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2013年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答案卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．（3分）实数 ， ，0，﹣1中，无理数是（ ）
π
A． B． C．0 D．﹣1
π
2．（3分）计算6x3•x2的结果是（ ）
A．6x B．6x5 C．6x6 D．6x9
3．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
4．（3分）如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．（3分）在开展“爱心捐助雅安灾区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）
6，5，3，5，6，10，5，5，这组数据的中位数是（ ）
A．3元 B．5元 C．6元 D．10元
6．（3分）在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）
A．正三角形 B．等腰梯形 C．矩形 D．平行四边形
7．（3分）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为
1，高为2 ，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
8．（3分）π一个布袋里装有6个只π 有颜色可以不同的球，其π中2个红球，4个白π球．从布袋里任
意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
第1页（共22页）A． B． C． D．
9．（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接
DE．若DE：AC＝3：5，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的
顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物
线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线
与网格对角线OB的两个交点之间的距离为 ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物
线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（
）
A．16 B．15 C．14 D．13
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算： ＝ ．
12．（4分）把15°30′化成度的形式，则15°30′＝ 度．
13．（4分）如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosB的值为 ．
第2页（共22页）14．（4分）某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家庭某月的用水
量，结果如表，则这20户家庭这个月的平均用水量是 吨．
用水量（吨） 4 5 6 8
户数 3 8 4 5
15．（4分）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是 ．
16．（4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线
y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON
上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是
．
三、解答题（本题共8小题，共66分）
17．（6分）因式分解：mx2﹣my2．
18．（6分）解不等式组： ．
第3页（共22页）19．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
20．（8分）如图，已知P是 O外一点，PO交圆O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB
的度数为120°，连接PB⊙．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是 O的切线．
⊙
21．（8分）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如
下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候
选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和
教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．
学生投票结果统计表
候选教师 王老师 赵老师 李老师 陈老师
得票数 200 300
（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计
图．（画在答案卷相对应的图上）
（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的
学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？
（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里
的是两位老师？为什么？
第4页（共22页）22．（10分）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包
了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函
数如图 所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图 所
示． ① ②
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 元，小张应得的工资总额
是 元，此时，小李种植水果 亩，小李应得的报酬是 元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数
关系式．
23．（10分）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和
BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
第5页（共22页）根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线
BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
24．（12分）如图 ，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，
①
sin∠AOB＝ ，反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA＝10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图 ），点P为直线EF上的
一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶②点的三角形是直角三角形？
若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共22页）2013年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答案卷上将相应题次中对应字母的方
框涂黑，不选、多选、错选均不给分．
1．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数；
B、是分数，是有理数，故选项错误；
C、是整数，是有理数，选项错误；
D、是整数，是有理数，选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．【分析】根据同底数的幂的乘法法则进行计算．
【解答】解：∵6x3•x2＝6x3+2＝6x5，
∴故选B．
【点评】本题考查了同底数幂的运算法则，要知道，底数不变，指数相加．
3．【分析】把点（1，2）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），
∴2＝k，
解得，k＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象
上．
4．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据邻补角的定义解答．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
第7页（共22页）∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
5．【分析】根据中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：将数据从小到大排列为：3，5，5，5，5，6，6，10，
中位数为：5．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概
念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解．
【解答】解：正三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，判断轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
7．【分析】首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl，
π π
代入数进行计算即可．
【解答】解：∵底面半径为1，高为2 ，
