2008年高考数学试卷（文）（湖南）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（湖南）数学高考真题

2008年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 文科数学能力测试 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。       1．已知U  2,3,4,5,6,7 ，M  3,4,5,7 ，N  2,4,5,6 ，则( )   A．M N  4,6 B. M N U U C．(C N) M U D. (C M) N  N u U u  2．“ x1  2”是“x 3”的( ) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 x 1,  3．已条变量x,y满足y  2, 则x y的最小值是( )  x y 0,  A．4 B.3 C.2 D.1 4.函数 f(x)  x2(x 0)的反函数是( ) A.f 1(x)  x(x 0) B.f 1(x)   x(x 0) C.f 1(x)   x(x 0) D.f 1(x)  x2(x 0) 5.已知直线m,n和平面,满足m  n,m  a,,则( ) A. n B.n//,或n C.n  D.n//,或n 6．下面不等式成立的是( ) A．log 2log 3log 5 B．log 2log 5log 3 3 2 2 3 2 2 C．log 3log 2log 5 D．log 3log 5log 2 2 3 2 2 2 3 uuur uuur 7．在ABC中，AB=3，AC=2，BC= 10 ，则AB×AC  ( ) 3 2 2 3 A． B． C． D． 2 3 3 2 8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目， 第1页 | 共14页则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A．15 B．45 C．60 D．75 9．长方体ABCDABC D 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= 3， 1 1 1 1 AA 1，则顶点A、B间的球面距离是( ) 1 D C 1 1 2 2 A． B． C． 2 D．2 2 4 2 A 1 B 1 D O C A B x2 y2 10．若双曲线  1(a 0,b 0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离 a2 b2 相等，则双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1, 2] B．[ 2,¥) C．(1, 21] D．[ 21,¥) 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横 线上。 11．已知向量a (1, 3)，b (2,0)，则|ab|=_____________________. 12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性别 男 女 人数 生活能 否自理 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 1 13．记(2x )n的展开式中第m项的系数为b ，若b  2b ，则n=__________. x m 3 4 14．将圆x2  y2 1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则 圆C的方程是________, 若过点（3，0）的直线 l和圆C相切，则直线l的斜率为_____________. 第2页 | 共14页5 15．设x表示不超过x的最大整数，（如  2   2, 1）。对于给定的nN,   4 n(n1)(n2) (n  x  1) 3 定义Cx   ,x  1,¥  ,则C2 ________; n x(x1) (x  x  1) 8  当x  2,3  时，函数Cx的值域是_________________________。 8 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合 1 格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求： 2 （I）至少一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率。 17．（本小题满分12分） x x 已知函数 f(x) cos2 sin2 sinx. 2 2 （I）求函数 f(x)的最小正周期；  4 2  （II）当x (0, )且 f(x )  时，求 f(x  )的值。 0 4 0 5 0 6 18．（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD 600，E是 P CD的中点，PA底面ABCD，PA 3。 （I）证明：平面PBE平面PAB； （II）求二面角A—BE—P的大小。 D E C A B 第3页 | 共14页19（本小题满分13分） 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为( 4)。 （I）求椭圆的方程； （II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求的取 值范围。 20．