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2017 年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1
1．（3分）计算（ ）﹣1所得结果是（ ）
2
1 1
A．﹣2 B．- C． D．2
2 2
2．（3分）a2=1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
3．（3分）一组数据5，7，8，10，12，12，44的众数是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．44
4．（3分）将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到
的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．8的立方根是±2
B．√8是一个最简二次根式
1
C．函数y= 的自变量x的取值范围是x＞1
x-1
D．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称
6．（3分）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形
的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
7．（3分）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜
第1页（共35页）1
色外部相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则
3
随机摸出一个红球的概率为（ ）
1 1 5 1
A． B． C． D．
4 3 12 2
a
8．（3分）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方
2
程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC
于点D，若BC=4√2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
a
10．（3分）已知下列命题：①若 ＞1，则a＞b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③
b
等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命
题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）已知一次函数y =4x，二次函数y =2x2+2，在实数范围内，对于x的
1 2
同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y 与 y ，则下列关系正确的是
1 2
（ ）
A．y ＞y B．y ≥y C．y ＜y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分
∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
第2页（共35页）3 4 5 8
A． B． C． D．
2 3 3 5
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上
13．（3分）2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家贸易总额超过3
万亿美元，将3万亿美元用科学记数法表示为 ．
a2-1 1
14．（3分）化简： ÷（ ﹣1）•a= ．
a2 a
15．（3分）某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名女生的平均身高
为163cm，则30名男生的平均身高为 cm．
{&x+ y=3 {&x=b
16．（3分）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则ab的
&2x-ay=5 & y=1
值为 ．
17．（3 分）如图，点 A、B、C 为⊙O 上的三个点，∠BOC=2∠AOB，
∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且
FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是 ．
第3页（共35页）2
19．（3分）如图，一次函数 y=x﹣1的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象
x
限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC=BC，则点C的坐标为
．
20．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且
点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD
的中点，连接MN，AM，AN．
下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④
若点D是AB的中点，则S =2S ．
△ABC △ABE
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
21．（8分）有三张正面分别标有数字﹣3，1，3的不透明卡片，它们除数字外
都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片
洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．
（1）试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概
率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，
DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
第4页（共35页）（1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．（10分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为
每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP
与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB=CE•ED；
CE 9
（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE， = ，求tan∠OBC的值及DP的长．
DE 5
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺
时针方向旋转 α 角，得到矩形 A'B'C'D'，B'C 与 AD 交于点 E，AD 的延长线与
A'D'交于点F．
（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
第5页（共35页）（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．
3
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于
2
A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与
x轴交于点F，且BE=4EC．
①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说
明理由；
（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），
