沪科版7年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

! " # $ # % & ’ ! " #$%&’( 新时代数学编写组 编著 上海科学技术出版社 书书书主 编 吴之季 苏 淳 副 主 编 杜先能 徐子华 本册主编 胡 涛 策划编辑 苏德敏 责任编辑 王韩欢 李 刚 美术编辑 陈 蕾 义务教育教科书 数 学 七年级 上册 新时代数学编写组 编著 上海世纪出版（集团）有限公司 出版 上 海 科 学 技 术 出 版 社 （上海市钦州南路 号 邮政编码 ） ７１ ２００２３５ 新华书店发行 合肥义兴印务有限责任公司印刷 开本 印张 字数 ７８７×１０９２ １／１６ １３ ２１８０００ 年 月第 版 年 月第 次印刷 ２０１２ ６ １ ２０２１ ６ １５ · ＩＳＢＮ ９７８ ７ ５４７８ １２７３ ０／Ｇ ２３８ 定价： 元 １３．０３ 如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系 电话： ，邮箱： ０２１ ６４８４８０２５ ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ 审批编号：皖费核（ 年秋季）第 号 举报电话： ２０２１ ０１０３ １２３１５ 书书书目 录 致同学 第 章 有理数 ………………………… １ １ １ 正数和负数 …………………………………… ２ １ ２ 数轴、相反数和绝对值………………………… ７ １ ３ 有理数的大小………………………………… １４ １ ４ 有理数的加减………………………………… １７ １ ５ 有理数的乘除………………………………… ２８ 阅读与思考 翻币问题 ……………………… ３８ １ ６ 有理数的乘方………………………………… ３９ １ ７ 近似数………………………………………… ４５ 数学史话 负数 ……………………………… ４８ 小结·评价 …………………………………………… ５０ 复习题 ………………………………………… ５２ 第 章 整式加减 ……………………… ５５ ２ １ 代数式………………………………………… ５６ 数学活动 探索数的规律 …………………… ６８ ２ ２ 整式加减……………………………………… ６９ 阅读与思考 归纳推理 ……………………… ７７ 数学史话 数学符号 ………………………… ７８ 小结·评价 …………………………………………… ７９ １ 目 录复习题 ………………………………………… ８０ 第 章 一次方程与方程组 …………… ８４ ３ １ 一元一次方程及其解法……………………… ８５ ３ ２ 一元一次方程的应用………………………… ９３ ３ ３ 二元一次方程组及其解法…………………… ９８ ３ ４ 二元一次方程组的应用 …………………… １０７ ３ ５ 三元一次方程组及其解法 ………………… １１４ 数学活动 联产品的成本计算 …………… １１９ ３ ６ 综合与实践 一次方程组与 ＣＴ 技术 …… １２１ 数学史话 “方程”的由来 ………………… １２４ 小结·评价 ………………………………………… １２５ 复习题 ……………………………………… １２６ 第 章 直线与角……………………… １３０ ４ １ 几何图形 …………………………………… １３１ 数学活动 制作正多面体 ………………… １３４ ４ ２ 线段、射线、直线 …………………………… １３５ ４ ３ 线段的长短比较 …………………………… １３９ ４ ４ 角 …………………………………………… １４３ ４ ５ 角的比较与补（余）角 ……………………… １４７ 阅读与欣赏 生物中的最佳角 …………… １５１ ２ 目 录４ ６ 用尺规作线段与角 ………………………… １５３ 数学活动 画图 …………………………… １５５ 数学史话 “几何”的由来 ………………… １５６ 小结·评价 ………………………………………… １５７ 复习题 ……………………………………… １５８ 第 章 数据的收集与整理 …………… １６１ ５．１ 数据的收集 ………………………………… １６２ 阅读与欣赏 水库相关数据收集的重要性 ……………………………… １６４ ５．２ 数据的整理 ………………………………… １６７ 数学活动 英文字母统计 ………………… １７０ ５．３ 用统计图描述数据 ………………………… １７３ ５．４ 从图表中的数据获取信息…………………… １７７ 信息技术应用 用 软件绘制统计图 Ｅｘｃｅｌ …………………………… １８４ ５．５ 综合与实践 水资源浪费现象的调查……… １８６ 小结·评价 ………………………………………… １８７ 复习题 ……………………………………… １８８ 附录１ 常用的单位及其符号 …………………… １９４ 附录２ 部分中英文词汇索引 …………………… １９５ 后记 ………………………………………………… ２０１ ３ 目 录亲爱的同学： 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每 一个公民应该具备的基本素养 在新的学习阶段，数学将继续 ． 陪伴你发展、成长 ． 本套教科书是根据《义务教育数学课程标准（ 年 ２０１１ 版）》编写的 教科书共分六册，七年级至九年级每学期一册 全 ． ． 书把“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三部分内容，按 知识内在联系整合呈现 “综合与实践”部分是以问题为载体、 ． 以学生自主参与为主的学习活动，每学期至少安排一次，使之 与前三部分内容密切配合，以利于同学综合运用已学的知识与 方法解决问题 通过学习，你将能获得适应社会生活和进一步 ． 发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活 动经验 ． 教科书在陈述整体内容时，设置了“观察”“操作”“思考” “交流”与“探究”等栏目，为你主动参与学习活动提供条件，在 老师的组织、引导与帮助下，在“做数学”中学习数学、理解数 学、应用数学 ． 教科书重视在保证基本要求的前提下，体现一定的弹性 ． 书中“阅读与思考”“阅读与欣赏”“数学史话”“信息技术应用” “数学活动”，每章复习题中的 组、 组习题，以及少数标有 Ｂ Ｃ “ ”的内容，是提供给你根据需要和条件选学的，这将有利于  不同的同学在数学上得到不同的发展 ． “聪明在于学习，天才在于积累”努力吧，亲爱的同学！ ．有 理 数 正数和负数 １．１ 数轴、相反数和 １．２ 绝对值 有理数的大小 １．３ 有理数的加减 １．４ 有理数的乘除 １．５ 有理数的乘方 １．６ 近似数 １．７ 队 名 进 球 失 球 净胜球 意大利 ４０ １５ ２５ 中国 ５０ ２１ ２９ 古巴 １９ ４０ －２１ 南非 １６ ４９ －３３ ？ !"#$%&’()*+,*’-./01 23 ？ 456789:;<=>:.?@AB.C@ D23 ？ EF(GH.IJK4LMH.IJKNOPQ !"#$%&’()*+,)-./． 书书书１． 正数和负数 １ 天气预报图（图 ） １ １ １ ． 地形局部图（图 ） ２ １ ２ ． 图 １ １ 图 １ ２ 在 年上海国际泳联世界锦标赛上，中 ３． ２０１１ 国女子水球队取得历史最好成绩，获得银牌，下表为 中国队所在小组的小组赛净胜球统计表 ． 队 名 进 球 失 球 净胜球 意大利 ４０ １５ ２５ 中国 ５０ ２１ ２９ 古巴 １９ ４０ －２１ 南非 １６ ４９ －３３ 某镇办 家企业今年第一季度的产值与去 ４ ４ 年同期相比的增长情况表 ． ２ 第 章 有 理 数 １ 书书书企业名称 面粉厂 砖瓦厂 油厂 针织厂 增长率（ ） ％ ９．２ ７．３ －１．５ －２．８ 上述观察中涉及的图、表中出现了具有相反意义的量， 如天气预报中的温度有零上和零下的，地形图中的海拔高度有 高于海平面和低于海平面的等等 这些问题，在小学就曾遇到 ． 过 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中 ． 一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的， 用原来熟悉的数如 ，，，， 来表示它们，这样的数 １ ６ ７ ９ ８ ８４８．８６ 叫做正数（ ）；而把与它相反意义的量，如零 ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ 在计数时，数 下温度、低于海平面高度等规定为负的，用在正数前面添上 可以表示没有， ０ 负号“ ”的数，如 ， ， 来表示它们，这样的 － －３ －１４ －１５４．３１ 如 个 ０ ． 数叫做负数（ ）正数的前面也可添上正号 还常用来表 ｎｅｇａｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ． ０ “ ”，如 ， ， ，通常情况下，正数前的正号可省略不写 示某种量的基准， ＋ ＋１ ＋６ ＋７ ． 例如 不能理解 数 既不是正数，也不是负数 ０℃ ０ ． 成没有温度，它是 日常生活中，还有许多具有相反意义的量 如水库的水 ． 实际温度为冰点 位有上升与下降，企业财务状况有盈利与亏损，计算足球赛 时的计量结果，用 净胜球数时，有进球数多于与少于失球数两种情况等等，也 来作为计量温度 常要用正、负数来表示 的基准 ． ． 