文档内容
2016年贵州省贵阳市中考数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B
铅笔在答题卡上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共30分.
1．（3分）（2016•贵阳）下面的数中，与﹣6的和为0的数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．（3分）（2016•贵阳）空气的密度为0.00129g/cm3，0.00129这个数用科学记数法可表
示为（ ）
A．0.129×10﹣2 B．1.29×10﹣2 C．1.29×10﹣3 D．12.9×10﹣1
3．（3分）（2016•贵阳）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=38°，则
∠2的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．142°
4．（3分）（2016•贵阳）2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创
新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用
车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机地从这200辆车中抽取
1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2016•贵阳）如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2016•贵阳）2016年6月4日﹣5日贵州省第九届“贵青杯”﹣“乐韵华彩”
全省中小学生器乐交流比赛在省青少年活动中心举行，有45支队参赛，他们参赛的成绩各
不相同，要取前23名获奖，某代表队已经知道了自己的成绩，他们想知道自己是否获奖，
只需再知道这45支队成绩的（ ）
第1页（共26页）A．中位数 B．平均数 C．最高分 D．方差
7．（3分）（2016•贵阳）如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，BC=12，则DE的长是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）（2016•贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片
贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
9．（3分）（2016•贵阳）星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀
速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s
（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的
路线是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2016•贵阳）若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣
b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是
（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
二、填空题：每小题4分，共20分
第2页（共26页）11．（4分）（2016•贵阳）不等式组 的解集为______．
12．（4分）（2016•贵阳）现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡
片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放
回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3．估
计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为______．
13．（4分）（2016•贵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上
的两点，则a与b的大小关系是______．
14．（4分）（2016•贵阳）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延
长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是______．
15．（4分）（2016•贵阳）已知△ABC，∠BAC=45°，AB=8，要使满足条件的△ABC唯
一确定，那么BC边长度x的取值范围为______．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（8分）（2016•贵阳）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=
．
17．（10分）（2016•贵阳）教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数
序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）．
（1）将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是______；
（2）在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需
要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好
关掉第一排与第三排灯的概率．
第3页（共26页）18．（10分）（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，
△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
19．（10分）（2016•贵阳）某校为了解该校九年级学生2016年适应性考试数学成绩，现
从九年级学生中随机抽取部分学生的适应性考试数学成绩，按A，B，C，D四个等级进行
统计，并将统计结果绘制成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问
题：
（说明：A等级：135分﹣150分 B等级：120分﹣135分，C等级：90分﹣120分，D等
级：0分﹣90分）
（1）此次抽查的学生人数为______；
（2）把条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若该校九年级有学生1200人，请估计在这次适应性考试中数学成绩达到120分（包
含120分）以上的学生人数．
第4页（共26页）20．（10分）（2016•贵阳）为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通
安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次
性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球
和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．
（1）求足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总
费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？
21．（8分）（2016•贵阳）“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚
B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑
菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，
BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）
第5页（共26页）22．（10分）（2016•贵阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，
反比例函数y= （x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的
坐标为（4，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点F的坐标．
23．（10分）（2016•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．
（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E，求由线段ED，BE， 所围成区域的面积．
（其中 表示劣弧，结果保留π和根号）
第6页（共26页）24．（12分）（2016•贵阳）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点
D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的
关系即可判断．
中线AD的取值范围是______；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个
70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的
数量关系，并加以证明．
第7页（共26页）25．（12分）（2016•贵阳）如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两
点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段
ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一
点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x ﹣x |求出；
1 2
当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y ﹣y |求出．
1 2
第8页（共26页）2016 年贵州省贵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B
铅笔在答题卡上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共30分.