点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的
5
面积为 ．求点H到OM'的距离d的值．
3
第6页（共35页）2017 年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1
1．（3分）（2017•包头）计算（ ）﹣1所得结果是（ ）
2
1 1
A．﹣2 B．- C． D．2
2 2
【考点】6F：负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
1
1
【解答】解：（ ）﹣1=1=2，
2
2
故选：D．
1
【点评】本题考查的是负整数指数幂的运算，掌握a﹣p= 是解题的关键．
ap
2．（3分）（2017•包头）a2=1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
【考点】1E：有理数的乘方；14：相反数；19：有理数的加法．
【专题】32 ：分类讨论．
【分析】分别求出 a b 的值，分为两种情况：①当 a=﹣1，b=﹣2 时，②当
a=1，b=﹣2时，分别代入求出即可．
【解答】解：∵a2=1，b是2的相反数，
∴a=±1，b=﹣2，
①当=﹣1，b=﹣2时，a+b=﹣3；
②当a=1，b=﹣2时，a+b=﹣1．
故选C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，求代数式的值等知识点，关键是
求出a b的值，注意有两种情况啊．
第7页（共35页）3．（3 分）（2017•包头）一组数据 5，7，8，10，12，12，44 的众数是（
）
A．10 B．12 C．14 D．44
【考点】W5：众数．
【分析】根据众数的定义即可得．
【解答】解：这组数据中12出现了2次，次数最多，
∴众数为12，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个
数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
4．（3分）（2017•包头）将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，
展开后不能得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D ．
【考点】I6：几何体的展开图．
【分析】由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图就可以求出结论．
【解答】解：由四棱柱的四个侧面及底面可知，A、B、D都可以拼成无盖的正
方体，但C拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．
所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是
C．
故选C．
【点评】本题考查了正方体的平面展开图，解答时熟悉四棱柱的特征及无盖正
第8页（共35页）方体展开图的各种情形是关键．
5．（3分）（2017•包头）下列说法中正确的是（ ）
A．8的立方根是±2
B．√8是一个最简二次根式
1
C．函数y= 的自变量x的取值范围是x＞1
x-1
D．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称
【考点】74：最简二次根式；24：立方根；E4：函数自变量的取值范围；P5：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据开立方，最简二次根式的定义，分母不能为零，关于原点对称的
点的坐标，可得答案．
【解答】解：A、8的立方根是2，故A不符合题意；
B、√8不是最简二次根式，故B不符合题意；
1
C、函数y= 的自变量x的取值范围是x≠1，故C不符合题意；
x-1
D、在平面直角坐标系中，点 P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称，故D
符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．（3分）（2017•包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，
然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为 10﹣2﹣2=6（cm），
2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的
第9页（共35页）三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关
系：三角形任意两边之和大于第三边．
7．（3分）（2017•包头）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小
球，这些球除颜色外部相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球
1
的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为（ ）
3
1 1 5 1
A． B． C． D．
4 3 12 2
【考点】X4：概率公式．
1
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出红球的个数，
3
再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球
除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，
1
随机摸出一个蓝球的概率是 ，
3
设红球有x个，
4 1
∴ = ，
5+4+x 3
解得：x=3
3 1
∴随机摸出一个红球的概率是： = ．
5+4+3 4
故选A．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
a
8．（3分）（2017•包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x
2
的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
第10页（共35页）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】AA：根的判别式；C3：不等式的解集．
【专题】11 ：计算题．
a
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到 1+ =1，则a=0，然后计算判
2
别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．
a a
【解答】解：解不等式x﹣ ＜1得x＜1+ ，
2 2
a
而不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，
2
a
所以1+ =1，解得a=0，
2
又因为△=a2﹣4=﹣4，
所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与
△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，
方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（3分）（2017•包头）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直
径的⊙O交BC于点D，若BC=4√2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
【考点】MO：扇形面积的计算；KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理．
