考研数三(1987-1997年)历年真题公众号：小乖考研免费分享_06.数学三历年真题_普通版本数学三_真题集（里面就是真题，可直接打印）_PDF格式

1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分 15分.把答案在题中横线上.) (1) 设 y f(lnx)ef(x),其中 f 可微,则dy___________. 1 1 1 (2) 若函数 f(x)  1x2 f(x)dx,则 f(x)dx___________. 1x2 0 0 (3) 差分方程 y y t2t的通解为___________. t1 t (4) 若二次型 f(x,x ,x )2x2 x2 x2 2xx tx x 是正定的,则t的取值范围是___________. 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 (5) 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X , ,X 和Y, ,Y 分别是来自总体 X和Y 的简 1 9 1 9 X   X 单随机样本,则统计量U  1 9 服从___________分布(2分),参数为___________. Y2  Y2 1 9 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内) 1cosx x5 x6 (1) 设函数 f(x) sint2dt,g(x)  ,则当x0时, f(x)是g(x)的 ( ) 0 5 6 (A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小 (2) 若 f(x) f(x)(x) , 在 (,0) 内 f(x)0 , 且 f(x)0 , 则 在 (0,) 内 有 ( ) (A) f(x)0, f(x)0 (B) f(x)0, f(x)0 (C) f(x)0, f(x)0 (D) f(x)0, f(x)0 (3) 设向量组, ,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( ) 1 2 3 (A) , ,  1 2 2 3 3 1 (B) , ,2  1 2 2 3 1 2 3 (C) 2 ,2 3,3  1 2 2 3 3 1 (D)  ,23 22,35 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (4) 设 A,B为同阶可逆矩阵,则 ( ) (A) ABBA (B) 存在可逆矩阵P,使P1APB (C) 存在可逆矩阵C,使CTAC B (D) 存在可逆矩阵P和Q,使PAQB1 (5) 设两个随机变量 X 与Y 相互独立且同分布：PX 1 PY 1 , PX 1 2 1  PY 1 ,则下列各式中成立的是 ( ) 2 1 (A) PX Y (B) PX Y1 2 1 1 (C) PX Y 0 (D) PXY 1 4 4 三、(本题满分6分) 在经济学中,称函数 1  Q(x) A[Kx (1)Lx] x 为固定替代弹性生产函数,而称函数 Q AKL1 为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数). 试证明：但x0时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有 limQ(x)Q. x0 四、(本题满分5分) du 设u f(x,y,z)有连续偏导数, y y(x)和z  z(x)分别由方程exy y0和ex xz 0所确定,求 . dx 五、(本题满分6分) 一商家销售某种商品的价格满足关系 p70.2x(万元/吨), x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数 C 3x1(万元). (1) 若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t为何值时,政府税收总额最大. 六、(本题满分6分) 设函数 f(x)在[0,)上连续、单调不减且 f(0)0,试证函数 1 x   tnf(t)dt, 若x0, F(x)x 0   0, 若x0, 在[0,)上连续且单调不减(其中n0). 七、(本题满分6分) 从点P(1,0)作x轴的垂线,交抛物线 y x2于点Q(1,1)；再从Q 作这条抛物线的切线与x轴交于P ,然后又从 1 1 1 2 P 作x轴的垂线,交抛物线于点Q ,依次重复上述过程得到一系列的点P,Q;P,Q ; ;P,Q ; . 2 2 1 1 2 2 n n(1) 求OP ； n (2) 求级数QP Q P  Q P  的和. 1 1 2 2 n n 其中n(n1)为自然数,而M M 表示点M 与M 之间的距离. 1 2 1 2 八、(本题满分6分) 设函数 f t在[0,)上连续,且满足方程 1 f(t)e4t2   f( x2 y2)dxdy,求 f(t). 2 x2y24t2 九、(本题满分6分) 设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,b为常数.记分块矩阵  E 0   A  P ,Q   ，  TA A  T b 其中 A是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ； (2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是TA1b. 十、(本题满分10分) 设 三 阶 实 对 称 矩 阵 A 的 特 征 值 是 1,2,3 ； 矩 阵 A 的 属 于 特 征 值 1,2 的 特 征 向 量 分 别 是  (1,1,1)T, (1,2,1)T . 1 2 (1) 求 A的属于特征值3的特征向量； (2) 求矩阵 A. 十一、(本题满分7分) 1 1 假设随机变量 X 的绝对值不大于1；P{X 1} ,P{X 1} ；在事件 8 4 {1 X 1}出现的条件下, X 在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求 X 的分布 函数F(x)P{X x}. 十二、(本题满分6分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行. 假设一游 客在早晨八点的第 X 分钟到达底层候梯处,且 X 在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望. 十三、(本题满分6分) 两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停 用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差.1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程x yy确定 y是x的函数,则dy___________. 