比任何正数 ０ 小，比 任 何 负 数 大，它是正数与负 数的分界 ． 上述观察中第 、第 题表中的数，各表示什么 ３ ４ 意思？ 例 （）与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大 １ １ 了 （公顷），小麦的种植面积减少了 ，油菜的种 １０ ｈｍ２ ５ ｈｍ２ 植面积不变，写出这三种农作物今年种植面积的增加量； ３ 正数和负数 １．１（）某市“ ”中心 年国庆期间受理消费申诉件 ２ １２３１５ ２０１１ 使 用 负 数 数：日用百货类比上年同期增长了 ，家用电子电器类比上 １０％ 后，在表示具有相 年下降了 写出这两类消费商品申诉件数的增长率 ２０％． ． 反意义的两个词 解 （）与去年相比，该乡今年的水稻种植面积增加了 语之中，只用一个 １ ，小麦种植面积增加了 ，油菜的种植面积增加 词语就可以把事 １０ ｈｍ２ －５ ｈｍ２ 了 情说清 如减少 ０ ｈｍ２． ． （）与上年同期相比，消费商品申诉件数：日用百货类 就可说成增 ５ｈｍ２ ２ 加 增长了 ，家用电子电器类增长了 －５ｈｍ２． １０％ －２０％． 你能再举出一些用正负数表示数量的实例吗？ 填空： １ （）如果向东走 ，记作 ，那么向西走 ，记作 １ ３ ｋｍ ＋３ ｋｍ ２ ｋｍ ； （）如图是温度计的一部分，其中温度计甲的示数为 摄 ２ 氏度，记作 ；温度计乙的示数为 摄氏度，记作 ℃ ； ℃ （）如果将盈利 万元，记作 万元，那么 万元就表示 ３ １ ＋１ －２ 万元 ２ ． 指出下列问题中的“基准”，再用正、负数表示问题中的量： ２ ［第１（２）题］ （）某一天正午前 与正午后 ； １ ２ ｈ ３ ｈ （）某水文站测得的水位每天下降 ，一天前、一天后的水位分别该如何表示？ ２ ２ ｃｍ 引入负数后，数的范围扩大了，整数包括正整数、和负 ０ 整数，分数包括正分数和负分数 ． ４ 第 章 有 理 数 １整数（ ）和分数（ ）统称有理数（ ｉｎｔｅｇｅｒ ｆｒａｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｎａｌ ），即 ｎｕｍｂｅｒ {正整数 整数 { ０ 负整数 有理数 {正分数 分数 负分数 例 把下列各数分别填入相应的框里： ２ ， ，１ ， ２ ， ， ， ， ， －１６ ０．０４ － ＋３２ ０ －３．６ －４．５ ＋０．９． ２ ３ 解 ，１ ， ， ， ２ ， ， ０．０４ ＋３２ －１６ － －３．６ ２ ３ ＋０．９． －４．５． 正数 负数 例 中，数 能放入正数框或负数框里吗？ ２ ０ 你认为有理数还可以怎样分类？ 习题 １． １ 填空： １ （）粮库中把运进大米 记作 ，那么运出大米 可表示为 ； １ ３０ ｔ ＋３０ ｔ ４０ ｔ ｔ （）把保险锁按逆时针方向转 圈记作 圈，那么 圈表示按 转 ２ １ ＋１ －２ 圈； （）质量检测中，把一只乒乓球超出标准质量 记作 ，那么 ３ ０．０１ ｇ ＋０．０１ ｇ －０．０２ ｇ 表示乒乓球的质量 标准质量 ｇ． ５ 正数和负数 １．１下表是某日公布的部分债券行情表，试说明各债券当天的涨跌情况 ２ ． 名 称 国债 国债 国债 安徽债 上海债 ０８ ０１ ０８ ０２ ０８ ０３ ０９ ０１ ０９ ０１ 上涨 元 ／ ０．００ －０．０５ －１．２４ ０．１５ －２．０１ 光盘的质量标准中规定：厚度为（ ） 的光盘是合格品 说说 和 ３ １．２ ±０．１ ｍｍ ． １．２ ｍｍ 所表示的意思 ±０．１ ｍｍ ． （第３题） （第４题） 湖边一段堤岸高出湖面 ，附近有一建筑物，其顶端高出湖面 ，湖底有一沉船 ４ ４ ｍ ２０ ｍ 在湖面下 处 现以湖边堤岸为“基准”，那么建筑物顶端的高度及沉船的深度各 ８ ｍ ． 应如何表示？ 全国 年、 年两年废水及废水中化学需氧量（ ）排放量统计如下表，以 ５． ２００７ ２００８ ＣＯＤ 年作为基准，请填出 年相对 年的增加量 ２００７ ２００８ ２００７ ． 项目 废水排放量 亿吨 排放量 万吨 ／ ＣＯＤ ／ 年度 合 计 工 业 生 活 合 计 工 业 生 活 ２００７ ５５６．８ ２４６．６ ３１０．２ １３８１．９ ５１１．１ ８７０．８ ２００８ ５７１．７ ２４１．７ ３３０．０ １３２０．７ ４５７．６ ８６３．１ 增加量 下列各数中，哪些是正整数、负整数、正分数、负分数？其中是否存在这样的数，它既 ６ 不是正数，也不是负数？ ， ， ４ ， ， ，１ ， ，１３， ， ， ， ８ －８．３４ － ３０２ －２０７ ４２．５ －６．５ ０ ２８ －７９． ５ ３２ ２５ 把下列各数分别填入相应的括号内： ７ ，１ ， ， ， ， ５ ， ， －０．１ －９ ２ ＋１ － －２ ３．５． ２ ２ ｛ ｝ ｛ ｝ 整数： 分数： ｛ ｝ ｛ ｝ 正数： 负数： ６ 第 章 有 理 数 １１． 数轴、相反数和绝对值 ２ 让机器人在一条东西向的直路上做走步取物试验 根据 ． 指令：它由点 处出发，向西走 到达点 处，拿取物品， Ｏ ３ ｍ Ａ 然后，返回点 处将物品放入篮中，再向东走 到达点 Ｏ ２ ｍ Ｂ 处取物 ． 在如图 所示的直线上画出点 ， 两处的 １ １ ３ Ａ Ｂ 位置 ． 图 １ ３ 把向东走记作“ ”，向西走记作“ ”，在上面的直 ２ ＋ － 线上标出与点 ， 相对应的数 Ａ Ｂ ． 下面，我们用直线上的点来表示数 ． 画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点（ ）， ｏｒｉｇｉｎ 用这点表示数 ；规定这条直线的一个方向为正方向 ０ （ ，当直线水平放置时，一般取从左到右的方 ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ 向为正方向，并用箭头表示），相反的方向就是负方向；适当 地选取某一长度作为单位长度（ ）这种规定了原 ｕｎｉｔ ｌｅｎｇｔｈ ． 点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（ ），如图 ｎｕｍｂｅｒ ａｘｉｓ ７ 数轴、相反数和绝对值 １．２１ ４． 图 １ ４ 例 说出图 所示的数轴上 ，，， 各点表示 １ １ ５ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的数 ． 图 １ ５ 解 点 在原点表示 ，点 在原点左边与原点距离 Ｃ ０ Ａ ２ 个单位长度，故表示 同理，点 表示 点 在原点 －２． Ｂ －３．５． Ｄ 右边与原点距离 个单位长度，故表示 ２ ２． 例 在数轴上，画出表示下列各数的点： ２ ， １ ，１ ， ， ＋４ － －１．２５ －４． ２ ２ 解 用数轴上位于原点右边与原点距离 个单位 ＋４ ４ 长度的点表示， 用数轴上位于原点左边与原点距离 个 －４ ４ 单位长度的点表示 同理，可画出表示１ ， １ ， 的 ． － －１．２５ ２ ２ 点，如图 １ ６． 图 １ ６ 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来 表示  ８ 第 章 有 理 数 １点 ，，， 在数轴上的位置如图： １ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ （第１ 题） 点 表示 ，点 表示 ，点 表示 ，点 表示 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ． 在数轴上画出表示 ， ， ， 的点 ２ －３ ＋２ －１．５ －６．５ ． （第２ 题） 与 ， 与 ，１ 与 １ 各有什么相同点和 ２ －２ ４ －４ － ２ ２ 不同点？它们在数轴上的位置有什么关系？ 由上可知，与 ， 与 ，１ 与 １ 都只有符号不同 ２ －２ ４ －４ － ． ２ ２ 我们称只有符号不同的两个数互为相反数（ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ），这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如 ｎｕｍｂｅｒ ２ 与 互为相反数，即 的相反数是 ， 的相反数是 －２ ２ －２ －２ ２． 特别规定： 的相反数是 ０ ０． 数 的相反数是 这里 表示任意一个数，它可以是 ａ －ａ． ａ 正数、负数或者 ０． 两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两 旁，与原点的距离相等 ． ９ 数轴、相反数和绝对值 １．２例 写出下列各数的相反数： ３ ， ， ，２ ， ５ ， ， ３ －７ －２．１ － ０ ２０． ３ １１ 解 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反 ３ －３ －７ ７ －２．１ 数是 ，２ 的相反数是 ２ ， ５ 的相反数是５ ， ２．１ － － ０ ３ ３ １１ １１ 的相反数是 ， 的相反数是 ０ ２０ －２０． 容易看出，在任意一个数前面添上“ ”号，所得的数就 － 是原数的相反数，如 （ ） ， （ ） ， － ＋３ ＝－３ － －３ ＝ ３ －０ ＝ ０． 分别写出下列各数的相反数： １ ， ， ， ， ， ，１ －５ １ －３ －２．６ １．２ －０．