【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别
求出△BOD和扇形DOA的面积即可．
第11页（共35页）【解答】解：连接OD、AD，
∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是Rt△BAC，
∵BC=4√2，
∴AC=AB=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，BO=DO=2，
∵OD=OB，∠B=45°，
∴∠B=∠BDO=45°，
∴∠DOA=∠BOD=90°，
90π⋅22 1
∴阴影部分的面积S=S +S = + ×2×2=π+2．
△BOD 扇形DOA
360 2
故选B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能求出扇形
DOA的面积和△DOB的面积是解此题的关键．
10．（3分）（2017•包头）已知下列命题：
a
①若 ＞1，则a＞b；
b
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
第12页（共35页）【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和
判定、相反数逐个判断即可．
a
【解答】解：∵当b＜0时，如果 ＞1，那么a＜b，∴①错误；
b
∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
【点评】本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的
性质和判定、相反数、命题与定理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的
关键．
11．（3分）（2017•包头）已知一次函数y =4x，二次函数y =2x2+2，在实数范
1 2
围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y 与y ，则下列关系
1 2
正确的是（ ）
A．y ＞y B．y ≥y C．y ＜y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】HC：二次函数与不等式（组）．
【分析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，利用
图象法即可解决问题．
{& y=4x
【解答】解：由 消去y得到：x2﹣2x+1=0，
& y=2x2+2
∵△=0，
∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，
观察图象可知：y ≤y ，
1 2
故选D．
第13页（共35页）【点评】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是判断出直线与抛
物线只有一个交点，学会利用图象法解决问题．
12．（3分）（2017•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足
为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长
为（ ）
3 4 5 8
A． B． C． D．
2 3 3 5
【考点】KQ：勾股定理；KF：角平分线的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三
角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
第14页（共35页）∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
BF FG
∴ = ，
AB AC
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
4-FC FG
∴ = ，
5 3
∵FC=FG，
4-FC FC
∴ = ，
5 3
3
解得：FC= ，
2
3
即CE的长为 ．
2
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内
角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上
13．（3分）（2017•包头）2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家
贸易总额超过3万亿美元，将3万亿美元用科学记数法表示为 3 × 1 0 1 2 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
第15页（共35页）n是负数．
【解答】解：3万亿=3×1012，
故答案为：3×1012．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
a2-1 1
14．（3分）（2017•包头）化简： ÷（ ﹣1）•a= ﹣ a﹣ 1 ．
a2 a
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】11 ：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除
法法则变形，约分即可得到结果．
(a+1)(a-1) a
【解答】解：原式= • •a=﹣（a+1）=﹣a﹣1，
a2 -(a-1)
故答案为：﹣a﹣1
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）（2017•包头）某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名
女生的平均身高为163cm，则30名男生的平均身高为 16 8 cm．
【考点】W2：加权平均数．
【分析】根据平均数的公式求解即可．用 50名身高的总和减去 20名女生身高
的和除以30即可．
【解答】解：设男生的平均身高为x，
20×163+30x
根据题意有： =166，解可得x=168（cm）．
50
故答案为168．
【点评】本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式： x=
x +x +⋯+x
1 2 ❑ n．
n
第16页（共35页）{&x+ y=3
16．（3分）（2017•包头）若关于x、y的二元一次方程组 的解是
&2x-ay=5
{&x=b
，则ab的值为 1 ．
& y=1
【考点】97：二元一次方程组的解．
{&x=b {&x+ y=3
【分析】将方程组的解 代入方程组 ，就可得到关于a、b的
& y=1 &2x-ay=5
二元一次方程组，解得a、b的值，即可求ab的值．
{&x+ y=3 {&x=b
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
&2x-ay=5 & y=1
{&b+1=3
∴ ，
&2b-a=5
解得a=﹣1，b=2，
∴ab=（﹣1）2=1．
故答案为1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程
组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程
组．
17．（3 分）（2017•包头）如图，点 A、B、C 为⊙O 上的三个点，
∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 2 0 度．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
1 1
【解答】解：∵∠BAC= ∠BOC，∠ACB= ∠AOB，
2 2
∵∠BOC=2∠AOB，
第17页（共35页）1
∴∠ACB= ∠BAC=20°．
2
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题关键．
