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2015 年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是
符合题意的
1．（3分）（2015•北京）截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设
施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（ ）
A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106
2．（3分）（2015•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个
数中，绝对值最大的是（ ）
A．aB．b C．cD．d
3．（3分）（2015•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，
这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（
）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称
图形的为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015•北京）如图，直线l ，l ，l 交于一点，直线l ∥l ，若∠1=124°，
1 2 3 4 1
∠2=88°，则∠3的度数为（ ）
A．26° B．36° C．46° D．56°
第1页（共33页）6．（3分）（2015•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被
湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
7．（3分）（2015•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这
组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．21，21 B．21，21.5C．21，22 D．22，22
8．（3分）（2015•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑
分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门
的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点
的坐标正确的是（ ）
第2页（共33页）A．景仁宫（4，2） B．养心殿（﹣2，3）
C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3.5，﹣4）
9．（3分）（2015•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，
可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在
该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
10．（3分）（2015•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面
内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点
M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的
距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，
则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）（2015•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= ．
12．（3分）（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．
第3页（共33页）13．（3分）（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国
传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方
程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、
羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、
每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
14．（3分）（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，
写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
15．（3分）（2015•北京）北京市2009﹣2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．
根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约
万人次，你的预估理由是 ．
第4页（共33页）16．（3分）（2015•北京）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，
第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）（2015•北京）计算：（ ）﹣2﹣（π﹣ ）0+| ﹣2|+4sin60°．
第5页（共33页）18．（5分）（2015•北京）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）
的值．
19．（5分）（2015•北京）解不等式组 ，并写出它的所有非负整
数解．
20．（5分）（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
21．（5分）（2015•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大
量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点
600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点
的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预
计到2015年底，全市将有租赁点多少个？
第6页（共33页）22．（5分）（2015•北京）在 ▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上
DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
23．（5分）（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线
y= 的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
24．（5分）（2015•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦
CD∥BM，交AB于点F，且 = ，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
第7页（共33页）25．（5分）（2015•北京）阅读下列材料：
2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园
活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约
为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，
两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公
园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分
别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊
猫馆的游客密集度较高．
2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，
玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为
26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22
万人次．
2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32
万人次、13万人次、14.9 万人次．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为 万人次；
（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北
京动物园的游客接待量表示出来．
26．（5分）（2015•北京）有这样一个问题：探究函数y= x2+ 的图象与性质．
第8页（共33页）小东根据学习函数的经验，对函数y= x2+ 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y= x2+ 的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
﹣ ﹣
y … m …
﹣ ﹣ ﹣
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根
据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1， ），结合
函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
第9页（共33页）27．（7分）（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直
线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C ：
1
y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C 的表达式及顶点坐标；
1
（3）若抛物线C ：y=ax（2 a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a
2
的取值范围．
28．（7分）（2015•北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD
上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，
过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，
请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
第10页（共33页）29．（8分）（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C
不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满
足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称
点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（ ，0），T（1， ）关于⊙O的反称点是否存在？若存
在，求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，
求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣ x+2 与x轴、y轴分别交于点
A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆
心C的横坐标的取值范围．
2015 年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是
