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2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算： （ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可．
【详解】解：原式
故选：B．
2．整数a满足 ，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即
可求出 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
3．某物体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边
看到的图形是左视图．根据三视图的定义求解即可．【详解】解：A．该图是所给几何体的左视图，符合题意；
B．该图是所给几何体的俯视图，故不符合题意；
C．该图是所给几何体的主视图，故不符合题意；
D．该图不是所给几何体的三视图，故不符合题意；
故选A．
4．2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举
行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义即可得出答案．
【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
5．海南莫斯科动力大学奠基仪式于2024年 1月 30 日在海南文昌国际航天城举行，学校计划办学规模约
为 1万人，总投资约2400 000 000元．数据2400 000 000 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：
“ 中 的范围是 ， 是正整数”是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：D．
6． 的数值大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：A
7．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查异分母分式的加法，原式先通分，变成同分母的分式，再根据同分母分式的加法法
则进行计算即可
【详解】解：
，
故选：B．
8．若点 ， ， 在反比例函数 上，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数 图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，据此判断出 ， 在第二象限， 在第四
象限，再由增减性可得 ．
【详解】解：∵反比例函数 图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴ ， 在第二象限，且 ，
∴ ，
∵ 在第四象限，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．若 是方程 的两个根，则 （ ）
A． B．16 C． D．20
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由题
意得出本题中 ， ，再将 变形为 ，代入计算即可得出答案．
【详解】解： 是方程 的两个根，
， ，
，
故选：C．10．如图，在 中， ，分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧分别交于
E，F两点，作直线 ， 分别交 于点M，N，连接 ，若 ，则 的面积
为（ ）
A．12 B．6 C． D．15
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质，勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，利用基
本作图得到 垂直平分 ，则根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，
，再证明 ，得到 ，然后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的面
积．
【详解】解：由作图可得 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴ 的面积 ．
故选：B．
11．如图，把 以点A为中心逆时针旋转 得到 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，根据旋转的性质和直角三角
形的性质，勾股定理求出 ，根据旋转的性质和三角形三边关系可以判断
，无法判断 ， ．
【详解】解：过点A作 于点D，如图所示：
根据旋转可知： ， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，故B正确．
根据题意无法判断 ， ，故A、C错误；
∵ ， ，
∴ ，故D错误；
故选：B．
12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系
如图所示，则下列描述正确的是（ ）A．小球抛出3秒后，速度越来越快 B．小球在空中经过的路程是40m
C．小球抛出3秒时速度达到最大 D．小球的高度 时，
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象应用．根据二次函数图象和性质求解．
【详解】解：A、由图象可知，当 时，达到最高点，速度为0，3s后小球下落，速度越来越快，故A
是正确的；
B、由图象知小球在空中经过的路程是 ；故B是错误的；
C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故C是错误的；
D、设函数解析式为： ，
由题意得： ，
解得： ，
，
当 时， ，
解得 或4.5，故D是错误的；
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．一个不透明盒子里有5个标号为1，2，3，4，5的大小相同的小球，从中取出一个小球，小球标号为
偶数的概率是 ．
【答案】 /0.4
【分析】随机摸出一个小球共有5种等可能结果，其中摸出的小球标号为偶数的有2种结果，根据概率公
式求解即可．本题主要考查概率公式，随机事件 的概率 事件 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数．
【详解】解：随机摸出一个小球共有5种等可能结果，其中摸出的小球标号为偶数的有2种结果，
所以摸出的小球标号为偶数的概率是 ，
故答案为： ．
14．计算 的结果为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查整式的乘法运算．根据题意，由单项式乘单项式的运算法则即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
15．计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，根据公式计算即可．
【详解】
