文档内容
2017 年山东省临沂市中考数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017
2．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4
4．不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C ．
D．
5．如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）
[来源:中国#教育^@出版网*%]A． B． C． D．
6．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（
）
[中^国教育出版&#网~@]
A． B． C． D．
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做
60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列
方程是（ ）
A． = B． = C． = D． =
9．某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门 人数 每人创年利润（万
元）
A 1 10
B 3 8
C 7 5
D 4 3
这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ）
A．10，5B．7，8C．5，6.5D．5，5
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的
面积是（ ）
A．2B． ﹣ π C．1D． + π
11．（3分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
12．（3分）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，
DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
13．（3分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条
抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间
t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③
足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的
个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方
形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，
则PM+PN的最小值是（ ）A．6 B．10 C．2 D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）分解因式：m3﹣9m= ．
16．（3分）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO= ．
17．（3分）计算： ÷（x﹣ ）= ．
18．（3分）在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则
▱ABCD的面积是 ．
19．（3分）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标表示
为 =（m，n）．
已知： =（x ，y ）， =（x ，y ），如果x •x +y •y =0，那么 与 互相垂直，下列四组向量：
1 1 2 2 1 2 1 2
① =（2，1）， =（﹣1，2）；
② =（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）；③ =（ ﹣ ，﹣2）， =（ + ， ）；
④ =（π0，2）， =（2，﹣1）．
其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号）．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）﹣1．
21．（7分）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》
四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且
只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：
[中国教&#育出*版网@~]
学生最喜爱的节目人数统计表
节目 人数 百分比
（名）
最强大脑 5 10%
朗读者 15 b%
中国诗词大会 a 40%
出彩中国人 10 20%
根据以上提供的信息，解答下列问题：
[www.z&^zs#tep.c*o~m]
（1）x= ，a= ，b= ；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目
的学生有多少名．
22．（7分）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
23．（9分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点
E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
24．（9分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴
纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm（3 二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，
则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？
25．（11分）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若
∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
[中国&%@教育^出版~网]
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得
△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD
重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（ 1 ） 小 颖 提 出 ： 如 图 4 ， 如 果 把 “ ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60°” 改 为
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何
等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（ 2 ） 小 华 提 出 ： 如 图 5 ， 如 果 把 “ ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60°” 改 为
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何
等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
26．（13分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴
交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．[www.zzs&@t#%ep.^com]2017 年山东省临沂市中考数学试卷
参考答案与试题解析
[来源:*中国教育~出版网@^%]
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
[来源:#zzst*ep.%co@^m]
1．﹣ 的相反数是（ ）
[中*^%国教育@出版网#]
A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是： ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键．
[来^源&~:中教*#网]
2．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
[w~ww.zzs*tep^.&com@]
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的
度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，
∴∠BEF=∠1+∠F=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEF=50°，
故选A．
[ww^w.#&zzstep*.@com]【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度
不大．
3. 下列计算正确的是（ ）
A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4
【分析】根据去括号、同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方，可得答案．
【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，故A不符合题意；
B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；
D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
[来~@^#&源:中教网]
4．不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C ．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x≥﹣3，
[www.z*~zst^%ep@.com]则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
[来&源:中国^%教@育出版~网]
故选：B．
[来源:^zz#*step.~co&m]
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
5．如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图定义分别作出三视图即可判断．
【解答】解：该几何体的三视图如下：
主视图： ；俯视图： ；左视图： ，
故选：D．
【点评】本题主要考查三视图，掌握三视图的定义和作法是解题的关键．
[来%^源~:&中教网@]
6．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（
）
[www.%zzs@t^ep#*.com]
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情
况数，再利用概率公式即可求得答案．
[来~源:%中教*&网@]
【解答】解：画树状图得：[www.zzs%t*ep.~#co@m]
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是： = ．
故选C．
【点评】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
[来^&源:中教网@~%]
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°=360°×2
解得n=6．
[中&国教育*%出@~版网]
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外
角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．
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[来@^源~:中国教育#出版网%]
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做
60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列
方程是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，
根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得
[来源:中国教&育~出版网@%#]= ，
故选：B．
[中国教@&%育出^版~网]
【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．
9．某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门 人数 每人创年利润（万
元）
A 1 10
B 3 8
C 7 5
D 4 3
这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ）
A．10，5B．7，8C．5，6.5D．5，5
【分析】根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来，从而可以找到
这组数据的中位数和众数．
【解答】解：由题意可得，
[中@~国教育出#&版*网]
这15名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，
[来源:z@*#zstep%.c^om]
∴这组数据的众数是5，中位数是5，
故选D．
[来*源&~@^:中教网]
【点评】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组
数据的众数和中位数．
10．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是
（ ）A．2B． ﹣ π C．1D． + π
【分析】设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△ADB、
△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD= AB= ，然后利用弓形AD的面积等于
弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S ．
△BTD
【解答】解：∵BT是⊙O的切线；
设AT交⊙O于D，连结BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而∠ATB=45°，
∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，
∴AD=BD=TD= AB= ，
[来~@^#源&:中教网]
∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积=S = × × =1．
△BTD
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直
角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．
11．将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图
形中“○”的个数是78，则n的值是（ ）A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n个图形中小圆的个数，进而得出答案．
【解答】解：第1个图形有1个小圆；
第2个图形有1+2=3个小圆；
[中~国#教育出版网^&%]
第3个图形有1+2+3=6个小圆；
第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；
第n个图形有1+2+3+…+n= 个小圆；
∵第n个图形中“○”的个数是78，
∴78= ，
解得：n =12，n =﹣13（不合题意舍去），
1 2
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键．
12．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，
分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
[来~源:zz^*st%@ep.com]
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
[来%^源~:&中教网@]
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
13．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，
不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（t 单位：
s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③
足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的
个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣
t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
[中国教@&育出*版网~#]
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
[w@ww.zzs*&te#p.com~]
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题
型．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方形
OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则
PM+PN的最小值是（ ）A．6 B．10 C．2 D．2
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，
），N（ ，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点
M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6， ），N（ ，6），
