文档内容
2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共16小题，1-6小题每题3分，7-16小题每题2分，共38分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．
【解答】解：﹣ 的绝对值为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0．
2. 如图是某个几何体的展开图，把该几何体平放在桌面上时（底面与桌面贴合），其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先根据几何体的展开图，判断所围成的几何体的形状，然后利用三视图的概念求解．
【详解】解：因为几何体的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥，
故选：B．【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体以及三视图问题，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．
3. 我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线．下列平面直
角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．中心对称图形的
定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心
对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对
称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2
【答案】C
【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即
可求出正确答案．
【详解】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，
根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，
根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，
（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，
熟练运用运算法则是解题的关键．
5. 如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
6. 将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边 ，含 角的直
角三角尺的直角顶点 在含 角的直角三角尺的斜边 上，且点 在 的延长线上， 的度数
是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由平行线的性质得出 ，根据三角板中各个角度的值即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵在三角板中， ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形板中角度的计算问题，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
7.在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽
取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．
将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 ＝ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的
结果数．
8.下列函数中，当 时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【分析】根据一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【详解】解：A、 ， k＜0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意；
B、 ， k＜0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意；
C、 ，k=-5＜0，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意；
D、 ，k= ＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题
的关键．
9.石家庄网红打卡点陶瓷水镇为迎接“五一”假期新增了骑马、威亚、卡丁车、低空飞行4项互动体验项
目，并对部分游客所喜欢的项目进行调查问卷（每个游客均只选择一个喜欢的项目），统计如图，其中喜
欢威亚的有80人，则本次调查的游客有（ ）人．
A. 120 B. 160 C. 300 D. 400
【答案】D
【分析】利用喜欢威亚的频数80除以喜欢威亚的频率20%，即可得到该校本次调查中，共调查了多少名游
客．
【详解】解：本次调查的总人数为80÷20%=400（人），
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（
）上．A. B. C. D.
【答案】D
为
【分析】先配方 顶点式，求出顶点坐标为（m+1，m2+1），再消去m即可．
【详解】解：抛物线 =（x-m-1）2+m2+1，
∴抛物线的顶点（m+1，m2+1），
∴ ,
∴ ，
∴ ．
故选择D．
【点睛】本题考查抛物线顶点式，顶点对应的解析式，掌握抛物线顶点式，顶点对应的解析式是解题关键．
11.如图，已知 ，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件 得到 结合相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从
而得到最后答案．
【详解】解： ，
添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；故A不符合题意；
添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；故B不符合题意；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；故C符合题意；