18．（3分）（2017•包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是
BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是
√2
．
2
【考点】LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】接 AF，由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，证出
AB=FC，BF=CE，由 SAS 证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF=∠CFE，AF=FE，证
△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF=45°，即可得出答案．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵FC=2BF，
∴BF=1，FC=2，
∴AB=FC，
∵E是CD的中点，
1
∴CE= CD=1，
2
∴BF=CE，
在△ABF和△FCE中，{AB=FC ¿∠B=∠C ¿BF=CE ¿，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF=∠CFE，AF=FE，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
第18页（共35页）∴∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠AFE=180°﹣90°=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
√2
∴ocs∠AEF= ；
2
√2
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解
决问题的关键．
2
19．（3分）（2017•包头）如图，一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数y= 的
x
图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC=BC，则
点C的坐标为 （ 0 ， 2 ） ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】利用方程组求出点A坐标，设C（0，m），根据AC=BC，列出方程即
可解决问题．
{
& y=x-1
{&x=2 {&x=-1
【解答】解：由 2 ，解得 或 ，
& y= & y=1 & y=-2
x
∴A（2，1），B（1，0），
设C（0，m），
第19页（共35页）∵BC=AC，
∴AC2=BC2，
即4+（m﹣1）2=1+m2，
∴m=2，
故答案为（0，2）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标问题、勾股定理、方程组
等知识，解题的关键是学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，学会用方程
的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（3 分）（2017•包头）如图，在△ABC 与△ADE 中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，且点 D 在 AB 上，点 E 与点 C 在 AB 的两侧，连接 BE，CD，点
M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．
下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④
若点D是AB的中点，则S =2S ．
△ABC △ABE
其中正确的结论是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KM：
等边三角形的判定与性质．
【分析】①根据SAS证明△ACD≌△ABE；
②先证明△ACN≌△ABM，得△AMN也是等腰三角形，且顶角与△ABC的顶角
相等，所以△ABC∽△AMN；
③由AN=AM，可得△AMN为等腰三角形；
④根据三角形的中线将三角形面积平分得：S =2S ，S =2S ，则
△ACD △ACN △ABE △ABM
S =2S =2S ．
△ABC △ACD △ABE
【解答】解：①在△ACD和△ABE中，
第20页（共35页）{
&AC=AB
∵ &∠BAC=∠DAE，
&AD=AE
∴△ACD≌△ABE（SAS），
所以①正确；
②∵△ACD≌△ABE，
∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分别为BE，CD的中点，
∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
{
&AC=AB
∵ &∠ACN=∠ABM，
&CN=BM
∴△ACN≌△ABM，
∴AN=AM，∠CAN∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC∠AMN，
∴△ABC∽△AMN，
所以②正确；
③∵AN=AM，
∴△AMN为等腰三角形，
所以③不正确；
④∵△ACN≌△ABM，
∴S =S ，
△ACN △ABM
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴S =2S ，S =2S ，
△ACD △ACN △ABE △ABM
∴S =S ，
△ACD △ABE
∵D是AB的中点，
∴S =2S =2S ，
△ABC △ACD △ABE
第21页（共35页）所以④正确；
本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三
角形中线的性质、三角形相似的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判
定及三角形中线平分面积的性质是关键；此类选择题比较麻烦，类似四个证明
题，所以要认真审题，并做出正确的判断．
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
21．（8分）（2017•包头）有三张正面分别标有数字﹣3，1，3的不透明卡片，
它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一
张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．
（1）试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概
率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果
数，根据概率公式可得；
（2）根据（1）中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求
解可得．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中数字之积为负数的有4种结果，
4
∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为 ；
9
（2）在（1）种所列9种等可能结果中，数字之和为非负数的有6种，
第22页（共35页）6 2
∴两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为 = ．
9 3
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以
上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8 分）（2017•包头）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是