故答案为： ．
16．若直线 向上平移两个单位长度后经过点 ，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，求出新的解析式，把 代入求解
即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为： ，
把 代入得： ；
故答案为：2．17．如图，在四边形 中， ， ，连接 ， ，点 ， 分别是
线段 ， 的中点，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接 ， ，根据直角三角形的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，
求得 ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接 ， ，
，点 是线段 的中点，
，
点 是线段 的中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，，
故答案为： ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取
格点M，连接 并延长交圆于点C，连接 ．
（1） ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 ，使 平分 ，且点P在圆上，并简要
说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 作图见解析；连接 交 于点 ，连接 交圆于点 ，连接 即可．
【分析】（1）先作出圆心，再根据勾股定理求解；
（2）根据网格线的特点和垂径定理求解．
【详解】解：（1）找出圆的圆心 ，连接 ，
根据勾股定理得： ；
（2） 即为所求；
连接 交 于点 ，连接 交圆于点 ，连接 即可．
【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______．
(2)解不等式②，得______．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①，得 ，
故答案为： ；
（2）解：解不等式②，得
故答案为： ；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
（4）解：原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）为了解某校八年级学生科普知识竞赛的情况，现从中随机抽取部分学生的成绩，并用得到的
数据绘制了统计图 和图 ，请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)本次随机抽样调查的学生人数为______ ，图 中的m的值为______ ；
(2)求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
【答案】(1)50，24
(2)平均数为27.8，中位数是28，众数是28
【分析】（1）得“26分”的有9人，占调查人数的 ，可求出调查人数，进而计算得“27分”的所占
的百分比，确定m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义和求法，分别计算即可．
【详解】（1） （人）， ；
故答案为：50，24；
（2）∵在这组数据中，28出现14次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是28；
将这组数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都是28，因此中位数是28；
；
所以平均数为27.8，中位数是28，众数是28．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
21．（10分）在 中， ， 为 上一点， 与 相交于点 ．图① 图②
(1)如图①， 为 的直径，若 ， 与 相交于点 ，求 和 的大小；
(2)如图②， 经过点 ，与 相交于点 ，与 相切于点 ，过点 作弦 ，连接 ， ，
与 相交于点 ，若 ，求 的长．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）直径，得到 ，等边对等角，得到 ，利用
，求出 的度数，圆内接四边形的对角互补，求出 的度数，进而求出
的度数；
（2）连接 ， 与 相交于点 ，等边对等角，推出 ，得到 ，切线，得到
，推出四边形 为矩形，得到 ，即可．
【详解】（1） 为 的直径，
．
．
，
．
．
四边形 是圆内接四边形，
．
．
（2）如图，连接 ， 与 相交于点 ．
，
．
，
．
．．
与 相切于点 ，
，即 ．
．
，
．
， ．
为 的直径，
．
四边形 为矩形．
．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性
质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
22．（10分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公
路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调
整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离
（结果不取近似值）．
【答案】拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米．
【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行
线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90 ，拦截点D处到公路的距离DA＝BE+CF．解Rt△BCE，求出BE＝BC＝ ×1000＝500米；解 ，求出CF＝ CD＝500 米，则DA＝BE+CF＝（500+500 ）
米．
【详解】解：如图，过B作AB的垂线，两线交于点E，过D作AB的平行线，则∠E＝∠F＝90 ．
∵在 中，∠E＝90 ，
∴∠BCE＝30 ，
∴BE＝ BC＝500；
∵在 中，∠F＝90 ，∠DCF=45 ，CD＝BC＝1000米，
∴CF＝ CD＝500 米，
∴DA＝BE+CF＝（500+500 ）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，
进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓 ，超市离学生公寓 小琪
从学生公寓出发，匀速步行了 到阅览室；在阅览室停留 后，匀速步行了 到超市；在超
市停留 后，匀速骑行了 返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小明同学生公寓的距离
与离开学生公寓的时间 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开学生公寓的时间/min 5 8 20 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 1.6
