文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（湖南省卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%．将数据“17.85亿”用科学
记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图， 是 的平分线，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点O，作射线 ，交 于点E．已知 ，
， 的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数
字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A．中位数为1
B．从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C．众数是1
D．平均数为
8．今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排
练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌
曲的概率是（ ）
A． B． C． D．1
9．如图，在矩形 中， ．对角线 与 相交于点 ， ，垂足为 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．若三条长度分别为 ， ， 的线段能构成三角形，我们就把 称为三角数组，已知 是三
角数组，则下列说法正确的是（ ）
① 一定是三角数组；② 不一定是三角数组；
③ 一定是三角数组；④ 不一定是三角数组；
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．不等式组 的解集是 ．
14．若关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ．
15．设a，b是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是 的外接圆，点A，B，O在网格线
的交点上，则 的值是 ．
17．如图，反比例函数 的图象经过 对角线的交点 ，已知点A， ， 在坐标轴上，
， 的面积为16，则 ．
18．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的
直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：
；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶
数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是
．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10
分，第26题12分，共66分）
19．计算： ．20．先化简，后计算： ，其中 是满足条件 的合适的非负整数．
21．如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点
在同一水平线上，经过测量，支架的立柱 与地面 垂直 ， 米，支
撑杆 于点 且 ，从点 观测点 的仰角为 ，又测得 米．
(1)求该支架的边 的长；
(2)求支架的边 的顶端点 到地面 的距离 ．（结果保留根号）
22．4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学
生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
(1)n＝ ，补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“70﹣80”这组的扇形圆心角为 °；
(3)若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优
秀的学生人数．
23．为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐．近年来，长沙某镇依托地域优势创办了
优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B
品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．
(1)问葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？
(2)某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过
3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，
所获总利润最大？最大总利润为多少元？葡萄品种 A品种 B品种
每包中葡萄重量（千克） 1 2
售价（元/包） 18 20
每个包装盒的成本（元） 3 2
24．如图，已知 的内接锐角三角形 中， 、 、 所对的边分别记作 ， ， ．
(1)如图①，若在直径 的延长线上取一点 ，使 ，求证： 是 的切线；
(2)如图①，在（1）的条件下，若 ， ，求 的长度；
(3)如图②，若设 的半径为 ，求证： ．
25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________；
A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形
(2)如图1，在边长为a的正方形 中，E为 边上一动点（E不与C、D重合）， 交 于点
F，过F作 交 于点H．
①试判断四边形 是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接 ，求 的周长；
③若四边形 是“等补四边形”，求 的长．
26．我们定义：对于一个函数，如果自变量 与函数值 ，满足：若 ，则 （ 为实
数），我们称这个函数在 上是同步函数．比如：函数 在 上是同步函数．理由：， ， ，得 ， 是同步函数．
(1)若函数 在 上是同步函数，求 的值；
(2)已知反比例函数 在 上是同步函数，求 的值；
(3)若抛物线 在 上是同步函数，且在 上的最小值为 ，设
抛物线与直线 交于 ， 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求
的长．