添加D选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；故D不符合题
意；
故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法：如果两个三
角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，
那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三条对应边成比例，那么这两个三角形相似．
的
12. 在锐角 中， 在 边上求作一点 ，使得 是等腰直角三角形，如图所示
作图痕迹中不符合要求的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】利用基本作图，根据各选项中的作图痕迹确定 是否为 或 是否为 进行判断
即可．
【详解】A．由作图得 点为 的垂直平分线与 的交点，则 ，所以 ，
所以 是等腰直角三角形，所以A选项不符合题意；
B．由作图得 点为 的平分线与 的交点，则 ，所以 是不是
等腰直角三角形，所以B选项符合题意；
C．由作图得 点为以 为直径的圆与 的交点，则 ，所以 是等腰直角三角形，
所以C选项不符合题意；D．由作图得 ，所以 是等腰直角三角形，所以D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性
质，角平分线的定义，圆周角定理的推论．
13.如图，已知 是 的直径， 与 相切于点 ， 与 相交于点 ， 是弧 的中点，现
有如下几个结论： ， ， ， ，其中正确的个数为
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据圆的切线定理，同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一
半等依次判断，即可．
【详解】解：∵ 是 的直径， 与 相切于点 ，
∴ ，
∴ 正确；
∵ 是弧 的中点、
∴
∴ ， ，
∵ 所对的圆周角是 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 正确；∵ 所对的圆心角是 ， 所对的圆周角是 ，
∴ ，
∴ 正确；
∵ ， ，
但无法证明 与 的等量关系，
∴ ，
∴ 错误；
综上所述，正确的为： 共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线定理，圆周角，圆心角，弦的关
系．
14.如图，在△ABC中，DE∥BC， ，△ADE的面积为8，则四边形DBCE的面积为（ ）
A. 10 B. 4 C. 42 D. 18
【答案】A
【详解】试题分析：根据DE∥BC可得△ADE∽△ABC，根据AD，AB的值即可求得△ADE和△ABC的面
积的比值，即可求得四边形DBCE的面积，即可解题．
试题解析：∵DE∥BC，
∴△ADE△ABC，
∵
∴
∴S ：S =4：9，
ADE ABC
△ △
∵△ADE的面积为8∴△ABC的面积为18，
则四边形BCED的面积为18-8=10．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线定理。
15.将函数y=−x2+2x+m(0≤x≤4)在x轴下方的图像沿x轴向上翻折，在x轴上方的图像保持不变，得
到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】
令y=0，则x=1±√m+1，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+√m+1，0），翻折后的函数表达式为：−y′=
−x2+2x+m，当x=4时，y′=8−m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只
需要函数的最大值最小即可，即可求解．
【详解】
解：如下图，函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1，故顶点P的坐标为（1，m+1），
令y=0，则x=1±√m+1，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+√m+1，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：-y′=-x2+2x+m，
当x=4时，y′=8-m，
当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；
①当点A在直线x=4的左侧时（直线n所处的位置），
即1+√m+1＜4，解得：m＜8；
当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8-m，解得：m≥3.5，
当m=3.5时，此时最大值最小为3.5；
当函数在x=4处取得最大值时，即m+1≤8-m，解得：m≤3.5，
m最大为3.5时，此时最大值为m+1=4.5，
故m=3.5；②当点A在直线x=4的右侧时（直线m所处的位置），
即1+√m+1＞4，解得：m＞8；
函数的最大为：m+1＞9＞3.5；
综上，m=3.5，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图像的变换、极值的计算，注意取值范围的影响。
16.如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出发，以 的速度沿射
线 匀速运动，到点 停止运动，同时动点 从点 出发，以 的速度沿射线 匀速运动．当点
停止运动时，点 也随之停止运动．在 的右侧以 为边作菱形 ，点 在射线 ．设点 的
运动时间为 ，菱形 与 的重叠部分的面积为 ，则能大致反映 与 之间函数关系的
图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先证明菱形 是边长为x，一个角为 的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
解：作 于点D，作 于点E，由题意得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点M运动到直线 上时，
此时， 是等边三角形，
∴ ， ；
当点Q、N运动到与点 重合时，
∴ ， ；
当点P运动到与点 重合时，∴ ， ；
∴当 时， ，
当 时，如图，作 于点G，交 于点R，
则 ， ， ，
∴ ，
当 时，如图，作 于点I，