1 (2) 设xf(x)dxarcsinxC,则 dx___________.. f(x) (3) 设x ,y 是抛物线 yax2 bxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. 0 0 (4) 设 1 1 1 1  x  1 1       a a a a x 1  1 2 3 n   2   Aa2 a2 a2 a2 ,X  x ,B  1, 1 2 3 n 3               an1 an1 an1 an1    x    1  1 2 3 n n 其中a a (i j;i, j 1,2, ,n).则线性方程组 ATX B的解是___________. i j (5) 设由来自正态总体 X ~ N(,0.92)容量为 9 的简单随机样本,得样本均值 X 5,则未知参数的置信度为 0.95的置信区间为___________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内.)  cos (1) 累次积分2d f(rcos,rsin)rdr可以写成 ( ) 0 0 1 yy2 1 1y2 (A)  dy f(x,y)dx (B)  dy f(x,y)dx 0 0 0 0 1 1 1 xx2 (C)  dx f(x,y)dy (D)  dx f(x,y)dy 0 0 0 0 (2) 下述各选项正确的是 ( )    (A) 若u2和v2 都收敛,则(u v )2收敛 n n n n n1 n1 n1    (B)  u v 收敛,则u2与v2 都收敛 n n n n n1 n1 n1  1 (C) 若正项级数u 发散,则u  n n n n1   (D) 若级数u 收敛,且u v (n1,2, ),则级数v 也收敛 n n n n n1 n1 (3) 设n阶矩阵 A非奇异(n2), A是矩阵A的伴随矩阵,则 ( )(A) (A)  A n1 A (B) (A)  A n1 A (C) (A)  A n2 A (D) (A)  A n2 A (4) 设有任意两个 n 维向量组, , 和, , ,若存在两组不全为零的数, , 和k , ,k ,使 1 m 1 m 1 m 1 m (k ) ( k ) (k ) ( k ) 0,则 1 1 1 m m m 1 1 1 m m m ( ) (A) , , 和, , 都线性相关 1 m 1 m (B) , , 和, , 都线性无关 1 m 1 m (C) , ,  ,, ,  线性无关 1 1 m m 1 1 m m (D) , ,  ,, ,  线性相关 1 1 m m 1 1 m m (5) 已知0P(B)1且P[A A  B]P(A B)P(A B),则下列选项成立的是( ) 1 2 1 2 (A) P[A A  B]P(A B)P(A B) 1 2 1 2 (B) PABA BP(AB)P(A B) 1 2 1 2 (C) PA A P(A B)P(A B) 1 2 1 2 (D) PBPAP(B A)P(A )P(B A ) 1 1 2 2 三、(本题满分6分) g(x)ex  , x0, 设 f(x) x 其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)1,g(0)1.  0, x0, (1)求 f(x)； (2)讨论 f(x)在(,)上的连续性. 四、(本题满分6分) x 设函数z f(u),方程u (u) p(t)dt 确定u是x,y的函数,其中 f(u),(u)可微； p(t),(u)连续,且 y z z (u)1.求 p(y)  p(x) . x y五、(本题满分6分)  xex 计算 dx. 0 (1ex)2 六、(本题满分5分) 1 设 f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件 f(1)22xf(x)dx.试证:存在(0,1)使 0 f()f()0. 七、(本题满分6分) a 设某种商品的单价为 p时,售出的商品数量Q可以表示成Q c,其中a、b、 pb c均为正数,且abc. (1) 求 p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少. (2) 要使销售额最大,商品单价 p应取何值?最大销售额是多少? 八、(本题满分6分) dy y x2  y2 求微分方程  的通解. dx x九、(本题满分8分) 0 1 0 0   1 0 0 0 设矩阵 A . 0 0 y 1   0 0 1 2 (1) 已知 A的一个特征值为3,试求 y； (2) 求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵. 十、(本题满分8分) 设向量,, ,是齐次线性方程组 AX 0的一个基础解系,向量不是方程组 1 2 t AX 0的解,即 A0.试证明:向量组,,, ,线性无关. 1 2 t 十一、(本题满分7分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获 利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2万元.求一周内期望利润是多少? 十二、(本题满分6分) 考虑一元二次方程x2 BxC 0,其中B、C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程 有实根的概率 p和有重根的概率q. 十三、(本题满分6分) 假设 X ,X , ,X 是来自总体X的简单随机样本；已知E(Xk)a (k 1,2,2,4).. 1 2 n k 1 n 证明：当n充分大时,随机变量Z  X2近似服从正态分布,并指出其分布参数. n n i i11995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) 1x (1) 设 f(x) ,则 f(n)(x) . 1x y (2) 设z  xyf( ), f(u)可导,则xz  yz  . x x y (3) 设 f(lnx)1x,则 f(x) . 1 0 0   (4) 设 A 2 2 0 ,A是A的伴随矩阵,则(A)1  .     