∴母线长＝ ＝3．
底面圆的周长为：2 ×1＝2 ．
π π
∴圆锥的侧面积为：S侧 ＝ •r•l＝ ×2 ×3＝3 ．
π π
第8页（共22页）故选：B．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积公式：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
π π
8．【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：因为一共有6个球，红球有2个，
所以从布袋里任意摸出1个球，摸到红球的概率为： ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9．【分析】根据翻折的性质可得∠BAC＝∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据
两直线平行，内错角相等可得∠DAC＝∠BCA，从而得到∠EAC＝∠DAC，设AE与CD相
交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF和△EDF
相似，根据相似三角形对应边成比例求出 ＝ ，设DF＝3x，FC＝5x，在Rt△ADF中，
利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，
即DF＝EF，
∴ ＝ ，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴ ＝ ＝ ，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，AD＝ ＝ ＝4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
第9页（共22页）∴ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与
性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
10．【分析】根据在OB上的两个交点之间的距离为3 可知两交点的横坐标的差为3，然后
作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的
抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y＝﹣
x2+4x，
然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，
可平移6次，
所以，一共有7条抛物线，
同理可得开口向上的抛物线也有7条，
所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7＝14．
故选：C．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次
函数图象与几何变换，作出图形更形象直观．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．【分析】因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可．
第10页（共22页）【解答】解： ＝ ．故答案为1．
【点评】此题比较容易，是简单的分式加法运算．
12．【分析】根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．
【解答】解：∵30′＝0.5度，
∴15°30′＝15.5度；
故答案为：15.5．
【点评】此题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键，是一道基础
题．
13．【分析】首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：BC＝ ＝ ＝5，
则cosB＝ ＝ ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜
边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
14．【分析】根据加权平均数的计算方法先求出所有数据的和，然后除以数据的总个数即可．
【解答】解：根据题意得：
这20户家庭这个月的平均用水量是（4×3+5×8+6×4+8×5）÷20＝5.8（吨）；
故答案为：5.8．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是求出所
有数的和．
15．【分析】先根据第一行的第一列的数，以及第二行的第二列的数，第三行的第三列的数，第
四行第四列的数，进而得出变化规律，由此得出第七行第七列的，从而求出答案．
【解答】方法一：
解：第一行第一列的数是 1；
第二行第二列的数是 5＝1+4；
第三行第三列的数是 13＝1+4+8；
第四行第四列的数是 25＝1+4+8+12；
…
第n行第n列的数是 1+4+8+12+…+4（n﹣1）＝1+4[1+2+3+…+（n﹣1）]＝1+2n（n﹣1）；
∴第七行第七列的数是 1+2×7×（7﹣1）＝85；
第11页（共22页）故答案为：85．
方法二：
n＝1，s＝1；n＝2，s＝5；n＝3，s＝13，
设s＝an2+bn+c，
∴ ，
∴ ，
∴s＝2n2﹣2n+1，
把n＝7代入，s＝85．
方法三：
， ， ， ， ， ，
∴a ＝25+ ＝85．
7
【点评】此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归
纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16．【分析】（1）首先，需要证明线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹），如答图 所示．利
0 n
用相似三角形可以证明； ②
（2）其次，如答图 所示，利用相似三角形△AB B ∽△AON，求出线段B B 的长度，即点
0 n 0 n
B运动的路径长．①
【解答】解：由题意可知，OM＝ ，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN
为等腰直角三角形，ON＝ OM＝ × ＝ ．
如答图 所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B ，动点P在N点（终点）时，点
0
B的位置①为B ，连接B B
n 0 n
∵AO⊥AB ，AN⊥AB ，∴∠OAC＝∠B AB ，
0 n 0 n
又∵AB ＝AO•tan30°，AB ＝AN•tan30°，∴AB ：AO＝AB ：AN＝tan30°（此处也可用30°角
0 n 0 n
的Rt△三边长的关系来求得），
第12页（共22页）∴△AB B ∽△AON，且相似比为tan30°，
0 n
∴B B ＝ON•tan30°＝ × ＝ ．
0 n
现在来证明线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹）．
0 n
如答图 所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B，连接AP，AB，
i i
B B ②
0 i
∵AO⊥AB ，AP⊥AB，∴∠OAP＝∠B AB，
0 i 0 i
又∵AB ＝AO•tan30°，AB＝AP•tan30°，∴AB ：AO＝AB：AP，
0 i 0 i
∴△AB B∽△AOP，∴∠AB B＝∠AOP．
0 i 0 i
又∵△AB B ∽△AON，∴∠AB B ＝∠AOP，
0 n 0 n
∴∠AB B＝∠AB B ，
0 i 0 n
∴点B 在线段B B 上，即线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹）．
i 0 n 0 n
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B B ，其长度为 ．
0 n
故答案为： ．
【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有
两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分
析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷
入坐标关系的复杂运算之中．
第13页（共22页）三、解答题（本题共8小题，共66分）
17．【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：mx2﹣my2，
＝m（x2﹣y2），
＝m（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，由 得，x＞ ；由 得，x＜5，
① ②
故此不等式组的解集为： ＜x＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解
析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可，
（2）根据抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），
即y＝﹣x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
【点评】此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的
形式，关键是根据题意选择合适的解析式．
20．【分析】（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边
三角形，则可求得BC的长；
（2）由OC＝CP＝2，△OBC是等边三角形，可求得BC＝CP，即可得∠P＝∠CBP，又由等
边三角形的性质，∠OBC＝60°，∠CBP＝30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是 O的
切线． ⊙
【解答】（1）解：连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