９ ． ２ 填空： ２ （） 是 的相反数， 的相反数是 ； １ －２．８ ３．２ （） （ ）是 的相反数， （ ）是 的相反数； ２ － ＋４ － －７ （） （ ） ， （ ） ３ － ＋８ ＝ － －９ ＝ ． 下列叙述中不正确的是（ ） ３ ． （ ）一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数 Ａ （ ）在数轴上与原点距离相等但不重合的两个点，所表示的数一定互为相反数 Ｂ （ ）符号不同的两个数互为相反数 Ｃ （ ）两个数互为相反数，这两个数有可能相等 Ｄ 在数轴上，表示 与 的点到原点的距离各 ４ －４ １０ 第 章 有 理 数 １是多少？表示 １ 与 １ 的点到原点的距离各是 － ２ ２ 多少？ 在数轴上，表示数 的点到原点的距离，叫做数 ａ 的绝对值（ ），记作 例如 和 绝对值相 ａ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｖａｌｕｅ ｜ ａ ｜． ＋４ 它们位于原点两侧，但到原点距离都等于 ，即 等、符号相反的 －４ ４ 它们的绝对值都是 ，记作 ， ， 如 两个数互为相 ４ ｜ ＋４ ｜ ＝４ ｜ －４ ｜ ＝４ 反数 图 ． １ ７． 图 １ ７ 表示数 的点即原点，故 ０ ｜ ０ ｜ ＝０． 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它 本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值 ０ 是 ０ 例 求下列各数的绝对值： ４ ２ ， ， ， － ＋１ －０．１ ４．５． ３ 解 ２ ２ ， ， ， － ＝ ｜ ＋ １ ｜ ＝ １ ｜ － ０．１ ｜ ＝ ０．１ ３ ３ ｜ ４．５ ｜ ＝ ４．５． 在数轴上表示出下列各点，并分别指出它们的绝对值： １ ， ３ ， ， ， ， ， －４ ＋ －２ ０ ３．２ －０．５ ７． ２ １１ 数轴、相反数和绝对值 １．２填空： ２ ， ， ， ， ｜－３ ｜ ＝ ｜ １．５ ｜ ＝ ｜ ０ ｜ ＝ ｜－５ ｜ ＝ ｜－０．０２ ｜ ＝ ， ＋ ３ ＝ ， － １ ＝ ， ４ ６ ｜－１００ ｜ ＝ ． 计算： ３ （） ； （） ； １ ｜－８ ｜ ＋｜ ９ ｜ ２ ｜－１２ ｜ ÷｜ １２ ｜ （ ３ ） ｜ ０．６ ｜ － － ３ ； （ ４ ） ｜－３ ｜ ×｜ －２ ｜． ５ 下列等式中不成立的是（ ） ４ ． （ ） （ ） Ａ ｜－５ ｜ ＝ ５ Ｂ －｜ ５ ｜ ＝－｜ －５ ｜ （ ） （ ） Ｃ ｜－５ ｜ ＝ ｜ ５ ｜ Ｄ －｜－５ ｜ ＝ ５ 求 ， ，１ ， １ 的绝对值 ５ ８ －８ － ． ４ ４ 习题 １． ２ 求下列各数的相反数： １ １ ， ， ， ， － －０．６１ １６ ｜ －８ ｜ ２．５． ２ 写出一个正数、两个负数，指出它们的相反数，并把它们在数轴上表示出来 ２ ． 在数轴上分别表示出绝对值是 ， ，的数 ３． ３ １．５ ０ ． 在数轴上点 表示的数是 ，与点 距离 个单位长度的点表示的数是什么？ ４ Ａ －３ Ａ ２ 下列每题的各对数中，哪些是相等的，哪些互为相反数？ ５ （） （ ）与 （ ）； １ ＋ －４ － ＋４ （） （ ）与 ； ２ － －４ －４ （） （ ）与 （ ）； ３ ＋ ＋４ － －４ （） （ ）与 （ ） ４ － ＋４ － －４ ． 求下列各数的绝对值： ６ ， ， ， ， ， ９ －２５ ０．０８ －７ １．５ ０ － ． １１ １２ 第 章 有 理 数 １（）绝对值是 的数有几个，各是多少？ ７ １ ５ （）绝对值是 的数有几个？ ２ ０ （）是否存在绝对值是 的数，为什么？ ３ －４ 一座桥梁的设计长度为 ，建成后，测量了 次，测得的数据是（单位： ）： ８ ８１０ ｍ ５ ｍ ， ， ， ， ８１４ ８１２ ８０９ ８０７ ８０８． 如果以设计长度为基准，试用正负数表示各次测得的数值与设计长度的差（填 表）哪次测得的结果最接近设计长度？你说的最接近是根据什么说的？ ． 测量序号 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 １ ２ ３ ４ ５ 差 填空： ９ （）当 是正数时， ； １ ａ ｜ ａ ｜ ＝ （）当 是负数时， ； ２ ａ ｜ ａ ｜ ＝ （）当 是 时， ３ ａ ０ ｜ ａ ｜ ＝ ． １３ 数轴、相反数和绝对值 １．２１． 有理数的大小 ３ 下表是 个旅游区某天的天气预报： ５ 把表示这一天各旅游区最低温度的数在图 所示的 １ ８ 数轴上表示出来： 图 １ ８ 把这几个旅游区的最低温度由低到高进行排列： ． 这些数的大小顺序与数轴上表示它们的点的位置有什 么关系？ 数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左 边点表示的数大  于是：正数大于 ， 大于负数，正数大于负数 ０ ０  在数轴上分别表示出下列各对数，并比较它 １ 们的大小： １４ 第 章 有 理 数 １（） 与 ； （） １ 与 １ ； １ －１ －１．５ ２ － － ２ ４ （） 与 ； （） 与 ３ －２ －２．５ ４ －５ －０．５． 求出上题中各对数的绝对值，并比较它们的 ２ 大小 ． 从上面的思考中，你发现了什么规律？ ３ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小  例 比较下列每组数的大小： （） 与 ； （） ３ 与 １ －２ －３ ２ － －０．８． ５ 解 （）因为 ， ， ， １ ｜－２ ｜ ＝ ２ ｜－３ ｜ ＝ ３ ２ ＜ ３ 所以 －２ ＞－３． （）因为 ３ ３ ， ， ２ － ＝ ＝ ０．６ ｜－０．８ ｜ ＝ ０．８ ５ ５ ，即 ３ ， ０．６ ＜ ０．８ ＜ ０．８ ５ 所以 ３ － ＞－０．８． ５ 填空（填“ ”或“ ”）： １ ＞ ＜ （） ； （） ； （） ； （） １ ２ １２ ２ ２ －３ ３ ０ ０．２５ ４ －１５ ０． 把下列各数表示在数轴上，并用“ ”把它们连接起来： ２ ＞ ， ， ， ， ， －８ ３ －１０ －４ ２ １２． 比较下列各组数的大小： ３ （） 与 ； （） 与 ； １ －０．２ －０．２５ ２ －０．１ －０．０１ （） 与 ； （） ３ 与 ５ ； ３ －９ －９．１ ４ － － ８ ８ （） ３ 与 ４ ； （） ５ 与 ６ ５ － － ６ － － ． ４ ５ ６ ７ １５ 有理数的大小 １．３习题 １． ３ 把下列各数在数轴上表示出来，并用“ ”连接起来： １ ＜ ，１ ， ， ， １ ， ， ， －３ －１ ５ －２ ０ ２ ＋７． ３ ２ 下面是某年一月份我国几个城市的平均气温： ２ 北京 ，上海 ，广州 ， －４．５℃ ３．２℃ １５℃ 长春 ，合肥 ，昆明 －１８℃ ２．８℃ １２℃． 把它们按从低到高的次序排列，并指出这年一月份哪个城市的平均气温最高，哪 个城市的平均气温最低 ． 结合数轴，回答下列问题： ３ （）有没有最大的正整数？有没有最小的正整数？如果有，是什么？ １ （）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，是什么？ ２ （）在数轴上表示： ， ， ，３ ； ４ １ ０ －１．４ －３ ４ （）将（）中各数用“ ”连接起来； ２ １ ＞ （）将（）中各数的相反数用“ ”连接起来； ３ １ ＜ （）将（）中各数的绝对值用“ ”连接起来 ４ １ ＜ ． 比较下列各组数的大小： ５ （ ） ７ 与 ９ ； （） １ 与 ； １ － － ２ － －０．０１２ ９ １０ １００ （） 与 ７ ； （） ５ 与 ３ ； ３ －２ － ４ － － ８ ４ ２ （） 与 ； （） 与 ； ５ －０．０１ －１００ ６ －４．３ －５ （） ３ 与 ５ ； （） １ 与 １３ ７ － － － ８ －２ － ． １１ ２２ ３ ６ 用“ ”或“ ”填空： ６ ＞ ＜ （） ； （） （ ）； １ ｜ ＋５ ｜ ｜ －６ ｜ ２ ｜ －１００ ｜ － －１０１ （） ； （） ３ ( ２ )； ３ ｜ －０．１ ｜ ｜ －０．０１ ｜ ４ － － － ４ ３ （） １ １ ； （） 的相反数 的相反数； ５ － ６ ３ ５ ８ ７ （） 的相反数 的相反数； （） 的相反数 的相反数 ７ －２ －４ ８ －３ ５ ． 观察数轴，写出绝对值小于 的所有整数 ７ ５ ． １６ 第 章 有 理 数 １１． 有理数的加减 ４ 有理数的加法 １ 我们已经学过，两个加数都是正数，或一个加数是正数 而另一个加数是 的加法 如 ０ ． （ ） （ ） ， ＋５ ＋ ＋３ ＝８ ① ５ ＋０ ＝５． ② 当两个加数中有负数时，加法应如何进行呢？ 一间 冷藏室连续两次改变温度： ０℃ （）第一次上升 ，接着再上升 ； 用箭头在 １ ５℃ ３℃ （）第一次下降 ，接着再下降 ； 数轴上表示两 ２ ５℃ ３℃ （）第一次下降 ，接着再上升 ； 个数相加时，要 ３ ５℃ ３℃ 将第二个箭头 （）第一次下降 ，接着再上升 ４ ３℃ ５℃． 的起始端紧挨 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度？ 着第一个箭头 把温度上升记作正，温度下降记作负，在数轴上表 的终端 ． 