3 4 5   (5) 设 X ,X , ,X 是 来 自 正 态 总 体 N(,2) 的 简 单 随 机 样 本 , 其 中 参 数  和 2 未 知 , 记 1 2 n 1 n n X  X ,Q2 (X X)2,则假设H :0的t检验使用统计量t _____. n i i 0 i1 i1 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内.) f(1) f(1x) (1) 设 f(x)为可导函数,且满足条件lim 1,则曲线 y f(x)在点 x0 2x (1, f(1))处的切线斜率为 ( ) 1 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 2 2 (2) 下列广义积分发散的是 ( ) 1 1 1 1 (A)  dx (B)  dx 1sinx 1 1x2 (C)   ex2 dx (D)   1 dx 0 2 xln2 x (3) 设矩阵 A 的秩为r(A)mn,E 为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( ) mn m (A) A的任意m个行向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 若矩阵B满足BA0,则B0 (D) A通过初等行变换,必可以化为(E ,0)的形式 m (4) 设随机变量 X 和Y 独立同分布,记U  X Y,V  X Y ,则随机变量U 与V 必然 ( ) (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量 X 服从正态分布N(,2),则随的增大,概率P  X   ( ) (A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)  2 (1cosx), x0  x2  设 f(x) 1, x0,试讨论 f(x)在x0处的连续性和可导性.  1 x   cost2dt, x0  x 0 四、(本题满分6分) 3x t  已知连续函数 f(x)满足条件 f(x) f   dte2x,求 f(x). 0 3 五、(本题满分6分) 将函数 yln(1x2x2)展成x的幂级数,并指出其收敛区间. 六、(本题满分5分) 计算二次积分I      min{x,y}e(x2y2)dxdy.   七、(本题满分6分) 设某产品的需求函数为QQ(p),收益函数为R pQ,其中 p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),Q(p) 为单调减函数.如果当价格为 p ,对应产量为Q 时,边际收益 0 0 dR dR a0,收益对价格的边际效应 c0,需求对价格的弹性E b1.求 p 和Q . dQ dp p 0 0 QQ pp 0 0八、(本题满分6分) 设 f(x)、g(x)在区间[a,a](a0)上连续,g(x)为偶函数,且 f(x)满足条件 f(x) f(x) A(A为常数). a a (1) 证明 f(x)g(x)dx A g(x)dx； a 0  (2) 利用(1)的结论计算定积分2 sinx arctanexdx.   2 九、(本题满分9分) 已知向量组(Ⅰ),,；(Ⅱ),,, ；(Ⅲ),,,,如果各向量组的秩 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 5 分别为r(I)r(II)3,r(III)4. 证明:向量组,,, 的秩为4. 1 2 3 5 4 十、(本题满分10分) 已知二次型 f(x,x ,x )4x2 3x2 4xx 4xx 8x x . 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 (1) 写出二次型 f 的矩阵表达式； (2) 用正交变换把二次型 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵. 十一、(本题满分8分) 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求： (1) 全部能出厂的概率； (2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率. 十二、(本题满分8分) 已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为 4xy,0 x1,0 y1 （x,y）  0, 其他. 求X 和Y 联合分布函数F(x,y).1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) x x 2 (1)  dx_____________. 22x2 x (2) 已知 f(x )1,则lim _____________. 0 x0 f(x 2x) f(x x) 0 0 dy (3) 设方程exy  y2 cosx确定 y为x的函数,则 _____________. dx 0 a 0 0  1   0 0 a 0  2  (4) 设 A ,其中a 0,i1,2, ,n,则 A1 _____________. i   0 0 0 a  n1 a 0 0 0    n (5) 设随机变量 X 的概率密度为 2x, 0 x1, f(x)  0, 其他，  1 以Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件X  出现的次数,则PY 2  2 _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内.) 1 x2 x1 (1) 曲线 y ex2 arctan 的渐近线有 ( ) (x1)(x2) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条   a (2) 设常数0,而级数a2 收敛,则级数(1)n n ( ) n n2  n1 n1 (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 设 A是mn矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵 A的秩为r,矩阵B AC的秩为r ,则 1 ( ) (A) r r (B) r r 1 1 (C) r r (D) r与r 的关系由C而定 1 1 (4) 设0P(A)1,0P(B)1,P(A B)P(A B)1,则 ( ) (A) 事件 A和B互不相容 (B) 事件 A和B相互对立 (C) 事件 A和B互不独立 (D) 事件 A和B相互独立(5) 设 X ,X ,,X 是来自正态总体N(,2)的简单随机样本, X 是样本均值,记 1 2 n 1 n 1 n S2  (X X)2, S2  (X X)2, 1 n1 i 2 n i i1 i1 1 n 1 n S2  (X )2, S2  (X )2, 3 n1 i 4 n i i1 i1 则服从自由度为n1的t分布的随机变量是 ( ) X  X  (A) t  (B) t  S S 1 2 n1 n1 X  X  (C) t  (D) t  S S 3 4 n n 三、(本题满分6分) 计算二重积分(x y)dxdy,其中D  (x,y) x2  y2  x y1  . D 四、(本题满分5分) y4y4y 0,  设函数 y y(x)满足条件 求广义积分 y(x)dx. y(0)2,y(0)4, 0 五、(本题满分5分) y x 2f 已知 f(x,y) x2arctan y2arctan ,求 . x y xy 六、(本题满分5分) x F(x) 设函数 f(x)可导,且 f(0)0,F(x) tn1f(xn tn)dt,求lim 0 x0 x2n 七、(本题满分8分) 已知曲线 ya x(a0)与曲线 yln x在点(x ,y )处有公共切线,求: 0 0 (1) 常数a及切点(x ,y )； 0 0 (2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V . x 八、(本题满分6分) 假设 f(x)在[a,)上连续, f(x)在a,内存在且大于零,记 f(x) f(a) F(x) (xa), xa 证明F(x)在a,内单调增加. 