（本小题满分13分） n n 数列a 满足a 0,a  2, a (1cos2 )a 4sin2 ,n1,2,3, , n 1 2 n2 2 n 2  （I）求a ,a ，并求数列a 的通项公式； 3 4 n 2S （II）设S a a  a ，T a a  a ，W  k (kN)， k 1 3  2k1 k 2 4  2k k 2T k 求使W 1的所有k的值，并说明理由。 k 21．（本小题满分13分） 1 9 已知函数 f(x) x4 x3 x2 cx有三个极值点。 4 2 （I）证明：27c5； （II）若存在实数c，使函数 f(x)在区间a,a2上单调递减，求a的取值范围。 2008年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 文科数学能力测试 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。       1．已知U  2,3,4,5,6,7 ，M  3,4,5,7 ，N  2,4,5,6 ，则( ) 第4页 | 共14页  A．M N  4,6 B. M N U U C．(C N) M U D. (C M) N  N u U u  【答案】B       【解析】由U  2,3,4,5,6,7 ，M  3,4,5,7 ，N  2,4,5,6 ，易知B正确. 2．“ x1  2”是“x 3”的( ) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 x1  2得1 x3，所以易知选A. x 1,  3．已条变量x,y满足y  2, 则x y的最小值是(  x y 0,  ) A．4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点 (1,1)时,x y最小值是112.故选C. 4.函数 f(x)  x2(x 0)的反函数是( ) A.f 1(x)  x(x 0) B.f 1(x)   x(x 0) C.f 1(x)   x(x 0) D.f 1(x)  x2(x 0) 【答案】B 【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),则其反函数过点(1,1),验证知只有答案B满足. 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。 5.已知直线m,n和平面,满足m  n,m  a,,则( ) A. n B.n//,或n C.n  D.n//,或n 【答案】D 【解析】易知D正确. 6．下面不等式成立的是( ) 第5页 | 共14页A．log 2log 3log 5 B．log 2log 5log 3 3 2 2 3 2 2 C．log 3log 2log 5 D．log 3log 5log 2 2 3 2 2 2 3 【答案】A 【解析】由log 21log 3log 5 , 故选A. 3 2 2 uuur uuur 7．在ABC中，AB=3，AC=2，BC= 10 ，则AB×AC  ( ) 3 2 2 3 A． B． C． D． 2 3 3 2 【答案】D 1 uuur uuur 1 3 【解析】由余弦定理得cosCAB ,所以AB×AC 3´2´  ,选Ｄ. 4 4 2 8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目， 则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A．15 B．45 C．60 D．75 【答案】C 【解析】用直接法：C1C1C1C2 C2C1 15301560, 3 5 3 5 3 5 或用间接法：C2C2 C2C2 903060,故选Ｃ. 4 6 3 5 9．长方体ABCDABC D 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= 3， 1 1 1 1 AA 1，则顶点A、B间的球面距离是( ) 1 D C 1 1 2 2 A． B． C． 2 D．2 2 4 2 A 1 B 1 【答案】B D O C 【解析】 BD  AC 2R2 2,\R 2,设 Q 1 1 BD 1 AC 1 O,则OAOB R 2, A B   ÞAOB ,\l  Rq 2´ ,故选 2 2 Ｂ. x2 y2 10．若双曲线  1(a 0,b 0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离 a2 b2 相等，则双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1, 2] B．[ 2,¥) C．(1, 21] D．[ 21,¥) 第6页 | 共14页【答案】C a2 a2 a2 【解析】 ex a x  Þ(e1)x  a Þ a(e1)a, Q 0 0 c 0 c c a 1 \e11 1 , Þe2 2e10, Þ1 2 e1 2, c e 而双曲线的离心率e1,\e(1, 21],故选Ｃ. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横 线上。 11．已知向量a (1, 3)，b (2,0)，则|ab|=_____________________. 【答案】２ r r r r 【解析】由 ab(1, 3),\|ab| 13 2. Q 12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性别 男 女 人数 生活能 否自理 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 【答案】60 15000 【解析】由上表得(2321)´ 2´3060. 500 1 13．