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2015年贵州省毕节地区中考数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项正确）
1．（3分）﹣ 的倒数的相反数等于（ ）
A．﹣2 B． C．﹣ D．2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a6•a2＝a12 C．（a6）2＝a12 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
3．（3分）2014年我国的GDP总量为629180亿元，将629180亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.2918×105元 B．6.2918×1014元 C．6.2918×1013元 D．6.2918×1012元
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定比0大 B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最小的正整数是1
5．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．1， ， C．6，7，8 D．2，3，4
6．（3分）如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，
12，10，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．10，12 B．12，11 C．11，12 D．12，12
8．（3分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落
在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
第1页（共25页）A．65° B．50° C．60° D．57.5°
9．（3分）如图是由5个相同的正方形组成的几何体的左视图和俯视图，则该几何体的主视图
不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9） B．x2﹣x+ ＝（x﹣ ）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2 D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
11．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠ ＝55°，则
∠ 的度数为（ ） β
α
A．15° B．25° C．35° D．55°
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（
）
A．k≥ B．k＞ C．k＜ D．k≤
13．（3分）在△ABC中，DE∥BC，AE：EC＝2：3，DE＝4，则BC等于（ ）
第2页（共25页）A．10 B．8 C．9 D．6
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
15．（3分）已知不等式组 的解集中共有5个整数，则a的取值范围为（ ）
A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．（5分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ﹣|a﹣b|＝ ．
17．（5分）关于x的方程x2﹣4x+3＝0与 ＝ 有一个解相同，则a＝ ．
18．（5分）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连
接BE，则∠EBC的度数为 ．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝
1，则BD＝ ．
20．（5分）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体
第3页（共25页）积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
三、解答及证明（本大题共7小题，共80分）
21．（8分）计算：（﹣2015）0+|1﹣ |﹣2cos45°+ +（﹣ ）﹣2．
22．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ﹣1，其中x＝﹣3．
23．（10分）某中学号召学生利用假期开展社会实践活动，开学初学校随机地通过问卷形式进
行了调查，其中将学生参加社会实践活动的天数，绘制了下列两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：
（1）问卷调查的学生总数为 人；
（2）扇形统计图中a的值为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）该校共有1500人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有 人；
（5）如果从全校1500名学生中任意抽取一位学生准备作交流发言，则被抽到的学生，恰好也
参加了问卷调查的概率是 ．
第4页（共25页）24．（12分）如图，将 ▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝ AD，连接CE，F是BC边的中点，
连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．
25．（12分）某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A
商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售
B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
①求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
②
第5页（共25页）26．（14分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点
E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）已知圆的半径⊙R＝5，EF＝3，求DF的长．
27．（16分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴
的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为
正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2015 年贵州省毕节地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项正确）
1．（3分）﹣ 的倒数的相反数等于（ ）
A．﹣2 B． C．﹣ D．2
【考点】14：相反数；17：倒数．
【分析】根据倒数和相反数的定义分别解答即可．
【解答】解：﹣ 的倒数为﹣2，所以﹣ 的倒数的相反数是：2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数和相反数的定义，要求熟练掌握．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a6•a2＝a12
C．（a6）2＝a12 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公
式．
【专题】11：计算题．
【分析】A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝a4，错误；
B、原式＝a8，错误；
C、原式＝a12，正确；
D、原式＝a2﹣6a+9，错误，
第7页（共25页）故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
3．（3分）2014年我国的GDP总量为629180亿元，将629180亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.2918×105元 B．6.2918×1014元
C．6.2918×1013元 D．6.2918×1012元
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将629180亿用科学记数法表示为：6.2918×1013．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
【考点】12：有理数；14：相反数；15：绝对值．
【分析】分别利用绝对值以及有理数和相反数的定义分析得出即可．
【解答】解：A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关
键．
5．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．1， ， C．6，7，8 D．2，3，4
【考点】KS：勾股定理的逆定理．
第8页（共25页）【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则
三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（ ）2＝（ ）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边
的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．（3分）如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称
图形，以及中心对称图形的定义分别结合选项判断即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合．
7．（3分）某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，
12，10，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．10，12 B．12，11 C．11，12 D．12，12