九、(本题满分11分) 设线性方程组x a x a2x a3, 1 1 2 1 3 1  x a x a2x a3,  1 2 2 2 3 2 x a x a2x a3, 1 3 2 3 3 3  x a x a2x a3.  1 4 2 4 3 4 (1) 证明:若a ,a ,a ,a 两两不相等,则此线性方程组无解； 1 2 3 4 (2) 设a a k,a a k(k 0),且已知,是该方程组的两个解,其中 1 3 2 4 1 2 1  1        1 ,  1 , 1   2    1  1     写出此方程组的通解. 十、(本题满分8分) 0 0 1   设A x 1 y 有三个线性无关的特征向量,求x和 y应满足的条件.   1 0 0   十一、(本题满分8分) 假设随机变量 X ,X ,X ,X 相互独立,且同分布 1 2 3 4 PX 00.6,PX 10.4(i1,2,3,4), i i X X 求行列式 X  1 2 的概率分布. X X 3 4 十二、(本题满分8分) 假设由自动线加工的某种零件的内径 X (毫米)服从正态分布N(,1),内径小于 10 或大于 12 的为不合格品,其 余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径 X 有如下 关系: 1, X 10,  T 20, 10 X 12,  5, X 12.  问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) 3x2 5 2 (1) lim sin  . x 5x3 x 3x2 dy (2) 已知 y f   , fxarctanx2,则  . 3x2 dx x0  (ln3)n (3) 级数 的和为 . 2n n0 (4) 设4阶方阵 A的秩为2,则其伴随矩阵 A*的秩为 . (5) 设总体 X 的方差为 1,根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则 X 的数学期望的置信度 近似等于0.95的置信区间为 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选 项前的字母填在题后的括号内.)  1  x sin , x0, (1) 设 f x  x2 则 f x在点x0处 ( )  0, x0, (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 lnx (2) 设 f x为连续函数,且Fx f tdt,则Fx等于 ( ) 1 x 1 1 1 1 1 (A) f lnx f   (B) f lnx f   x x2  x x  x 1 1 1 1 (C) f lnx f   (D) f lnx f   x x2  x  x (3) n阶方阵A具有n个不同的特征值是 A与对角阵相似的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件 A和B满足P(B A)1,则 ( ) (A) A是必然事件 (B) P(B A)0. (C) AB (D) AB (5) 设随机变量 X 的密度函数为(x),且(x)(x).F(x)是X 的分布函数,则对任意实数a,有( ) a 1 a (A) F(a)1 (x)dx. (B) F(a)  (x)dx 0 2 0(C) F(a)F(a) (D) F(a)2F(a)1 三、(本题满分5分) 设z  f x,y是由方程zyxxezyx 0所确定的二元函数,求dz. 四、(本题满分7分) x  xa  已知lim  4x2e2xdx,求常数a的值.   x xa a 五、(本题满分9分) 1 设某产品的成本函数为C aq2 bqc,需求函数为q (d  p),其中C为成本,q为需求量(即产量),p 为 e 单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且d b,求: (1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性; (3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量. 六、(本题满分8分) 假设:(1) 函数 y f(x)(0x)满足条件 f(0)0和0 f(x)ex 1; (2) 平行于 y轴的动直线MN与曲线 y f(x)和 yex 1分别相交于点P和P ; 1 2 (3) 曲线 y f(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段PP 的长度. 1 2 求函数 y f(x)的表达式. 七、(本题满分6分) 假设函数 f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0, f(0))与B(1, f(1))的直线与曲线y f(x)相交 于点C(c, f(c)),其中0c1. 证明:在(0,1)内至少存在一点,使 f()0.八、(本题满分10分) k为何值时,线性方程组  x x kx 4, 1 2 3  x kx x k2, 1 2 3  x x 2x 4  1 2 3 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解. 九、(本题满分9分) 设二次型 f x2 x2 x2 2xx 2x x 2xx 1 2 3 1 2 2 3 1 3 经正交变换 X PY化成 f  y2 2y2,其中 X (x ,x ,x )T 和Y (y ,y ,y )T是三维列向量, P 是 3 阶正交矩 2 3 1 2 3 1 2 3 阵.试求常数,. 十、(本题满分8分) 设随机变量 X 和Y 同分布, X 的概率密度为 3  x2, 0 x2, f(x)8   0, 其他. 3 (1) 已知事件 AX a和BY a独立,且PA B .