(2)填空：
①阅览室到超市的距离为__________ ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为_________ ；
③当小琪离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为______ ．
(3)当 时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(1) ， ，2
(2)① ；② ；③10或116
(3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】(1)根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
(2)根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
(3)根据(2)中的结果和函数图象中的数据，可以写出当 时，y关于x的函数解析式．
【详解】（1）由图象可得，在前12分钟的速度为： ，
故当 时，离学生公寓的距离为 ；
在 时，离学生公寓的距离不变，都是
故当 时，距离不变，都是 ；
在 时，离学生公寓的距离不变，都是 ，
所以，当 时，离学生公寓的距离为
故填表为：
离开学生公寓的时间/ 5 8 20 87 112
离学生公寓的距离/ 2
（2）①阅览室到超市的距离为 ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为：
；
③分两种情形：当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为：
；
当小琪返回与学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为：
；
故答案为：① ；② ；③10或116
（3）当 时，设直线解析式为 ，
把 代入得， ，
解得，
∴ ；
当 时， ；
当 时，设直线解析式为 ，
把 ， 代入得，
解得，
∴ ，
由上可得，当 时，y关于x的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点
与 轴相交于点 ，点 在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点
Q，并与 轴相交于点 ，且 ，点 ， 的对应点分别为点 ．(1)如图①，当点 落在线段 上时，求 的大小和点 的坐标；
(2)设 ，纸片折叠后与矩形 的重叠部分的面积为 ．
①如图②，若折叠后与矩形 的重叠部分是四边形时， 与边 相交于点 ，试用含有 的式子
表示 的长，并直接写出 的取值范围；
②当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1) ，
(2)① ，其中t的取值范围是 ；②
【分析】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，二次函数的应用，正确画出图形，恰当分类是解题的
关键．
（1）根据折叠的性质和 的直角三角形的性质直接求解即可；
（2）①利用 ，表示 ，即可求出 的长；分两种情况考虑极端值：当点 落在边 上时，
点 在 上时，分别画图求解即可；
②分三种情况： ， ， ，分别画图，构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由折叠的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴点 的坐标为： ；
（2）①∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴
当点 落在边 上时，作 于点 ，如图所示，
由折叠的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴此时， ，
当点 在 上时，如图所示，在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴若折叠后与矩形 的重叠部分是四边形时， 的取值范围是： ；
②当 时，设 交 轴于点 ，如图所示，
此时 就是折叠后与矩形 的重叠部分，
∵ ， ，
∴ ；
当 时，设 交 轴于点 ， 交 于点 ，如图所示，此时，重合部分是五边形 ，
， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
∴当 时， 的最大值 ，
当 时，设 交 于点 ，如图所示，
此时，重叠部分是 ，
， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，求 的取值范围： ．
25．（10分）已知抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点（点 在点 左边），与 轴
交于点 ．
(1)若点 在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点 的坐标；
②连接 ，若点 是直线 上方的抛物线上一点，连接 ， ，当 面积最大时，求点 的坐
标及 面积的最大值；
(2)已知点 的坐标为 ，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 的对应点 恰好落在
抛物线上，求抛物线的解析式．
【答案】(1)① ， ；② ，最大值是
(2)
【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识，
（1）①把点 坐标代入 ，解得 ，即可求得抛物线的解析式，当 时，解
得 ， ，根据题意可求点 的坐标；
②设点 坐标为 （ ），设直线 的解析式为 ，把 ，
分别代入 ，即可求得直线 的解析式为 ，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，则得点 坐标为 ，根据 可得 ，即可求解；
（2）根据抛物线 ，可知对称轴是 ，点 坐标为 ，可知点
在抛物线对称轴上，由线段 绕点 顺时针旋转 后对应点是点 ，得 ， ，分
别过点 ， 作直线 的垂线，垂足分别为点 ，点 ，则 ，先证明
，得点 坐标可表示为 ，把点 坐标代入 可求得 ，
即可求解．
【详解】（1）解：①把点 坐标代入 ，
有 ，解得 ．
抛物线的解析式为 ．
当 时，有 ，解得 ， ．
根据题意知点 的坐标是
②设点 坐标为 （ ）
设直线 的解析式为 ，把 ， 分别代入 ，
得 ，解得
直线 的解析式为 ．
如图，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，则点 坐标为 ．
．
即 ．
当 时， 面积最大，最大值是 ．
此时点 坐标为 ．
（2）解：由抛物线解析式为 ，
可知其对称轴是直线 ，点 坐标为 ，
故点 在抛物线对称轴上．
线段 绕点 顺时针旋转 后对应点是点 ，
， ．
如图，分别过点 ， 作直线 的垂线，垂足分别为点 ，点 ，
则
．
．
．
，
点 坐标可表示为 ．
把点 坐标代入 ，得 ，解得 （舍）， ．
抛物线的解析式为 ．