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【专题】11：计算题．
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解．
第9页（共25页）【解答】解：原数据按由小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，
所以这组数据的中位数＝ ＝11，众数为12．
故选：C．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数的定义．
8．（3分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落
在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．60° D．57.5°
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝
∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折
叠的性质是解答此题的关键．
第10页（共25页）9．（3分）如图是由5个相同的正方形组成的几何体的左视图和俯视图，则该几何体的主视图
不可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图；U3：由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据题意可得：
选项A不正确，它的俯视图是：
则该几何体的主视图不可能是A．
故选：A．
【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方
面的考查．
10．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
B．x2﹣x+ ＝（x﹣ ）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
【考点】53：因式分解﹣提公因式法；54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】11：计算题．
【分析】原式各项分解得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，错误；
B、原式＝（x﹣ ）2，正确；
第11页（共25页）C、原式不能分解，错误；
D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），错误，
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解
本题的关键．
11．（3分）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠ ＝55°，则
∠ 的度数为（ ） β
α
A．15° B．25° C．35° D．55°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】首先过点C作CE∥a，可得CE∥a∥b，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得
答案．
【解答】解：过点C作CE∥a，
∵a∥b，
∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠ ，∠ACE＝∠ ＝55°，
∵∠C＝90°，α β
∴∠ ＝∠BCE＝∠ABC﹣∠ACE＝35°．
故选α：C．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线
平行，内错角相等定理的应用．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（
）
A．k≥ B．k＞ C．k＜ D．k≤
第12页（共25页）【考点】AA：根的判别式．
【专题】11：计算题．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解关于k的一元一次不
等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，
解得k≤ ．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如
下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两
个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
13．（3分）在△ABC中，DE∥BC，AE：EC＝2：3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝10．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的对应
边成比例定理的应用，注意数形结合思想的应用．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
第13页（共25页）A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】11：计算题．
【分析】根据抛物线的开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据
抛物线与x轴的交点个数对C进行判断；根据自变量为1所对应的函数值为正数对D进
行判断．
【解答】解：A、抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；
C、抛物线与x轴有2个交点，则△＝b2﹣4ac＞0，所以D选项的关系式正确；
D、当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0，所以D选项的关系式错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项
系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向
下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞
0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；
常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决
定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1
个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．（3分）已知不等式组 的解集中共有5个整数，则a的取值范围为（ ）
A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】11：计算题．
【分析】根据不等式组的解集中共有5个整数解，求出a的范围即可．
第14页（共25页）【解答】解：∵不等式组 的解集中共有5个整数，
∴a的范围为7＜a≤8，
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16．（5分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ﹣|a﹣b|＝ ﹣ b ．
【考点】29：实数与数轴；73：二次根式的性质与化简．
【分析】首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可
化简．
【解答】解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
则 ﹣|a﹣b|＝﹣a﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b+a＝﹣b，
故答案为：﹣b．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴即可确定a，b的符号．
17．（5分）关于x的方程x2﹣4x+3＝0与 ＝ 有一个解相同，则a＝ 1 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；B2：分式方程的解．
【分析】利用因式分解法求得关于x的方程x2﹣4x+3＝0的解，然后分别将其代入关于x的方
程 ＝ ，并求得a的值．
【解答】解：由关于x的方程x2﹣4x+3＝0，得
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0，或x﹣3＝0，
解得x ＝1，x ＝3；
1 2
当x ＝1时，分式方程 ＝ 无意义；
1
当x ＝3时， ＝ ，
2
第15页（共25页）解得a＝1，
经检验a＝1是原方程的解．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解、分式方程的解．解分式方程时，注意：分式的分母不为
零．
18．（5分）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连
接BE，则∠EBC的度数为 36 ° ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE
＝BE，进而可得∠ABE＝∠A＝36°，然后可计算出∠EBC的度数．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角为72°，
∴∠A＝180°﹣72°×2＝36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°．
故答案为：36°．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对
等角．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝
1，则BD＝ 2 ．
第16页（共25页）【考点】KF：角平分线的性质；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即
可得BD．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD＝2CD＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长
是解此题的关键．