示连续两次温度的变化结果，写出算式，完成下表： 变化 次序 两次变化在数轴上的表示 算 式 结果 上升了 （） （ ） （ ） １ ＋５ ＋ ＋３ ＝＋８ ③ ８℃ １７ 有理数的加减 １．４（续表） 变化 次序 两次变化在数轴上的表示 算 式 结果 上升了 （） （ ） （ ） ２ －５ ＋ －３ ＝－８ ④ －８℃ （） ３ ⑤ （） ４ ⑥ 类比上述问题，计算： （ ） （ ） －５ ＋ ＋５ ＝ ． ⑦ （ ） －５ ＋０ ＝ ． ⑧ 观察 式，说说两个有理数相加，和的符 ① ～ ⑧ 号、和的绝对值怎样确定 ． 有理数有如下的加法法则（ ）： ｌａｗ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎ 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值 １ 异号两数相 相加 加，一要确定和的  异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不相等 符号，二要确定绝 ２ ０ 时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较 对值的差 ． 小的绝对值  一个数与 相加，仍得这个数 ３ ０  例 计算： １ （）（ ） （ ）； １ ＋７ ＋ ＋６ （）（ ） （ ）； ２ －５ ＋ －９ （） ( １ ) １ ； ３ － ＋ ２ ３ （）（ ） （ ） ４ －１０５ ＋ ＋２１５ ． 解 （）（ ） （ ） （ ） １ ＋７ ＋ ＋６ ＝＋ ７ ＋６ ＝ １３． １８ 第 章 有 理 数 １（）（ ） （ ） （ ） ２ －５ ＋ －９ ＝－ ５ ＋９ ＝－１４． （） ( １ ) １ ( １ １ ) １ ３ － ＋ ＝－ － ＝－ ． ２ ３ ２ ３ ６ （）（ ） （ ） （ ） ４ －１０５ ＋ ＋２１５ ＝＋ ２１５ －１０５ ＝ １１． 例 计算： ２ （）（ ） （ ）； 互为相反 １ －７５ ＋ ＋７５ （）（ ） 数的两数和总 ２ －３５ ＋０． 是 解 （）（ ） （ ） ０． １ －７５ ＋ ＋７５ ＝ ０． （）（ ） ２ －３５ ＋０ ＝－３５． 填表（想法则、写结果）： １ 加 数 加 数 和的符号 和的绝对值 和 ６ ９ －６ －９ －６ ９ ６ －９ 计算（仿照例 表示出应用法则的过程）： ２ １ （）（ ） （ ）； （）( ７ ) ( ３ )； １ ＋３５ ＋ ＋４５ ２ － ＋ － ５ ５ （）( １７) ( ５ )； （）( ２３) ( １３) ３ － ＋ ＋ ４ ＋ ＋ －  １６ ４ ８ ４ 计算： ３ （） （ ）； （）（ ） ； １ １００ ＋ －１００ ２ －９５ ＋０ （）（ ） ； （）( １ ) ( １ )； ３ －３５ ＋３５ ４ － ＋ － ３ ６ （）（ ） （ ）； （）（ ） ； ５ －８ ＋ －７ ６ －１３ ＋２４ （）( １ ) ( １ )； （） １ ７ － ＋ － ８ －０５ ＋  ２ ３ ２ １９ 有理数的加减 １．４某潜水员在水中作业时，先潜入水下 ，然后又上升了 ，这时潜水员处在什 ４ １１２ ｍ ８５ ｍ 么位置？ 水星是最接近太阳的行星，据最新数据可知，它的表面温度最低为 ，表面温度 ５ －８６℃ 最高比最低高出 ，那么水星表面温度最高是多少摄氏度？ ７２０．５℃ 有理数的减法 ２ 下表记录了某地某年 月 日至 月 日 ２ １ ２ １０ 每天气温情况： 月 日 ／ ２／１ ２／２ ２／３ ２／４ ２／５ ２／６ ２／７ ２／８ ２／９ ２／１０ 最高温度 ／℃ １２ １０ ５ ５ ３ ５ ６ ６ ８ ９ 最低温度 ／℃ ３ ２ －４ －５ －４ －３ －３ －１ ０ －２ 怎样求出该地 月 日最高温度与最低温 ２ ３ 度的差呢？ 图 １ ９ 这里的问题，就是做减法： （ ） ？ ５ － －４ ＝ 观察图 ， １ ９ 由于加减法互为逆运算，上式可变为 比 高 ， ５℃ ０℃ ５℃ ？ （ ） 比 高 ， ＋ －４ ＝ ５． ０ ℃ －４℃ ４℃ 因为 （ ） ，所 以 上 式 中 的 ？ ，即 因此 比 ９ ＋ － ４ ＝ ５ ＝ ９ ５℃ －４℃ 高 （ ） ９℃． ５ － －４ ＝ ９． 又 ５ ＋４ ＝ ９． 可见 （ ） （ ） ５ － －４ ＝ ５ ＋ ＋４ ． 比较上式两边： ２０ 第 章 有 理 数 １有何关系？      （↓ ） （↓ ） ５ － － ４ ＝ ５ ＋ ＋ ４ ． ↑ ↑   有何变化？   说说你对有理数减法法则的猜想 ． 有理数有如下的减法法则（ ）： ｌａｗ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ 减去一个数，等于加上这个数的相反数  请你算出上表中 月 日至 月 日每天最高温度与 ２ ４ ２ １０ 最低温度的差 ． 例 计算： ３ （）（ ） （ ）； （） ； １ － １ ６ － －９ ２ ２ －７ （） （ ）； （）（ ） （ ） ３ ０ － －２５ ４ －２８ － ＋１７ ． 解 （）（ ） （ ） （ ） （ ） １ －１６ － －９ ＝ －１６ ＋ ＋９ ＝ －７． （） （ ） ２ ２ －７ ＝ ２ ＋ －７ ＝－５． （） （ ） （ ） ３ ０ － －２５ ＝ ０ ＋ ＋２５ ＝ ２５． （）（ ） （ ） （ ） （ ） ４ －２８ － ＋１７ ＝ －２８ ＋ －１７ ＝ －４５． 例 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得 ４ ２０ 分，答错一题扣 分 问答对一题与答错一题得分相差多少分？ １０ ． 解 （ ） （分）， ２０ － －１０ ＝ ２０ ＋１０ ＝ ３０ 即答对一题与答错一题相差 分 ３０ ． 填空： １ （）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）； １ －８ － －１４ ＝ －８ ＋ ＝ （）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ２ －７ － ＋６ ＝ －７ ＋ ＝  ２１ 有理数的加减 １．４计算（写出运用法则的计算过程）： ２ （）（ ） （ ）； （） ； １ －１９ － －７ ２ ４ －６ （）（ ） （ ）； （） （ ） ３ －２５ － ＋２５ ４ ０ － －５  计算： ３ （） ； （）（ ） ； １ １２ －１７ ２ －１０ －４ （） （ ）； （） ； ３ ３２ － －１８ ４ ０ －１２ （）（ ） （ ）； （） （ ）； ５ －３２ － －１８ ６ ９ － ＋１１ （）( ２ ) ( ３ )； （）（ ） ( ３ )； ７ － － － ８ －１ － ＋ ５ ５ ２ （）( １ ) ( １ )； （ ）３ ( ２ ) ９ － － － １０ － ＋ ． ３ ３ ５ ５ 巴黎、东京与北京的时差如下表 （“ ”号表示同一时刻比北京时间早的时数）： ４ ＋ 城 市 巴 黎 东 京 与北京的时差 －７ ＋１ （）求巴黎与东京的时差； １ （）巴黎时间 时，东京时间是多少？ ２ ８牶００ 加、减混合运算 ３ 问题 某地冬天某日的气温变化情况如下：早晨 的气温为 ，到中午 上升了 ，到 又 ６牶００ －２℃ １２牶００ ８℃ １４牶００ 上升了 ，且为当天的最高气温，到 降低了 ，到 ５℃ １８牶００ ７℃ 又降低了 问 的气温是多少？ ２３牶００ ４℃． ２３牶００ 用正、负数表示气温的上升与下降，那么问题就转化 为求： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） －２ ＋ ＋８ ＋ ＋５ ＋ －７ ＋ －４ ． ① 在小学学习时，我们知道加法有两条运算律，即 加法交换律（ ）： ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｌａｗ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎ ａ ＋ｂ ＝ｂ ＋ａ． ２２ 第 章 有 理 数 １加法结合律（ ）： ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ ｌａｗ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎ （ ） （ ） ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝ａ ＋ ｂ ＋ｃ ． 引入负数后，这两条运算律也同样适用，即这里的 ， ， ａ ｂ 可以表示任何有理数 ｃ ． 在计算两个以上有理数的加法运算时，可以自左向右依 次计算，也可根据加法运算律简化运算 ． 现在来解上面的问题： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） －２ ＋ ＋８ ＋ ＋５ ＋ －７ ＋ －４ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ＝ －２ ＋ －７ ＋ －４ ＋ ＋８ ＋ ＋５ （加法交换律） ［（ ） （ ） （ ）］ ［（ ） （ ）］ ＝ －２ ＋ －７ ＋ －４ ＋ ＋８ ＋ ＋５ （加法结合律） ＝ －１３ ＋１３ ＝ ０． 