求常数a. 4 1 (2) 求 的数学期望. X2 十一、(本题满分8分) 假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t 的泊松分布. (1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； (2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设商品的需求函数为Q1005P,其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于 1,则 商品价格的取值范围是_________.  (x2)2n (2) 级数 的收敛域为_________. n4n n1 1 2y2 (3) 交换积分次序 dy f(x,y)dx_________. 0 y 0 A (4) 设 A为m阶方阵,B为n阶方阵,且 A a, B b,C   ,则 C ________. B 0 (5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为__________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选 项前的字母填在题后的括号内.) x2 x (1) 设F(x)  f(t)dt,其中 f(x)为连续函数,则limF(x)等于 ( ) xa a xa (A) a2 (B) a2f(a) (C) 0 (D) 不存在 (2) 当x0时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (A) x2 (B) 1cosx (C) 1x2 1 (D) xtanx (3) 设 A为mn矩阵,齐次线性方程组 Ax0仅有零解的充分条件是 ( ) (A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关 (4) 设当事件 A与B同时发生时,事件C必发生,则 ( ) (A) P(C)P(A)P(B)1 (B) P(C)P(A)P(B)1 (C) P(C)P(AB) (D) P(C)P(A B) 1 n (5) 设n个随机变量 X ,X , ,X 独立同分布,D(X )2,X  X , 1 2 n 1 n i i1 1 n S2  (X X)2,则 ( ) n1 i i1 (A) S是的无偏估计量 (B) S 是的最大似然估计量 (C) S是的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立三、(本题满分5分) lncos(x1) , x1,    设函数 f(x) 1sin x 问函数 f(x)在x1处是否连续?若不连续,修改函数在x1处的定义使 2   1, x1. 之连续. 四、(本题满分5分) arccotex 计算I  dx. ex 五、(本题满分5分) x 2z 设z sin(xy)(x, ),求 ,其中(u,v)有二阶偏导数. y xy 六、(本题满分5分) x 求连续函数 f(x),使它满足 f(x)2 f(t)dt  x2 . 0 七、(本题满分6分) 1 2x  求证:当x1时,arctanx arccos  . 2 1x2 4 八、(本题满分9分) 设曲线方程 yex(x0). (1) 把曲线 yex,x轴, y轴和直线x(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体 1 体积V();求满足V(a) limV()的a. 2 （2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积. 九、(本题满分7分) 设矩阵 A与B相似,其中 2 0 0 1 0 0     A 2 x 2 ,B 0 2 0 .      3 1 1  0 0 y     (1) 求x和 y的值. (2) 求可逆矩阵P,使得P1APB.十、(本题满分6分) 已知三阶矩阵B0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解: x 2x 2x 0, 1 2 3  2x x x 0, 1 2 3  3x x x 0.  1 2 3 (1) 求的值; (2) 证明 B 0. 十一、(本题满分6分) A 0 设A、B分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C   是否是正定矩阵. 0 B 十二、(本题满分7分) 假设测量的随机误差 X N(0,102),试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概 率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表]  1 2 3 4 5 6 7 … e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 … 十三、(本题满分5分) 一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相 互独立,以 X 表示同时需要调整的部件数,试求 X 的数学期望EX 和方差DX . 十四、(本题满分4分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ey, 0 x y, f(x,y)  0, 其他, (1) 求随机变量 X 的密度 f (x); (2) 求概率P{X Y 1}. X1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设z esinxy,则dz  _______. (2) 设 曲 线 f x x3ax 与 gxbx2 c 都 通 过 点 1,0, 且 在 点 1,0 有 公 共 切 线 , 则 a _______,b _______,c _______. (3) 设 f x xex,则 f nx在点x _______处取极小值 _______. 0 A (4) 设 A和B为可逆矩阵, X   为分块矩阵,则 X1  _______. B 0 (5) 设随机变量 X 的分布函数为  0, x1,  0.4, 1 x1, F(x) P{X  x} 0.8, 1 x3,    1, x3. 则X 的概率分布为 _______. 