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【例 3】（真题2016 年下· 高中）如图为某同学设计的喷水装置，其中圆柱形容器的容积为 𝑉 ，
0
内部装有体积为0.5𝑉 的水，水上密封的空气压强为𝑝 ，保持阀门关闭，用打气筒再向内充入压强为
0 0
𝑝 、体积为1.5𝑉 的空气。设在所有过程中，空气可看作理想气体，且温度不变。则充气后容器内
0 0
空气的压强为（ ）。
A. 𝑝 B. 2𝑝
0 0
C. 3𝑝 D. 4𝑝
0 0
（讲义页码 P ）
135【答案】D
【解析】充气前，气体的总体积为2𝑉 ，压强为𝑝 ；充气后，气体的总
0 0
体积为0.5𝑉 ，压强设为𝑝，由题述可知，气体做等温变化，由玻意耳定律
0
可得2𝑉 𝑝 = 0.5𝑉 𝑝，解得𝑝 = 4𝑝 ，D选项正确。
0 0 0 0
故正确答案为D。
（讲义页码 P ）
135【例3】两个容器A、B，用截面均匀的水平细玻璃管相连，如图所示，A、B所装
气体的温度分别为17℃和27℃，水银柱在管中央平衡，如果两边温度都升高10℃，那
么水银柱将（ ）。
A．向右移动 B．向左移动
C．不动 D．条件不足，不能确定
（讲义页码 P ）
144【答案】A
【解析】假定两个容器的体积不变，即𝑉 ， 𝑉 不变，𝐴、𝐵中所装气体温度分别为
1 2
290K和300K，当温度升高Δ𝑇时，容器𝐴的压强由𝑝 增至𝑝 ，∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 ，容器𝐵
A1 A2 A A2 A1
𝑃 𝑃
的压强由𝑝 增至𝑝 ，∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 ；由查理定律，得𝛥𝑃 = A 𝛥𝑇，𝛥𝑃 = B 𝛥𝑇，
B1 B2 B B2 B1 A B
290 300
因为𝑝 = 𝑝 ，所以∆𝑝 > ∆𝑝 ，即水银柱应向右移动。
A B A B
故正确答案为A。
（讲义页码 P ）
144【例4】下图描绘一定质量的氧气分子分别在 0℃和 100℃两种情况下速率分布情况，
符 合统计规律的是（ ）。
（讲义页码 P ）
146【答案】A
【解析】气体温度升高，分子热运动更剧烈，分子热运动的平均速率变
大，且大量气体分子的速率分布呈现“中间多，两头少”的特点，温度高时
速率大的分子所占的比例 变大，故 100℃时速率分布图线较 0℃时速率分布
图线整体右移，且各区间速率占比总和 为 1，故 100℃时峰值较 0℃低，A
项正确。
故正确答案为 A。
（讲义页码 P ）
146【例5】（多选）一定质量的理想气体处于平衡状态Ⅰ，现设法使其温度降低而压强升高，达到平
衡状态Ⅱ ，则（ ）。
A．状态Ⅰ时气体的密度比状态Ⅱ时的大
B．状态Ⅰ时分子的平均动能比状态Ⅱ时的大
C．状态Ⅰ时分子间的平均距离比状态Ⅱ时的大
D．状态Ⅰ时每个分子的动能都比状态Ⅱ时的分子平均动能大
（补 充）【答案】BC
【解析】一定质量的理想气体由平衡状态Ⅰ变到平衡状态Ⅱ ，且温度降低压强变大，根
𝑝𝑉
据理想气体状态方程 = 𝐶可知：气体的体积一定减小，一定质量的气体体积变小，气体的
𝑇
密度增大，故状态Ⅰ时气体的密度比状态Ⅱ时的气体密度小，A选项错误。
B选项，温度是气体分子平均动能的标志，状态Ⅰ变到状态Ⅱ温度降低，故平均动能减
小，即状态Ⅰ时分子的平均动能比状态Ⅱ时的大，B选项正确。
C选项，由A选项可知，气体的体积减小，故分子间的平均距离变小，故状态Ⅰ时分子间
的平均距离比状态Ⅱ时的大，C选项正确。
D选项，温度是气体分子平均动能的标志，温度降低，气体分子的平均动能减小，但不
是每个分子的动能都变小，D选项错误。
故正确答案为BC。
（补 充）• 第五节 内能七、内能
（一）基本概念
1．定义
构成物体的所有分子，其热运动的动能与分子势能的总和，叫做物体的内能。
2．特点
组成任何物体的分子都在做无规则的热运动，任何物体都具有内能。
（二）功和内能
1.绝热过程
系统与外界仅通过做功交换能量，它不从外界吸热，也不向外界放热的过程。
2.功和内能变化的关系
当系统从某一状态经过绝热过程达到另一状态时，内能的增加量𝛥𝑈就等于外界对系统所做的功𝑊，
用式子表示为𝛥𝑈 = 𝑈 − 𝑈 = 𝑊。即外界对物体做功，物体的内能增加；物体对外界做功，物体的内
2 1
能减小。
（讲义页码 P ）
147（三）分子动能和分子的平均动能
1．分子动能
做热运动的分子所具有的动能叫分子动能。
2．分子的平均动能
（1）定义：物体内所有分子的动能的平均值叫作分子的平均动能。
（2）意义：温度是物体分子热运动平均动能的标志。
（3）对温度与分子的平均动能的理解
①一个分子的热运动是没有意义的。
②气体分子间的势能可以不计，气体内能与体积无关。
③相同温度，平均动能相同，不同物质分子质量不一定相同，所以分子运动的平均速率不一定相同。
（讲义页码 P ）
148（四）分子势能
1．定义：由于分子之间存在类似弹簧形变时的相互作用力，所以分子也
具有势能，这种势能叫做分子势能。
2．决定因素
（1）微观上：分子势能的大小由分子间的相互位置决定。
（2）宏观上：分子势能的大小与物体的体积有关。
3、分子力做功和分子势能之间的关系
