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2015 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每题的选项中只有一项符
合题目要求，请在答题卡的相应位置填涂正确选项。
1．（4分）（2015•乌鲁木齐）﹣2的倒数是（ ）
A． ﹣2 B． ﹣ C． D． 2
2．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数是（ ）
A． 72° B． 82° C． 92° D． 108°
3．（4分）（2015•乌鲁木齐）下列计算正确的是（ ）
A． a3﹣a2=a B． a3•a2=a6 C． a3÷a2=a D． （a3）2=a5
4．（4分）（2015•乌鲁木齐）在下列的四个几何体中，其主视图与俯视图相同的是
（ ）
A． 圆柱 B． 圆锥 C． 三棱柱 D． 球
5．（4分）（2015•乌鲁木齐）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，
平均成绩相同，方差分别是S 2=0.35，S 2=0.15，S 2=0.25，S 2=0.27，这4人中
甲 乙 丙 丁
成绩发挥最稳定的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁
6．（4分）（2015•乌鲁木齐）圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，则这个
圆锥底面积的半径是（ ）
A． 24 B． 12 C． 6 D． 37．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，△ABC的面积等于6，边AC=3，现将△ABC沿
AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP
的长不可能是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
8．（4分）（2015•乌鲁木齐）九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学
生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知
汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为
xkm/h，则所列方程正确的是（ ）
A． = ﹣ B． = ﹣20 C． = + D． = +20
9．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系
xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺
时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）
A． （ ，1） B． （1，﹣ ） C． （2 ，﹣2） D． （2，﹣2 ）
10．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y
轴， = ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反
比例函数y= 的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为 时，k的值是
（ ）A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）把答案直接填在答题卡的相
应位置处。
11．（4分）（2015•乌鲁木齐）不等式组 的解集为 ．
12．（4分）（2015•乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是
．
13．（4分）（2015•乌鲁木齐）掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1
到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为 ．
14．（4分）（2015•乌鲁木齐）若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形
的高是 ．
15．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点
（ ，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；
⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序
号）三、解答题（本大题包括Ⅰ-Ⅴ题，共2小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位
置处写出文字说明、证明过程或演算过程。Ⅰ（. 本题满分16分，第16,17题每题8
分）
16．（8分）（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+| ﹣1|﹣ ．
17．（8分）（2015•乌鲁木齐）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a
满足a2﹣4a﹣1=0．
Ⅱ.（本题满分30分，第18，19，20题每题10分）
18．（10分）（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300
件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件
40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位
多少元？
19．（10分）（2015•乌鲁木齐）如图， ▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F
左侧），BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2 ，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．20．（10分）（2015•乌鲁木齐）如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得
楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为
60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）
Ⅲ.（本题满分22分，第21题12分，第22题10分）
21．（12分）（2015•乌鲁木齐）将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成
5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：
7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和
频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．
（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？
（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是
多少度？
（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩
均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．22．（10分）（2015•乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与
AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．
Ⅳ.（本题满分10分）
23．（10分）（2015•乌鲁木齐）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速
行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y（km），小轿
1
车的路程y （km）与时间x（h）的对应关系如图所示．
2
（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
（2）①写出y 与x的函数关系式；
1
②当x≥5时，求y 与x的函数解析式；
2
（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？Ⅴ.（本题满分12分）
24．（12分）（2015•乌鲁木齐）抛物线y= x2﹣ x+2与x轴交于A，B两点（OA＜
OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点
O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t
＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时， +
的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？
若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2015 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每题的选项中只有一项符
合题目要求，请在答题卡的相应位置填涂正确选项。
1．（4分）（2015•乌鲁木齐）﹣2的倒数是（ ）
A． ﹣2 B． ﹣ C． D． 2
考点： 倒数．版权所有
分析： 根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解答： 解：∵﹣2× =1．
∴﹣2的倒数是﹣ ，
故选：B．
点评： 本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做
互为倒数．
