文档内容
重庆市 2016 年中考数学试卷（A 卷）
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算a3a2正确的是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品
的调查
C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D．对重庆电视台“天天630”栏目收视
率的调查
5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（ ）
A．120° B．110° C．100° D．80°
6．若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．6 D．5
7．函数y= 中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2
8．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
9．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= ，则图中阴影部分的面
积是（ ）
A． B． C． D． +10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个
小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律
排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．64 B．77 C．80 D．85
11．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立
于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然
后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树
CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）
A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米
12．从﹣3，﹣1， ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组
无解，且使关于x的分式方程 ﹣ =﹣1有整数解，那么这5个数
中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）
13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用
科学计数法表示为 ．
14．计算： +（﹣2）0= ．
15．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=
度．16．从数﹣2，﹣ ，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若
k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 ．
17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，
先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人
的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离
是 米．
18．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE
沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE= ．则四边形ABFE′
的面积是 ．
三、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
20．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对概念机学
生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的
本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，
其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计
该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数．四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）
21．计算：（1）（a+b）2﹣b（2a+b） （2）（ +x﹣1）÷ ．
22．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y= （k≠0）的图象交
于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，
tan∠AOH= ，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．
23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克
达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民
在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千
克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价
在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备
猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储
备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 a%，求a的值．
24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在
n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并
规定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是
12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对
任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上
的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，
求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在
AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．
（1）若AB=2 ，求BC的长；
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD= CG；
（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出 的值．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在
点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，
当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，
再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处
停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，
点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A OC 的位置，点A，C的对应点分
1 1
别为点A ，C ，且点A 恰好落在AC上，连接C A′，C E′，△A′C E′是否能为等腰三角形？若
1 1 1 1 1 1
能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．重庆市 2016 年中考数学试卷（A 卷）
参考答案与解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】找出实数中最小的数即可．
【解答】解：在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是﹣2，
故选A
【点评】此题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解本题的关键．
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对
称轴折叠后可重合．
3．计算a3a2正确的是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案．
【解答】解：a3a2=a3+2=a5．
故选B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【分析】逐项分析四个选项中们案例最适合的调查方法，即可得出结论．
【解答】解：A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，
应采用抽样调查；
B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，
应采用全面调查；
C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，应采用抽样调查；
D、对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查，
应采用抽样调查．
故选B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，解题的关键是逐项分析四个选项应用的调查方法．
本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联系实际选择调查方法是关键．
5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（ ）
A．120° B．110° C．100° D．80°
【分析】由平行线的性质得出∠1+∠DFE=180°，由对顶角相等求出∠DFE=∠2=80°，即可得出
结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠DFE=180°，
∵∠DFE=∠2=80°，
∴∠1=180°﹣80°=100°；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等的性质；熟记平行线的性质，由对顶角相等求
出∠DFE是解决问题的关键．
6．若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．6 D．5
【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：当a=2，b=﹣1时，原式=2﹣2+3=3，
故选B
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．函数y= 中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2
【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式
是解决问题的关键．
8．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的
关键．
9．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= ，则图中阴影部分的面
积是（ ）
A． B． C． D． +
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断
△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S =S ，然后根据扇形的面积公式
△AOC △BOC
