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1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1) .
(2) 设 具有二阶连续导数,则 .
(3) 设 为椭圆 其周长记为 ,则 .
(4) 设 为 阶矩阵, , 为 的伴随矩阵, 为 阶单位矩阵.若 有特征值 ,
则 必有特征值 .
(5) 设平面区域 由曲线 及直线 所围成,二维随机变量 在
区域 上服从均匀分布,则 关于 的边缘概率密度在 处的值为 _ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1) 设 连续,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 函数 不可导点的个数是 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
(3) 已知函数 在任意点 处的增量 且当 时, 是 的高
阶无穷小, ,则 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设矩阵 是满秩的,则直线 与直线
( )
(A) 相交于一点 (B) 重合
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 1(C) 平行但不重合 (D) 异面
(5) 设 是两个随机事件,且 则必有( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
求直线 在平面 上的投影直线 的方程,并求
绕 轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数 ,使在右半平面 上的向量
为某二元函数 的梯度,并求 .
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 (从海平面算
起)与下沉速度 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在
下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 ,体积为 ,海水比重为 ,仪器所
受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 .试建立 与 所满足的微分方程,并求出
函数关系式 .
六、(本题满分7分)
计算 其中 为下半球面 的上侧, 为大
于零的常数.
七、(本题满分6分)
求
八、(本题满分5分)
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 2设正项数列 单调减少,且 发散,试问级数 是否收敛？并说
明理由.
九、(本题满分6分)
设 是区间 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 ,使得在区间 上以 为高的矩形面积,等于在区间
上以 为曲边的梯形面积.
(2) 又设 在区间 内可导,且 证明(1)中的 是唯一的.
十、(本题满分6分)
已知二次曲面方程 ,可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程 ,求 的值和正交矩阵 .
十一、(本题满分4分)
设 是 阶矩阵,若存在正整数 ,使线性方程组 有解向量 ,且 ,
证明：向量组 是线性无关的.
十二、(本题满分5分)
已知线性方程组
的一个基础解系为 ,试写出线性
方程组
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 3的通解,并说明理由.
十三、(本题满分6分)
设两个随机变量 相互独立,且都服从均值为0、方差为 的正态分布,求随机变量
的方差.
十四、(本题满分4分)
从正态总体 中抽取容量为 的样本,如果要求其样本均值位于区间
(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量 至少应取多大？
附表：标准正态分布表
1.28 1.645 1.96 2.33
0.900 0.950 0.975 0.990
十五、(本题满分4分)
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩
为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成
绩为70分？并给出检验过程.
附表： 分布表
0.95 0.975
35
1.6896 2.0301
36 1.6883 2.0281
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 4(1)【答案】
【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
.
方法2：采用洛必达法则.
原式
.
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 项,
, ,
从而 原式
.
(2)【答案】
【分析】因为 具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 5的条件下与求导次序无关,先求 或 均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.
方法1：先求 .
,
方法2：先求 .
方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：
评注：本题中, 中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注
意到对 求导时, 视为常数；对 求导时, 视为常数就可以了.
(3)【答案】
【解析】 关于 轴( 轴)对称, 关于 (关于 )为奇函数 .
又在 上,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 6因此, 原式 .
【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分 ,设 在 上连续,如果 关
于 轴对称, 为 上 的部分,则有结论：
类似地,如果 关于 轴对称, 为 上 的部分,则有结论：
(4)【答案】
【解析】方法1：设 的对应于特征值 的特征向量为 ,由特征向量的定义有
.
由 ,知 (如果0是 的特征值 ),将上式两端左乘 ,得
,
从而有 (即 的特征值为 ).
将此式两端左乘 ,得
.
又 ,所以 ,故 的特征值为 .
方法2：由 , 的特征值 (如果0是 的特征值 ),则 有特征值 ,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 7的特征值为 ； 的特征值为 .
【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维
列向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征
向量.
由 为 的特征值可知,存在非零向量 使 ,两端左乘 ,得 .
因为 ,故 ,于是有 .按特征值定义知 是 的特征值.
若 ,则 .即若 是 的特征值,则
的特征值是 .
2.矩阵 可逆的充要条件是 ,且 .
(5)【答案】
【解析】首先求 的联合概率密度 .
,
区域 的面积为
O 1 2
其次求关于 的边缘概率密度.
当 或 时, ；
当 时, .
故
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换
, ,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 8选(A).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可
导,则 .
(2)【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
分段函数. ,当 时 可导,因而只需在 处
考察 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由
,
,
即 在 处可导.又
,
,
所以 在 处不可导.
类似,函数 在 处亦不可导.因此 只有2个不可导点,故应选(B).
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 9评注：本题也可利用下列结论进行判断：
设函数 ,其中 在 处连续,则 在 处可导的充要
条件是 .