即该地当天 的气温是 ２３牶００ ０℃． 式中仅含有加法运算，通常可省去加号及各个括 ① 号，写成 图 １ １０ －２ ＋８ ＋５ －７ －４． ② 这个式子可读作“负 、正 、正 、负 、负 的和”或者读作 ２ ８ ５ ７ ４ “负 加 加 减 减 ” 计算器的品 ２ ８ ５ ７ ４ ． 用计算器计算 式的过程如下： 种很多，它们的计 ② 算程序和方法不 按键顺序 显 示 尽相同，使用前要 注意看清各自的 ＋ ＋ ＋ ２ ／－ ＋ ８ ＋ ５ ＋ ７ ／－ ＋ ４ ／－ ＝ ０ 说明书 本教科书 ． 只选择其中一种 例 如图 ，一批大米，标准质量为每袋 加 以 介 绍 （图 ５ １ １１ ２５ ｋｇ． 质检部门抽取 袋样品进行检测，把超过标准质量的千克数 ），供 参 考， １０ １ １０ 用正数表示，不足的用负数表示，结果如下表： 以后不再作这样 的说明 ． 袋 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 与标准 质量的 ＋１ －０．５ －１．５ ＋０．７５ －０．２５ ＋１．５ －１ ＋０．５ ０ ＋０．５ 差 ／ｋｇ ２３ 有理数的加减 １．４这 袋大米总计质量是多少千克？ １０ 图 １ １１ 解 （ ） （ ） （ ） １ ＋ －０５ ＋ －１５ ＋０７５ ＋ －０２５ ＋１５ （ ） ＋ －１ ＋０５ ＋０ ＋０５ ［ （ ）］ ［（ ） ］ ［（ ） ］ ＝ １ ＋ －１ ＋ －０５ ＋０５ ＋ －１５ ＋１５ ［ （ ）］ （ ） ＋ ０７５ ＋ －０２５ ＋０５ ＝ １ ｋｇ ． （ ） ２５ ×１０ ＋１ ＝ ２５１ ｋｇ ． 答：这 袋大米的总计质量是 １０ ２５１ ｋｇ． 例 计算： ６ （）（ ） （ ） （ ） （ ） ； １ ＋７ － ＋８ ＋ －３ － －６ ＋２ （）３ ( １ ) １ ( １ ) ２ ＋ － － － － ． ４ ６ ３ ８ 解 （）（ ） （ ） （ ） （ ） １ ＋７ － ＋８ ＋ －３ － －６ ＋２ （ ） （ ） （ ） （ ） （减法法则） ＝ ＋７ ＋ －８ ＋ －３ ＋ ＋６ ＋２ （ ） （ ） （加法交换律、结合律） ＝ ７ ＋６ ＋２ ＋ －８ －３ ＝ １５ －１１ ＝ ４． （）３ ( １ ) １ ( １ ) ２ ＋ － － － － ４ ６ ３ ８ ３ ( １ ) ( １ ) ( １ ) （减法法则） ＝ ＋ － ＋ － ＋ ＋ ４ ６ ３ ８ ( ３ １ ) ( １ １ ) （加法交换律、结合律） ＝ ＋ ＋ － － ４ ８ ６ ３ ７ １ ３ ＝ － ＝ ． ８ ２ ８ ２４ 第 章 有 理 数 １从例 、例 解的过程可以看出，灵活运用运算律能使 ５ ６ 计算简便 ． 填空： １ （）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）； １ ＋１４ － －１２ － ＋２５ ＝ ＋ ＋ （）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ２ －２０ － ＋５ ＋ －３ ＝ ＋ ＋ ． 计算： ２ （）（ ） （ ） （ ）； １ ＋１５ ＋ －３０ － －１４ （） （ ） （ ）； ２ －４０ －２８ － －１９ ＋ －２４ （） ２ ( １ ) ( １ ) １ ； ３ － ＋ － － － － ３ ６ ４ ２ （） ； ４ －７２ －０９ －５６ ＋８７ （） ； ５ －１ ＋２ －３ －４ ＋５ （） ６ －３ －４ ＋１９ －１１． 某同学将零花钱存起来，存折中原有 元，第一次取出 元，第二次又取出 元，第 ３ ８０ ２０ ３０ 三次存入 元，第四次取出 元，这时存折上的余额（不计利息）是多少元？ １００ ２０ 某中学女子篮球队员的平均身高是 ４ １７５ ｃｍ． （）下表给出了该队 名队员的身高情况 试完成下表（超过平均身高的高度用正 １ １０ ． 数表示，不足的用负数表示）： 队员号 ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ 队员身 高 １７２ １７７ １７３ １７４ ／ｃｍ 与平均 身高的 －３ ＋５ ＋１ ０ ＋４ －１ －５ 差 ／ｃｍ （）谁最高？谁最矮？ ２ （）最高的队员比最矮的队员高多少？ ３ ２５ 有理数的加减 １．４习题 １． ４ 计算： １ （）（ ） （ ）； （）（ ） （ ）； １ － １７ ＋ ＋ ６ ２ ＋２３ ＋ －１８ （）（ ） （ ）； （）（ ） （ ）； ３ －１２ ＋ －４ ４ ＋４ ＋ ＋８ （）（ ） （ ）； （）（ ） ； ５ －０９ ＋ －２１ ６ －２０ ＋０ （） ( ２ ) ( ２ ) ； （）２ ( １ ) ７ － ＋ ＋ ８ ＋ －  ３ ３ ５ ３ 计算： ２ （）（ ） （ ）； （）（ ） （ ）； １ －８ － ＋３ ２ －３ － －５ （） （ ）； （） （ ）； ３ ３ － －８ ４ ３ － ＋５ （） ； （）（ ） ； ５ ０ －１８ ６ －１５ －１５ （） ( ３ ) ( ３ ) ； （）（ ） （ ）； ７ ＋３ － －２ ８ －３６ － －２４ ４ ４ （） ； （ ）（ ） （ ） ９ ４０ －４１ １０ －２２ － －２２  计算： ３ （） （ ） （ ） （ ）； １ ５ ＋ －６ ＋３ ＋８ ＋ －４ ＋ －７ （）（ ） （ ） （ ） （ ）； ２ －４１ ＋ ＋３０ ＋ ＋４１ ＋ －３０ （）（ ） （ ） （ ） ； ３ －０８ ＋１２ ＋ －０７ ＋ －２１ ＋０８ ＋３５ （） ７ ８ １６ ３ ； ４ － ＋ － ＋ ２ ３ ９ ２ （） ； ５ －８ ＋１２ －１６ －２３ （） １ ５ ２ １ ６ － ＋ ＋ －  ４ ６ ３ ２ 分别计算下列每题中的两个算式，比较结果，有什么体会？ ４ （）（ ） （ ） （ ）， ； １ １ －２ ＋ ３ －４ － －５ ＋６ １ －２ ＋３ －４ ＋５ －６ （） （ ） （ ）， ； ２ － ８ －１２ ＋ －１６ ＋２０ －８ ＋１２ －１６ ＋２０ （）３ ( ５ ２ ) ( ５ ３ ) ，３ ５ ２ ５ ３ ３ － － ＋ － ＋ － ＋ － ＋  ４ ２ ３ ３ ２ ４ ２ ３ ３ ２ 求下列各式中的 ： ５ ｘ （） ； （） １ ｘ －５ ＝－１２ ２ ６ ＋ｘ ＝ ４ ２６ 第 章 有 理 数 １下面说法是否正确？如果不正确，请举例说明 ６ ． （）两个数的和一定比两个数中任何一个都大； １ （）两个数的差一定比两个数中任何一个都小； ２ （）两个数的和是正数，这两个数一定是正数； ３ （）两个数的差是正数，被减数一定大于减数 ４ ． 写出一个符合下列条件的算式： ７ （）两个数的和大于这两个数的差； １ （）两个数的和小于这两个数的差； ２ （）两个数的和等于这两个数的差 ３ ． 如果 ， ，且 ，求 的值 ８ ｜ ａ ｜ ＝ ８ ｜ ｂ ｜ ＝ ５ ａ ＋ｂ ＞ ０ ａ －ｂ ． 一天上午，一辆警车从 车站出发在一条笔直的公路上来回巡逻，行驶的路程情 ９ Ｍ 况如下（向 车站右侧方向行驶为正，单位： ）： Ｍ ｋｍ ， ， ， ， ， ， ， ， ， －７ ＋４ ＋８ －３ ＋１０ －３ －６ －１２ ＋９ －３． （）这辆警车在完成上述来回巡逻后在 车站的哪一侧，距 车站多少千米？ １ Ｍ Ｍ （）如果这辆警车每行驶 的耗油量为 ，这天上午共消耗汽油多少升？ ２ １００ ｋｍ １１ Ｌ 请完成下表： １０ 已 知 计 算 比较大小 与 与 ａ ｂ ａ－ｂ ａ－ｂ ０ ａ ｂ ５ ３ ５ －３ ＝２ ５ －３ ＞０ ５ ＞３ －２ －４ ２ －３ ３ ３ ２ ４ －３ －１ －５ ２ 从上面的表中，观察两个数的大小与它们差的符号之间有何联系，你发现了 什么规律？ ２７ 有理数的加减 １．４１． 有理数的乘除 ５ 有理数的乘法 １ 我们已经学过两个正有理数相乘，以及一个正有理数与 相乘 如 ０ ． （ ） （ ） ， （ ） ＋２ × ＋３ ＝ ６ ＋２ ×０ ＝ ０． 如果两个有理数相乘，其中有负数时，应该怎么办呢？ 问题 在实验室中，用冷却的方法可将某种生物标本 ? 的温度稳定地下降，每 下降 假设现在生物标本的 １ ｍｉｎ ２℃． 温度是 ，问 后它的温度是多少？ ０℃ ３ ｍｉｎ 如果把温度下降记作“ ”，那么，由示意图 可得， － １ １２ 后生物标本的温度是 ３ ｍｉｎ －６℃． 用算式表示，有 图 １ １２ （ ） （ ） （ ） （ ） －２ ×３ ＝ －２ ＋ －２ ＋ －２ ＝－６． 类似地， （ ） （ ） （ ） － ２ × ２ ＝ － ２ ＋ － ２ ＝ － ４． （ ） － ２ × １ ＝ ． （ ） － ２ × ０ ＝ ． 如用分配律 展开［（ ） －２ ＋ ］ 或 ２ × ３ ＝ ０ ［（ ） ］ －２ ＋２ × 的左边，你 ２ ＝０ 有什么发现？ 根据上面的计算，你对一个负数乘一个正数有 什么发现？一个负数乘 呢？ ０ ２８ 第 章 有 理 数 １一般地，异号两数相乘（正数乘负数或负数乘正数），只 要把它们的绝对值相乘，符号取“ ”负数与 相乘得 － ． ０ ０． 下面通过问题 讨论两个负数相乘的情况 ２ ． 问题 在问题 的情况下，问 前、 前该种 ? １ １ ｍｉｎ ２ ｍｉｎ 生物标本的温度各是多少？ 