2．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数是（ ）A． 72° B． 82° C． 92° D． 108°
考点： 平行线的性质．版权所有
分析： 先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．
解答： 解：∵直线a∥b，∠1=108°，
∴∠1=∠3=108°．
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣108°=72°．
故选A．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．
3．（4分）（2015•乌鲁木齐）下列计算正确的是（ ）
A． a3﹣a2=a B． a3•a2=a6 C． a3÷a2=a D． （a3）2=a5
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版
权所有
分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和
字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数
相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答： 解：A、a3÷a2=a，故错误；
B、a3•a2=a5，故错误；
C、正确；
D、（a3）2=a6，故错误；
故选：C．
点评： 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容
易混淆，一定要记准法则才能做题．
4．（4分）（2015•乌鲁木齐）在下列的四个几何体中，其主视图与俯视图相同的是
（ ）
A．
圆柱 B．
圆锥 C．
三棱柱 D．
球
考点： 简单几何体的三视图．版权所有
分析： 根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形进行分析
解答： 解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
B、圆锥主视图是三角形，俯视图是圆，不符合题意；C、正三棱柱的主视图是矩形，俯视图是正三角形，不符合题意；
D、球的主视图与俯视图都是圆，符合题意；
故选：D．
点评： 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都
应表现在三视图中．
5．（4分）（2015•乌鲁木齐）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，
平均成绩相同，方差分别是S 2=0.35，S 2=0.15，S 2=0.25，S 2=0.27，这4人中
甲 乙 丙 丁
成绩发挥最稳定的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁
考点： 方差．版权所有
分析： 方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个
即可．
解答： 解：∵S 2=0.35，S 2=0.15，S 2=0.25，S 2=0.27，
甲 乙 丙 丁
∴S 2＜S 2＜S 2＜S 2，
乙 丙 丁 甲
∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．
故选：B．
点评： 此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练在我，解答此题的关键是要明
确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度
越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（4分）（2015•乌鲁木齐）圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，则这个
圆锥底面积的半径是（ ）
A． 24 B． 12 C． 6 D． 3
考点： 圆锥的计算．版权所有分析： 利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．
解答： 解：设底面圆半径为r，
则2πr=12π，
化简得r=6．
故选C．
点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要
紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半
径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆
是解题的关键．
7．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，△ABC的面积等于6，边AC=3，现将△ABC沿
AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP
的长不可能是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 翻折变换（折叠问题）．版权所有
分析： 过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据
角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的
最短距离是4，得出选项即可．
解答： 解：如图：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC=3，
∴ ×AC×BN=6，
∴BN=4，
∴BM=4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选A．
点评： 本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的
关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等
8．（4分）（2015•乌鲁木齐）九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学
生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知
汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为
xkm/h，则所列方程正确的是（ ）A． = ﹣ B． = ﹣20 C． = + D． = +20
考点： 由实际问题抽象出分式方程．版权所有
分析： 表示出汽车的速度，然后根据汽车行驶的时间等于骑车行驶的时间减去
时间差列方程即可．
解答： 解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
由题意得， = + ．
故选C．
点评： 本题考查了实际问题抽象出分式方程，读懂题目信息，理解两种行驶方式
的时间的关系是解题的关键．
9．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系
xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺
时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）
A． （ ，1） B． （1，﹣ ） C． （2 ，﹣2） D． （2，﹣2 ）
考点： 坐标与图形变化-旋转．版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，
OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得
到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与
MQ的长，即可确定出Q的坐标．解答： 解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接
OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，
∴∠POQ=120°，
∵AP=OP，
∴∠BAO=∠POA=30°，
∴∠MOQ=30°，
在Rt OMQ中，OQ=OP=2，
∴MQ △ =1，OM= ，
则P的对应点Q的坐标为（1，﹣ ），
故选B
点评： 此题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解本题的关
键．
10．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y
轴， = ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反
比例函数y= 的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为 时，k的值是
（ ）A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
考点： 反比例函数综合题．版权所有
分析： 设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线
CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x= ，解方程组即可求得C和D
的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为 ，即CD2= ，据此即可列方程求得a2
的值，则k即可求解．
解答： 解：设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是y=﹣ x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得： ，
解得：
则D的坐标是（ ， ），OA的中垂线的解析式是x= ，则C的坐标是（ ， ），则k= ．
∵以CD为边的正方形的面积为 ，
∴2（ ﹣ ）2= ，
则a2= ，
∴k= × =7．
故选D．
点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本