（1）当分子间距离𝑟 > 𝑟 时，分子间的作用力表现为引力，分子间距离
0
增大时，分子力做负功，因此分子势能随分子间距离的增大而增大。
（2）当分子间距离𝑟 < 𝑟 时，分子间的作用力表现为斥力，分子间距离
0
减小时，分子力做负功，因此分子势能随分子间距离的减小而增大。
（3）当分子间距离𝑟 = 𝑟 时，分子力为零，分子势能最小。
0
（讲义页码 P ）
149物理量 区别 联系
表示物体的冷热程度，不能被传递或转移，
温度
单位是摄氏度。温度是物体内部分子热运动快
慢程度的标志。 热传递可以改变物体的
内能，使其内能增加或减少，
内能是一种形式的能，可以被转化或转移，
内能
但温度不一定改变（晶体的熔
单位是焦耳。一切物体都具有内能，它是物体中
化、凝固）。即物体吸热，内
所有分子动能和势能的总和，它的大小取决于
能会增加；物体放热，内能会
分子的热运动和分子间的相互作用。
减少，但是物体的温度不一定
热传递过程中传递能量的多少，单位是焦
改变。
耳，它是内能转移多少的量度，是一个过程量，
热量
不是物体所具有或含有的。它用“放出”或
“吸收”来表示。
（补 充）【例1】以下是一些同学的观点，你认为正确的是（ ）
A．摔碎的陶瓷片不能拼在一起，是由于分子间的斥力大于引力
B．两分子间的距离增大，分子势能可能先增大后减小
C．−5℃时水已经结为冰，部分水分子已经停止了热运动
D．任何物体都具有内能，一般说来物体的温度和体积发生变化时它的内能都会随之改变
（讲义页码 P ）
150【答案】D
【解析】A项：摔碎的陶瓷片不能拼在一起，是因为分子间距离太大，
不能到达分子力作用范围，A选项错误
B项：由图像分析可得，两分子间的距离增大，分子势能可能先减小
后增大，不能可先增大后减小，B选项错误；
C项：−5℃时水已经结为冰，水分子仍在做无规则的热运动，C选项
错误；
D项：任何物体都具有内能，一般说来物体的温度变化是分子动能变
化，体积变化时分子势能发生变化，内能是分子动能和分子势能之和，
物体的内能都会随之改变，D选项正确。
（讲义页码 P ）
150【例 2】对于实际的气体，下列说法正确的是（ ）。
A. 气体的内能包括气体分子的重力势能
B. 气体的内能包括分子之间相互作用的势能
C. 气体的内能包括气体整体运动的动能
D. 气体体积变化时，其内能一定改变
（讲义页码 P ）
150【答案】B
【解析】A、B、C 三项：气体的内能等于所有分子热运动的动能和分子势能的总
和， 故 A、C 两项错误，B 项正确。
D 项：根据热力学第一定律：∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄 可知，改变内能的方式有做功和热传
递，所以体积发生变化时，内能可能不变，D 项错误。
故正确答案为B。
（讲义页码 P ）
150【例3】图中曲线所示，曲线与𝑟轴交点的横坐标为𝑟 ，相距很远的两分子在分子力作用下，由
0
静止开始相互接近。若两分子相距无穷远时分子势能为零，下列说法不正确的是（ ）。
A．在𝑟＞𝑟 阶段，𝐹做正功，分子动能增加，势能减小
0
B．在𝑟＜𝑟 阶段，𝐹做负功，分子动能减小，势能也减小
0
C．在𝑟＝𝑟 时，分子势能最小，动能最大
0
D．分子动能和势能之和在整个过程中不变
（讲义页码 P ）
151【答案】B
【解析】𝑟 为两分子的平衡距离；分子间距大于平衡距离时，分子力表现为引力，小 于平衡距
0
离时，分子力表现为斥力。
A 项：当𝑟大于𝑟 时，分子力表现为引力，两分子相互靠近时𝐹做正功，分子动能增 加，势能减
0
小，A 项正确。
B 项：当𝑟小于𝑟 时，分子间的作用力表现为斥力，两分子相互靠近时𝐹做负功，分 子动能减小，
0
势能增加，B 项错误。
C 项：当𝑟等于𝑟 时，分子势能最小，动能最大，C 选项正确。
0
D 项：由于没有外力做功，故分子动能和势能之和在整个过程中不变，D 选项正确。
本题为选非题，故正确答案为 B。
（讲义页码 P ）
151【例4】如图，一定质量的理想气体从状态𝑎出发，经过等容过程𝑎𝑏到达状态𝑏，再经过等温过程
𝑏𝑐到达状态𝑐，最后经等压过程𝑐𝑎回到状态𝑎。下列说法正确的是（ ）。
A．在过程𝑎𝑏中气体的内能增加
B．在过程𝑐𝑎中气体对外界做功
C．在过程𝑎𝑏中气体对外界做功
D．在过程𝑏𝑐中气体向外界放出热量
（讲义页码 P ）
152【答案】A
【解析】AC选项，在过程𝑎𝑏中，体积不变，外界不对气体做功，气体也不对外界做
功，压强增大、温度升高，内能增加，A选项正确、C选项错误；
B选项，在过程𝑐𝑎中，气体体积缩小，外界对气体做功，压强不变，温度降低，故内
能减小，有热力学第一定律可得气体项外界放出热量，B选项错误；
D选项，在过程𝑏𝑐中，温度不变，内能不变，体积增大，气体对外界做功，由热力学
第一定律可知，气体要从外界吸收热量，D选项错误。
故正确答案为A。 （讲义页码 P ）
152• 第六节 热力学定律八、热力学三个定律
（一）热力学第一定律
1．内容：一个热力学系统的内能增量等于外界向它传递的热量与外界对它所做的功的和。
2．表达式为：𝛥𝑈 = 𝑊 + 𝑄。
3．第一类永动机
（1）特点：不需要任何动力或燃料，却能不断地对外做功的机器