计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= ，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S =S ，OA= AC=1，
△AOC △BOC
∴S =S = = ．
阴影部分 扇形AOC
故选A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和
差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个
小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律
排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）A．64 B．77 C．80 D．85
【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3+12，6+22，10+32，15+42，…，总
结出其规律为 +n2，根据规律求解．
【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：
第一个图形为： +12=4，
第二个图形为： +22=6，
第三个图形为： +32=10，
第四个图形为： +42=15，
…，
所以第n个图形为： +n2，
当n=7时， +72=85，
故选D．
【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．
11．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立
于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然
后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树
CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）
A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，
由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，
由三角函数求出CE，即可得出结果．
【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：
则FE=BD=6米，DE=BF，
∵斜面AB的坡度i=1：2.4，
∴AF=2.4BF，
设BF=x米，则AF=2.4x米，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，
解得：x=5，
∴DE=BF=5米，AF=12米，
∴AE=AF+FE=18米，
在Rt△ACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，
∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决
问题的关键．
12．从﹣3，﹣1， ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组
无解，且使关于x的分式方程 ﹣ =﹣1有整数解，那么这5个数
中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【分析】根据不等式组 无解，求得a≤1，解方程得x= ，于是得到a=﹣3
或1，即可得到结论．
【解答】解：解 得 ，∵不等式组 无解，
∴a≤1，
解方程 ﹣ =﹣1得x= ，
∵x= 为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等
式组的方法是解题的关键．
二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）
13．据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60500元，将数60500用
科学计数法表示为 6.05×1 0 4 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于60500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
【解答】解：60500=6.05×104．
故答案为：6.05×104．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
14．计算： +（﹣2）0= 3 ．
【分析】根据开平方，非零的零次幂等于1，可得答案．
【解答】解： +（﹣2）0
=2+1
=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1是解题关键．
15．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=
60 度．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半可得答案．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=120°× =60°，
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．从数﹣2，﹣ ，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若
k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 ．
【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公
式进行计算即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种情况，
∵正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，
∴k＞0，
∵k=mn，
∴mn＞0，
∴符合条件的情况数有2种，
∴正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，
先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人
的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离
是 17 5 米．【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终
点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案．
【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，
设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，
解得：m=3米/秒，
则乙的速度为3米/秒，
乙到终点时所用的时间为： =500（秒），
此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），
甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．
故答案为：175．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、
乙两人所用的时间是解题的关键．
18．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE
沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE= ．则四边形ABFE′
的面积是 ．
【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，
先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S =S +S +S 即可解
四边形ABFE′ 四边形AEFE′ △AEB △EFB
决问题．
【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，
∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，
∴DE=DE′，AE=AE′，
∴AD垂直平分EE′，
∴EN=NE′，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE= ，∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN=EO=1，AO= +1，
∴AB= AO=2+ ，
∴S =S =S = ×1（2+ ）=1+ ，S =S ﹣2S =1+ ，
△AEB △AED △ADE′ △BDE △ADB △AEB
∵DF=EF，
∴S = ，
△EFB
∴S =2S ﹣S = +1，S = S = ，
△DEE′ △ADE △AEE′ △DFE′ △DEE′
∴S =2S ﹣S = ，
四边形AEFE′ △ADE △DFE′
∴S =S +S +S = ．
四边形ABFE′ 四边形AEFE′ △AEB △EFB
故答案为 ．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三
角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填
空题中的压轴题．
三、解答题（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即
可．
【解答】证明：∵CE∥DF，
∴∠ACE=∠D，
在△ACE和△FDB中，
，
∴△ACE≌△FDB（SAS），
∴AE=FB．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证
明三角形全等是解决问题的关键．
20．为响应“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对概念机学
生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的
本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，
其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估计
该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数．
【分析】由阅读了6本的人数占被调查人数的30%可求得阅读6本的人数，将总人数减去阅
读数是5、6、8本的人数可得阅读7本人数，据此补全条形图可得；根据样本计算出平均每人
的阅读量，再用平均数乘以七年级学生总数即可得答案．
【解答】解：根据题意，阅读了6本的人数为100×30%=30（人），
阅读了7本的人数为：100﹣20﹣30﹣﹣15=35（人），
补全条形图如图：∵平均每位学生的阅读数量为： =6.45（本），
∴估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数为800×6.45=5160本，
答：估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数约为5160本．
【点评】本题主要考查条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目
数据个数之和等于总数，也考查了用样本估计总体．
四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）
21．计算：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）
（2）（ +x﹣1）÷ ．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则进行计算．
【解答】解：（1）（a+b）2﹣b（2a+b）
=a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
=a2；
（2）（ +x﹣1）÷
= ×
= ×
= ．
【点评】本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算，掌握完全平方公式、分式的混合运
算法则是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y= （k≠0）的图象交
于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，
