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2008年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学试题及答案
第Ⅰ卷（共60分）
参考公式：
1
锥体的体积公式：V = Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
3
球的表面积公式：S =4πR2，其中R是球的半径．
如果事件A，B互斥，那么P(A+B)= P(A)+P(B)．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．满足M Ía，a，a，a ，且M a，a，a =a，a 的集合M 的个数是（
1 2 3 4 I 1 2 3 1 2
）
A．1 B．2 C．3 D．4
z
2．设z的共轭复数是z，若z+z =4，z z =8，则 等于（ ）
g
z
A．i B．-i C．±1 D．±i
æ π πö
3．函数y =lncosx ç - < x< ÷的图象是（ ）
è 2 2ø
y y y y
x x x x
- π O π - π O π - π O π - π O π
2 2 2 2 2 2 2 2
A． B． C． D．
4．给出命题：若函数y = f(x)是幂函数，则函数y = f(x)的图象不过第四象限．在它的
逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
ìï1-x2， x≤1， æ 1 ö
5．设函数 f(x)=í 则 f ç ÷的值为（ ）
ïîx2 +x-2，x>1， è f(2)ø
15 27 8
A． B．- C． D．18
16 16 9
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
2
可得该几何体的表面积是（ ）
A．9π B．10π
3
第1页 | 共15页 2 2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图C．11π D．12π
x+5
7．不等式
≥2的解集是（
）
(x-1)2
é 1ù é 1 ù é1 ö é 1 ö
A． ê -3， ú B． ê - ，3 ú C． ê ，1 ÷U 1，3 D． ê - ，1 ÷U 1，3
ë 2û ë 2 û ë2 ø ë 2 ø
8．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量
m =( 3，-1)，n=(cosA，sin A)．若m ^n，且acosB+bcosA=csinC，则角
A，B的大小分别为（ ）
π π 2π π π π π π
A． ， B． ， C． ， D． ，
6 3 3 6 3 6 3 3
9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
2 10 8
A． 3 B． C．3 D．
5 5
æ πö 4 æ 7πö
10．已知cos ç a- ÷ +sina= 3，则sin ç a+ ÷的值是（ ）
è 6ø 5 è 6 ø
2 3 2 3 4 4
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y =0和x轴相切，则该圆的标
准方程是（ ）
2
æ 7ö
A．(x-3)2 +
ç
y-
÷
=1 B．(x-2)2 +(y-1)2 =1
è 3ø
2
æ 3ö
C．(x-1)2 +(y-3)2 =1 D．ç x- ÷ +(y-1)2 =1
è 2ø
12．已知函数 f(x)=log (2x +b-1)(a >0，a ¹1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
a
是（ ）
y
A．00）为偶函数，且函数
π
y = f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ．
2
æπö
（Ⅰ）求 f ç ÷的值；
è8ø
π
（Ⅱ）将函数y = f(x)的图象向右平移 个单位后，得到函数y = g(x)的图象，求g(x)
6
的单调递减区间．
18．（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A，A，A 通晓日语，B，B，B 通晓俄语，
1 2 3 1 2 3
C，C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
1 2
（Ⅰ）求A被选中的概率；
1
（Ⅱ）求B 和C 不全被选中的概率．
1 1
第3页 | 共15页19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD^平面ABCD，AB∥DC ，△PAD是等边
三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC =4 5．
P
（Ⅰ）设M 是PC上的一点，证明：平面MBD^平面PAD；
M
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．
D C
A
B
20．（本小题满分12分）
将数列a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
n
a
1
a a
2 3
a a a
4 5 6
a a a a
7 8 9 10
记表中的第一列数a，a，a，a， 构成的数列为b ，b =a =1．S 为数列b 的
1 2 4 7 L n 1 1 n n
2b
前n项和，且满足 n =1(n≥2)．
b S -S2
n n n
ì 1 ü
（Ⅰ）证明数列í ý成等差数列，并求数列b 的通项公式；
S n
î þ
n
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比
4
为同一个正数．当a =- 时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
81 91
21．（本小题满分12分）
设函数 f(x)= x2ex-1+ax3 +bx2，已知x=-2和x=1为 f(x)的极值点．
第4页 | 共15页（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）讨论 f(x)的单调性；
2
（Ⅲ）设g(x)= x3-x2，试比较 f(x)与g(x)的大小．
3
22．（本小题满分14分）
x y
已知曲线C： + =1(a >b>0)所围成的封闭图形的面积为4 5，曲线C 的内切圆半
1 a b 1
2 5
径为 ．记C 为以曲线C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
3 2 1
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
2
（Ⅱ）设AB是过椭圆C 中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M 是l上异于椭圆
2
中心的点．
（1）若 MO =lOA （O为坐标原点），当点A在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方
2
程；
（2）若M 是l与椭圆C 的交点，求△AMB的面积的最小值．
2
2008年普通高等学校招生全国统一考试答案
a ,a
1．B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M 中必含有 1 2,
M =a ,a M =a ,a ,a
则 1 2 或 1 2 4 .选B.
z =2+bi
2．D 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 ，由
z×z =8
z z2 2±2i2
= = =±i.