(3)【答案】(D)
【解析】由 有
令 得 是 的高阶无穷小,则 ,
即 .
分离变量,得
两边积分,得 ,即
代入初始条件 得 所以, .
故
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,
(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；
(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .
若 不存在(不为 ),称 不可比较.
(4)【答案】(A)
【解析】设 , ,题设矩阵
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 10是满秩的,则由行列式的性质,可知
,
故向量组 与 线性无关,否则由线性相关的定
义知,一定存在 ,使得 ,这样
上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.
与 分别为 的方向向量,由方向向
量线性相关,两直线平行,可知 不平行.
又由 得
,
即 .
同样由 ,得
,
即 ,
可见 均过点 ,故两直线相交于一点,选(A).
(5)【答案】C
【分析】由题设条件 ,知 发生与 不发生条件下 发生的条件概率
相等,即 发生不发生不影响 的发生概率,故 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑
与 是否相等,选项(C)和(D)才是事件 与B是否独立.
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 11【解析】由条件概率公式及条件 知
,
于是有 ,
可见 .
应选(C).
【相关知识点】条件概率公式： .
三、(本题满分5分)
【解析】方法1：求直线 在平面 上的投影 ：
方法1：先求 与 的交点 .以 代入平面 的方程,得
.
从而交点为 ；再过直线 上点 作平面 的垂线 ,
即
并求 与平面 的交点 ：
,
交点为 .
与 的连接线即为所求 .
方法2：求 在平面 上的投影线的最简方法是过 作垂直于平面 的平面 ,所求投影
线就是平面 与 的交线.平面 过直线 上的点 与不共线的向量
(直线 的方向向量)及 (平面 的法向量)平行,于是 的方程是
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 12,即 .
投影线为
下面求 绕 轴旋转一周所成的旋转曲面 的方程.为此,将 写成参数 的方程：
按参数式表示的旋转面方程得 的参数方程为
消去 得 的方程为 ,即
四、(本题满分6分)
【 解 析 】 令 则
在单联通区域右半平面 上为某二元函数 的梯度
在 上 原函数
其中, ,
.
由 ,即满足
,
.
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 13可见,当 时,所给向量场为某二元函数的梯度场.
为求 ,采用折线法,在 半平面内任取一点,比如点 作为积分路径的起
点,则根据积分与路径无关,有
(折线法)
(第一类换元法)
(基本积分公式)
其中 为任意常数.
【相关知识点】1.二元可微函数 的梯度公式： .
2.定理：设 为平面上的单连通区域,函数 与 在 内连续且有连续的一
阶偏导数,则下列六个命题等价：
(1) ；
(2) 为 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；
(3) 仅与点 有关,与连接 什么样的分段光滑曲线无关；
(4) 存在二元单值可微函数 ,使
(即 为某二元单值可微函数 的全微分；
(5) 微分方程 为全微分方程；
(6) 向量场 为某二元函数 的梯度 .
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 14换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线
法求函数 .
五、(本题满分6分)
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点 ,铅直向下作为 轴正向,探测器在下沉过程中受
重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小： ,浮力的大小： ；阻力： ,则由牛
顿第二定律得
(*)
由 ,代入(*)得 与 之间的微分方程
.
分离变量得 ,
两边积分得 ,
(第一类换元法)
.
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 15再根据初始条件 即
.
故所求 与 函数关系为
六、(本题满分7分)
【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区
域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含 ,因此不能立即
加、减辅助面 ,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：
添加辅助面 ,其侧向下(由于 为下半球面 的上
侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和 的上侧组成整个
边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有
第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于
的方向向下；另外由曲面片 在 平面投影面积为零,则 ,而 上 ,
则 .
,
其中 为 与 所围成的有界闭区域, 为 在 面上的投影 .
从而,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 16第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.
方法2：逐项计算：
其中,
第一个负号是由于在 轴的正半空间区域 的上侧方向与 轴反向；第二个负号是由于被积
函数在 取负数.
为 在 平面上的投影域 ,用极坐标,得
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 17其中 为 在 平面上的投影域 .故
【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成,函数
、 、 在 上具有一阶连续偏导数,则有
或
这里 是 的整个边界曲面的外侧, 、 、 是 在点 处的法向量的
方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
七、(本题满分6分)
【分析】这是 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求
极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到
一起来求极限.
当各项分母均相同是 时, 项和式
是函数 在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分 求得极限 .
【解析】由于 ,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 18于是, .
由于 ,
根据夹逼定理知, .
【相关知识点】夹逼准则：若存在 ,当 时, ,且有 ,
则 .
八、(本题满分5分)
【解析】方法1：因正项数列 单调减少有下界0,知极限 存在,记为 ,则 且
.
又 发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 (否则级数 收敛).
又正项级数 单调减少,有 而 ,级数
收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数 也收敛.