二、选择题(本题满分15分,每小题3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在 题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是 ( ) x x  1  1 (A) lim  1  1 (B) lim  1  e x0 x x0 x x x  1  1 (C) lim  1  e (D) lim  1  e x x x x 1 (2) 设0a  (n1,2, )则下列级数中肯定收敛的是 ( ) n n     (A) a (B) (1)na (C)  a (D) (1)na2 n n n n n1 n1 n1 n1 (3) 设 A为n阶可逆矩阵,是 A的一个特征根,则 A的伴随矩阵 A*的特征根之一是( ) (A) 1 A n (B) 1 A (C) A (D) A n (4) 设 A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A) A与B不相容 (B) A与B相容 (C) PABPAPB (D) PABPA (5) 对于任意两个随机变量 X 和Y ,若E(XY)E(X)E(Y),则 ( ) (A) D(XY)D(X)D(Y) (B) D(X Y)D(X)D(Y)(C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立 三、(本题满分5分) 1 ex e2x  enx x 求极限 lim  ,其中n是给定的自然数. x0 n  四、(本题满分5分) x y 计算二重积分I ydxdy,其中D是由x轴, y轴与曲线  1所围成的区域,a0,b0. a b D 五、(本题满分5分) dy 求微分方程xy  x2  y2满足条件 y 2e的特解. dx xe 六、(本题满分6分) 假设曲线L ：y1x20 x1、x轴和 y轴所围区域被曲线L ：yax2分为面积相等的两部分,其中a是 1 2 大于零的常数,试确定a的值. 七、(本题满分8分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p 和 p ；销售量分别为q 和q ；需求函数分别为 1 2 1 2 q 240.2p 和q 100.05p ,总成本函数为C3540q q . 1 1 2 2 1 2 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？ 八、(本题满分6分) 1 试证明函数 f(x)(1 )x在区间(0,)内单调增加. x 九、(本题满分7分) 设有三维列向量 1  1   1   0            1 ,  1 ,  1 ,  , 1   2   3      1   1  1 2         问取何值时, (1) 可由,,线性表示,且表达式唯一? 1 2 3 (2) 可由,,线性表示,且表达式不唯一? 1 2 3 (3) 不能由,,线性表示? 1 2 3十、(本题满分6分) 考虑二次型 f x2 4x2 4x2 2xx 2xx 4x x .问取何值时, f 为正定二次型. 1 2 3 1 2 1 3 2 3 十一、(本题满分6分) 试证明n维列向量组,, ,线性无关的充分必要条件是 1 2 n T T T 1 1 1 2 1 n T T T D 2 1 2 2 2 n 0, T T T n 1 n 2 n n 其中T 表示列向量的转置,i1,2, ,n. i i 十二、(本题满分5分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互 独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求 X 的概率分布. 十三、(本题满分6分) 假设随机变量 X 和Y 在圆域x2  y2 r2上服从联合均匀分布. (1) 求 X 和Y 的相关系数;(2) 问 X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分) 设总体 X 的概率密度为 axa1exa , x0, p(x;)  0, x0, 其中0是未知参数,a0是已知常数.试根据来自总体 X 的简单随机样本 ˆ X ,X , ,X ,求的最大似然估计量. 1 2 n1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim( n3 n  n n)_________. n (2) 设函数 f(x)有连续的导函数, f(0)0, f(0)b,若函数  f(x)asinx  , x0, F(x) x   A, x0 在x0处连续,则常数 A=___________. (3) 曲线 y x2与直线 y x2所围成的平面图形的面积为_________. x x a , 1 2 1  x x a , (4) 若线性方程组 2 3 2 有解,则常数a ,a ,a ,a 应满足条件________. x x a , 1 2 3 4  3 4 3 x x a  4 1 4 80 (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为 ,则该射手的命中率为________. 81 二、选择题(本题满分15分,每小题3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在 题后的括号内.) (1) 设函数 f(x) xtanxesinx,则 f(x)是 ( ) (A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数 f(x)对任意x均满足等式 f(1x)af(x),且有 f(0)b,其中a,b为非零常 数,则 ( ) (A) f(x)在x1处不可导 (B) f(x)在x1处可导,且 f(1)a (C) f(x)在x1处可导,且 f(1)b (D) f(x)在x1处可导,且 f(1)ab (3) 向量组,, ,线性无关的充分条件是 ( ) 1 2 s (A) ,, ,均不为零向量 1 2 s (B) ,, ,中任意两个向量的分量不成比例 1 2 s (C) ,, ,中任意一个向量均不能由其余s1个向量线性表示 1 2 s (D) ,, ,中有一部分向量线性无关 1 2 s (4) 设 A,B为两随机事件,且B A,则下列式子正确的是 ( ) (A) PABPA (B) PABPA(C) P  B A  PB (D) PBAP(B)PA (5) 设随机变量 X 和Y 相互独立,其概率分布为 m -1 1 m -1 1 PX m 1 1 2 2 PY m 1 1 2 2 则下列式子正确的是 ( ) 1 (A) X Y (B) PX Y0 (C) PX Y (D) PX Y1 2 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) x lnt (1) 求函数I(x) dt在区间[e,e2]上的最大值. e t2 2t1 (2) 计算二重积分xey2 dxdy,其中D是曲线y4x2和 y9x2在第一象限所围成的区域. D  (x3)n (3) 求级数 的收敛域. n2 n1 (4) 求微分方程 y ycosx(lnx)esinx的通解. 四、(本题满分9分) 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用 x (万元)及报纸广告费用x (万元)之间的关系有如下经验公式: 1 2 R1514x 32x 8xx 2x210x2. 