20．（5分）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体
积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 2 0 L．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为 ，再倒出
xL后，倒出纯药液 •x，利用40﹣x﹣ •x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
【解答】解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣ •x＝10，
解得：x＝60（舍去）或x＝20．
答：每次倒出20升．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程．
三、解答及证明（本大题共7小题，共80分）
21．（8分）计算：（﹣2015）0+|1﹣ |﹣2cos45°+ +（﹣ ）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用
第17页（共25页）特殊角的三角函数值计算，第四项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计
算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+ ﹣1﹣2× +2 +9＝2 +9．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ﹣1，其中x＝﹣3．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可
求出值．
【解答】解：原式＝ • ﹣1＝ • ﹣1＝ ﹣1＝ ＝﹣
，
当x＝﹣3时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（10分）某中学号召学生利用假期开展社会实践活动，开学初学校随机地通过问卷形式进
行了调查，其中将学生参加社会实践活动的天数，绘制了下列两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：
（1）问卷调查的学生总数为 20 0 人；
（2）扇形统计图中a的值为 25% ；
（3）补全条形统计图；
（4）该校共有1500人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有 112 5 人；
第18页（共25页）（5）如果从全校1500名学生中任意抽取一位学生准备作交流发言，则被抽到的学生，恰好也
参加了问卷调查的概率是 ．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X4：概率公式．
【分析】（1）根据参加社会实践活动3天的人数为30人，所占的百分比为15%，30÷15%即可
问卷调查的学生总数；
（2）先算出参加社会实践活动6天的人数，再除以总人数，即可得到百分比；
（3）根据参加社会实践活动6天的人数，即可补全统计图；
（4）先计算出“活动时间不少于5天”的百分比，再乘以总人数，即可解答；
（5）根据概率的定义，即可解答．
【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），故答案为：200；
（2）200﹣30﹣20﹣40﹣60＝50（人），
50÷200×100%＝25%，故答案为：25%；
（3）如图所示，
（4） %＝75%，
1500×75%＝1125（人），
故答案为：1125；
（5） ．
故答案为： ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计
图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的
计算，一般难度不大．
第19页（共25页）24．（12分）如图，将 ▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝ AD，连接CE，F是BC边的中点，
连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，
DE∥FC，进而得出答案；
（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，
进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝ AD，F是BC边的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∵AB＝3，AD＝4，
∴FC＝2，NC＝ DC＝ ，DN＝ ，
∴FN＝ ，则DF＝EC＝ ＝ ．
第20页（共25页）【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边
形的判定方法是解题关键．
25．（12分）某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A
商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售
B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
①求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
②【考点】9A：二元一次方程组的应用；HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2） 由题意列出关于x，y的方程即可；
把函①数关系式配方即可得到结果．
②
【解答】解：（1）根据题意得： ，
解得： ；
（2） 由题意得：y＝（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】
∴y＝﹣①5x2+350x﹣5000，
∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5（x﹣35）2+1125，
②∴当x＝35时，y最大 ＝1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与
x之间的二次函数关系式是解题关键．
26．（14分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点
第21页（共25页）E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）已知圆的半径⊙R＝5，EF＝3，求DF的长．
【考点】MD：切线的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到
OD⊥BE，则∠D+∠DFO＝90°，再由AC＝FC得到∠CAF＝∠CFA，根据对顶角相等得
∠CFA＝∠DFO，所以∠CAF＝∠DFO，加上∠OAD＝∠ODF，则∠OAD+∠CAF＝90°，于
是根据切线的判定定理即可得到AC是 O的切线；
（2）由于圆的半径R＝5，EF＝3，则OF＝2⊙，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
【解答】（1）证明：连结OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵∠CFA＝∠DFO，
∴∠CAF＝∠DFO，
而OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是 O的切线；
（2）解⊙：∵圆的半径R＝5，EF＝3，
∴OF＝2，
在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，
第22页（共25页）∴DF＝ ＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
也考查了勾股定理．
27．（16分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴
的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为
正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可
得C点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．
第23页（共25页）【解答】解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得
y＝（x﹣1）2﹣4，
M点的坐标为（1，﹣4），
M′点的坐标为（1，4），
设AM′的解析式为y＝kx+b，
将A、M′点的坐标代入，得
，
解得 ，
AM′的解析式为y＝2x+2，
联立AM′与抛物线，得
，
解得 ，
C点坐标为（5，12）．
S△ABC ＝ ×4×12＝24；
（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方
形，
由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得
P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），
当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
①将A点坐标代入函数解析式，得
a（﹣1﹣1）2﹣2＝0，
第24页（共25页）解得a＝ ，
抛物线的解析式为y＝ （x﹣1）2﹣2，
当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将
②A点坐标代入函数解析式，得
a（﹣1﹣1）2+2＝0，
解得a＝﹣ ，
抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣1）2+2，
综上所述：y＝ （x﹣1）2﹣2或y＝﹣ （x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．
【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用轴对称的
性质得出M′的解析式，利用待定系数法得出AM′的解析式，利用解方程组得出C点坐
标是解题关键；（3）利用正方形的性质得出P、Q点坐标是解题关键，又利用待定系数法求
函数解析式，注意要分类讨论，以防遗漏．
第25页（共25页）