（2）不可能制成的原因：违背能量守恒定律，不可能制成
（讲义页码 P ）
152【例2】（真题 2023 年上 · 初中）一定质量的理想气体，在某一过程中外界对气体做功 400𝐽，气体
的内能减少了1200𝐽，则该过程中气体（ ）。
A. 吸收热量 0.8 × 103𝐽
B. 吸收热量 1.6 × 103𝐽
C. 放出热量 0.8 × 103𝐽
D. 放出热量 1.6 × 103𝐽
（讲义页码 P ）
153【答案】D
【解析】根据热力学第一定律 ∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄，再结合题干条件，外界对气体
做功， 𝑊 = 400𝐽， 气 体 内 能 减 少， ∆𝑈 = − 1200𝐽， 则 − 1200𝐽 = 𝑄 +
400𝐽 ，解得 𝑄 = −1600𝐽， 即放出了1.6 × 103𝐽的热量，D 项正确。
故正确答案为 D。
（讲义页码 P ）
153【例2】如图，用隔板将一绝热气缸分成两部分，隔板左侧充有理想气体，隔板右侧与绝热活塞之间
是真空。现将隔板抽开，气体会自发扩散至整个气缸。待气体达到稳定后，缓慢推压活塞，将气体压回
到原来的体积。假设整个系统不漏气。下列说法正确的是（ ）。
A．气体自发扩散前后内能不相同
B．气体在被压缩的过程中内能增大
C．在自发扩散过程中，气体对外界做功
D．气体在被压缩的过程中，气体分子的平均动能不变
（讲义页码 P ）
153【答案】B
【解析】气体向真空扩散过程中不对外做功，且又因为气缸绝热，可知气体自发扩散前后内
能相同，选项A、C错误；气体在被压缩的过程中活塞对气体做功，因气缸绝热，则气体内能增
大，选项B正确；气体在被压缩的过程中，因气体内能增加，则温度升高，气体分子的平均动能
增加，选项D错误。
故正确答案为B。
（讲义页码 P ）
154【例 7】（真题 2021 年下 · 高中）一定质量的理想气体从状态𝐴经状态𝐵变化到状态𝐶，其 𝑝 −
1
图像如图所示，则从状态 𝐴 变化到状态 𝐶 的过程中（ ）。
𝑉
A. 气体放出2 × 105 𝐽的热量
B. 气体吸收2 × 105𝐽 的热量
C. 气体放出1 × 105𝐽 的热量
D. 气体吸收1 × 105𝐽 的热量
（讲义页码 P ）
154【答案】B
【解析】由 𝐴 到 𝐵 的过程为等压变化，气体体积变大，气体对外做功，做功的大小
𝑊 = 𝑝（𝑉 − 𝑉 ）；由 𝐵 到 𝐶 的过程为等容变化，此过程不做功，根据热力学第一定律
𝐵 𝐴
Δ𝑈 = 𝑊 + 𝑄，𝐴 和 𝐶 两点温度相等，Δ 𝑈 = 0，代入数据解得𝑄 = 2 × 105𝐽。
故正确答案为 B。
（讲义页码 P ）
154【例4】如图是一定质量理想气体状态变化的𝑉 − 𝑇图像，图中𝑎𝑏和𝑐𝑑平行，𝑏𝑐和𝑇轴
垂直，𝑎𝑑和𝑇轴平行，𝑐𝑑延长线经过原点𝑂，由图像可知（ ）。
A．𝑎 → 𝑏过程气体压强不变
B．𝑏 → 𝑐过程气体内能变大
C．𝑐 → 𝑑过程气体密度变小
D. 𝑑 → 𝑎过程气体放出热量
（补 充）【答案】D
【解析】A选项，在𝑉 − 𝑇图象中，过坐标原点的直线为等压変化，ab不过坐标原点，
故不是等压变化，A选项错误。
B选项，由图可知， 𝑏 → 𝑐的横坐标温度不变，即为等温变化，而理想气体的内能由
温度决定，故内能不变，B选项错误。
𝑚
C选项， 𝑐 → 𝑑为等压变化，由c到d体积减小，而质量不变，故密度𝜌 = 增大，故C
𝑉
选项错误。
D选项， 𝑑 → 𝑎过程为等容变化，气体对外不做功𝑊 = 0；温度降低，表示内能减小，
∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊可得𝑄 < 0，即气体放热，D选项正确。
故正确答案为D。
（补 充）（二）热力学第二定律
1.两种表述
（1）克劳修斯表述
热量不能自发地从低温物体传到高温物体，即从热传导的方向性表述。
（2）开尔文表述
不可能从单一热库吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响。
2．第二类永动机
（1）特点：从单一热库吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响的机器；
（2）不可能制成的原因：不违背能量守恒定律，违背热力学第二定律。
（讲义页码 P ）
1553、热机
（1）定义：把内能转化为机械能的机器。
（2）内燃机每一个工作循环分为四个冲程：吸气冲程A、压缩冲程B、做功冲程C、排气冲程D，
做功冲程是将内能转化为机械能；压缩冲程将机械能转化为内能。
（补 充）4. 热机效率
①定义：用来做有用功的那部分能量与燃料完全燃烧放出的能量之比叫做热机的工作效率。
𝑊
𝜂
②公式： = 。
𝑄
热力学第二定律的微观解释：
（1）热力学第二定律的微观意义 一切自发过程总是沿着分子热运动无序性增大的方向进行。
（2）熵增加原理 在任何自然过程中，一个孤立系统的总熵不会减小，如果过程可逆，则熵不变；
如 果过程不可逆，则熵增加。
（三）热力学第三定律
1. 内容：不可能通过有限的过程把一个物体冷却到绝对零度。
2. 热力学温度𝑇与摄氏温度𝑡的关系：𝑇 = 𝑡 + 273.15𝐾。
（补 充）【例5】下列有关热现象的叙述中，不正确的是（ ）。