记(2x )n的展开式中第m项的系数为b ，若b  2b ，则n=__________. x m 3 4 【答案】5 1 【解析】由T Cr(2x)nr ×( )r 2nr ×Cr ×xn2r,得2n2×C2 2´2n3×C3, r1 n x n n n 所以解得n5. 14．将圆x2  y2 1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过 点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜 率为_____________. 3 【答案】(x1)2  y2 1, ± 3 第7页 | 共14页【解析】易得圆C的方程是(x1)2  y2 1, 直线l的倾斜角为30o,150o, 3 所以直线l的斜率为k ± . 3 5 15．设x表示不超过x的最大整数，（如  2   2, 1）。对于给定的nN,   4 n(n1)(n2) (n  x  1) 3 定义Cx   ,x  1,¥  ,则C2 ________; n x(x1) (x  x  1) 8  当x  2,3  时，函数Cx的值域是_________________________。 8 16 28 【答案】 , ( ,28] 3 3 3 8 16 8´7 【解析】C2   ,当x2时，C2  28,当x®3时，x2, 8 3 3 8 2´1 2 8´7 28 28 所以Cx   ,故函数Cx的值域是( ,28]. 8 3´2 3 8 3 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合 1 格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求： 2 （I）至少一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率。 解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立， 1 且P(A) P(B) P(C) . 2 （I）至少有一人面试合格的概率是1P(A×B×C) 1 7 1P(A)P(B)P(C)1( )3  . 2 8 （II）没有人签约的概率为P(A×B×C)P(A×B×C)P(A×B×C) 第8页 | 共14页P(A)×P(B)×P(C)P(A)×P(B)×P(C)P(A)×P(B)×P(C) 1 1 1 3 ( )3( )3 ( )3  . 2 2 2 8 17．（本小题满分12分） x x 已知函数 f(x) cos2 sin2 sinx. 2 2 （I）求函数 f(x)的最小正周期；  4 2  （II）当x (0, )且 f(x )  时，求 f(x  )的值。 0 4 0 5 0 6 π 解：由题设有 f(x)cosxsinx 2sin(x )． 4 （I）函数 f(x)的最小正周期是T 2π. 4 2 π 4 2 π 4 （II）由 f(x )  得 2sin(x  ) ,即sin(x  ) , 0 5 0 4 5 0 4 5  π π  因为x (0, ),所以x  ( , ). 0 4 0 4 4 2 π π 4 3 从而cos(x  ) 1sin2(x  )  1( )2  . 0 4 0 4 5 5  π  π  于是 f(x  )  2sin(x   ) 2sin[(x  ) ] 0 6 0 4 6 0 4 6 π  π   2[sin(x  )cos cos(x  )sin ] 0 4 6 0 4 6 4 3 3 1 4 63 2  2( ´  ´ ) . 5 2 5 2 10 18．（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD 600，E是 P CD的中点，PA底面ABCD，PA 3。 （I）证明：平面PBE平面PAB； （II）求二面角A—BE—P的大小。 D E C A B 第9页 | 共14页解：解法一（I）如图所示, 连结BD,由ABCD是菱形且BCD 600知， △BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以 BE⊥CD,又AB/ /CD,所以BE⊥AB, 又因为PA平面ABCD，BE 平面ABCD， 所以PA⊥BE,而PA AB A,因此 BE⊥平面PAB.  又BE 平面PBE，所以平面PBE平面PAB. （II）由（I）知，BE⊥平面PAB, PB平面PAB, 所以PB BE. 又AB⊥BE,所以PBA是二面角ABEP的平面角． PA 在Rt△PAB中, tanPBA  3,PBA60o.． AB 故二面角ABEP的大小为60o. 解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐 标分别是 3 3 1 3 3 A(0，0，0), B(1，0，0),C( ， ，0), D( ， ，0), P(0，0，3), E(1， ，0). 2 2 2 2 2 uuur 3 uur （I）因为BE (0, ，0),平面PAB的一个法向量是n (0，1，0),所以 2 0 uuur uur BE和n 共线.从而BE⊥平面PAB. 0 又因为BE 平面PBE，所以平面PBE平面PAB. uuur uuur 3 ur （II）易知PB(1，0, 3),BE (0, ，0),设n (x，y，z )是平面PBE的一个法向量, 2 1 1 1 1 ur uuur x 0´y  3z 0，  n ×PB0，  1 1 1 则由 ur 1 uuur 得 3 所以y 1 =0，x 1  3z 1 .  n ×BE 0 0´x  y 0´z 0 1  1 2 1 1 ur uur 故可取n ( 3，0，1).而平面ABE的一个法向量是n (0，0，1). 1 2 uur uur uur uur n ·n 1 于是,cos  n 1 ,n 2  |n uur 1 |·|n u 2 ur |  2 .． 