1．（3分）（2016•贵阳）下面的数中，与﹣6的和为0的数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【分析】根据两个互为相反数的数相加得0，即可得出答案．
【解答】解：与﹣6的和为0的是﹣6的相反数6．
故选A．
2．（3分）（2016•贵阳）空气的密度为0.00129g/cm3，0.00129这个数用科学记数法可表
示为（ ）
A．0.129×10﹣2 B．1.29×10﹣2 C．1.29×10﹣3 D．12.9×10﹣1
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前
面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00129这个数用科学记数法可表示为1.29×10﹣3．
故选：C．
3．（3分）（2016•贵阳）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=38°，则
∠2的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．142°
【分析】由平角的定义求出∠MBC的度数，再由平行线的性质得出∠2=∠MBC=52°即可．
【解答】解：如图所示：
∵AB⊥BC，∠1=38°，
∴∠MBC=180°﹣90°﹣38°=52°，
∵a∥b，
∴∠2=∠MBC=52°；
故选：B．
4．（3分）（2016•贵阳）2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创
第9页（共26页）新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，
其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机地从这200辆车中抽取1辆
作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵共有200辆车，其中帕萨特60辆，
∴随机地从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率= = ．
故选C．
5．（3分）（2016•贵阳）如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上边看时，圆柱是一个矩形，中间的木棒是虚线，
故选：C．
6．（3分）（2016•贵阳）2016年6月4日﹣5日贵州省第九届“贵青杯”﹣“乐韵华彩”
全省中小学生器乐交流比赛在省青少年活动中心举行，有45支队参赛，他们参赛的成绩各
不相同，要取前23名获奖，某代表队已经知道了自己的成绩，他们想知道自己是否获奖，
只需再知道这45支队成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．最高分 D．方差
【分析】由于有45名同学参加全省中小学生器乐交流比赛，要取前23名获奖，故应考虑
中位数的大小．
【解答】解：共有45名学生参加预赛，全省中小学生器乐交流比赛，要取前23名获奖，
所以某代表队已经知道了自己的成绩是否进入前23名．我们把所有同学的成绩按大小顺序
排列，第23名的成绩是这组数据的中位数，此代表队知道这组数据的中位数，才能知道自
己是否获奖．
故选：A．
7．（3分）（2016•贵阳）如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，BC=12，则DE的长是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第10页（共26页）【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得出对应边成比例，即可求DE的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = ，
∵BC=12，
∴DE= BC=4．
故选：B．
8．（3分）（2016•贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片
贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
【分析】作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径
的代数式表示出来，列出方程进行即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点
O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R．
∴BD=cos∠OBC×OB= R，BC=2BD= R．
∵BC=12，
∴R= =4 ．
故选B．
9．（3分）（2016•贵阳）星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀
速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s
（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的
路线是（ ）
第11页（共26页）A． B． C． D．
【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心
的圆弧进行运动，由此即可得出结论．
【解答】解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．
故选B．
10．（3分）（2016•贵阳）若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣
b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是
（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
【分析】利用图象法，画出抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1，即可解决问题．
【解答】解：如图抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与x轴交于点（a，0），（b，0），
抛物线与直线y=1的交点为（n，1），（m，1），
由图象可知，n＜b＜a＜m．
故选D．
二、填空题：每小题4分，共20分
11．（4分）（2016•贵阳）不等式组 的解集为 x ＜ 1 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，由①得，x＜1，由②得，x＜2，
故不等式组的解集为：x＜1．
故答案为：x＜1．
12．（4分）（2016•贵阳）现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，
正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，
洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3．估计这
些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为 1 5 ．
【分析】利用频率估计概率得到抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.3，则根据概率公
第12页（共26页）式可计算出这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数，于是可估计出这些卡片中绘有孙
悟空这个人物的卡片张数．
【解答】解：因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
所以估计抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.3，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15（张）．
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．
故答案为15．
13．（4分）（2016•贵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上
的两点，则a与b的大小关系是 a ＞ b ．
【分析】根据一次函数的一次项系数结合一次函数的性质，即可得出该一次函数的单调性，
由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，
∴该函数中y随着x的增大而减小，
∵1＜2，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
14．（4分）（2016•贵阳）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延
长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是 ．
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理得出AM=BM= AB=4cm，由勾股定理求出OM，
再由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：作OM⊥AB于M，如图所示：