A. 机械能转化为内能的实际宏观过程是不可逆过程
B. 气体可以从单一热源吸收热量，全部用来对外做功
C. 第二类永动机没有违反能量守恒定律，但违反了热力学第一定律
D. 热量可以从低温物体传到高温物体，但是不可能不引起其他变化
（讲义页码 P ）
156【答案】C
【解析】A 项：根据热力学第二定律知，机械能转化为内能的实际宏观过程是不可逆 过程，A 项
正确。
B 项：在外界的影响下，气体可以从单一热源吸收热量，全部用来对外做功，B项 正确。
C 项：第二类永动机没有违反能量守恒定律，但违反了热力学第二定律，C 项错误。
D 项：根据热力学第二定律知，热量可以从低温物体传到高温物体，但是不可能不 引起其他变化，
D 项正确。
本题为选非题，故正确答案为 C。
（讲义页码 P ）
156【例6】根据热力学定律，可知下列说法中正确的是（ ）。
A．外界对物体做功，物体的内能必定增加
B．随着科技的发展，机械效率是100%的热机是可能制成的
C．不可能从单一热源吸收热量并把它全部用来做功，而不引起其他变化
D．凡与热现象有关的宏观过程都具有方向性，在热传递中，热量只能从高温物体传递给低温物
体，而不能从低温物体传递给高温物体
（讲义页码 P ）
156【答案】C
【解析】A项：根据热力学第一定律：△ 𝐸 = 𝑊 + 𝑄，外界对物体做功，若物体放出热量，则物体
的内能不一定增大，A选项错误；
B、无论科学技术多么发达，机械效率可能提高，但一定小于100%，即物体的机械效率不可能达
到100%，B选项错误；
C、根据热力学第二定律内容，不可能从单一热源吸收热量并把它全部用来做功，而不引起其他变
化，C选项正确；
D、根据热力学第二定律，热量不可能自发地从低温物体传到高温物体，但是只要外界提供能量，
热量可以从低温传递到高温，比如冰箱的工作原理，D选项错误。
故正确答案为C。
（讲义页码 P ）
156【例7】柴油机在压缩冲程中，气缸内物质的压强、温度、内能的变化情况是（ ）。
A.压强不变，温度升高，内能增大
B.压强减小，温度不变，内能减小
C.压强增大，温度降低，内能减小
D.压强增大，温度升高，内能增大
（补 充）【答案】D
【解析】在柴油机压缩冲程中，汽油和空气的总量不变，活塞上移压缩汽油和空
气的混合物，体积减小、压强增大，将机械能转化为内能，使混合物的内能增加，
温度升高，故D选项正确。
故正确答案为D。
（补 充）一、易错内容辨析:
1. 布朗运动不属于分子热运动，但布朗运动间接的证明了液体分子的无规则运动
2. 分子之间同时存在着相互作用的引力和斥力；分子力的作用距离有限
3. 𝑉 − 𝑇图象中，过坐标原点的直线为等压变化；𝑃 − 𝑇图象中，过坐标原点的直线为等容变化
4. 温度是分子热运动平均动能的标志；温度决定了理想气体的内能变化
5. 克劳修斯表述：温度不能自发地从低温物体传到高温物体
二、重要公式：
𝑝𝑉 𝑝 𝑉 𝑝 𝑉 𝑝 𝑉
1.当𝑇 = 𝑇 时，𝑝 𝑉 = 𝑝 𝑉 （玻意耳定律） 4. 理想气体状态方程： = 𝐶或 1 1 = 2 2 =⋅⋅⋅= 𝑛 𝑛
1 2 1 1 2 2
𝑇 𝑇 𝑇 𝑇
1 2 𝑛
𝑝 𝑝
2.当𝑉 = 𝑉 时， 1 = 2（查理定律） 5. 热力学第一定律： 𝛥𝑈 = 𝑊 + 𝑄
1 2
𝑇 𝑇
1 2
𝑉 𝑉
3.当𝑝 = 𝑝 时， 1 = 2（盖-吕萨克定律）
1 2
𝑇 𝑇
1 2理论精讲—— 中学机械振动与机械波
▹讲师：楠 风
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师概 述第 二 章
机械振动与机械波• 第一节 机械振动基本概念第一节 机械振动
一、基本概念
（一）物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动叫
机械振动。
（二）描述振动的物理量
1振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用𝐴表示。
(2)物理意义：表示振动强弱的物理量，振幅越大，表示振动越强。
2振动的周期和频率
(1)全振动：振动物体完成一个完整的振动过程称为一次全振动。一
个完整的振动过程指终点和起点的位移和速度的大小和方向都相同。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用𝑇表示。
(3)频率：单位时间内完成全振动的次数，叫振动的频率，用𝑓表示。 （讲义页码 P ）
1583.平衡位置与平衡状态
回复力为零的位置为平衡位置，合力为零的状态为平衡状态。根据上面的分析，已经知道回复力
不一定是物体所受到的合力，故做机械振动的质点在平衡位置时的状态就不一定是平衡状态。如
单摆在摆动过程中(𝜃 < 5°)，通过平衡位置时回复力为零，但还需要向心力，此时绳子的拉力与
重力的合力指向悬点(即圆心)充当向心力，故合外力不为零，不是平衡状态。
（讲义页码 P ）
159二、外力作用下的振动
（一）第一种：阻尼振动
1. 概念：振动系统受到阻力的作用时，振幅逐渐减小，这种振动
叫做阻尼振动。振动频率为系统固有频率。
2.振动特点：
①振动的振幅逐渐减小；②系统的机械能逐渐减小至0；③周期
和频率不变。