4+b2 =8,b=±2. z 8 8
得 选D.
3．A
p p
y =lncosx(- < x< )
2 2
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。 是偶函数，
第5页 | 共15页cosx
可排除B、D，由 的值域可以确定.选A.
4．C
解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命
题,
而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题
有一个。选C.
5．A 解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
æ 1 ö 1 1 15
\ f = f( )=1- = .
ç ÷
Q f(2)=4, è f(2)ø 4 16 16 选A.
6．D
解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球
S =4p´12 +p´12´2+2p´1´3=12p.
和一个圆柱组合而成的，其表面及为 选D。
x¹1 x=0
7．D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知 排除B;由 符合可排除C;
x=3
由 排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
8．C 解析：本小题主要考查解三角形问题。
p
\A= ;
Q 3cosA-sin A=0 3
ÞsinAcosB+sinBcosA=sin2C,
p
C = .
sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC =sin2C 2
，
π
\B=
6
.选C. 本题在求角B时,也可用验证法.
9．B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。
100+40+90+60+10
x= =3,
Q
100
1
\S2 = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2]
n 1 2 L n
1 160 8 2 10
= [20´22 +10´12 +30´12 +10´22] = = , ÞS = .
100 100 5 5
选B.
10．C 解析主要考查三角函数变换与求值。
p 3 3 4 1 3 4
cos(a- )+sina= cosa+ sina= 3 cosa+ sina=
6 2 2 5 2 2 5
，
7p p æ 3 1 ö 4
sin(a+ )=-sin(a+ )=-ç sina+ cosa÷=- .
ç ÷
6 6 2 2 5
è ø
选C.
第6页 | 共15页11．B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。
|4a-3| 1
d = =1,\a =2(舍- ).
(a,1), 5 2
设圆心为 由已知得 选B.
12．A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
a>1,\00.8
2 4 8 n=4.
，因此输出
15．2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。
f(3x)=4xlog 3+233=4log 3x +233,
Q 2 2
Þ f(x)=4log x+233,\ f(2)+ f(4)+ f(8)+ + f(28)=
2 L
8´233+4(log 2+2log 2+3log 2+ +8log 2)=1864+144=2008.
2 2 2 L 2
16．11
解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点
(0，0), (0，2), (2，0), (3，5), (3，5)
分别为 验证知在点 时取得最大值11.
三、解答题
17．解：（Ⅰ） f(x)= 3sin(wx+j)-cos(wx+j)
第7页 | 共15页é 3 1 ù
=2ê sin(wx+j)- cos(wx+j)ú
2 2
ë û
æ πö
=2sin ç wx+j- ÷．
è 6ø
因为 f(x)为偶函数，
所以对xÎR， f(-x)= f(x)恒成立，
π æ πö
因此sin(-wx+j- )=sin ç wx+j- ÷．
6 è 6ø
æ πö æ πö æ πö æ πö
即-sinwxcos ç j- ÷ +coswxsin ç j- ÷ =sinwxcos ç j- ÷ +coswxsin ç j- ÷，
è 6ø è 6ø è 6ø è 6ø
æ πö
整理得sinwxcos
ç
j-
÷
=0．
è 6ø
因为w>0，且xÎR，
æ πö
所以cos
ç
j-
÷
=0．
è 6ø
又因为00．
12´13
因为1+2+ +12= =78，
L
2
所以表中第1行至第12行共含有数列a 的前78项，
n
故a 在表中第13行第三列，
81
4
因此a =b q2 =- ．
81 13g 91
2
又b =- ，
13 13´14
所以q=2．
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
b (1-qk) 2 (1-2k) 2
则S = k =- = (1-2k)(k≥3)．