则AM=BM= AB=4cm，
∴OM= = =2 （cm），
∵PM=PB+BM=6cm，
∴tan∠OPA= = = ；
故答案为： ．
第13页（共26页）15．（4分）（2016•贵阳）已知△ABC，∠BAC=45°，AB=8，要使满足条件的△ABC唯
一确定，那么BC边长度x的取值范围为 x= 4 或 x≥ 8 ．
【分析】分析：过点B作BD⊥AC于点D，则△ABD是等腰直角三角形；再延长AD到E
点，使DE=AD，再分别讨论点C的位置即可．
【解答】解：过B点作BD⊥AC于D点，则△ABD是等腰三角形；再延长AD到E，使
DE=AD，
①当点C和点D重合时，△ABC是等腰直角三角形，BC=4 ，这个三角形是唯一确定的；
②当点C和点E重合时，△ABC也是等腰三角形，BC=8，这个三角形也是唯一确定的；
③当点C在线段AE的延长线上时，即x大于BE，也就是x＞8，这时，△ABC也是唯一
确定的；
综上所述，∠BAC=45°，AB=8，要使△ABC唯一确定，那么BC的长度x满足的条件是：
x=4 或x≥8
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（8分）（2016•贵阳）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=
．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项利用同分母分式的减法法则计算得到
最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= ﹣ • = ﹣ = ，
当a= +1时，原式= ．
17．（10分）（2016•贵阳）教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数
序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）．
（1）将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是 0 ；
（2）在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需
要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好
第14页（共26页）关掉第一排与第三排灯的概率．
【分析】（1）由于控制第二排灯的开关已坏，所以所有灯都亮起为不可能事件；
（2）用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，画树状图展示所有12
种等可能的结果数，再找出关掉第一排与第三排灯的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）因为控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮，所以将4个开关
都闭合时，所以教室里所有灯都亮起的概率是0；
故答案为0；
（2）用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好关掉第一排与第三排灯的结果数为2，
所以恰好关掉第一排与第三排灯的概率= = ．
18．（10分）（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，
△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰
直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定
定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；
（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出
∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得
出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF和△CBE中，有 ，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
第15页（共26页）∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，
∴△CEF是直角三角形．
19．（10分）（2016•贵阳）某校为了解该校九年级学生2016年适应性考试数学成绩，现
从九年级学生中随机抽取部分学生的适应性考试数学成绩，按A，B，C，D四个等级进行
统计，并将统计结果绘制成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问
题：
（说明：A等级：135分﹣150分 B等级：120分﹣135分，C等级：90分﹣120分，D等
级：0分﹣90分）
（1）此次抽查的学生人数为 15 0 ；
（2）把条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若该校九年级有学生1200人，请估计在这次适应性考试中数学成绩达到120分（包
含120分）以上的学生人数．
【分析】（1）根据统计图可知，C等级有36人，占调查人数的24%，从而可以得到本次
抽查的学生数；
（2）根据（1）中求得的抽查人数可以求得A等级的学生数，B等级和D等级占的百分比，
从而可以将统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以估计这次适应性考试中数学成绩达到120分（包含120分）
以上的学生人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
此次抽查的学生有：36÷24%=150（人），
故答案为：150；
（2）A等级的学生数是：150×20%=30，
B等级占的百分比是：69÷150×100%=46%，
D等级占的百分比是：15÷150×100%=10%，
故补全的条形统计图和扇形统计图如右图所示，
第16页（共26页）（3）1200×（46%+20%）=792（人），
即这次适应性考试中数学成绩达到120分（包含120分）以上的学生有792人．1111
20．（10分）（2016•贵阳）为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通
安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次
性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球
和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．
（1）求足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总
费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？
【分析】（1）设一个足球的单价x元、一个篮球的单价为y元，根据：①1个足球费用+1
个篮球费用=159元，②足球单价是篮球单价的2倍少9元，据此列方程组求解即可；
（2）设买足球m个，则买蓝球（20﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过1550
元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设一个足球的单价x元、一个篮球的单价为y元，根据题意得
，
解得： ，
答：一个足球的单价103元、一个篮球的单价56元；
（2）设可买足球m个，则买蓝球（20﹣m）个，根据题意得：
103m+56（20﹣m）≤1550，
解得：m≤9 ，
∵m为整数，
∴m最大取9
答：学校最多可以买9个足球．
21．（8分）（2016•贵阳）“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚
B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑
菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，
BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）
第17页（共26页）【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，进而表示出AM，DF的
长，再利用AE= ，求出答案．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，
由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，
在Rt△DFB中，sin80°= ，则DF=BD•sin80°，
AM=AC﹣CM=1790﹣1700•sin80°，
在Rt△AME中，sin29°= ，
故AE= = ≈238.9（m），
答：斜坡AE的长度约为238.9m．
22．（10分）（2016•贵阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，
反比例函数y= （x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的