符合题意的
1．（3分）（2015•北京）截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设
施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（ ）
A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106
第11页（共33页）【解答】解：140000=1.4×105，
故选B．
2．（3分）（2015•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个
数中，绝对值最大的是（ ）
A．aB．b C．cD．d
【解答】解：根据图示，可得
3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，
所以这四个数中，绝对值最大的是a．
故选：A．
3．（3分）（2015•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，
这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（
）
A． B． C． D．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率= = ．
故选B．
4．（3分）（2015•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称
图形的为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，
B、不是轴对称图形，
C、不是轴对称图形，
第12页（共33页）D、是轴对称图形，
故选：D．
5．（3分）（2015•北京）如图，直线l ，l ，l 交于一点，直线l ∥l ，若∠1=124°，
1 2 3 4 1
∠2=88°，则∠3的度数为（ ）
A．26° B．36° C．46° D．56°
【解答】解：如图，∵直线l ∥l ，
4 1
∴∠1+∠AOB=180°，而∠1=124°，
∴∠AOB=56°，
∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB
=180°﹣88°﹣56°
=36°，
故选B．
6．（3分）（2015•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被
湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
第13页（共33页）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC= AB=AM=1.2km．
故选D．
7．（3分）（2015•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这
组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．21，21 B．21，21.5C．21，22 D．22，22
【解答】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，
第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22．
故选C．
8．（3分）（2015•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑
分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门
的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点
的坐标正确的是（ ）
第14页（共33页）A．景仁宫（4，2） B．养心殿（﹣2，3）
C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3.5，﹣4）
【解答】解：根据表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为
（4，1），
可得：原点是中和殿，
所以可得景仁宫（2，4），养心殿（﹣2，3），保和殿（0，1），武英殿（﹣3.5，﹣3），
故选B
9．（3分）（2015•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，
可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A 类 50 25
B 类 200 20
第15页（共33页）C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在
该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得：
y =50+25x，
A
y =200+20x，
B
y =400+15x，
C
当45≤x≤55时，
1175≤y ≤1425；
A
1100≤y ≤1300；
B
1075≤y ≤1225；
C
由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
10．（3分）（2015•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面
内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点
M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的
距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，
则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O
【解答】解：A、从A点到O点y随x增大一直减小到0，故A不符合题意；
第16页（共33页）B、从B到A点y随x的增大先减小再增大，从A到C点y随x的增大先减小再
增大，但在A点距离最大，故B不符合题意；
C、从B到O点y随x的增大先减小再增大，从O到C点y随x的增大先减小再
增大，在B、C点距离最大，故C符合题意；
D、从C到M点y随x的增大而减小，一直到y为0，从M点到B点y随x的增大
而增大，明显与图象不符，故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）（2015•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= 5 x （ x﹣ 1 ） 2 ．
【解答】解：5x3﹣10x2+5x
=5x（x2﹣2x+1）
=5x（x﹣1）2．
故答案为：5x（x﹣1）2．
12．（3分）（2015•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360 ° ．
【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣
∠DEA）
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）
=900°﹣（5﹣2）×180°
=900°﹣540°
=360°．
故答案为：360°．
第17页（共33页）13．（3分）（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国
传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方
程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、
羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、
每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
【解答】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
14．（3分）（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，
写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4× a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
第18页（共33页）15．（3分）（2015•北京）北京市2009﹣2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．
根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约 98 0 万
人次，你的预估理由是 因为 2012﹣201 3 年发生数据突变，故参照 2013﹣201 4
增长进行估算． ．
【解答】解：参考答案①：1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算；
参考答案②：980，因为2012﹣2013年发生数据突变，故参照2013﹣2014增长进
行估算．（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分，估计学生答出980至
1140之间均可给分）
16．（3分）（2015•北京）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
第19页（共33页）老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线
上，两点确定一条直线． ．
【解答】解：∵CA=CB，DA=DB，
∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点
确定一条直线．）
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条
直线．．
三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，
第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）（2015•北京）计算：（ ）﹣2﹣（π﹣ ）0+| ﹣2|+4sin60°．
【解答】解：原式=4﹣1+2﹣ +4× =5+ ．
18．（5分）（2015•北京）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）
的值．
【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，
∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．
19．（5分）（2015•北京）解不等式组 ，并写出它的所有非负整
数解．
【解答】解： ，
由①得：x≥﹣2；
由②得：x＜ ，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜ ，
第20页（共33页）则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
20．（5分）（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
21．（5分）（2015•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大
量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点
600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点
的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预
计到2015年底，全市将有租赁点多少个？
【解答】解：设到2015年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：
×1.2= ，
解得：x=1000，
经检验得：x=1000是原方程的根，
答：到2015年底，全市将有租赁点1000个．
22．（5分）（2015•北京）在 ▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上
DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