g
1-q k(k+1) 1-2 k(k+1)
21．解：（Ⅰ）因为 f¢(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2 +2bx
= xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，
又x=-2和x=1为 f(x)的极值点，所以 f¢(-2)= f¢(1)=0，
ì-6a+2b=0，
因此í
î3+3a+2b=0，
1
解方程组得a=- ，b=-1．
3
1
（Ⅱ）因为a=- ，b=-1，
3
所以 f¢(x)= x(x+2)(ex-1-1)，
令 f¢(x)=0，解得x =-2，x =0，x =1．
1 2 3
因为当xÎ(-¥，-2) (0，1)时， f¢(x)<0；
U
第11页 | 共15页当xÎ(-2，0) (1，+¥)时， f¢(x)>0．
U
所以 f(x)在(-2，0)和(1，+¥)上是单调递增的；
在(-¥，-2)和(0，1)上是单调递减的．
1
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 f(x)= x2ex-1- x3 -x2，
3
故 f(x)-g(x)= x2ex-1-x3 = x2(ex-1-x)，
令h(x)=ex-1-x，
则h¢(x)=ex-1-1．
令h¢(x)=0，得x=1，
因为xÎ-¥，1时，h¢(x)≤0，
所以h(x)在xÎ-¥，1上单调递减．
故xÎ-¥，1时，h(x)≥h(1)=0；
因为xÎ1，+¥时，h¢(x)≥0，
所以h(x)在xÎ1，+¥上单调递增．
故xÎ1，+¥时，h(x)≥h(1)=0．
所以对任意xÎ(-¥，+¥)，恒有h(x)≥0，又x2≥0，
因此
f(x)-g(x)≥0，
故对任意xÎ(-¥，+¥)，恒有 f(x)≥g(x)．
ì2ab=4 5，
ï
22．解：（Ⅰ）由题意得í ab 2 5
ï = ．
î a2 +b2 3
又a>b>0，
解得a2 =5，b2 =4．
x2 y2
因此所求椭圆的标准方程为 + =1．
5 4
第12页 | 共15页（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为
y =kx(k ¹0)，
A(x ，y )．
A A
ìx2 y2
ï + =1， 20 20k2
解方程组í 5 4 得x2 = ，y2 = ，
A 4+5k2 A 4+5k2
ï îy =kx，
20 20k2 20(1+k2)
所以 OA 2 = x2 + y2 = + = ．
A A 4+5k2 4+5k2 4+5k2
设M(x，y)，由题意知 MO =lOA (l¹0)，
20(1+k2)
所以 MO 2 =l2 OA 2 ，即x2 + y2 =l2 ，
4+5k2
因为l是AB的垂直平分线，
1
所以直线l的方程为y =- x，
k
x
即k =- ，
y
æ x2 ö
20 1+
ç ÷
è y2 ø 20(x2 + y2)
因此x2 + y2 =l2 =l2 ，
x2 4y2 +5x2
4+5
g
y2
又x2 + y2 ¹0，
所以5x2 +4y2 =20l2，
x2 y2
故 + =l2．
4 5
又当k =0或不存在时，上式仍然成立．
x2 y2
综上所述，M 的轨迹方程为 + =l2(l¹0)．
4 5
20 20k2
（2）当k存在且k ¹0时，由（1）得x2 = ，y2 = ，
A 4+5k2 A 4+5k2
第13页 | 共15页ìx2 y2
+ =1，
ï ï 5 4 20k2 20
由í 解得x2 = ，y2 = ，
1 M 5+4k2 M 5+4k2
ï y =- x，
ïî k
20(1+k2) 80(1+k2) 20(1+k2)
所以 OA 2 = x2 + y2 = ， AB 2 =4 OA 2 = ， OM 2 = ．
A A 4+5k2 4+5k2 5+4k2
1
解法一：由于S2 = AB 2 OM 2
△AMB 4 g
1 80(1+k2) 20(1+k2)
= ´ ´
4 4+5k2 5+4k2
400(1+k2)2
=
(4+5k2)(5+4k2)
400(1+k2)2
≥
2
æ4+5k2 +5+4k2 ö
ç ÷
è 2 ø
1600(1+k2)2 æ40ö 2
= = ç ÷ ，
81(1+k2)2 è 9 ø
当且仅当4+5k2 =5+4k2时等号成立，即k =±1时等号成立，此时△AMB面积的最小
40
值是S = ．
△AMB 9
1 40
当k =0，S = ´2 5´2=2 5 > ．
△AMB 2 9
1 40
当k不存在时，S = ´ 5´4=2 5 > ．
△AMB 2 9
40
综上所述，△AMB的面积的最小值为 ．
9
1 1 1 1 4+5k2 +5+4k2 9
解法二：因为 + = + = = ，
OA 2 OM 2 20(1+k2) 20(1+k2) 20(1+k2) 20
4+5k2 5+4k2
1 1 2 40
又 + ≥ ， OA OM ≥ ，
g
OA 2 OM 2 OA g OM 9
当且仅当4+5k2 =5+4k2时等号成立，即k =±1时等号成立，
40
此时△AMB面积的最小值是S = ．
△AMB 9
第14页 | 共15页1 40
当k =0，S = ´2 5´2=2 5 > ．
△AMB 2 9
1 40
当k不存在时，S = ´ 5´4=2 5 > ．
△AMB 2 9
40
综上所述，△AMB的面积的最小值为 ．
9
第15页 | 共15页