∴BN=6﹣ ，BM=6﹣ ，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6﹣ ×6× ﹣ 6× ﹣ ×（6﹣ ）2=10，
∴k=24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′= = =2 ，
故选C．
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【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称﹣最小距离问题，勾股定理，
正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
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15．分解因式：m3﹣9m= m （ m + 3 ）（ m﹣ 3 ） ．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣
b）．
【解答】解：m3﹣9m，
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=m（m2﹣9），
=m（m+3）（m﹣3）．
故答案为：m（m+3）（m﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首
先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为
止．
16. 已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO= 4 ．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∴ = = ，即 = ，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
17．计算： ÷（x﹣ ）= ．
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【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关
键，注意运算顺序．
18．在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则 ▱ABCD的
面积是 2 4 ．
【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4，由
sin∠BDC= ，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出 ▱ABCD的面积=CD•AC=24．【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4，
∵sin∠BDC= = ，
∴OE=3，
∴DE= =4，
∵CD=4，
∴点E与点C重合，
∴AC⊥CD，OC=3，
∴AC=2OC=6，
∴ ▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；
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故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边
形的性质，得出AC⊥CD是关键
19．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标表示为 =
（m，n）．
已知： =（x ，y ）， =（x ，y ），如果x •x +y •y =0，那么 与 互相垂直，下列四组向量：
1 1 2 2 1 2 1 2
① =（2，1）， =（﹣1，2）；
② =（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）；
③ =（ ﹣ ，﹣2）， =（ + ， ）；
④ =（π0，2）， =（2，﹣1）．其中互相垂直的是 ①③④ （填上所有正确答案的符号）．
【分析】根据向量垂直的定义进行解答．
【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以 与 互相垂直；
[中国教~@育*出版#网^]
②因为cos30°×1+tan45°•sin60°= ×1+1× = ≠0，所以 与 不互相垂直；
③因为（ ﹣ ）（ + ）+（﹣2）× =3﹣2﹣1=0，所以 与 互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以 与 互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：①③④．
【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形．解题的关键是掌握向量垂直
的定义．
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三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）﹣1．
【分析】根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，
分别求得每项的值，再进行计算即可．
【解答】解：
|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）﹣1
= ﹣1+2× ﹣2 +2
= ﹣1+ ﹣2 +2
=1．
【点评】本题主要考查实数的运算及特殊角的三角函数值，注意绝对值和负指数幂的运算
法则是解题的关键．
21．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电
视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选
出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：
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学生最喜爱的节目人数统计表节目 人数 百分比
（名）
最强大脑 5 10%
朗读者 15 b%
中国诗词大会 a 40%
出彩中国人 10 20%
根据以上提供的信息，解答下列问题：
[来源:%中国#@教*育~出版网]
（1）x= 5 0 ，a= 2 0 ，b= 3 0 ；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目
的学生有多少名．
【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即
可；
（2）根据a的值，补全条形统计图即可；
（3）由中国诗词大会的百分比乘以1000即可得到结果．
[来源:中~国教育出^*版网&@]
【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b= ×100=30；
故答案为：50；20；30；
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（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：
[来~源:zzs&tep.*co#%m]（3）根据题意得：1000×40%=400（名），
则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本
题的关键．
22．（7分）（2017•临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α
为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的
长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC
的长即可．
[www.z%^*z~step.co#m]
【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，
∴ED=AEtan30°=10 m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，
∴AB=30 m，
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30 ﹣10 =20 m．[来源:zz#step&.%^~com]
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是
解本题的关键．
23．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
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【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得
出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得
出DE=DB；
（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股
定理求出BC= =4 ，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ ，
[来~源:z%z^st&ep.c@om]
∴∠DBC=∠CAD，
[来源:&中%国教育出^版~网@]
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得： ，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
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∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2 ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理
等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
24．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水
费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
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（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm（3 二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，
则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？
【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据
求出相应的函数解析式；（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少
m3．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，
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当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
，得 ，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，
由上可得，y与x的函数关系式为y= ；
（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x无解，
当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x=12，
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∴40﹣x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解
析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
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25．数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，若
∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得
△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD
重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（ 1 ） 小 颖 提 出 ： 如 图 4 ， 如 果 把 “ ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60°” 改 为
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（ 2 ） 小 华 提 出 ： 如 图 5 ， 如 果 把 “ ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=∠ ADB=60°” 改 为
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何
等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
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【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，
即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点
共圆）
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（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．
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【解答】解：（1）BC+CD= AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，
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∴∠ACB+∠ACD=45°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE= AC，
∵CE=CE+DE=CD+BC，
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∴BC+CD= AC；
（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，
延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，
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∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，
过点A作AF⊥CE于F，
∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，
[来*源:中@教网&^%]
∴CE=2CF=2AC•cosα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC•cosα．[www*.^z#zstep.co&m%]
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰
三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．
26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点
C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
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（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣
3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得
到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M
与C重合，于是得到结论．
【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），
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∴OC=3，
∵OC=3OB，
[来源:zz~step.^c%&#om]
∴OB=1，
∴B（﹣1，0），
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把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
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∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
[来源^:*&中教%网~]
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D （0，1），D （0，﹣1）；
1 2
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，﹣3），
[来源#*:中国%教育出~&版网]
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或
（0，﹣3）．
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[中&国^教育出#版网~@]【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四
边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