3. 振动图像
（讲义页码 P ）
159（二）第二种：受迫振动
1. 内容：周期性的外力作用在做阻尼振动的系统上，外力对系统做功，补偿系
统的能量损耗，使系统的振动维持下去。这种周期性的外力叫做驱动力，系统在驱
动力作用下的振动叫做受迫振动。系统做受迫振动的频率总等于周期性驱动力的频
率，与系统的固有频率无关。
2. 受迫振动的特殊形式：共振
（1）定义：在受迫振动中，驱动力的频率跟系统的固有频率相等时，受迫振动
的振幅最大，这种现象叫共振。
（2）发生共振的条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。
（3）共振曲线：直观地反映系统做受迫振动的振幅𝐴与驱动力频率𝑓的关系，即
当驱
动力的频率𝑓偏离系统固有频率𝑓 较大时，受迫振动的振幅𝐴 较小；当驱动力的
0
（讲义页码 P ）
160
频率𝑓等于系统固有频率𝑓 时，受迫振动的振幅𝐴最大，如图所示。
0【例1】（多选）如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒五个单摆，让𝑎摆略
偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正
确的有（ ）。
A.其余各摆的振幅大小不同，𝑐摆的振幅最大
B.其余各摆的振动周期不同，𝑐摆的周期最长
C.其余各摆的振动周期与𝑎摆相同
D.其余各摆均做自由振动
（补 充）【答案】AC
【解析】 𝑎摆做的是自由振动，周期等于𝑎摆的固有频率，其余各摆均做受迫振动，所
以振动周期均与𝑎摆相同，故C选项正确，BD选项错误。
𝑐摆与𝑎摆的摆长相同，所以𝑐摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样𝑐摆产生共振，
故𝑐摆的振幅最大，故A选项正确。
故正确答案为AC。
（补 充）• 第二节 简谐运动二、简谐运动
（一）弹簧振子(水平）
1.模型示意图：
2.简谐运动条件：
（1）弹簧质量忽略不计；
（2）无摩擦等阻力；
（3）在弹性限度内
3.回复力：弹簧的弹力提供，𝐹 = 𝐹 = −𝑘𝑥(𝑥为形变量）
回 弹
4.平衡位置：𝐹 = 0, 𝑎 = 0，弹簧处于原长
回
𝑚
5.固有周期：𝑇 = 2𝜋 ，与振幅无关（了解即可，公式无需记忆）
𝑘
6.能量转化关系：弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒
（讲义页码 P ）
160（二）单摆
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供，𝐹 =
回
𝑚𝑔
− 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≈ − 𝑥(𝑙为摆长，𝑥是摆球相对平衡位置的位移）
𝑙
（2）平衡位置：𝐹 = 0，𝑎 = 0，小球摆动的最低点
回 切
𝑙
（3）固有周期：𝑇 = 2𝜋 ，与振幅、摆球质量无关
𝑔
（讲义页码 P ）
161【答案】C
𝐿
【解析】由图像可知𝑇 ：𝑇 = 1:1，根据𝑇 = 2𝜋 可知甲、乙摆长之比为1:1。
甲 乙
𝑔
故正确答案为C。
（讲义页码 P ）
163【例1】下图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图象，从图象可知甲、乙摆长之比为（ ）。
A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．2:3
（讲义页码 P ）
163【答案】C
𝑔
【解析】由图像可知𝑇 ∶ 𝑇 = 1 ∶ 1，根据𝑇 = 2𝜋 可知甲、乙摆长
甲 乙
𝑙
之比为 1 ∶ 1。
故正确答案为 C。
（讲义页码 P ）
163【例2】甲、乙两单摆静止在平衡位置，摆长𝐿 ＞𝐿 。现给摆球相同的水平初速度𝑣 ，让其在竖
甲 乙
0
直平面内做小角度摆动。如果用𝑇 和𝑇 表示甲、乙两单摆的摆动周期，用𝜃 和𝜃 表示摆球摆动到振
甲 乙 甲 乙
幅位置时摆线与竖直方向的夹角，则下列判断的是（ ）。
A．𝑇 ＞𝑇 ，𝜃 ＜𝜃
甲 乙 甲 乙
B．𝑇 ＜𝑇 ，𝜃 ＞𝜃
甲 乙 甲 乙
C．𝑇 ＞𝑇 ，𝜃 ＞𝜃
甲 乙 甲 乙
D．𝑇 ＝𝑇 ，𝜃 ＝𝜃
甲 乙 甲 乙
（补 充）【答案】A
𝑙
【解析】根据单摆的周期公式𝑇 =2𝜋 比较，摆长越长，则周期越大，
𝑔
因为摆长𝐿 > 𝐿 ，故𝑇 > 𝑇 ；甲、乙摆球从最低点摆动到振幅位置过
甲 乙 甲 乙
程只有重力做功，机械能守恒，故摆球平衡位置和最高点的高度差相同，
𝐿 （1 − cosθ ） = 𝐿 （1 − cosθ ），故𝜃 ＜𝜃 A选项正确。
甲 甲 乙 乙 甲 乙，
故正确答案为A。
（补 充）• 第三节 简谐运动的特征三、简谐运动的特征
1.动力学特征：𝐹 = −𝑘𝑥，“−”表示回复力的方向
和位移方向相反，𝑘是比例系数，不一定是弹簧的劲度系
数，该公式是判定一个物体是否做简谐运动的依据。
回复力𝐹随𝑥变化的图像如图所示。
（讲义页码 P ）
1612.运动学特征：做变加速运动。