△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
（1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】LA：菱形的判定与性质；JA：平行线的性质；KO：含30度角的直角三
角形．
【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；
（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
1
∴∠CAD= ∠CAB=30°，
2
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，
∴AD=2CD=6．
（2）∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠EAD=∠ADF=∠DAF，
第23页（共35页）∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°，
CD
∴DE= =2√3，
cos30°
∴四边形AEDF的周长为8√3．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形 30度角的性
质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）（2017•包头）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，
广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）由矩形的一边长为 x、周长为16得出另一边长为 8﹣x，根据矩
形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为 12平方米，据此列出方程，解之求
得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
【解答】解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为（8﹣x）米，
∴S=x（8﹣x）=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；
（2）能，
第24页（共35页）∵设计费能达到24000元，
∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），
即﹣x2+8x=12，
解得：x=2或x=6，
∴设计费能达到24000元．
（3）∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，S =16，
最大值
∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，根据矩形的面
积公式得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（10分）（2017•包头）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，
过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB=CE•ED；
CE 9
（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE， = ，求tan∠OBC的值及DP的长．
DE 5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）直接根据题意得出△AED∽△CEB，进而利用切线的性质的出答
案；
（2）利用已知得出 EC，DE的长，再利用勾股定理得出 CF 的长，t即可得出
an∠OBC的值，再利用全等三角形的判定与性质得出DP的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵∠A=∠BCD，∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
第25页（共35页）AE ED
∴ = ，
CE EB
∴AE•EB=CE•ED；
（2）解：∵⊙O的半径为3，
∴OA=OB=OC=3，
∵OE=2BE，
∴OE=2，BE=1，AE=5，
CE 9
∵ = ，
DE 5
∴设CE=9x，DE=5x，
∵AE•EB=CE•ED，
∴5×1=9x•5x，
1 1
解得：x = ，x =﹣ （不合题意舍去）
1 3 2 3
5
∴CE=9x=3，DE=5x= ，
3
过点C作CF⊥AB于F，
∵OC=CE=3，
1
∴OF=EF= OE=1，
2
∴BF=2，
在Rt△OCF中，
∵∠CFO=90°，
∴CF2+OF2=OC2，
∴CF=2√2，
在Rt△CFB中，
∵∠CFB=90°，
CF 2√2
∴tan∠OBC= = =√2，
BF 2
∵CF⊥AB于F，
∴∠CFB=90°，
第26页（共35页）∵BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，
在△CFE和△PBE中
{
&∠CFB=∠PBE
&EF=EF ，
&∠FEC=∠BEP
∴△CFE≌△PBE（ASA），
∴EP=CE=3，
5 4
∴DP=EP﹣ED=3﹣ = ．
3 3
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性
质，正确得出EP的长是解题关键．
25．（12 分）（2017•包头）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，将矩形
ABCD绕点C按顺时针方向旋转 α角，得到矩形 A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，
AD的延长线与A'D'交于点F．
（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到
第27页（共35页）矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；
②如图①中，连接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解决问题；
A'D DF 3
（ 2 ） 由 △ A′DF∽ △ A′D′C ， 可 得 = ， 推 出 DF= ， 同 理 可 得
A'D' CD' 2
CD ED
△CDE∽△CB′A′，由 = ，求出DE，即可解决问题；
CB' A'B'
1 1
（3）如图③中，作FG⊥CB′于G，由S = •AC•CF= •AF•CD，把问题转化为
△ACF
2 2
求AF•CD，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD∽△FAC，即可解决问题；
【解答】解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，
得到矩形A'B'C'D'，
∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，
∵α=60°，
∴∠DCD′=60°，
∴△CDD′是等边三角形，
∴DD′=CD=3．
②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，
∴△CDF≌△CD′F，
1
∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，
2
D'F
在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF= ，
CD'
∴D′F=√3，
∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣√3．
（2）如图②中，
在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，