tan∠AOH= ，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，
可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式．
【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH= ，得
AH=4．即A（﹣4，3）．
由勾股定理，得
AO= =5，
△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；
（2）将A点坐标代入y= （k≠0），得
k=﹣4×3=﹣12，
反比例函数的解析式为y= ；
当y=﹣2时，﹣2= ，解得x=6，即B（6，﹣2）．
将A、B点坐标代入y=ax+b，得
，
解得 ，
一次函数的解析式为y=﹣ x+1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．23．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克
达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民
在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千
克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价
在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备
猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储
备猪肉的销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 a%，求a的值．
【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即
可；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，
解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）× （1+a%）+40× （1+a%）=40（1+ a%），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）× （1+y）+40× （1+y）=40（1+ y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方
程是解决问题的关键．
24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在
n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并
规定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是
12的最佳分解，所以F（12）= ．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对
任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上
的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，
求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【分析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）= =1；
（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的
“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．
【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，
∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴F（13）= ，F（24）= = ，F（35）= ，F（46）= ，F（57）= ，F（68）= ，F（79）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是 ．
【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的
运算是解题的关键．
五、解答题（本题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在
AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．
（1）若AB=2 ，求BC的长；
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD= CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出 的值．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC
即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利
用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作
DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK= a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在RT△AHB中，∵AB=2 ，∠B=45°，
∴BH=ABcosB=2 × =2，
AH=ABsinB=2，
在RT△AHC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=4，CH=ACcosC=2 ，
∴BC=BH+CH=2+2 ．
（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，
∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，
在△DAF和△GAE中，
，
∴△DAF≌△GAE，
∴AD=AG，
∴∠BAP=90°=∠DAG，
∴∠BAD=∠PAG，
∵∠B=∠APB=45°，
∴AB=AP，
在△ABD和△APG中，，
∴△ABD≌△APG，
∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，
∴∠GPB=∠GPC=90°，
∵∠C=30°，
∴PG= GC，
∴BD= CG．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，
在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，
∴AC=2AH，
∴AH=AP，
在RT△AHD和RT△APG中，
，
∴△AHD≌△APG，
∴∠DAH=∠GAP，
∵GM⊥AC，PA=PC，
∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，
∴∠DAM=∠GAM=45°，
∴∠DAH=∠GAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，
作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK= a，AD=2a，
∴ = = ，
∵AG=CG=AD，
∴ = ．【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线
段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，
属于中考压轴题．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在
点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，
当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，
再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处
停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，
点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A OC 的位置，点A，C的对应点分
1 1
别为点A ，C ，且点A 恰好落在AC上，连接C A′，C E′，△A′C E′是否能为等腰三角形？若
1 1 1 1 1 1
能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是
直角三角形；
（2）先求出S 最大时，点P（ ， ），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为
△PCD
PM+MN+NA的长，计算即可；
（3）△A′C E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．
1
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，当y=0时，即﹣ x2+ x+3=0，
∴x =﹣ ，x =3
1 2
∴A（﹣ ，0），B（3 ，0），
∴OA= ，OB=3 ，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，
∴AC2+BC2=48，
∵AB2=[3 ﹣（﹣ ） 2=48，
∴AC2+BC2=AB2， ]
∴△ABC是直角三角形，
（2）如图，
∵B（3 ，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=﹣ x+3，
过点P作∥y轴，
设P（a，﹣ a2+ a+3），
∴G（a，﹣ a+3），
∴PG=﹣ a2+ a，
设点D的横坐标为x ，C点的横坐标为x ，
D C
S = ×（x ﹣x ）×PG=﹣ （a﹣ ）2+ ，
△PCD D C∵0＜a＜3 ，
∴当a= 时，S 最大，此时点P（ ， ），
△PCD
将点P向左平移 个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点
M，
连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的
长，
∴P（ ， ）
∴P′（ ， ），
∵点A（﹣ ，0），
∴直线AP′的解析式为y= x+ ，
当x=0时，y= ，
∴N（0， ），
过点P′作P′H⊥x轴于点H，
∴AH= ，P′H= ，AP′= ，
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN= + = ；
（3）在Rt△AOC中，
∵tan∠OAC= = ，
∴∠OAC=60°，
∵OA=OA ，
1
∴△OAA 为等边三角形，
1
∴∠AOA =60°，
1
∴∠BOC =30°，
1
∵OC =OC=3，
1∴C （ ， ），
1
∵点A（﹣ ，0），E（ ，4），
∴AE=2 ，
∴A′E′=AE=2 ，
∵直线AE的解析式为y= x+2，
设点E（′ a， a+2），
∴A′（a﹣2 ， ﹣2）
∴C E′2=（a﹣2 ）2+（ +2﹣ ）2= a2﹣ a+7，
1
C A′2=（a﹣2 ﹣ ）2+（ ﹣2﹣ ）2= a2﹣ a+49，
1
①若C A′=C E′，则C A′2=C E′2
1 1 1 1
即： a2﹣ a+7= a2﹣ a+49，
∴a= ，
∴E′（ ，5），
②若A′C1=A′E′，
∴A′C 2=A′E′2
1
即： a2﹣ a+49=28，
∴a = ，a = ，
1 2∴E′（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），
③若E′A′=E′C ，
1
∴E′A′2=E′C 2
1
即： a2﹣ a+7=28，
∴a = ，a = （舍），
1 2
∴E′（ ，3+ ），
即，符合条件的点E′（ ，5），（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），（
，3+ ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，
勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．