（1）远离平衡位置的过程：由𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎可知，𝑥增大，𝐹增大，𝑎增大，但𝑎与𝑣反向，故𝑣减小，
动能减小。
（2）靠近平衡位置的过程：由𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎可知，𝑥减小，𝐹减小，𝑎减小，但𝑎与𝑣同向，故𝑣增大，
动能增大。𝑥、𝑣、𝑎均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意：𝑣与𝑎的变化趋势相反)。
3.能量特征：对单摆和弹簧振子来说，振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系
统的机械能守恒，振幅𝐴不变。
（讲义页码 P ）
1624.周期性特征：相隔𝑇或𝑛𝑇(𝑛为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且振动状态(𝑠、𝑣、𝑎)相同。
5.运动对称性：
𝑇 𝑇
（1）相隔 或 2𝑛 + 1 (𝑛为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度
2 2
大小相同，方向相反。
（2）质点在与平衡位置等距离的两点上具有大小相等的速度、加速度，在平衡位置𝑂点左右相等距离
上运动时间也相同。
（讲义页码 P ）
162（真题2016年上高中）【例1】某单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，
则关于摆球的速率𝑣和悬线对摆球的拉力𝐹说法正确的是（ ）。
A.𝑡 时刻𝑣最大，𝐹最小
1
B.𝑡 时刻𝑣最大，𝐹最大
2
C.𝑡 时刻𝑣为零，𝐹最大
3
D.𝑡 时刻𝑣为零，𝐹最小
4
（讲义页码 P ）
163【答案】B
【解析】单摆在摆动过程中，经过平衡位置时，此时的位移大小
为零，速度最大，此时重力是势能最小，动能最大，速度最大，悬线
的拉力最大；在位移最大处，此时速度为零，拉力最小，B选项正确。
故正确答案为B。
（讲义页码 P ）
164【例2】如图所示是在同一地点甲乙两个单摆的振动图像，下列说法正确的是（ ）。
A．甲乙两个单摆的振幅之比是1：3
B．甲乙两个单摆的周期之比是1：2
C．甲乙两个单摆的摆长之比是4：1
D．甲乙两个单摆的振动的最大加速度之比是1 ：4
（讲义页码 P ）
164【答案】C
【解析】A项：由振动图像可知，甲乙两个单摆的振幅之比是3：1，
A选项错误；
B项：甲乙两个单摆的周期之比是4s:2s = 2: 1，B选项错误；
𝐿 𝑔𝑇2
C项：根据𝑇 = 2𝜋 ，可得𝐿 = ，可知甲乙两个单摆的摆长之比
𝑔 4𝜋2
是4：1，C选项正确；
𝑚𝑔
D．单摆在最大位移处受到的回复力为𝐹 = − 𝐴，则单摆的最大加
𝐿
𝑔
速度𝑎 = − 𝐴，可知甲乙两个单摆振动的最大加速度之比是3：4，选项
𝐿
D错误。
故正确答案为C。
（讲义页码 P ）
164【例 4】甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以断定（ ）
A. 甲、乙两单摆振动的周期之比是 3 ∶ 2
B. 甲、乙两单摆振动的频率之比是 2 ∶ 3
C. 若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是 9 ∶ 4
D. 若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比 为9∶4
（讲义页码 P ）
164【答案】D
【解析】A 项：根据图像可知，甲、乙的周期之比为𝑇 ∶ 𝑇 = 2 ∶ 3，A 项错
甲 乙
误。
1
B 项：因为𝑓 = ，所以甲、乙的频率之比为𝑓 ∶ 𝑓 = 3 ∶ 2，B 项错误。
甲 乙
𝑇
𝑙
C 项：根据单摆的周期公式 𝑇 = 2𝜋 可知，同一地点，重力加速度相同，则甲、
𝑔
乙 的摆长与周期的平方成正比，即甲、乙摆长之比为 4 ∶ 9，C 项错误。
D 项：摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重
力 加速度之比为 9 ∶ 4，D 项正确。
故正确答案为 D。
（讲义页码 P ）
164• 第四节 简谐运动的图象四、简谐运动的图像
2𝜋
1.振动图像的一般表达式：𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 ，其中圆频率𝜔 = ，𝜑是
𝑇
𝑡 = 0时的相位； 𝐴 是振幅，即偏离平衡位置的最大位移。
2.物理意义：表示振动质点的位移随时间的变化规律
3.图像
（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为：𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑡。如图像甲
（2）从最大位移处开始计时，函数表达式为：𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡。如图像乙
4.图像理解
图像上的点代表的是某时刻振动质点偏离平衡位置的位移。
（讲义页码 P ）
162
甲
