文档内容
成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试
数学
A 卷（共 100 分）
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 的倒数是
（A） （B） （C） （D）
2.如图所示的三棱柱的主视图是
（A） （B） （C） （D）
3.今年 月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场
的城市，按照远期规划，新机场将新建的4个航站楼的总面积约为 万平方米，用科学计数法表示 万为
（A） （B） （C） （D）
4.下列计算正确的是
（A） （B） （C） （D）
5.如图，在 中， ， ， ， , 则 的长为
（A） （B） （C） （D）
6.一次函数 的图像不经过
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
7.实数 、 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算 的结果为
（A） （B） （C） （D）
8.关于 的一元二次方程 有两个不相等实数根，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D） 且
9.将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为
A、 B、 C、 D、
10.如图，正六边形 内接于圆 ，半径为 ，
则这个正六边形的边心距 和弧 的长分别为 F E
（A） 、 （B） 、
A O D
（C） 、 （D） 、
M
B C
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11.因式分解： __________.
12.如图，直线 ， 为等腰直角三角形， ，则 ________度.
A 1 m
n
B C
13.为响应 “书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，
则在本次调查中阅读时间的中位数是_______小时.
14.如图，在平行四边形 中， ， ，将平行四边形 沿 翻折后，点 恰好与点 重合，则折痕 的长为__________.
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15.（本小题满分12分，每小题6分）
(1)计算： (2)解方程组：16. （本小题满分6分）
化简:
17.（本小题满分8分）
如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段
的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.90）
C
200m
B 42°
E
200m
A 30°
D
18. （本小题满分8分）
国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，
我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，
解答下列问题：
（1）求获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列
表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率.
二等奖
20%
三等奖
一等奖
优胜奖
40%
19. （本小题满分10分）
如图，一次函数 的图象与反比例 （ 为常数，且 ）的图象交于 ， 两点.
（1）求反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求满足条件的点 的坐标及 的面积.
y
A
B
x
O20.（本小题满分10分）
如图，在 中， ， 的垂直平分线分别与 ， 及 的延长线相交于点 ， ， ，且 . 是 的
外接圆， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ， .
（1）求证： ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，求 的值.
C
H
D
E
G
O
A F
B
B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21.比较大小： ________ .（填 ， ，或 ）
22.有9张卡片，分别写有 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组 有解
的概率为_________.
23．已知菱形ABC D 的边长为2，∠ABC ＝60°，对角线AC ，BD 相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA，OB 所在直线为x轴、y轴，建立如
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
图所示的直角坐标系．以BD 为对角线作菱形BC DA∽菱形ABC D，再以AC 为对角线作菱形ABC D∽菱形BC DA，再以BB 为对角线
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2
作菱形BC DA∽菱形ABC D，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，A，A，…，A，则点A 的坐标为____________．
2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 3 n n
24.如图，在半径为5的 中，弦 ， 是弦 所对的优弧上的动点，连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，当 是等腰三
角形时，线段 的长为 .
C
C
C
A H
B A K A
B B
O
G O O
P
P
P
图（1） 图（2） 图（3）
25.如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方
程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 ；
③若点 在反比例函数 的图像上，则关于 的方程 是倍根方程；
④若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线 上，则方程 的一个根为
.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）26、（本小题满分8分）
某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 元够进了第二批这种衬衫，所
购数量是第一批购进量的 倍，但单价贵了 元。
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于 （不考虑其它因素），那么每件衬衫
的标价至少是多少元？
27、（本小题满分10分）
已知 分别为四边形 和 的对角线，点 在 内， 。
（1）如图①，当四边形 和 均为正方形时，连接 。
1)求证： ∽ ；2）若 ，求 的长。
（2）如图②，当四边形 和 均为矩形，且 时，若 ，求 的值；
（3）如图③，当四边形 和 均为菱形，且 时，设 ，试探究 三者之间满足的等
量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）
D C D C
D C
G G
G
F p
F
E F
n m
E E
A
A B A B B H
图① 图② 图③
28．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半
轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
y y
E
O O
A B x A B x
C C
D D
l l
备用图2015成都中考参考答案及详细解析
一、选择题
1、【答案】：A
【解析】：根据倒数的定义，很容易得到 的倒数是 ，选A。
2、【答案】：B
【解析】：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图
中。从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内，选B。
3、【答案】：C
【解析】： 科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值＞1时，n是正数； 当原数的绝对值＜1时，n是负数。 将126万用科学记数法表示1.26×106元，选B。
4、【答案】：C
【解析】： A、 与 是同类项，能合并， 。故本选项错误。
a2
B、 与 是同底数幂，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a2 a3
。故本选项错误。
a2a3 a5
C、根据幂的乘方法则。 。故本选项正确。
(a2)2 a4
D、根据完全平方公式 。 。故本选项错误。
(a1)2 a2 12a
综上，选C。
5、【答案】：B
【解析】： 根据平行线段的比例关系， ，即 ， ，选B。
6、【答案】：D
