的解析式；
（2）若抛物线 的顶点在其“美轮美色抛物线” 的图象上，抛物线 的图象是否
经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，其“美轮美负抛物线”
与 轴交于点 （ 在 上方）．小雅发现无论 为何值时，两抛物线始终有一交点 在与 轴垂直的
某一固定直线上运动．若 是以 为斜边的等腰直角三角形，当 时，
求抛物线 截 轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）
（2）经过定点
（3）
【分析】（1）根据“美轮美色抛物线”定义即可求解；
（2）先求出 的顶点坐标，根据“美轮美色抛物线”定义写出 的解析式，然后把 的顶点坐标代入
的解析式，可求出 ，则得出 ，令 ，求出 与x轴的交点即可；
（3）联立方程组求出两抛物线的交点坐标，根据等腰直角三角形的性质可求出 ，则
可 求 ， 设 与 x 轴 有 两 个 交 点 横 坐 标 为 为 ， ， 则， ， 进 而 求 出
，由 ，可求 ，进而求出 ，
然后根据二次函数的性质求解即可.
【详解】
（1）解：根据“美轮美争抛物线”定义知，抛物线 的 “美轮美争抛物线” 的解
析式为 ；
（2）解：
对称轴： ，顶点 ，
的 “美轮美争抛物线” 的解析式为 ，
，
，
，
，
令 ，则 ，
解得： ，
；
（3）解：抛物线 的 “美轮美争抛物线” 的解析式为 ，联立 ，
解得： ，
，
对于 ，当 时， ，
，
同理 ，
又 在 上方，
，
在以 为斜边的等腰 中， ，
，
，
，
，
，
设 与x轴有两个交点横坐标为为 ， ，
， ，
，，
，
，
，
，
对称轴： ，当 时， 随 的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
，
.
【点睛】本题考查了新定义，抛物线的性质，等腰直角三角形的性质，根与系数的关系等知识，明确题意，
灵活运用所学知识是解题的关键。