乙【例2】某弹簧振子沿𝑥轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是（ ）。
A．t =1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B．t =2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t =3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t =4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
（ 补 充）【答案】A
【解析】A选项，𝑡 = 1𝑠时，振子位于正向最大位移处，振子的速度为零，加速度的方向指
向平衡位置，所以加速度为负的最大值，故A选项正确；
B选项，𝑡 = 2𝑠时，振子位于平衡位置正在向负方向运动，振子的速度最大，方向为负，加速
度为0，故B选项错误；
C选项，𝑡 = 3𝑠时，振子位于负向最大位移处，振子的速度为零，加速度最大，故C选项错误；
D选项，𝑡 = 4𝑠时，振子位于平衡位置正在向正方向运动，振子的速度为正，加速度为0，故
D选项错误。
故正确答案为A。
（ 补 充）第二章
机 械 波（讲义页码 P ）
166
一、机械波的形成
离波源较近的前面的质点的振动在质点间的相互作
用力下带动离波源较远的后面的质点的振动，后面质点
的振动重复前面质点的振动形成机械波。
二、分类
（一）横波
质点的振动方向与波的传播方向垂直，这样的波叫
做横波。横波是凸、凹（即波峰、波谷）相间的。
（二）纵波
质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上，这
样的波叫做纵波。纵波是疏部与密部相间的，因此纵波
又称疏密波。三、波的特点
（讲义页码 P ）
166
1. 各质点的振动周期都与波源的振动周期相同。
2. 离波源越远，质点的振动越滞后。但各质点
的起振方向与波源起振方向相同。
3. 波传播的是振动的形式，介质中的每个质点
只在自己的平衡位置附近振动，质点 并不随波迁移。
波是一种“集体运动”，个别质点不能形成波。
4. 波是传递能量的一种方式。波在传播“振动”
这种运动形式的同时，也将波源的 能量传递出去。
5. 波可以传递信息。四、波的图像
用横坐标 𝑥 表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置，纵坐标𝑦表示某一时
刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定在横波中位移方向向上时为正值，位移方
向向下时为负值。把各个质点在某一时刻所在位置连成曲线，就得到该时刻波的图
𝐴
−𝐴
（讲义页码 P ）
167五、描述机械波的物理量
（一）波长
波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，叫波
长，用“𝜆”表示。在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波
谷之间的距离等于波长。
（二）周期和频率
1．在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，它们
都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫波的周
期或频率。
2．同一列波从一种介质进入另一种介质时，波的频率不变。
（三）波速
1．定义：波在介质中传播的速度。
2．波速的大小由介质决定，与波的频率、质点振动的振幅
波长𝜆
无关。同种类型的波在同一种均匀介质中，波速是一个定值。
𝜆
（四）波长𝜆、波速𝑣和频率𝑓(周期𝑇)的关系：𝑣 = 𝜆𝑓 = 。 （讲义页码 P ）
167
𝑇六、波的传播方向与质点振动方向互判方法
（一）上下坡法
沿着波的传播方向看，上坡的点向下振动，下坡的点向上振动，
即“上坡下、下坡上”。例如，𝐴、𝐶点向上振动，𝐵点向下振动。
（二）同侧法
质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧，如图所
示。
（讲义页码 P ）
上下坡法 同侧法 167【例2】（真题2019 年上· 高中）图甲为一列简谐横波在𝑡 = 1.25𝑠时的波形图，图
乙是该波上某质点的振动图像。已知𝑐位置的质点比𝑎位置的质点晚0.5𝑠起振，则该质点
可能位于（ ）。
A. 𝑎和𝑏之间 B. 𝑏和𝑐之间
C. 𝑐和𝑑之间 D. 𝑑和𝑒之间
（讲义页码 P ）
169【答案】D
【解析】已知𝑐位置的质点比𝑎位置的质点晚0.5𝑠起振，可判断这列波沿x轴正方向传播，
由于a和c之间相距半个波长，故此列波的周期为𝑇 = 1𝑠。由图乙判断，在𝑡 = 1.25𝑠时，该
质点在𝑡轴的上半部分且向下运动，可判断出该质点不会在𝑏和c之间、 𝑐和𝑑之间。根据图甲判
断，在a和𝑏之间的质点在向上运动，在𝑑和𝑒之间的质点在向下运动，D选项正确。
故正确答案为D。
（讲义页码 P ）
169【例3】如图，一列简谐横波沿𝑥轴正方向传播，实线为𝑡 = 0时的波形图，虚线为𝑡 = 0.5s时