【解析】： ∵ ，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限，不经过第四象限，选D。
7、【答案】：C
【解析】： 根根据数轴上两数的特点判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对 进行分析即可。
由图可知a<0，b>0。所以a-b<0。 为 的相反数，选C。
ab ab
8、【答案】：D
【解析】：这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则 ，然后有两个不想等的实数根，则 ，则有 ，
所以 且 ，因此选择 。
9、【答案】：A
【解析】：这个题考的是平移，函数的平移：左加右减，上加下减。向左平移 个单位得到： ，再向下平移 个单位得到： ，
选择 。
10、【答案】：D
【解析】：在正六边形中，我们连接 、 可以得到 为等边三角形，边长等于半径 。因为 为边心距，所以 ，所以，在边长
为 的等边三角形中，边上的高 。弧 所对的圆心角为 ，由弧长计算公式： ，选D。
二、填空题
11、【答案】：
【解析】：本题考查了平方差公式， ，因此， 。
12、【答案】：【解析】：本题考查了三线八角，因为 为等腰直角三角形，所以
，又 ，
13、【答案】：1
【解析】：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字
(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数。
此题，显然中位数是1。
14、【答案】：3
【解析】：点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，
根据翻折的性质， 则 ， ，
在 中，由勾股定理得
三、解答题
15、（1）【答案】：8
【解析】：原式
（2）【答案】：
【解析】： 两式相加得 ，解得 ，将 代入第一个式子，解得 ，
所以方程组的解为 。
16、【答案】：
【解析】： 原式=
17、【答案】：234m
【解析】：如图所示，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离为 ，
又∵ 和 均为直角三角形，
∴
18、【答案】：（1）30人； （2）
【解析】：
（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为 人，
一等奖占 ，所以，一等奖的学生为
人
（2）这里提供列表法：
A B C D
A AB AC AD
B AB BC BD
C AC BC CD
D AD BD CD
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为
19、【答案】：（1） ， ；（2）P ，
【解析】：
（1）由已知可得， ， ，
∴反比例函数的表达式为 ，
联立 解得 或 ，所以 。
（2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到 ，
连接 交x轴于点 ，连接 ，则有，，当P点和 点重合时取
到等号。易得直线 ： ，令 ，
y
得 ，∴ ，即满足条件的P的坐标为 ，
A
设 交x轴于点C，则 ，
B
∴ ，
x
O P P' C
即
B'
20、【答案】：（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】：
（1）由已知条件易得， ，
又 ，∴ （ ）
（2） 与 相切。
理由：连接 ，则 ，
∴ ，
∴ 。
（3）连接 ， ，由于 为垂直平分线，
∴ ，
C
∴ ，
又∵ 为角平分线，∴ ， H
∴ ，∴ ，∴ ，
D
即 ，∵在等腰 中 ，
E
G
∴ O
A F
B
B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21.【答案】：<
【解析】： 为黄金数，约等于0.618， ，显然前者小于后者。
或者作差法： ，所以，前者小于后者。
22. 【答案】：
【解析】：设不等式有解，则不等式组 的解为 ，那么必须满足条件， ，∴满足条件的a的值为
6,7,8,9，∴有解的概率为
23．【答案】：（3n－1，0）
【解析】：由题意，点A 的坐标为（1，0），
1
点A 的坐标为（3，0），即（32－1，0）
2
点A 的坐标为（9，0），即（33－1，0）
3
点A 的坐标为（27，0），即（34－1，0）
4
………∴点A 的坐标为（3n－1，0）
n
24.【答案】： 或 或
【解析】：（1）当 时，如图（1），作 于点 ，延长 交 于点 ；
易知 ，
射影知 .
（2）当 时，如图（2），延长 交 于点 ，易知 ， ，
易知 .
（3）当 时，如图（3），由 .
综上： 或 或
25.【答案】②③
【 解 析 】 ： 研 究 一 元 二 次 方 程 是 倍 根 方 程 的 一 般 性 结 论 ， 设 其 中 一 根 为 ， 则 另 一 个 根 为 ， 因 此
，所以有 ；我们记 ，即 时，方程 为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
对于①， ，因此本选项错误；
对于②， ，而 ，因此本选项正确；
对于③，显然 ，而 ，因此本选项正确；
对于④，由 ， 知 ，由倍根方程的结论知 ，从而有 ，所以方程变为
， ，因此本选项错误。
综上可知，正确的选项有：②③。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）
26、（本小题满分8分）
【答案】：（1）120件；（2）150元。
【解析】：（1）设该商家购进的第一批衬衫是 件，则第二批衬衫是 件
由题意可得： ，解得 ，经检验 是原方程的根。
（2）设每件衬衫的标价至少是 元
由（1）得第一批的进价为： （元/件），第二批的进价为： （元/件）
由题意可得：
解得 ，所以 ，即每件衬衫的标价至少是 元。
27、（本小题满分10分）
【答案】：（1）1）见解析，2） ；（2） ；（3）
【解析】：（1）1) ，又 ，
∽ 。
2） ， ，由 ∽ 可得 ，又 ， ，即
由 ，解得 。
（2）连接 ，同理可得 ，由 ，可得
，所以 ， 。
，解得 。
（3）连接 ，同理可得 ，过 作 延长线于 ，
可解得 ， ，
。
D C D C
D C
G G
G
F p
F
E F
n m
E E
A
A B A B B H
图① 图② 图③
28．（本小题满分12分）
【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a；
（2）a＝－；
（3）P的坐标为（1，－）或（1，－4）
【解析】：
（1）A（－1，0）
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k
y
∴y＝kx＋k
E
令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4
O
∴－3－＝－1×4，∴k＝a
A B x
∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a C
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F F
D
设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a） l
EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a
S ＝S －S
△ACE △AFE △CFE y
＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x
＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a
∴△ACE的面积的最大值为－a O
∵△ACE的面积的最大值为 A
C
B x
∴－a＝，解得a＝－ D
l
（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0
解得x＝－1，x＝4
1 2
∴D（4，5a）
∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1
设P（1，m）
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a） Q
Pm＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°
∴AD2＋PD2＝AP2
∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2
即a2＝，∵a＜0，∴a＝－
∴P（1，－）
1
②若AD是矩形的一条对角线
y
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，－3a）
m＝5a－(－3a)＝8a，则P（1，8a） Q
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°
∴AP2＋PD2＝AD2 O
A B x
∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2 C
即a2＝，∵a＜0，∴a＝－
D
∴P（1，－4） l
2
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形
P
点P的坐标为（1，－）或（1，－4）