则 ， ，
∴ ，
综上， 与 之间函数关系的图象分为三段，当 时，是开口向上的一段抛物线，当 时，
是开口向下的一段抛物线，当 时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性
质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，17题2分，18-19小题各4分，共10分）
17．如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，则 的面积是_______
【答案】
【分析】作 交 于点 ，根据题意可得 ，由点 为 的中点，
可得 ，在 中，通过解直角三角形可得 ，从而得到点 ，代入
函数解析式即可得到答案．
解：如图，作 交 于点 ，
，
， ， ，
，
点 为 的中点，
，，
，
，
，
，
点 在反比例函数图象上，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性
质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
18. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是______形；如果
直尺的宽度是 ，两把直尺所夹的锐角为 ，那么这个四边形的周长为______ ．
【答案】 ①. 菱 ②. 12
【分析】先证四边形 是平行四边形，再证 ，则平行四边形 是菱形，得
，然后由等腰直角三角形的性质求出 的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点 作 于 ， 于 ．两直尺的宽度相等为 ，
．
， ，
四边形 是平行四边形，
又 平行四边形 的面积 ，
，
平行四边形 为菱形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
菱形 的周长 ，
故答案为：菱， ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，
熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
19.如图，已知点A ，A ，…，A 在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B ，B ，…，B 在函数
1 2 2014 1 2 2014
y=x2位于第一象限的图象上，点C ，C ，…，C 在y轴的正半轴上，若四边形OA C B 、
1 2 2014 1 1 1C A C B ，…，C A C B 都是正方形，则正方形C A C B 的边长为_________．
1 2 2 2 2013 2014 2014 2014 2013 2014 2014 2014
【答案】2014√2
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 与y轴的夹角为45°，然后表示出OB 的解析式，再与
1 1
抛物线解析式联立求出点B 的坐标，然后求出OB 的长，再根据正方形的性质求出OC ，表示出C B 的
1 1 1 1 2
解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，再求出C C 的长，然后表示出C B 的解析
2 1 2 1 2 2 3
式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
3 2 3
【详解】
解：∵四边形OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OB 与y轴的夹角为45°，
1
∴OB 1的解析式为y=x，
1
联立¿，
解得¿或¿，
∴点B (1，1)，
1
∴OB =√12+12=√2，
1
∵四边形OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OC =√2OB =√2×√2=2，
1 1
∵四边形C A C B 是正方形，
1 2 2 2
∴C B 与y轴的夹角是45°，
1 2
∴C B 的解析式为y=x+2，
1 2
联立¿，解得¿或¿，
∴点B (2，4)，
2
∴C B =√22+(4−2) 2=2√2，
1 2
∵四边形C A C B 是正方形，
1 2 2 2∴C C =√2C B =√2×2√2=4，
1 2 1 2
同理，C B 的解析式为y=x+4+2=x+6，
2 3
联立¿，解得¿或¿，
∴点B (3，9)，
3
∴C B =√32+(9−6) 2=3√2，
2 3
……
依此类推，正方形C A C B 的边长为2014√2，
2013 2014 2014 2014
故答案为：2014√2．
【点睛】灵活地综合运用好坐标轴转换、二元一次方程组、正方形知识，是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. （9分）若两个有理数 、 满足 ，则称 、 互为“吉祥数”．如 和 就是一对“吉祥
数”．回答下列问题：
（1）求 的“吉祥数”；
（2）若 的“吉祥数”是 ，求 的值；
（3） 和 能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据由“吉祥数”的定义求解即可；
（2）由题意知 ，计算求解即可；
（3）依题意， ，进而作出判断，即可求解．
【小问1详解】
解：由“吉祥数”的定义可知的“吉祥数”为 ；
【小问2详解】
解：由题意知
解得
∴x的值为4．
【小问3详解】
解：若 和 互为“吉祥数”，则有
∵
∴
∴ 和 不能互为“吉祥数”．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，绝对值的非负性等知识．解题的关键在于对
新定义的理解．
21.（9分）如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN
交OA、OB于点E、F．
（1）若MN=20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数．
【答案】（1）20cm；（2）110°．
【分析】（1）根据轴对称的性质得出ME=PE，NF=PF，再由MN=20cm即可得出结论；（2）先利用轴对
称相关性质推导出∠PEF与∠M、∠PFE与∠N的关系，再在四边形ORPT中利用∠M、∠N与已知角
∠AOB之间的关系，即可在△PEF中求出∠EPF的度数．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，∴ME=PE，NF=PF，