这里，以“现在”为基准，把以后时间记作“ ”，以前时 ＋ 间记作“ ”，那么 前记作 ，观察示意图 可 － １ ｍｉｎ －１ １ １３ 得， 前生物标本的温度是 ，用算式表示，有 １ ｍｉｎ ２℃ （ ） （ ） －２ × －１ ＝ ２． 前（记作 ）生物标本的温度是 前温度的 ２ ｍｉｎ －２ １ ｍｉｎ 倍，可以写成 图 ２ １ １３ （ ） （ ） －２ × －２ ＝ ４． 类似地， （ ） （ ） －２ × －３ ＝ ． 如用分配律 展开 ［（ ） － ２ ＋ ］ （ ） ２ × － ３ ＝ ０ 或［（ ） ］ 根据上面的计算，你对两个负数相乘有什么 －２ ＋２ × （ ） 的左 发现？ － ２ ＝ ０ 边，你有什么发 现？ 一般地，两个负数相乘，只要把它们的绝对值相乘，符号 取“ ” ＋ ． 总结起来，我们可以得到下面的有理数乘法法则（ ｌａｗ ）： ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 １  任何数与 相乘仍得 ２ ０ ０ ２９ 有理数的乘除 １．５例 计算： １ （）（ ） （ ）； １ －５ × －６ （） ( ３ ) １ ； ２ － × ２ ６ （） ； ( ３ ) ( ５ ) ３ － × － ５ ３ （） （ ） ４ ８ × －１２５ ． 解 （）（ ） （ ） （ ） １ －５ × －６ ＝＋ ５ ×６ ＝ ３０． （） ( ３ ) １ ( ３ １ ) １ ２ － × ＝－ × ＝－ ． ２ ６ ２ ６ ４ （） ( ３ ) ( ５ ) ( ３ ５ ) ３ － × － ＝＋ × ＝ １． ５ ３ ５ ３ （） （ ） （ ） ４ ８ × －１２５ ＝－ ８ ×１２５ ＝－１０． 再用计算器计算，如（），（）题： １ ３ 按键顺序 显 示 ＋ ＋ ５ ／－ × ６ ／－ ＝ ３０ ３ ａｂ／ｃ ５ ＋ ／－ × ５ ａｂ／ｃ ３ ＋ ／－ ＝ １ 与小学所学的一样，如果两个有理数的乘积为 ，我们 １ 称这两个有理数互为倒数（ ） ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ． 如 ５ 是 ３ 的倒数， ３ 是 ５ 的倒数，也就是说， － － － － ３ ５ ５ ３ ３ 与 ５ 互为倒数 － － ． ５ ３ ３０ 第 章 有 理 数 １填表（想法则、写结果）： １ 因 数 因 数 积的符号 积的绝对值 积 ＋８ －６ －１０ ＋８ －９ －４ ２０ ８ 计算： ２ （ ）（ ） （ ）； （）３ ( ８ )； １ －４６ × ＋３ ２ × － ４ ９ （）( ２ ) ( ３ )； （）( ２ ) ( ３ )； ３ － × － ４ － × － ５ ４ ３ ２ （）（ ） （ ）； （）( ５ ) （ ）； ５ ＋８５ × －２ ６ － × －１２ ８ （）（ ） ； （） （ ） ７ －３８ ×０ ８ １００ × －００１  回答： ３ （）一个数与 相乘，得什么数？ （）一个数与 相乘，得什么数？ １ ＋１ ２ －１ 问题 计算： ? （）（ ） （ ） ； １ －４ ×５ × －０２５ ＝ （） （ ） （ ） （ ） ； ( ３ ) ２ － × －１６ × ＋０５ × －４ ＝ ８ （）（ ） （ ） （ ） （ ） ３ ＋２ × －８５ × －１００ ×０ × ＋９０ ＝ ． 多个有理数相乘，有一个因数为 时，积是多少？因数 ０ 都不为 时，积的符号怎样确定？ ０ 几个数相乘，有一个因数为 ，积为 ０ ０ 几个不为 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 ０  当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积 为正 ． ３１ 有理数的乘除 １．５（口答）确定下列积的符号： １ （）（ ） （ ） ； （）（ ） （ ） （ ）； １ －５ ×４ × －１ ×３ ２ －４ ×６ × －７ × －３ （）（ ） （ ） （ ）； （）（ ） （ ） （ ） （ ） ３ －１ × －１ × －１ ４ －２ × －２ × －２ × －２  计算： ２ （）（ ） （ ） （ ）； （）（ ） （ ） １ －７ × －９ × －８ ２ －８４６ ×２５ × －４  计算： ３ （） （ ） （ ） ； （）（ ） （ ） （ ） １ －８ × ＋１２ × －７ ×１３ ２ －１００ ×７２ × －５０ ×０ × －２  有理数的除法 ２ 两个有理数相除，如何进行？ 对于有理数，除法也是乘法的逆运算 根据这个关系请 ． 计算（填空）： 乘 法 除 法 （ ） （ ） （ ） （ ） ＋２ × ＋３ ＝＋６ ＋６ ÷ ＋２ ＝ （ ） （ ） ＋６ ÷ ＋３ ＝ （ ） （ ） （ ） （ ） －２ × －３ ＝＋６ ＋６ ÷ －２ ＝ （ ） （ ） ＋６ ÷ －３ ＝ （ ） （ ） （ ） （ ） －２ × ＋３ ＝－６ －６ ÷ －２ ＝ （ ） （ ） －６ ÷ ＋３ ＝ 通过上面计算，你能体会到有理数除法应如何计算吗？ 有理数的除法法则（ ）： ｌａｗ ｏｆ ｄｉｖｉｓｉｏｎ 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 １  另外， （ ） ， （ ） ０ ÷ ＋５ ＝ ０ ÷ －５ ＝  除以一个不为 的数仍得 不能做除数 ２ ０ ０ ０ ０  ３２ 第 章 有 理 数 １填表（想法则、写结果）： 被除数 除 数 商的符号 商的绝对值 商 －２７ ＋９ ＋７５ ＋２５ ＋１０ －１０ ７ ７ － － ２ ４ （）小学里做分数运算时，怎样将除法转化为 １ 乘法？ （）有理数的除法也可以转化为乘法吗？ ２ 把你的看法与同学交流 ． 和小学里做运算一样，有理数除法也可转化为乘法： 除以一个不为 的数，等于乘以这个数的倒数 ０  例 计算： ２ （）（ ） ； （） ( ２ ) ( ３０) １ －８ ÷ － ２ － ÷１０． ３ ７ 解 （）（ ） ( ２ ) （ ） ( ３ ) １ －８ ÷ － ＝ －８ × － ＝ １２． ３ ２ （） ( ３０) ( ３０) １ ３ ２ － ÷１０ ＝ － × ＝－ ． ７ ７ １０ ７ ３３ 有理数的乘除 １．５写出下列各数的倒数： １ ２ ， ， ， ， － ０２５ －６ １ －１． ３ 判断正误： ２ （） 没有倒数 （ ） １ ０ ． （）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数 （ ） ２ ． 计算： ３ （ ） ( ３ ) ( １ )； （）( ５ ) （ ）； １ － ÷ － ２ ＋ ÷ －５ ４ ４ ８ （） ( １１)； （）（ ） （ ）； ３ ０ ÷ － ４ －４２ ÷ ＋６ ６ （）( ３６) ； （）（ ） ( １６)； ５ － ÷６ ６ －８ ÷ － ７ ５ （）（ ） （ ）； （）（ ） ５ ； ７ －２ ÷ －４ ８ －０７５ ÷ ４ （）（ ） ( １ )； （ ） ( １ ) ９ －１ ÷ － １０ ２ ÷ － ． ３ ２ 乘、除混合运算 ３ 例 计算： ３ （） （ ） （ ）； ( ５ ) １ － ÷ －５ × －２ ２ （）（ ） （ ） ( ６ ) ２ －６ ÷ －４ ÷ － ． ５ 解 （） ( ５ ) （ ） （ ） １ － ÷ －５ × －２ ２ （ ） ( ５ ) ( １ ) ＝ － × － × －２ ２ ５ ＝－１． （）（ ） （ ） ( ６ ) ２ －６ ÷ －４ ÷ － ５ ３４ 第 章 有 理 数 １（ ） ( １ ) ( ５ ) ＝ －６ × － × － ４ ６ ５ ＝－ ． ４ 例 计算： ４ （）３ １ ( ４ ) ２ ( ５ ) ； １ ＋ ÷ － － × － ４ ５ ５ ５ ４ （） （ ） ( ５ ) ２ －５ ＋ １ －０２ × ÷ －２ ． ３ 解 （）３ １ ( ４ ) ２ ( ５ ) １ ＋ ÷ － － × － ４ ５ ５ ５ ４ ３ １ ( ５ ) ２ ( ５ ) ＝ ＋ × － － × － ４ ５ ４ ５ ４ ３ １ １ ＝ － ＋ ４ ４ ２ ＝ １． （） （ ） ( ５ ) ２ －５ ＋ １ －０２ × ÷ －２ ３ （ ） ( １ ) ＝－５ ＋ １ － ÷ －２ ３ ２ ( １ ) ＝－５ ＋ × － ３ ２ １ ＝－５ － ３ １６ ＝－ ． ３ 从这里可以看到：有理数乘、除的混合运算，可统一化 为乘法运算 ． 含加、减、乘、除的算式，如没有括号，应先做乘除运 算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算 ． ３５ 有理数的乘除 １．５在小学学习时，我们知道乘法有三条运算律，即 乘法交换律： ａｂ ＝ｂａ． 乘法结合律：（ ） （ ） ａｂ ｃ ＝ａ ｂｃ ． 分配律（ ）： （ ） ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｗ ａ ｂ ＋ｃ ＝ａｂ ＋ａｃ． 引入负数后，这三条运算律也同样适用，即这里的 ，， ａ ｂ 可以表示任何有理数 ｃ ． 运用这些运算律，有时可以简化计算 ． 例 计算： ５ （） （ ）； ( １ １ １ ) １ ＋ － × －１２ ４ ６ ２ （）（ ） （ ） （ ） ２ －０１ × －１００ ×００１ × －１０ ． 