∴A′C2=A′D′2+CD′2，
∴A′C=5，A′D=2，
∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，
∴△A′DF∽△A′D′C，
第28页（共35页）A'D DF
∴ = ，
A'D' CD'
2 DF
∴ = ，
4 3
3
∴DF= ，
2
同理可得△CDE∽△CB′A′，
CD ED
∴ = ，
CB' A'B'
3 ED
∴ = ，
4 3
9
∴ED= ，
4
15
∴EF=ED+DF= ．
4
（3）如图③中，作FG⊥CB′于G．，
∵四边形A′B′CD′是矩形，
∴GF=CD′=CD=3，
1 1
∵S = •EF•DC= •CE•FG，
△CEF
2 2
∴CE=EF，∵AE=EF，
∴AE=EF=CE，
∴∠ACF=90°，
∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，
∴△CAD∽△FAC，
AC AD
∴ = ，
AF AC
∴AC2=AD•AF，
25
∴AF= ，
4
1 1
∵S = •AC•CF= •AF•CD，
△ACF
2 2
第29页（共35页）75
∴AC•CF=AF•CD= ．
4
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定
和性质、勾股定理、面积法等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问
题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
3
26．（12 分）（2017•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=
2
x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与
x轴交于点F，且BE=4EC．
①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说
明理由；
（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），
第30页（共35页）点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的
5
面积为 ．求点H到OM'的距离d的值．
3
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16 ：压轴题．
3
【分析】（1）根据抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两
2
点，可得抛物线的解析式；
（2）①过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，根据平行线分线段成比例定理，
可得BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，根据OB=2，可得
2 3 2 12
x= ，再根据直线BC的解析式为y= x﹣3，即可得到E（ ，﹣ ），把E的坐
5 2 5 5
标代入直线y=﹣x+n，可得n的值；②根据F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得
AF=1，再根据点 D 的坐标为（1，﹣3），点 C 的坐标为（0，﹣3），可得
CD∥ x 轴 ， CD=1 ， 再 根 据 ∠ AFG=∠ CDG ， ∠ FAG=∠ DCG ， 即 可 判 定
△AGF≌△CGD；
（3）根据轴对称的性质得出 OH=1=M'N，进而判定四边形 OM'NH是平行四边
5 5
形，再根据四边形OM'NH的面积为 ，求得OP= ，再根据点M的坐标为（﹣
3 3
4 5 4 √41
， ），得到PM'= ，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'= ，最后根据
3 3 3 3
5 5√41
OM'×d= ，即可得到d= ．
3 41
第31页（共35页）3
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）
2
两点，
{ 3 { 3
& -b+c=0 &b=-
∴ 2 ，解得 2，
&6+2b+c=0 &c=-3
3 3
∴该抛物线的解析式y= x2﹣ x﹣3；
2 2
（2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，
BE' BE
∴ = ，
OE' CE
∵BE=4EC，
∴BE'=4OE'，
设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，
∵B（2，0），
∴OB=2，即x+4x=2，
2
∴x= ，
5
3 3
∵抛物线y= x2﹣ x﹣3与y轴交于点C，
2 2
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y=kx+b'，
∵B（2，0），C（0，﹣3），
{ 3
{&2k+b'=0 &k=
∴ ，解得 2 ，
&b'=-3
&b'=-3
3
∴直线BC的解析式为y= x﹣3，
2
2 12
当x= 时，y=﹣ ，
5 5
2 12
∴E（ ，﹣ ），
5 5
第32页（共35页）2 12
把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得﹣ +n=﹣ ，
5 5
解得n=﹣2；
②△AGF与△CGD全等．理由如下：
∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2，
∴当y=0时，x=﹣2，
∴F（﹣2，0），OF=2，
∵A（﹣1，0），
∴OA=1，
∴AF=2﹣1=1，
2
{ & y= 3 x2- 3 x-3 {&x 1 =- 3 {&x =1
由 2 2 解得 ， 2 ，
4 & y =-3
& y=-x-2 & y =- 2
1 3
∵点D在第四象限，
∴点D的坐标为（1，﹣3），
∵点C的坐标为（0，﹣3），
∴CD∥x轴，CD=1，
∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，
∴△AGF≌△CGD；
b 1
（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为
2a 2
M，N，
1
∴点M、N关于直线x= 对称，
2
设N（t，m），则M（1﹣t，m），
∵点 M关于y轴的对称点为点M'，
∴M'（t﹣1，m），
∴点M'在直线y=m上，
第33页（共35页）∴M'N∥x轴，
∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，
∵H（1，0），
∴OH=1=M'N，
∴四边形OM'NH是平行四边形，
设直线y=m与y轴交于点P，
5
∵四边形OM'NH的面积为 ，
3
5 5
∴OH×OP=1×m= ，即m= ，
3 3
5
∴OP= ，
3
3 3 5 4 7
当 x2﹣ x﹣3= 时，解得x =﹣ ，x = ，
2 2 3 1 3 2 3
4 5
∴点M的坐标为（﹣ ， ），
3 3
4 5 4
∴M'（ ， ），即PM'= ，
3 3 3
√41
∴Rt△OPM'中，OM'=√OP2+PM'2= ，
3
5
∵四边形OM'NH的面积为 ，
3
5
∴OM'×d= ，
3
5√41
∴d= ．
41
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、
第34页（共35页）轴对称的性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定以及平行四边形
的判定与性质的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，
善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
一些隐含条件．
第35页（共35页）