1 2 故二面角ABEP的大小为60o. 第10页 | 共14页19（本小题满分13分） 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为( 4)。 （I）求椭圆的方程； （II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求的取 值范围。 x2 y2 解：（I）设椭圆的方程为  1(ab0). a2 b2 2a2 由条件知c2,且 ,所以a2 , b2 a2 c2 4. c x2 y2 故椭圆的方程是  1(4).  4 （II）依题意, 直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y k(x1). 设点F(2，0)关于直线l的对称点为F¢(x，y ),则 0 0 y x 2  2 0 k( 0 1)， x  ，   2 2   0 1k2  解得 y 2k  0 ×k 1  y   x 2  0 1k2 0 2 2k ( )2 ( )2 1k2 1k2 因为点F¢(x，y )在椭圆上，所以  1.即 0 0  4 (4)k4 2(6)k2 (4)2 0. 设k2 t,则(4)t2 2(6)t(4)2 0. (4)2 因为4,所以 0.于是, (4) [2(6)]2-4(4)3，  当且仅当 2(6) (*)  0.   (4) 上述方程存在正实根,即直线l存在. 第11页 | 共14页 16  , 16 解(*)得 3 所以4 . 3  46. 16 即的取值范围是4 . 3 20．（本小题满分13分） n n 数列a 满足a 0,a  2, a (1cos2 )a 4sin2 ,n1,2,3, , n 1 2 n2 2 n 2  （I）求a ,a ，并求数列a 的通项公式； 3 4 n 2S （II）设S a a  a ，T a a  a ，W  k (kN)， k 1 3  2k1 k 2 4  2k k 2T k 求使W 1的所有k的值，并说明理由。 k   解：（I）因为a 0,a  2,所以a (1cos2 )a 4sin2 a 44, 1 2 3 2 1 2 1 a (1cos2)a 4sin22a 4, 4 2 2 一般地, 当n=2k1(kN*)时， (2k1) 2k1 a [1cos2 ]a 4sin2 a 4, 2k1 2 2k1 2 2k1 即a a 4.所以数列a 是首项为0、公差为4的等差数列， 2k1 2k1 2k1 因此a 4(k1). 2k1 2k 2k 当n=2k(kN*)时，a [1cos2 ]a 4sin2 2a , 2k2 2 2k 2 2k 所以数列a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k. 2k 2k 2(n1),n2k1(kN*),  故数列a 的通项公式为a  n n n  22,n2k(kN*) （II）由（I）知，S a a  a 04 4(k1)2k(k1), k 1 3  2k1  2S k(k1) T a a  a 222  2k 2k12, W  k  . k 2 4  2k  k 2T 2k1 k 第12页 | 共14页3 3 5 15 于是W 0,W 1, W  , W  ,W  ,W  . 1 2 3 2 4 2 5 4 6 16 下面证明: 当k 6时，W 1.事实上, 当k 6时， k (k1)k k(k1) k(3k) W W    0,即W W . k1 k 2k 2k1 2k k1 k 又W 1,所以当k 6时，W 1. 6 k 故满足W 1的所有k的值为3,4,5. k 21．（本小题满分13分） 1 9 已知函数 f(x) x4 x3 x2 cx有三个极值点。 4 2 （I）证明：27c5； （II）若存在实数c，使函数 f(x)在区间a,a2上单调递减，求a的取值范围。 1 9 解：（I）因为函数 f(x) x4 x3 x2 cx有三个极值点, 4 2 所以 f¢(x) x33x2 9xc0有三个互异的实根. 设g(x) x33x2 9xc,则g¢(x)3x2 6x93(x3)(x1), 当x3时，g¢(x)0, g(x)在(¥,3)上为增函数; 当3 x1时，g¢(x)0, g(x)在(3,1)上为减函数; 当x1时，g¢(x)0, g(x)在(1,¥)上为增函数; 所以函数g(x)在x3时取极大值,在x1时取极小值. 当g(3)0或g(1)0时,g(x)0最多只有两个不同实根. 因为g(x)0有三个不同实根, 所以g(3)0且g(1)0. 即272727c0,且139c0, 解得c27,且c5,故27c5. （II）由（I）的证明可知，当27c5时, f(x)有三个极值点. 不妨设为x，x，x （x  x  x ），则 f¢(x)(xx )(xx )(xx ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 所以 f(x)的单调递减区间是(¥，x ],[x ,x ] 1 2 3 第13页 | 共14页若 f(x)在区间a,a2上单调递减， 则a,a2 (¥，x ], 或a,a2[x ,x ], 1 2 3 若a,a2 (¥，x ],则a2 x .由（I）知，x 3,于是a5. 1 1 1 若a,a2[x ,x ],则a x 且a2 x .由（I）知，3 x 1. 2 3 2 3 2 又 f¢(x) x33x2 9xc,当c27时， f¢(x)(x3)(x3)2; 当c5时， f¢(x)(x5)(x1)2. 因此, 当27c5时，1 x 3.所以a3,且a23. 3 即3a1.故a5,或3a1.反之, 当a5,或3a1时， 总可找到c(27,5),使函数 f(x)在区间a,a2上单调递减. 综上所述, a的取值范围是(¥，5) (3,1). U 第14页 | 共14页