坐标为（4，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点F的坐标．
【分析】（1）将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析
第18页（共26页）式；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后
求得直线BC的解析式，求得直线和抛物线的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y= 的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，
∴点C的坐标为C（8，4），
设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2=42，
解得：x=5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y= x+ ，
根据题意得方程组 ，
解此方程组得： 或
∵点F在第一象限，
∴点F的坐标为F（6， ）．
23．（10分）（2016•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．
第19页（共26页）（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E，求由线段ED，BE， 所围成区域的面积．
（其中 表示劣弧，结果保留π和根号）
【分析】（1）由角平分线的基本作图即可得出结果；
（2）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分线得出
∠CAD=∠DAB=∠B，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出
∠B的度数；
（3）证出∠OEB=90°，在Rt△OEB中，求出OE= OB=2，由勾股定理求出BE，再由三
角形的面积公式和扇形面积公式求出△OEB的面积= OE•BE=2 ，扇形BOD的面积═
，所求图形的面积=扇形面积﹣△OEB的面积，即可得出结果．
【解答】解：（1）如图1所示，AP即为所求的∠CAB的平分线；
（2）如图2所示：
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
又∵∠ADC=∠B，
∴∠CAD=∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°；
（3）由（2）得：∠CAD=∠BAD，∠DAB=30°，
又∵∠DOB=2∠DAB，
∴∠BOD=60°，
∴∠OEB=90°，
在Rt△OEB中，OB= AB=4，
∴OE= OB=2，
第20页（共26页）∴BE= = =2 ，
∴△OEB的面积= OE•BE= ×2×2 =2 ，扇形BOD的面积= = ，
∴线段ED，BE， 所围成区域的面积= ﹣2 ．
24．（12分）（2016•贵阳）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点
D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的
关系即可判断．
中线AD的取值范围是 2 ＜ AD ＜ 8 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个
70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的
数量关系，并加以证明．
【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出
BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出
第21页（共26页）BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明
△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明
△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中， ，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中， ，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中， ，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
第22页（共26页）∴BE+DF=EF．
25．（12分）（2016•贵阳）如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两
点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段
ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，
在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x ﹣x |求出；
1 2
当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y ﹣y |求出．
1 2
【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，
再根据待定系数法可求二次函数的表达式；
第23页（共26页）（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法
可求一次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为﹣
n+5，D点的坐标为D（n，﹣n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可
求线段ND长度的最大值；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H
（2，9）关于y轴的对称点H ，可得点H 的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点
1 1
HM ，可得点M 的坐标连结H M 分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H M +HM的长度
1 1 1 1 1 1
是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H M 解析式，根据坐标轴上点
1 1
的坐标特征可求点F、E的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（﹣1，0），C（0，5），
∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A，C两点，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5；
（2）如图1，
∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，
∴由二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5得，点B的坐标B（5，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∵直线BC过点B（5，0），C（0，5），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC解析式为y=﹣x+5，
设ND的长为d，N点的横坐标为n，
则N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐标为D（n，﹣n2+4n+5），
则d=|﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）|，
由题意可知：﹣n2+4n+5＞﹣n+5，
∴d=﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n2+5n=﹣（n﹣ ）2+ ，
∴当n= 时，线段ND长度的最大值是 ；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），
作点H（2，9）关于y轴的对称点H ，则点H 的坐标为H （﹣2，9），
1 1 1
作点M（4，5）关于x轴的对称点HM ，则点M 的坐标为M （4，﹣5），
1 1 1
连结H M 分别交x轴于点F，y轴于点E，
1 1
所以H M +HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，
1 1
设直线H M 解析式为y=k x+b ，
1 1 1 1
第24页（共26页）直线H M 过点M （4，﹣5），H （﹣2，9），
1 1 1 1
根据题意得方程组 ，
解得 ，
∴y=﹣ x+ ，
∴点F，E的坐标分别为（ ，0）（0， ）．
第25页（共26页）参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；wdzyzmsy@126.com；ZJX；gbl210；wd1899；弯
弯的小河；曹先生；CJX；gsls；侯庆和；sks；zgm666；sd2011；sjzx（排名不分先后）
菁优网
2016年9月19日
第26页（共26页）