的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5s。关于该简谐波，下列说法正确的是（ ）。
A．波速为4m/s
B．频率为2.5𝐻𝑧
C．𝑡 = 1s时，𝑥 = 1m处的质点处于波峰
D．𝑡 = 2s时，𝑥 = 2m处的质点经过平衡位置
（讲义页码 P ）
170【答案】D
【解析】AB选项，实线为𝑡 = 0时的波形图，虚线为𝑡 = 0.5s时的波形图，波沿𝑥轴正方向
3 3
传播，又该波的周期大于0.5s，则0~0.5s时间内波传播的距离为∆𝑥 = 𝜆， 𝑇 = 0.5s，故周期
4 4
2
𝑇 = s，频率为1.5Hz，波速为𝑣 = 𝜆𝑓 = 6m/s，A、B选项错误；
3
3
C选项，因为1s = 𝑇，𝑡 = 0时，𝑥 = 1m处的质点在波峰位置，𝑡 = 1s时，该质点位于波
2
谷，C选项错误；
D选项，因为2s = 3𝑇，𝑡 = 0时，𝑥 = 2m处的质点在平衡位置，𝑡 = 2s时，该质点仍然位
于平衡位置，D选项正确。
（讲义页码 P ）
170
故正确答案为D。六、机械波特有的现象
一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射、多普勒效应。
其中干涉、衍射、多普勒效应是波特有的性质。
1. 波的独立传播原理和叠加原理
（1）独立传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的
运动状态继续传播，不互相影响。
（2）叠加原理：介质中各个质点的位移、速度、加速
度等于几列波单独转播时在该位置引起的位移、速度、加速
度的矢量和。
（讲义页码 P ）
1702. 波的干涉
产生干涉的条件是两个波源的频率相同。
干涉区域内振动加强点（指最强点）和减弱点（指最弱点）
的充要条件：当两波源的起振方向相同，且同时开始振动时。
（1）加强：该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，
即Δ𝑥 = 𝑛𝜆（𝑛 = 0， 1， 2， 3 ···）
（2） 减 弱： 该 点 到 两 个 波 源 的 路 程 之 差 是 半 波 长
𝜆
的 奇 数 倍， 即 Δ𝑥 = （2𝑛 + 1） （𝑛 = 0，1，2，3 ···）
2
在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点
始终减弱。
（讲义页码 P ）
1713. 波的衍射
波在传播过程偏离直线传播，绕过障碍物的现象，叫做衍射。
衍射现象总是存在的，只有明显与不明显的差异，波发生明
显衍射现象的条件是：
障碍物（或小孔）的尺寸比波的波长小或能够与波长相比拟。
（讲义页码 P ）
1704. 多普勒效应
1.内容：当波源与观察者相互靠近或远离时，观察者接收到
的波的频率都会发生变化，这种现象叫多普勒效应。
2.声波：当声源离观测者而去时，声波的波长增加，音调变
得低沉，观察者接收到的频率比波源频率低；当声源接近观测
者时，声波的波长减小，音调就变高，观察者接收到的频率比
波源频率高。音调的变化同声源与观测者间的相对速度和声速
的比值有关。这一比值越大，改变就越显著。
注意：干涉、衍射和多普勒效应是波特有的现象，一切波
都能够发生干涉、衍射和多普勒效应，反之能够发生干涉、衍
射和多普勒效应的，一定是波。
（讲义页码 P ）
171【例1】（真题2020 年下· 高中）在一条直线上的两个振源𝑎、𝑏相距6𝑚，振动频率相等。
𝑡 = 0 时刻𝑎、𝑏 开始振动，且都只振动了一个周期，振幅相等，图甲为𝑎 的振动图像，图乙为
0
𝑏的振动图像。若𝑎向右传播的波与𝑏向左传播的波在𝑡 = 0.3𝑠 时相遇，则（ ）。
1
A. 两列波在a、b间的传播速度大小均为10𝑚/𝑠
B. 两列波的波长都是4𝑚
C. 在两列波相遇过程中，中点c为振动加强点
D. 𝑡 = 0.5𝑠时刻，b点经过平衡位置且振动方向向下
2
（讲义页码 P ）
165【 答案】A
【解析】A 项：这两列波在同一种介质中传播，波速相同，设波速均为𝑣 ，由于相向运动，有
0
2𝑣 𝑡 = 𝑠，𝑠为两个波源的距离，解得𝑣 = 10𝑚/ 𝑠，A选项正确。
0 1 0
B 项：由𝜆 = 𝑣 𝑇，可知𝑎、𝑏 两波的波长均为2𝑚，B选项错误。
0
C 项：由甲、乙两图的波形图可知，𝑎振源的初始振动方向向上，𝑏振源的初始振动方向向下，两
列波传到中点𝑐时，𝑐点的振动减弱，C选项错误。
D 项：𝑡 = 0.5𝑠时刻，振源𝑎发出的波传播的距离为𝑠 = 𝑣 𝑡 = 5𝑚，未到达𝑏 点，而振源𝑏只振
2 𝑎 0 2
动了一个周期，即0.2𝑠，在0.5𝑠 时已停止振动，故0.5𝑠 时刻，𝑏点在平衡位置但不振动，D选项错误。
故正确答案为A。
（讲义页码 P ）
1661.主要公式：
𝑙
①单摆的振动周期：𝑇 = 2𝜋 （与振幅、摆球质量无关）
𝑔
②机械振动的振动图象的一般表达式： 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑
𝜆
③波长𝜆、波速𝑣和频率𝑓(周期𝑇)的关系：𝑣 = 𝜆𝑓 =
𝑇
2.主要图象：
𝐴
−𝐴
振动图象 波动图象