题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）把答案直接填在答题卡的相
应位置处。
11．（4分）（2015•乌鲁木齐）不等式组 的解集为 ﹣ 2 ＜ x ＜ 1 ．
考点： 解一元一次不等式组．版权所有
专题： 计算题．
分析： 先分别解两个不等式得到x＞﹣2和x＜1，然后根据大小小大中间找确定
不等式组的解集．
解答： 解： ，
解①得x＞﹣2，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
故答案为﹣2＜x＜1．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其
中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到．
12．（4分）（2015•乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是
120° ．
考点： 等腰三角形的性质．版权所有
分析： 三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两
底角相等，100°只可能是顶角．
解答： 解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
点评： 本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判
断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
13．（4分）（2015•乌鲁木齐）掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别刻有1
到6的点数），向上一面出现的点数大于2且小于5的概率为 ．
考点： 概率公式．版权所有
分析： 向上一面出现的点数大于2且小于5的共2种情况．
解答： 解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于2且小于5的情况有
2种，
故其概率是 = ，
故答案为： ．
点评： 此题主要考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．14．（4分）（2015•乌鲁木齐）若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形
的高是 ．
考点： 菱形的性质．版权所有
分析： 作菱形ABCD的高AE．根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，再根
据邻角互补求出较小的内角∠B为45°，然后利用正弦函数的定义求出
AE=AB•sin∠B=2× = ．
解答： 解：如图，作菱形ABCD的高AE．
∵菱形ABCD的周长为8，
∴菱形的边长为8÷4=2，
∵相邻两内角之比是3：1，
∴∠B=180°× =45°，
∴AE=AB•sin∠B=2× = ．
故答案为 ．
点评： 此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数的定义，得出∠B的度数是
解题的关键．15．（4分）（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点
（ ，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；
⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是 ①③⑤ ．（填写正确结论的序
号）
考点： 二次函数图象与系数的关系．版权所有
分析： 根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一
些特殊点解答问题．
解答： 解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣ =﹣1，可得b=2a，
a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，
即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（ ，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ，0），
当x=﹣ 时，y=0，即 ，
整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴ ，
即3b+2c＜0，故④错误；
∵x=﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠1），
∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；
故答案为：①③⑤．
点评： 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运
用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上
的点的坐标满足抛物线的解析式．
三、解答题（本大题包括Ⅰ-Ⅴ题，共2小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位
置处写出文字说明、证明过程或演算过程。Ⅰ（. 本题满分16分，第16,17题每题8
分）
16．（8分）（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+| ﹣1|﹣ ．
考点： 实数的运算．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最
后一项利用立方根定义计算即可得到结果．解答： 解：原式=4+ ﹣1﹣3= ．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）（2015•乌鲁木齐）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a
满足a2﹣4a﹣1=0．
考点： 分式的化简求值．版权所有
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足a2﹣4a﹣1=0
得出（a﹣2）2=5，再代入原式进行计算即可．
解答： 解：原式= •
= ，
由a满足a2﹣4a﹣1=0得（a﹣2）2=5，
故原式= ．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
Ⅱ.（本题满分30分，第18，19，20题每题10分）
18．（10分）（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300
件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件
40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位
多少元？
考点： 一元二次方程的应用．版权所有
专题： 销售问题．
分析： 设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解答： 解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x =1，x =4，
1 2
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
点评： 本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的
列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合
题意的解．
19．（10分）（2015•乌鲁木齐）如图， ▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F
左侧），BE∥DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2 ，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．版权
所有
分析： （1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已
知条件证得结论；
（2）根据矩形的性质计算即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE．又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA．
在△BEC与△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE=DF．
又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：
∵AB⊥AC，AB=4，BC=2 ，
∴AC=6，
∴AO=3，
∴Rt BAO中，BO=5，
△
∵四边形BEDF是矩形，
∴OE=OB=5，∴点E在OA的延长线上，且AE=2．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四
边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根
据条件合理、灵活地选择方法．
20．（10分）（2015•乌鲁木齐）如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得
楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为
60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．版权所有
专题： 计算题．
分析： 设楼EF的高为x米，由EG=EF﹣GF表示出EG，根据题意得到EF与AF
垂直，DC与AF垂直，BA与AF垂直，BD与EF垂直，在直角三角形EGD中，利
用锐角三角函数定义表示出DG，在直角三角形EGB中，利用锐角三角函数定义
表示出BG，根据BG﹣DG表示出DB，即为CA，根据CA的长列出关于x的方程，
求出方程的解即可得到结果．
解答： 解：设楼EF的高为x米，可得EG=EF﹣GF=（x﹣1.5）米，