1 2 1 2 1 2 (1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 五、(本题满分6分) 设 f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数 f(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；f(0)0,试应用拉格朗日中值 定理证明不等式: f(ab) f(a) f(b),其中常数a、b满足条件0ababc. 六、(本题满分8分) 已知线性方程组 x x x x x a, 1 2 3 4 5  3x 2x x x 3x 0,  1 2 3 4 5 x 2x 2x 6x b,  2 3 4 5 5x 4x 3x 3x x 2,  1 2 3 4 5 (1) a、b为何值时,方程组有解? (2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解. 七、(本题满分5分)已知对于n阶方阵 A,存在自然数k,使得 Ak 0,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶 单位阵). 八、(本题满分6分) 设A是n阶矩阵,和是 A的两个不同的特征值, X ,X 是分别属于和的特征向量.试证明 X X 不 1 2 1 2 1 2 1 2 是A的特征向量. 九、(本题满分4分) 从0,1,2, ,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率： A {三个数字中不含0和5}；A {三个数字中不含0或5}. 1 2 十、(本题满分5分) 一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数 为: 1-e0.5x e0.5y e0.5(xy), 若x0,y0, F(x,y)  0, 其他. (1) 问X 和Y 是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 十一、(本题满分7分) 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. [附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中(x)是标准正态分布函数. 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)   (1) 曲线 y xsin2x在点 ,1 处的切线方程是__ _ .  2 2  xn (2) 幂级数 的收敛域是__ _ . n1 n0 (3) 齐次线性方程组 x  x  x 0, 1 2 3  x x  x 0, 只有零解,则应满足的条件是__ _ . 1 2 3  x  x  x 0  1 2 3 (4) 设随机变量 X 的分布函数为  0, x0,      FxAsinx, 0 x , 则A=__________,P X   . 2  6    1, x ,   2 (5) 设随机变 量 X 的数学期望 E(X),方差 D(X)2 ,则由切比雪 夫(Chebyshev)不等 式,有 P{X 3}__ _ . 二、选择题(本题满分15分,每小题3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在 题后的括号内.) (1) 设 f x2x 3x 2,则当x0时 ( ) (A) f x与x是等价无穷小量 (B) f x与x是同阶但非等价无穷小量 (C) f x是比x较高阶的无穷小量 (D) f x是比x较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)  fxdx f x (B) df x f x d (C)  f xdx f x (D) d f xdx f x dx (3) 设 A为n阶方阵且 A 0,则 ( ) (A) A中必有两行(列)的元素对应成比例 (B) A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A中至少有一行(列)的元素全为0 (4) 设 A和B均为nn矩阵,则必有 ( ) (A) AB  A  B (B) ABBA(C) AB  BA (D) AB1  A1B1 (5) 以 A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件 A为 ( ) (A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题(本题满分15分,每小题5分) x  1 1 (1) 求极限lim sin cos .   x x x 2z (2) 已知z f(u,v),uxy,vxy,且 f(u,v)的二阶偏导数都连续.求 . xy (3) 求微分方程 y5y6y2ex的通解. 四、(本题满分9分) 设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 x  PP(x)10e 2, 且最大需求量为6,其中x表示需求量,P表示价格. (1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分) (2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分) 五、(本题满分9分) 已知函数  x, 0 x1, f(x) 2x, 1 x2. 试计算下列各题： 2 4 (1) S  f(x)exdx;(4分) (2) S  f(x2)exdx;(2分) 0 1 0 2  (3) S  2n2 f(x2n)exdx(n2,3, );(1分) (4) S S .(2分) n n 2n n0 六、(本题满分6分) 假设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 f(x)0,记 1 x F(x)  f(t)dt, xa a 证明在(a,b)内,F(x)0. 七、(本题满分5分) 0 1 0  1 1     已知 X  AX B,其中A 1 1 1 , B 2 0 ,求矩阵 X .       1 0 1   5 3  八、(本题满分6分) 设 (1,1,1), (1,2,3), (1,3,t). 1 2 3 (1) 问当t为何值时,向量组,,线性无关?(3分) 1 2 3 (2) 问当t为何值时,向量组,,线性相关?(1分) 1 2 3 (3) 当向量组,,线性相关时,将表示为和 的线性组合.(2分) 1 2 3 3 1 2 九、(本题满分5分) 1 2 2    设A 2 1 2 .    