方法2：同方法1,可证明 .令 则
根据根值判别法,知级数 也收敛.
【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 19设交错级数 满足：
(1) (2)
则 收敛,且其和满足 余项
反之,若交错级数 发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足
条件(2) ,所以有 (否则级数 收敛)
2.正项级数的比较判别法：
设 和 都是正项级数,且 则
(1)当 时, 和 同时收敛或同时发散；
(2)当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散；
(3)当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散.
3.根值判别法：
设 ,则当
九、(本题满分6分)
【解析】(1)要证 ,使 ；令 ,要证
,使 .可以对 的原函数 使用罗尔定理：
,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 20又由 在 连续 在 连续, 在 连续,在 可导.根据罗尔定
理, ,使 .
(2) 由 ,知 在 内单调增,故
(1)中的 是唯一的.
评注：若直接对 使用零点定理,会遇到麻烦：
.
当 时,对任何的 结论都成立；
当 时, 但 ,若 ,则难以说明在 内存在 .当直
接对 用零点定理遇到麻烦时,不妨对 的原函数使用罗尔定理.
【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数 满足
(1) 在闭区间 上连续；
(2) 在开区间 内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等,即 ,
那么在 内至少有一点 ( ),使得 .
十、(本题满分6分)
【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,
二次曲面方程左端二次型对应矩阵为 ,则存在正交矩阵 ,使得
,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 21即 相似.
由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵 有特征值 从而,
从而,
当 时,
于是得方程组 的同解方程组为
,可知基础解系的个数为 ,故有1个自由未知量,
选 为自由未知量,取 ,解得基础解系为
当 时,
,
于是得方程组 的同解方程组为
,可知基础解系的个数为 ,故有1个自由未知量,
选 为自由未知量,取 ,解得基础解系为
当 时,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 22,
于是得方程组 的同解方程组为
,可知基础解系的个数为 ,故有1个自由未知量,
选 为自由未知量,取 ,解得基础解系为
由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知 相互正交.
将 单位化,得
因此所求正交矩阵为 .
评注：利用相似的必要条件求参数时, 是比较好用的一个关系式.亦可用
比较 同次方的系数来求参数.
【相关知识点】1.特征值的性质：
2.相似矩阵的性质：若矩阵 相似,则 .
十一、(本题满分4分)
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 23【解析】用线性无关的定义证明.
设有常数 使得
两边左乘 ,则有
,
即 .
上式中因 ,可知 ,代入上式可得
由题设 ,所以
将 代入 ,有 .
两边左乘 ,则有 ,
即 .
同样,由 , ,可得
由题设 ,所以
类似地可证明 因此向量组 是线性无关的.
【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数 使
,则称 线性相关；否则,称 线性无关．
十二、(本题满分5分)
【解析】 的通解为
,
其中, ,
为任意常数.
理由：可记方程组 , 的系数矩阵分别记为 ,由
于 的每一行都是 的解,故 . 的列是 的基础解系,故由基础解系
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 24的定义知, 的列向量是线性无关的,因此 .故基础解系所含向量的个数
,得 .因此, 的行向量线性无关.
对 两边取转置,有 ,则有 的列向量,即 的行向量是
的线性无关的解.
又 ,故 基础解系所含向量的个数应为 ,恰好等
于 的行向量个数.故 的行向量组是 的基础解系,其通解为
,
其中, ,
为任意常数.
十三、(本题满分6分)
【分析】把 看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的
性质,可以知道 ,这样可以简化整题的计算.
【解析】令 ,由于 相互独立,且都服从正态分布,因此 也服从正态分布,且
, .
于是, .
而
,
故
【相关知识点】1.对于随机变量 与 均服从正态分布,则 与 的线性组合亦服从正态分
布.
若 与 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 25,
其中 为常数.
2.方差的定义： .
3.随机变量函数期望的定义：若 ,则 .
十四、(本题满分4分)
【解析】由题知： , ,各样本相互独立,根据独立正
态随机变量的性质, .其中 ,
.
根据期望和方差的性质,
所以, .把 标准化, .
从而,
故 查表得到 即 所以 至少应取35.
【相关知识点】1.对于随机变量 与 均服从正态分布,则 与 的线性组合亦服从正态分
布.
若 与 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 26,
其中 为常数.
2.若 ,则
十五、(本题满分4分)
【解析】设该次考试的考生成绩为 ,则 ,设 为从总体 抽取的样本容量
为 的样本均值, 为样本标准差,则在显著性水平 下建立检验假设：
由于 未知,故用 检验.
选取检验统计量,
在 时,
选择拒绝域为 ,其中 满足：
,即
由 可算得统计量 的值：
.
所以接受假设 ,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩
为70分.
资料搜集QQ1836989006 微信1836989006 27