第21页（共33页）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC= = =5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
23．（5分）（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线
y= 的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
【解答】解：∵y= 经过P（2，m），
∴2m=8，
解得：m=4；
第22页（共33页）（2）点P（2，4）在y=kx+b上，
∴4=2k+b，
∴b=4﹣2k，
∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（2﹣ ，0），B（0，4﹣2k），
如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，
∵PA=2AB，
∴AB=PB，则OA=OC，
∴ ﹣2=2，
解得k=1；
当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，
= ，
解得，k=3．
∴k=1或k=3
24．（5分）（2015•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦
CD∥BM，交AB于点F，且 = ，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
第23页（共33页）【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴ ，
∵ = ，
∴ ，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE= AE，ON= AO，
设⊙O的半径为：r，
∴ON= r，AN=DN= r，
∴EN=2+ ，BE= AE= ，
在R△NEO与R△BEO中，
t t
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，
即（ ）2+（2+ ）2=r2+ ，
∴r=2 ，
第24页（共33页）∴OE2= +25=28，
∴OE=2 ．
25．（5分）（2015•北京）阅读下列材料：
2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园
活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约
为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，
两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公
园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分
别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊
猫馆的游客密集度较高．
2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，
玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为
26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22
万人次．
2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32
万人次、13万人次、14.9 万人次．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为 4 0 万人次；
（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北
京动物园的游客接待量表示出来．
【解答】解：（1）2014年，玉渊潭公园的游客接待量是：32×（1+25%）=40（万人）．
故答案是：40；
（2）2013年颐和园的游客接待量是：26.2﹣4.6=21.6（万元）．
第25页（共33页）玉渊潭公园 颐和园 北京动物园
2013年 32 21.6 14.9
2014年 40 26.2 22
2015年 38 26 18
26．（5分）（2015•北京）有这样一个问题：探究函数y= x2+ 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y= x2+ 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y= x2+ 的自变量x的取值范围是 x≠ 0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
﹣ ﹣
y … m …
﹣ ﹣ ﹣
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根
据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1， ），结合
函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 ．
【解答】解：（1）x≠0，
（2）令x=3，
第26页（共33页）∴y= ×32+
= + = ；
∴m= ；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x=0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
27．（7分）（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直
线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C ：
1
y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C 的表达式及顶点坐标；
1
（3）若抛物线C ：y=ax（2 a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a
2
的取值范围．
第27页（共33页）【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C ：y=x2+bx+c得：
1
解得：
∴y=x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C 过A点，B点时为临界，
2
代入A（3，2）则9a=2，
解得：a= ，
第28页（共33页）代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，
解得：a=2，
∴ ．
28．（7分）（2015•北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD
上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，
过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，
请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
【解答】解：（1）①如图1；
②解法一：如图1，连接CH，
∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形．
∵DP=CQ，
在△HDP与△HQC中．
∵ ，
∴△HDP≌△HQC（SAS），
第29页（共33页）∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．
∵BD是正方形ABCD的对称轴，
∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，
∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°，
∴AH=PH，AH⊥PH．
解法二：如图1，连接CH，
∵QH⊥BD，
∴∠QHB=∠BCQ=90°，
∴B、H、C、Q四点共圆，
∴∠DHC=∠BQC，
由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD，
由平移性质可知∠BQC=∠APD，
∴∠AHD=∠APD，
∴A、H、P、D四点共圆，
∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°，
∴△HAP是等腰直角三角形，
∴AH=PH，AH⊥PH．
（2）解法一：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形．
∵△BCQ由△ADP平移而成，
∴PD=CQ．
作HR⊥PC于点R，
∵∠AHQ=152°，
∴∠AHB=62°，
∴∠DAH=17°．
设DP=x，则DR=HR=RQ= ．
第30页（共33页）∵tan17°= ，即tan17°= ，
∴x= ．
解法二：
由（1）②可知∠AHP=90°，
∴∠AHP=∠ADP=90°，
∴A、H、D、P四点共圆，
又∠AHQ=152°，∠BHQ=90°，
∴∠AHB=152°﹣90°=62°，
由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°，
在Rt△APD中，∠PAD=90°﹣62°=28°，
∴PD=AD•tan28°=tan28°．
29．（8分）（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C
不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满
足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称
点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
第31页（共33页）（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（ ，0），T（1， ）关于⊙O的反称点是否存在？若存
在，求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，
求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣ x+2 与x轴、y轴分别交于点
A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆
心C的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）当⊙O的半径为1时．
①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；
N（ ，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（ ，0）；
T（1， ）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），
∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，
∴2x2﹣4x≤0，
x（x﹣2）≤0，
∴0≤x≤2．
当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；
当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；
∴0＜x＜2；
第32页（共33页）（2）∵直线y=﹣ x+2 与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，2 ），
∴ = ，
∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．
设C（x，0）．
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，
所以AC≤2，
C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H（′ 2，0）在圆的内部）
②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，
所以C点横坐标x≤8．
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．
第33页（共33页）