2 2 1   (1)试求矩阵 A的特征值；(2分) (2)利用(1)小题的结果,求矩阵EA1的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3分) 十 、(本题满分7分) 已知随机变量 X 和Y 的联合密度为 e(xy), 0 x,0 y , f(x,y)    0, 其它. 试求：(1) P{X Y}；(5分) (2) E(XY).(2分) 十一、(本题满分8分) 设随机变量 X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、填空题（本题满分20 分，每小题4分） e2 sin xcosx  ,x0 （1）若 f  x   是 ，  上的连续函数，则a ________.  2xa,x0 1 （2）若f  t  lim t（1 ）2tx,则f t   ________. x x （3）设f（x）是连续函数，且 x31 f  t  dt  x,则f  7   ________. 0 1 （4） lim( )tgx  ________. x0 x 4 （5） e xdx ________. 0 二、选择题:（本题满分 20分，每小题4分）. 1 1 (1) f  x   x3 x2 6x1的图形在点(0,1)处切线与x轴交点的坐标是（ ） 3 2  1  1  (A) ，0 (B)  1，0  (C) ，0 (D)  1，0   6  6  (2) 若 f  x 与g  x 在 ， 上皆可导，且f  x  g(x),则必有( ) (A) f  x   g  x  (B) f x   g x  (C)lim f  x   lim g  x  (D) x f  t  dt  x g  t  dt xx xx 0 0 0 0 1 (3)若函数 y f(x)有f x   ,则当x0时，该函数在x x 处的微分dy是( ) 0 2 0 (A)与x等阶的无穷小 (B)与x同阶的无穷小 (C)与x低阶的无穷小 (D) 与x高阶的无穷小 3   (4)曲线 ysin2x 0 x 与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转( ) 4 4 2 2 (A) (B)  (C) 2 (D)  3 3 3 3 (5) n维向量组a ,a ,,a  3sn  线性无关的充分必要条件是( ) 1 2 s (A)由一组不全为0的数k ,k ,,k ,使ka k a k a 0 1 2 s 1 1 2 2 s s (B)a ,a ,,a 中任意两个向量都线性无关 1 2 s (C)a ,a ,,a 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 1 2 s (D)a ,a ,,a 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 1 2 s 三、（本题满分 15分，每小题 5分）（1）已知f（x）ex2 ,f  （x） 1x,且（x）0.求（x）并写出它的定义域。 （2）已知 y1xexy,求y|x0及y|x0 1 1 （3）求微分方程 y y  的通解（一般解）。 x x(x2 1) 四、（本题满分 12分） 6 作函数 y  的图形，并填写下表。 x2 2x4 单调增区间 单调减区间 极值点 极值   凹  区间   凸  区间 拐点 渐近线 五、（本题满分 8分） 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问着两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的 面积之和为最小？ 六、（本题满分 10分） 设函数 y y  x  满足微分方程 y3y2y2ex,且图形在点  0,1  处的切线与曲线y x2 x1在该点的切线   重合，求函数 y y x 。 七、（本题满分 6分） 设x1,求 x 1|t|  dt. 1 八、（本题满分 6分） 设 f  x 在 ，  上有连续导数，且m f  x  M. （1）求 lim 1  a  f  ta   f  ta  dt; a04a2 a （2）证明 1  a f  t  dt f  x  M m,  a0  . 2a a1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、填空题（每小题2分，满分10分。把答案填在题中横线上） （1）设 yln  1ax  ,其中a为非零常数，则 y ________.，y ________. （2）曲线 yarctgx在横坐标为1点处的切线方程是________.；法线方程是________. （3）积分中值的条件是 ，结论是 。 n2 （4） lin( )n  ________. n n1 （5） f  x  dx ________.； b f2xdx ________. a 二、（本题满分 6分） 1 1 求极限lim(  ) x0 x ex 1 三、（本题满分 7分） x5  tsint  dy d2y 设 ,求 , . y 5  1cost  dx dx2 四、（本题满分 8分） 1 计算定积分 xarcsinxdx. 0 五、（本题满分 8分） 设 D 是曲线 ysinx1与三条直线x0,x,y0围成的曲边梯形。求 D 绕x轴旋转一周所生成的旋转体 的体积。六、证明题（本题满分 10分） （1）（5分）若 f  x 在 a,b  内可导，且导数 f x  恒大于零，则 f(x)在 a,b  内单调增加。 （2）（5分）若g(x)在xc处二阶导数存在，且g(c)0,g(c)0.则g(c)为g(x)的一个极大值。 七、（本题满分 10分） dx 计算不定积分 （其中a,b为不全为零的非负数） a2sin2 xb2cos2 x 八、（本题满分 15分） dy （1）（7分）求微分方程x  x y,满足条件 y 0的解。 dx x 2 （2）（8分）求微分方程 y2y y xex的通解。 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1) f(x) xsinecosx, x是( ) (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (2) 函数 f(x)xsinx( ) (A)当x时为无穷大 (B)当x时有极限 (C)在（，）内有界 (D) 在（，）内无界 f(ax) f(ax) (3)设 f(x)在xa处可导，则lim 等于( ) x0 x (A) f(a) (B)2f(a) (C)0 (D) f(2a) s (4)设 f(x)为已知连续函数，I tt f(tx)dx,s0,t 0,则I 的值( ) 0 (A)依赖与s和t (B) 依赖与s、t、x (C) 依赖与t和 x，不依赖与s (D) 依赖与s，不依赖与t 十、（本题满分 10分） 在第一象限内，求曲线 yx2 1上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小 面积。