依题意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF（设垂足为G），
在Rt EGD中，DG= = （x﹣1.5）米，在Rt EGB中，BG= （x﹣1.5）
△ △
米，
∴CA=DB=BG﹣DG= （x﹣1.5）米，
∵CA=12米，∴ （x﹣1.5）=12，解得：x=6 +1.5≈11.9，
则楼EF的高度约为11.9米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角
构造直角三角形并解直角三角形．
Ⅲ.（本题满分22分，第21题12分，第22题10分）
21．（12分）（2015•乌鲁木齐）将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成
5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：
7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和
频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．
（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？
（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是
多少度？
（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩
均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．
考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．版权所有
分析： （1）根据题意可得：这部分男生共有：5÷10%=50（人）；又由只有A组男人
成绩不合格，可得：合格人数为：50﹣5=45（人）；
（2）由这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有
15人，D组有15人，E组有5人，可得：成绩的中位数落在C组；又由D组有15
人，占15÷50=30%，即可求得：对应的圆心角为：360°×30%=108°；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少
有1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）∵A组占10%，有5人，
∴这部分男生共有：5÷10%=50（人）；
∵只有A组男人成绩不合格，
∴合格人数为：50﹣5=45（人）；
（2）∵C组占30%，共有人数：50×30%=15（人），B组有10人，D组有15人，
∴这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，
D组有15人，E组有5人，
∴成绩的中位数落在C组；
∵D组有15人，占15÷50=30%，
∴对应的圆心角为：360°×30%=108°；
（3）成绩优秀的男生在E组，含甲、乙两名男生，记其他三名男生为a，b，c，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，他俩至少有1人被选中的有14种情况，
∴他俩至少有1人被选中的概率为： = ．点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率以及直方图与扇形统计图的知识．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）（2015•乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与
AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．
考点： 切线的性质；勾股定理；解直角三角形．版权所有
分析： （1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答
案；
（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD
的长．
解答： （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，
在Rt EAD中，
∵tan∠ △ CAB= ，∴ED= AD= （3+x），
由（1）知，DC= （3+x），在Rt OCD中，
OC2+CD2=DO2， △
则1.52+[ （3+x） 2=（1.5+x）2，
解得：x =﹣3（舍]去），x =1，
1 2
故BD=1．
点评： 此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知
识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．
Ⅳ.（本题满分10分）
23．（10分）（2015•乌鲁木齐）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速
行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y（km），小轿
1
车的路程y （km）与时间x（h）的对应关系如图所示．
2
（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y 与x的函数关系式；
1
②当x≥5时，求y 与x的函数解析式；
2
（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？
考点： 一次函数的应用．版权所有
分析： （1）直接根据图象写出两地之间的距离和小轿车停留的时间即可；
（2）分别利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（3）首先求出乙行驶路程的函数关系式，进而利用0＜x≤3，得出答案即可．
解答： 解：（1）由图可知，甲乙两地相距420km，小轿车中途停留了2小时；
（2）①y =60x（0≤x≤7）；
1
②当x=5.75时，y =60×5.75=343，
1
x≥5时，设y =kx+b，
2
∵y 的图象经过（5.75，345），（6.5，420），
2
∴ ，
解得： ，
∴x≥5时，y2=100x﹣230；
（3）x=5时，有=100×5﹣230=270，即小轿车在3≤x≤5停车休整，离甲地270km，
当x=3时，y =180；x=5时，y =300，
1 1
∴火车在3≤x≤5时，会与小轿车相遇，
即270=60x，x=4.5；当0＜x≤3时，小轿车的速度为270÷3=90km/h，
而货车速度为60km/h，
故，货车在0＜x≤3时，不会与小轿车相遇，
∴货车出发4.5小时后首次与小轿车相遇，距离甲地270km．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象得出正确的信息，题目解
决的是实际问题，比较典型．
Ⅴ.（本题满分12分）
24．（12分）（2015•乌鲁木齐）抛物线y= x2﹣ x+2与x轴交于A，B两点（OA＜
OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点
O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t
＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时， +
的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？
若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．版权所有
分析： （1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到 ，即 ，求
得 有最小值1，即可求得结果；
②存在，求得抛物线y= x2﹣ x+2的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直
角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定
理列方程即可求得结果．
解答： 解：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即 x2﹣ x+2=0，
解得：x =2，x =4，∵OA＜OB，
1 2
∴A（2，0），B（4，0），
在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2），
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，
∵DE∥OB，
∴△CDE∽△CBO，
∴ ，即 ，
∴DE=4﹣2t，
∴ ，
∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2始终为正数，且t=1时，1﹣（t﹣1）2有最大值1，∴t=1时， 有最小值1，
即t=1时， 有最小值1，此时OP=2，OE=1，
∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，
∵抛物线y= x2﹣ x+2的对称轴方程为x=3，
设F（3，m），
∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，
当△EFP为直角三角形时，
①当∠EPF=90°时，
EP2+PF2=EF2，
即5+1+m2=（m﹣1）2+32，
解得：m=2，
②当∠EFP=90°时，
EF2+FP2=PE2，
即（m﹣1）2+3+（3﹣2）2+m2=5，
解得；m=0或m=1，不合题意舍去，
∴当∠EFP=90°时，
这种情况不存在，
③当∠PEF=90°时，
EF2+PE2=PF2，
即（m﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m2，
解得：m=7，
∴F（3，2），（3，7）．点评： 本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，求
代数式的最值，勾股定理，存在性问题，在求有关存在性问题时要注意分析题意
分情况讨论结果．