又∵MN=ME+EF+FN=20cm，
∴PE+EF+PF=20cm，
即△PEF的周长是20cm．
（2）如图，
∵点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴∠PRE=∠PTF=90°；ME=PE，PF=NF，
∴在△MEP和三角形FPN中有，∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，
∴在四边形OTPR中，有∠PRE+∠PTF=180°，∠MPN+∠AOB=180°，
又∵在△PEF中，∠EPF+∠PEF+∠PFE=180°，
∴∠EPF+2∠M+2∠N=180°，
又∵∠MPN=∠EPF +∠MPE+∠NPF=∠EPF+∠M+∠N，
∴∠MPN+∠M+∠N=180°，
∴∠M+∠N=∠AOB=35°，
又∵∠EPF=180°-∠PEF-∠PFE=180°-2（∠M+∠N），
∴∠EPF =180°﹣2×35°=110°，
即∠EPF的度数为110°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形内角和、三角
形内角和与外角和定理及其推论，关键是要找到各角之间的关系进一步推导求出答案．
22.（9分）我校九年级为庆祝中国共产党成立100周年开展了文艺汇演活动，需要从九年级挑选出汇演活
动的主持人．
（1）若有三名候选人A，B，C竞选主持人，要求九年级的每名学生只能从这三人中选一人（候选人也参
与投票），经统计，三名候选人A，B，C的得票数之比为6：3：1，若候选人B所得票数为150票，问九年级共有多少人？
（2）若有2名男生，3名女生为候选人，从这5名学生中随机抽取2名学生作为主持人，请用列举法或树
状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）500 （2）
【分析】（1）先计算B得票占比，用得票数除以占比即可；
（2）设A表示男生，B表示女生，画树状图 计算．
【小问1详解】
根据题意，得 150÷ =500（人）；
【小问2详解】
设A表示男生，B表示女生，画树状图如下：
共有20种等可能性，其中一男一女有12种，
∴抽到1名男生和1名女生的概率为 ．
【点睛】本题考查了根据占比计算整体，画树状图或列表计算概率，熟练掌握概率计算方法是解题的关键．
23.（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）．B（2，2），抛物线y=x2−2mx+m2−2与直线x＝﹣2交于点P．
(1)用含m的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)设点P的纵坐标为y ，求y 的最小值；此时抛物线上有两点(x ,y ),(x ,y )，且x ＜x ≤−2．比较
P P 1 1 2 2 1 2
y 与y 的大小；
1 2
(3)当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的取值范围．
【答案】（1）x＝m，（m，﹣2），（2）y ＞y ，（3）﹣2≤m≤0或2≤m≤4。
1 2
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴及顶点坐标；
（2）先将x=−2代入抛物线y=x2−2mx+m2−2中，可得
y=4−2m×（−2）+m2−2=（m+2）2−2，根据二次函数的最值可得y的最小值，确定此时抛物线
的解析式，根据增减性和图象可得y 与y 的大小；
1 2
（3）令y=2解出两个解，这两个解符合AB横坐标范围，可解答．
【详解】
解：（1）∵y=x2−2mx+m2−2=(x−m) 2−2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）∵抛物线y=x2−2mx+m2−2与直线x＝﹣2交于点P（x ，y ），
P P
∴y =4−2m×(−2)+m2−2=(m+2) 2−2，
P
∴当m＝﹣2时，y取得最小值，此时y＝﹣2，如图1，
∴y=x2+4x+2=(x+2) 2−2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x ＜x ≤−2，
1 2
∴y ＞y ；
1 2
（3）如图2，y=x2−2mx+m2−2=(x−m) 2−2，
当y＝2时，(x−m) 2−2=2，
∴x﹣m＝±2，
∴x＝m±2，
∵抛物线与线段AB有公共点，且点A（0，2），B（2，2），
∴0≤m﹣2≤2或0≤m+2≤2，
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4；
∴m的范围为﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解二次函数求极值是关键，注意区分实际意义。
24.（10分）小明在一段斜坡 上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方
随他一起运动，无人机速度为 ，距水平地面的高度总为 （在直线 上运动）现就小明训练
中部分路段作出如图函数图象：已知 ，斜坡 的坡度 ： ，斜坡 的坡角为 ．（1）点 坐标为______， 段 关于 的函数解析式为______；
（2）小明在斜坡 上的跑步速度是______ ，并求 段 关于 的函数解析式；
（3）若小明沿 方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：
， ， ）
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）9秒
【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定 段
的函数解析式．
（2）通过 段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明
所走的路程，进而解出小明在 段的速度，由A， 点确定 段解析式．
（3）通过 段和 段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为 时所用的时长，进而计算
出无人机与小明之间距离不超过 的时长．
（1）解：如图，过A点作 于点 ，，
，
，斜坡 的坡度 ： ： ，
， ，
点A坐标为 ，
设 段 关于 的函数解析式为 ，
代入 ， ，
解得： ，
段 关于 的函数解析式
，
故答案为： ； ．
（2）解：在 中， ， ，
，
，
， ，在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为 ，