第14页（共22页）∴弧BC与弧AC的度数为：60°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OC＝2；
（2）证明：∵OC＝CP，BC＝OC，
∴BC＝CP，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠CBP＝30°，
∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°，
∴OB⊥BP，
∵点B在 O上，
∴PB是 ⊙O的切线．
补： ⊙
证明：∵OC＝CP＝2，
∴OP＝4，
由（1）可知：BC＝OC＝2，
∴BC＝ OP，∠BOC＝60°，
∴△OBP是直角三角形，
∴∠OBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是 O的切线．
⊙
第15页（共22页）【点评】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题
难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21．【分析】（1）根据共有25位教师代表参加投票，结合条形图得出李老师得到的教师票数
即可；
（2）根据“王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师
得到的学生票数的3倍多20票，”分别得出方程组求出即可；
（3）求出每位老师的得票总数，进而得出答案．
【解答】解：（1）李老师得到的教师票数是：25﹣（7+6+8）＝4，
如图所示：
（2）设王老师与李老师得到的学生票数分别是x和y，
由题意得出： ，
解得： ，
答：王老师与李老师得到的学生票数分别是380和120；
（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7＝415，
赵老师：200+5×6＝230，
李老师：120+5×4＝140，
陈老师：300+5×8＝340，
推选到市里的是王老师和陈老师．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，
列出方程组．
22．【分析】（1）根据图象数据解答即可；
（2）设z＝kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
第16页（共22页）（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分 10＜m≤20时，10＜n≤20； 20
＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两①人的费用之和列式整理即可得②解．
【解答】解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是
（160+120）＝140元，
小张应得的工资总额是：140×20＝2800元，
此时，小李种植水果：30﹣20＝10亩，
小李应得的报酬是1500元；
故答案为：140；2800；10；1500；
（2）当10＜n≤30时，设z＝kn+b（k≠0），
∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），
∴ ，
解得 ，
所以，z＝120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y＝km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣2m+180，
∵m+n＝30，
∴n＝30﹣m，
∴ 当10＜m≤20时，10≤n＜20，
w＝①m（﹣2m+180）+120n+300，
＝m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，
＝﹣2m2+60m+3900，
当20＜m≤30时，0≤n＜10，
②w＝m（﹣2m+180）+150n，
第17页（共22页）＝m（﹣2m+180）+150（30﹣m），
＝﹣2m2+30m+4500，
所以，w与m之间的函数关系式为w＝ ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点
在于要分情况讨论并注意m、n的取值范围的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．
23．【分析】（1）求出∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED＝90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP＝∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）设OP＝CP＝x，求出AP＝3x，CD＝ x，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵PB＝PD，
∴∠2＝∠PBD，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1＝45°，
∴∠1＝∠C＝45°，
∵∠3＝∠PBC﹣∠1，∠4＝∠2﹣∠C，
∴∠3＝∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP＝∠PED＝90°，
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3＝∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP＝∠3，
∴∠ABP＝∠4，
在△ABP和△CPD中
第18页（共22页）∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP＝CD．
（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′＝ AP′．
理由是：设OP＝PC＝x，则AO＝OC＝2x＝BO，
则AP＝2x+x＝3x，
由△OBP≌△EPD，得BO＝PE，
PE＝2x，CE＝2x﹣x＝x，
∵∠E＝90°，∠ECD＝∠ACB＝45°，
∴DE＝x，由勾股定理得：CD＝ x，
即AP＝3x，CD＝ x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′＝ AP′
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等
知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．
24．【分析】（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB＝ ，OA＝10，求出AH和OH的值，从
而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB＝ ，得出AH＝ a，OH
＝ a，求出S△AOH 的值，根据S△AOF ＝12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的
中点，求出S△OBF ＝6，
第19页（共22页）根据BF＝ a，∠FBM＝∠AOB，得出S△BMF ＝ BM•FM，S△FOM ＝6+ a2，再根据点A，F
都在y＝ 的图象上，S△AOH ＝ k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC ＝OB•AH，得出OB＝
AC＝3 ，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO＝90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P ，P ；当∠PAO＝90°时，
1 2
求出P ；当∠POA＝90°时，求出P 即可．
3 4
【解答】解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB＝ ，OA＝10，
∴AH＝8，OH＝6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8＝ ，可得：k＝48，
∴反比例函数解析式：y＝ （x＞0）；
（2）设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由平行四边形性质可证得OH＝BN，
∵sin∠AOB＝ ，
∴AH＝ a，OH＝ a，
∴S△AOH ＝ • a• a＝ a2，
∵S△AOF ＝12，
∴S平行四边形AOBC ＝24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF ＝6，
∵BF＝ a，∠FBM＝∠AOB，
∴FM＝ a，BM＝ a，
第20页（共22页）∴S△BMF ＝ BM•FM＝ a• a＝ a2，
∴S△FOM ＝S△OBF +S△BMF ＝6+ a2，
∵点A，F都在y＝ 的图象上，
∴S△AOH ＝S△FOM ＝ k，
∴ a2＝6+ a2，
∴a＝ ，
∴OA＝ ，
∴AH＝ ，OH＝2 ，
∵S平行四边形AOBC ＝OB•AH＝24，
∴OB＝AC＝3 ，
∴ON＝OB+OH＝5 ，
∴C（5 ， ）；
（3）存在三种情况：
当∠APO＝90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P（ ， ），P（﹣ ，
1 2
），
当∠PAO＝90°时，P （ ， ），
3
当∠POA＝90°时，P （﹣ ， ）．
4
第21页（共22页）【点评】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函
数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．
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日期：2020/2/18 19:00:03；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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