小明在斜坡 上跑步的时间为： ，
小明在斜坡 上的跑步速度是： ，
， ，
，
，
设 段 关于 的函数解析式为： 代入 ， ，
得： ，
解得： ，
段 关于 的函数解析式为 ；
故答案为： ．
（3）解：在 段上无人机与小明之间的距离为 时，
则有： ，
解得： ，
无人机飞行的时间为 ；
在 段上，无人机与小明之间距离为 时，则有： ，解得： ，
无人机飞行的时间为 ，
无人机与小明之间距离不超过 的时长为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．
25.（12分）已知： 为 的直径，点C为 上一点，连接 ，点D为 上一点，连接 ，过点D
作 的垂线，垂足为点F，交 于点E，连接 ，分别交 和 于点H和点K，且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ，过点H作 的垂线交 于点T，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点G，延长 交 的延长线于点M，若 ，
，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）证明 ，即可得出结论；
（2）连接 ，证明 ，得到 ，证明 ，得到
，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，得到 ，推
出 ，证明 ，得到 ，再证明 ，即可证明结论；
（3）连接 ，过点M作 的垂线，垂足为点N，证明 ，得到 ，进而推出 ，证明 ，得到 ，进而推出 ，
证明 ，得到 ，设 ，则 ，求
出 ，设 ，则 ，利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：∵ ，
∴
∵
∴
∴ ；
（2）解：如图2：连接 ，
由（1）知 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
点F是 的中点， ，
，，
，
，
，
，
，
∴
；
（3）解：如图3，连接 ，过点M作 的垂线，垂足为点N，
是 直径， ，
， ，
设 ，则
在 中，
即
或 (舍去)
设 ，则 ，
在 中，
即
．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定
和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，
全等三角形．
1
26.（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与直线AC交于点A(6，0)，
4
C(0，−6)．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE
的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对
应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定
一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出
求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
1 1
【答案】(1)y= x2− x−6
4 2
(2)PD+PE的最大值为8，点P的坐标为(2，−6)
(3)Q(1，−4)或Q(9，0)或Q(−1，0)
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AC的解析式为y=x−6，设P ( m， 1 m2− 1 m−6 ) ，则E(m，m−6)，求出
4 2
1 1 1 3 1
PD=− m2+ m+6，PE=− m2+ m，继而得到PD+PE=− (m−2) 2+8，利用二次函数的性质
4 2 4 2 2
求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式为y= 1 (x−4) 2− 25 ，M(5，−6)，再求出F ( 0，− 9) ；设点N的
4 4 4
坐标为(4，n)，点Q的坐标为(s，t)，然后分当FM为对角线时，当FQ为对角线时，，当FN为对角线
时，三种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可．
1
【详解】（1）解：把A(6，0)，C(0，−6)代入到y= x2+bx+c中得：
4
¿，∴¿，
1 1
∴抛物线解析式为y= x2− x−6；
4 2
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b ，
1
∴¿，
∴¿，
∴直线AC的解析式为y=x−6，
设P ( m， 1 m2− 1 m−6 ) ，则E(m，m−6)，
4 2
∴PD=− 1 m2+ 1 m+6，PE=m−6− (1 m2− 1 m−6 ) =− 1 m2+ 3 m，
4 2 4 2 4 2
1 1 1 3
∴PD+PE=− m2+ m+6− m2+ m
4 2 4 2
1
=− m2+2m+6
2
1
=− (m−2) 2+8，
2
1
∵− <0，
2
∴当m=2时，PD+PE的值最大，最大为8，
∴此时点P的坐标为(2，−6) ；
1 1 1 25
（3）解：∵抛物线解析式为y= x2− x−6= (x−1) 2− ，P(2，−6)，
4 2 4 4
1 25 1 25
∴平移后的抛物线解析式为y= (x−1−3) 2− = (x−4) 2− ，M(5，−6)，
4 4 4 4
1 25 9
令x=0，则y= (x−4) 2− =− ，
4 4 4
( 9)
∴F 0，− ；
4
设点N的坐标为(4，n)，点Q的坐标为(s，t)，
当FM为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
¿，
∴s=1，
∴t=−4，
∴Q(1，−4)；当FQ为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
¿，
∴s=9，
∴t=0，
∴Q(9，0)；
当FN为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
¿，
∴s=−1，
∴t=0，
∴Q(−1，0)；
综上所述，点Q的坐标为Q(1，−4)或Q(9，0)或Q(−1，0)．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性
质，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