解 （） ( １ １ １ ) （ ） １ ＋ － × －１２ ４ ６ ２ １ （ ） １ （ ） １ （ ） ＝ × －１２ ＋ × －１２ － × －１２ ４ ６ ２ （分配律） ＝－３ －２ ＋６ ＝ １． （）（ ） （ ） （ ） ２ －０１ × －１００ ×００１ × －１０ （ ） （乘法符号法则） ＝－ ０１ ×１００ ×００１ ×１０ ［（ ） （ ）］ ＝－ ０１ ×１０ × ００１ ×１００ （乘法交换律、结合律） ＝－１． 计算： １． （）( ８１) （ ）； （） ( ７ ) ( ３ ) １ － ×１２５ × －８ ２ －３５ ÷ － × － ． ２０ ８ ４ ３６ 第 章 有 理 数 １计算： ２ （）( ７ ５ ３ ７ ) ； １ － ＋ － ×３６ ９ ６ ４ １８ （）( ５ ) ( ９ ) ( ３１) ２ ２ － × － × － × ． ３１ ２ １５ ９ 探空气球的气象观测统计资料表明，高度每增加 ，气 ３ １ ｋｍ 温降低大约 现在地面气温是 ，那么 高空 ６℃． ２１℃ １０ ｋｍ 处的气温约是多少摄氏度？ （第３ 题） 习题 １． ５ 计算： １ （）（ ） （ ）； （） （ ）； １ － ８ × ＋１ ２ ５ ２ ０ × －１９１９ （）（ ） ( １ ) ； （） ( ８ ) ( ８ ) ３ ＋０００２ × － ４ ＋ × －  ５００ ３ ３ 计算： ２ （）（ ） （ ） （ ）； （） ( ７ ) ( ８ ) １ －３ × －４ × －５ ２ － ×１５ × －  ８ ７ 计算： ３ （）（ ） （ ）； （） （ ）； １ －１ × ２ －５ ２ ８ －３ × ４ －６ （） ( ３ ) ( ２ ４ ) ； （）（ ） ( ５ ) （ ） １ ３ － × －８ ＋ － ４ －１２ × － ＋ －２４ × ． ４ ３ ３ ８ １２ 计算： ４ （） ( ４ ) ( ３ ) ； （） ( ３ ) ( ３ ) ； １ － ÷ － ２ － ÷ － ３ ４ ５ ５ （）（ ） （ ）； （）（ ） （ ）； ３ ＋１８４ ÷ －０５ ４ －０２５ ÷ －４ （） （ ）； （）（ ） ４５ ５ ０ ÷ －１８５０ ６ －０７５ ÷  ８ 计算： ５ （） （ ） ５ ； （）（ ） （ ） ； １ －６ ÷ －０２５ × ２ －１７ × －９ ×０ ×３７ ６ （）（ ） ( ３ ５ １１ ７ ) ； （） （ ） （ ） ３ －６０ × ＋ － － ４ －９ × －１１ －１２ × －８  ４ ６ １５ １２ ３７ 有理数的乘除 １．５计算： ６ （） [ (１８ )] ；（） ( １ ３ ) [ ５ ( ５ )] ； １ １ －０２ × －３ －４ × －５３ ２ － × ＋ － ５ ２０ ４ ７ １４ ｛ ｝ （） ２２ (２２ ４ ) ７ ( ２２) ； （） ［ （ ）］ ３ － × － × ÷ － ４ ４ － １２ ＋４ × ３ －１０ ÷５． ７ ７ ３ ２２ ２１ 在下面括号内填上适当的数： ７． （）（ ） （ ） ； （）（ ） （ ） ； １ －５ ＋ ＝１ ２ －５ － ＝１ （）（ ） （ ） ； （）（ ） （ ） ３ －５ × ＝１ ４ －５ ÷ ＝１． 翻 币 问 题 金质纪念币的正面、反面如图 所示 １ １４ ． 如果桌上有 枚金质纪念币，正面全部向上 现在让你做一 ３ ． 个游戏：每次将其中 枚同时翻转，问：能否经过若干次翻转，使 ２ 枚纪念币的反面全部向上？ ３ 先动手做一做，看有没有可能 如果不可能，又如何说明其中 ． 的道理？ 这个实际问题怎样转化为数学问题呢？ 在每枚金币的正面上写个 ，反面上写个 每翻转一次 ＋１ －１． 就相当于把原来向上一面上的数字乘 －１． 研究 枚金币向上一面上的 个数的积，把这个积记作 ３ ３ ｓ． 当 枚金币都是正面向上时，有 ３ （ ） （ ） （ ） ｓ ＝ ＋１ × ＋１ × ＋１ ＝＋１． 如果每次同时翻转 枚，多试几次，看能不能使 枚金币反面 ２ ３ 都向上，即得到 （ ） （ ） （ ） ｓ ＝ －１ × －１ × －１ ＝－１． 图 １ １４ 为什么得不到？请与同伴们交流，看谁能说清其中道理 ． 如果金币有 枚，每次翻转 枚，能不能使正面全部向上变为 ６ ３ 反面全部向上？ ３８ 第 章 有 理 数 １１． 有理数的乘方 ６ 如图 （），边长为 的正方形，它的面积是 １ １５ １ ５ ５ ×５ ＝ ， 可记作 ２５ ５ ×５ ５２． 如图 （），棱长为 的正方体，它的体积是 １ １５ ２ ２ ２ ×２ × ， 可记作 ２ ＝ ８ ２ ×２ ×２ ２３． 一般地， 个相同的因数 相乘，记作 ，即 ｎ ａ ａｎ 这种求 个相同因数的积的运算叫做乘方 乘方的结果 ｎ ． 叫做幂（ ） 图 １ １５ ｐｏｗｅｒ ． 在乘方运算 中， 叫做底数（ ）， 叫做 ａｎ ａ ｂａｓｅ ｎｕｍｂｅｒ ｎ ａ 的幂的指数，简称指数（ ） 既表示 个 相乘，又 ｅｘｐｏｎｅｎｔ ．ａｎ ｎ ａ 表示 个 相乘的结果 因此 可读作 的 次方，或 的 ｎ ａ ． ａｎ ａ ｎ ａ 次幂（图 ） ｎ １ １６ ． 例如，在幂 中，底数是 ，指数是 ， 读作 的 次 ５２ ５ ２ ５２ ５ ２ 方（或 的平方）或 的 次幂 读作 的 次方（或 的 ５ ５ ２ ２３ ２ ３ ２ 立方）或 的 次幂 ２ ３ ． 图 １ １６ 一个数的一次方，就是这个数本身，例如 就是 ，指数 ６１ ６ 通常省略不写 １ ． 例 计算： １ （）（ ）； （）（ ） １ －４ ３ ２ －２ ４． 解 （）（ ） （ ） （ ） （ ） １ －４ ３ ＝ －４ × －４ × －４ ＝ ． （）（ ） ２ －２ ４ ＝ ＝ ． 用计算器直接按下列顺序计算： ３９ 有理数的乘方 １．６按键顺序 显 示 ４ ＋ ／－ ｙｘ ３ ＝ －６４ ２ ＋ ／－ ｙｘ ４ ＝ １６ 乘方运算实际上就是乘法运算，根据有理数的乘法法 则，可得乘方运算的法则： 非 有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是： ０ 正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数 的偶次乘方取正号  在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，一 般应按下列顺序进行： 先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的 运算  例 计算： ２ （） （ ） （ ） （ ）； １ －１０ ＋８ ÷ －２ ２ － －４ × －３ （） ( ９ ) ( ５ )２ ( ３ ) [( １ )３ １ ] ２ － × － ＋ － ÷ － － ． ５ ３ ８ ２ ４ 解 （） （ ） （ ） （ ） １ －１０ ＋８ ÷ －２ ２ － －４ × －３ ＝ －１０ ＋８ ÷４ －４ ×３ ＝ －１０ ＋２ －１２ ＝ －２０． （） ( ９ ) ( ５ )２ ( ３ ) [( １ )３ １ ] ２ － × － ＋ － ÷ － － ５ ３ ８ ２ ４ ( ９ ) ２５ ( ３ ) [( １ ) １ ] ＝ － × ＋ － ÷ － － ５ ９ ８ ８ ４ ( ９ ) ２５ ( ３ ) ( ３ ) ＝ － × ＋ － ÷ － ５ ９ ８ ８ ＝ －５ ＋１ ＝－４． ４０ 第 章 有 理 数 １拉面师傅制作拉面时，按对折、拉 伸的步骤，重复多次，如图 １ １７． （）先用乘法计算拉 次得到的 １ １２ 面条数，再改用计算器计算，这两种方 法哪种算得快？ （）如果拉面师傅每次拉伸面条 ２ 的长度为 ，那么拉 次后，得到 ０８ ｍ １２ 图 １ １７ 的面条总长是多少米？ 举出用乘方计算的实例 １ ． 填空： ２ （）在 中，底数是 ，指数是 ； １ ７４ （）在( １ )５ 中，底数是 ，指数是 ２ － ． ２ 计算（先确定符号，再算结果）： ３ （）（ ）； （） （ ）； １ －１５ ２ ２ ４ × －２ ３ （） （ ）； （）（ ） （ ） ３ － －２ ４ ４ －２ ３ × －２ ２ 计算： ４ （） （ ） （ ）； １ －２３ －３ × －１ ３ － －１ ４ （ ２ ）（ －２ ） ３ ÷ ４ × ( － ２ )２ ． ９ ３ 在日常生活中，常会接触到一些比较大的数，如长江三 峡水库容量达 ；光在空气中传播的速度大 ３９３０００００ ０００ ｍ３ ４１ 有理数的乘方 １．６约是 （图 ） ３００００００００ ｍ／ｓ １ １８ ． 这些较大的数，像上面的写法，写起来既麻烦又容易出 错，于是人们想出如下的简洁方法来表示它们 ． 一种方法是用更大的数量级来表示： 如将 表示为 亿 ３９３００００００００ ３９３ ． 另一种方法是，由于 的正整数次幂有如下特点： １０ ， ， ， ，…，因 １０１ ＝１０ １０２ ＝１００ １０３ ＝１０００ １０４ ＝１００００ 而，也可用 的幂来表示上述大数，例如： １０ ， ３９３００００００００ ＝ ３９３ ×１００００００００００ ＝ ３９３ ×１０１０ ３００００００００ ＝ ３ ×１００００００００ ＝ ３ ×１０８． 一般地，一个绝对值大于 的数都可记成 的 １０ ±ａ ×１０ｎ 形式，其中 ， 等于原数的整数位数减 １ ≤ ａ ＜ １０ ｎ １． 图 １ １８ 图 １ １９ 哪种写法好 这种记数方法，在科学技术方面是常用的，习惯上把它 叫做科学记数法（ ） ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｎｏｔａｔｉｏｎ ． 例 资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约 ３ 万公顷的速度从地球上消失，每年森林的消失量用科 １３００ 学记数法表示应是多少公顷？ 解 万 １３００ ＝ １３００００００ ＝ １３ ×１０７． 因此，每年森林的消失量用科学记数法表示应是 １３ ×１０７ ｈｍ２． ４２ 第 章 有 理 数 １用科学记数法表示下列各数： １ ， ， ， １００００ ８０００００ ５６００００００ ７４０００００． 下列用科学记数法表示的数原来各是什么数？ ２ ， ， ， １ ×１０７ ４ ×１０３ ８５ ×１０６ ７０４ ×１０５． 我国水稻育种专家于 年培育出杂交水稻，到 年时，全国累计种植杂交水稻 ３ １９７６ ２００６ 面积达 ，累计生产稻谷达 亿千克 用科学记数法表示上述有关稻 ３７３００００ ｈｍ２ ５ ２００ ． 谷的数据  目前我国水土流失问题仍很严重 每年全国土壤流失总量高达 亿吨，其中长江流域 ４ ． ５０ 年土壤流失量为 亿吨，黄河流域仅黄土高原区域每年就流失 亿吨 用科学记数 ２４ １６ ． 法表示上述数据 ． 习题 １． ６ 计算： １ （） （ ） （ ）； １ －２４ － ４ －６ ２ －１２ × －２ ２ （） ５ （ ） （ ） （ ）； ２ － × －４ ２ －０２５ × －５ × －４ ３ ８ （） （ ） （ ）； ３ ７ ×１０２ ＋６ × －１ ２ －８ × －１ ３ （）［ （ ）］ （ ） ［（ ） （ ） ］； ４ ０ － －３ × －６ －１２ ÷ －３ ＋ －１５ ÷５ （）（ ） （ ）； ５ －２ ３ × －３ ２ （） （ ） （ ）； ６ －２ ×０１３ ＋ －０２ ２ × －０８ （ ７ ） － ３ × [ －３２ × ( － ２ )３ －２ ]  ２ ３ 当 时，判断下列各式是否成立： ２ ａ ＝－２ （） （ ）； （） （ ）； １ ａ ２ ＝ － ａ ２ ２ ａ３ ＝ －ａ ３ （） ； （） ３ －ａ２ ＝ ｜ －ａ２ ｜ ４ ａ３ ＝ ｜ ａ３ ｜  天有 ，一年如果以 天计，共有多少秒？ ３ １ ８６４ ×１０４ ｓ ３６５ ４３ 有理数的乘方 １．６用科学记数法表示下列各数： ４ （） ； （） ； １ ３０４０００ ２ ８７０００００ （） ； （） ３ ５００９０００００ ４ ６３００００００． 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ５ （） ； （） １ ９６ ×１０５ ２ ６０３ ×１０８ 用科学记数法表示下列各数： ６ （）地球的半径约为 ； １ ６４０００００ ｍ （）青藏铁路从青海西宁到西藏拉萨的铁路全长约 ； ２ １９５５０００ ｍ （）长江每年流入大海的淡水约是 亿立方米； ３ １０００ （）地球上已发现的生物约 种； ４ １７０００００ （）太平洋西部的马里亚纳海沟在海平面下约 处； ５ １１ ０００ ｍ （）我国总人口（未包括台湾、香港、澳门） 年底约达 人 ６ ２０１０ １３４０００００００ ． 填空： ７ （）一种电子计算机每秒可做 次计算，也就是说它每秒可做 万次 １ ４ ×１０７ 计算； （）一期国债发行了 元，也就是发行了 亿元； ２ ６ ×１０１０ （）我国香港特别行政区的陆地面积约为 ，也就是约为 ３ １１ ×１０９ ｍ２ ｋｍ２． ４４ 第 章 有 理 数 １１． 近 似 数 ７ 数一数今天班上的同学数 １ ． 查一查你的数学课本的页数 ２ ． 量一量数学课本的宽度 ３ ． 称一称你的书包的质量 ４ ． 在上面的操作中得到的数据，哪些是精确的？ 哪些是近似的？ 在上述“操作”中，操作 和 的数据由计数得来，是准 １ ２ 确数 操作 和 的数据由测量得来，由于受测量工具、测量 ． ３ ４ 方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实 际数值很接近的数，我们称此数为近似数（ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ）如图 ，测量数学课本的宽度，图（）是用只有 ｎｕｍｂｅｒ ． １ ２１ １ 图 １ ２０ 图 １ ２１ ４５ 近 似 数 １．７厘米刻度的尺去测量，得宽度约 ，图（）是用有毫米 １８４ ｃｍ ２ 刻度的尺去测量，得宽度约 １８４３ ｃｍ． 这里得到的 ， 都是数学课本宽度的近 １８４ ｃｍ １８４３ ｃｍ 似值 ． 近似值与它的准确值的差，叫做误差（ ），即 ｅｒｒｏｒ 误差 近似值 准确值 ＝ － ． 误差可能是正数，也可能是负数 误差的绝对值越小，近 ． 似值就越接近准确值，也就是近似程度越高 ． 近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示 前 ． 面测得数学课本宽度值 ， 都是近似数 １８ ４ ｃｍ １８ ４３ ｃｍ ． 是精确到个位（或者说精确到 ）的近似数（测量 １８ ｃｍ １ ｃｍ 时，尺上只读到厘米刻度数，小于 的刻度数略去）， １ ｃｍ 是精确到十分位（或者说精确到 ）的近似 １８ ４ ｃｍ ０ １ ｃｍ 数（在尺上，读到毫米刻度数）近似数一般由四舍五入法 ． 取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那 一位 ． 除了测量会得到近似数外，在计数、计算等许多情况下， 有时很难取得准确数，有时不必使用准确数，这时，就可以使 用近似数 例如，在涉及有关圆的周长或面积计算时，遇到 ． ，常取 又如黄山的最高峰———莲花峰海拔 π π ≈ ３１４． 在向游客介绍时，说是约 ，或约 ，都 １８６７ ｍ． １ ９００ ｍ １８７０ ｍ 是可以的 ． 图 １ ２２ 例 十一期间，某商场准备对商品作打 折(即８ )促 １ ８ １０ 销 一种原价为 元的微波炉，打折后，如果要求精确 ． ３４８ 到元，定价是多少？如果要求精确到 元，定价又是 １０ 多少？ 解 这种微波炉打 折后的价格为 ８ ８ （元） ３４８ × ＝ ２７８４ ． １０ ４６ 第 章 有 理 数 １要求精确到元的定价为 元；精确到 元的定价为 ２７８ １０ 元 ２．８ ×１０２ ． 例 据 年上海世博会官方统计， 年 月 ２ ２０１０ ２０１０ ５ １ 日到 月 日期间，共有 万人次入园参观，求每 １０ ３１ ７ ３０８．４４ 天的平均入园人次（精确到 万人次） ０．０１ ． 解 从 月 日到 月 日共有 天，所以每天的 ５ １ １０ ３１ １８４ 平均入园人次为 （万人次） ７３０８．４４ ÷ １８４ ≈３９．７１９ ≈３９．７２ ． 例 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪 ３ 一位？ （） ； （） ； １ ４８３ ２ ００３０ ８６ （） 万； （） ３ ２４０ ４ ６５ ×１０４． 解 （） ，精确到十分位 １ ４８３ ． （） ，精确到十万分位（或精确到 ） ２ ００３０８６ ０００００１ ． （） 万，精确到百位 ３ ２４０ ． （） ，精确到千位 ４ ６５ ×１０４ ． 下列各题中的数据，哪些是准确的？哪些是近似的？ １ （）小芳班上有 人； １ ４５ （）我国有 个民族； ２ ５６ （）我国人工造林的保存面积居世界首位，目前已达 万公顷； ３ ６２００ （）举世瞩目的西气东输工程全长 ４ ４０００ ｋｍ． 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值： ２ （） （精确到千分位）； （） （精确到十分位）； １ ０８５１４９ ２ ４９９６ （） （精确到 ）； （） （精确到千位） ３ １５９７ ２ ００１ ４ ３７ ２５０ ． ４７ 近 似 数 １．７习题 １． ７ 下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？ １ （）小强的身高为 ； １ １６０ ｍ （） 年底我国高速公路里程约为 ； ２ ２０１０ ７４１ ×１０７ ｍ （）我国的陆地面积为 ； ３ ９６ ×１０６ ｋｍ２ （）京九铁路线北起北京，南达香港九龙，全长为 ４ ２５ ×１０６ ｍ 用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似值： ２ （） （精确到 ）； １ ５４０７２ ００１ （） （精确到千分位） ２ ０７０９６ ． 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ ３ （） ； （） ； （） 亿； （） １ ２５７ ２ ０００４０７ ３ １３ ４ ２５０ ×１０４ 如图，应用激光技术测得地球和月球之间的距离为 ４ ，请按下列要求分别取这个数的近似数： ３７７９８５６５４３２ ｍ （）精确到千位； １ （）精确到千万位； ２ （）精确到亿位 ３ ． 张军和李明今年都是 岁，那么他们一样大吗？怎样比 ５ １３ 较他们的大小 ． 下列每题中表示同一个数的两个近似值，它们表示的意思 ６ 是否相同？说明理由 ． （第４ 题） （） 万， 万； （） ， １ ２４０ ２４ ２ １０ ×１０１３ １ ×１０１３． 负 数 负数，在我国最早出现在《九章算术》一书中 《九章算术》是 ． 我国古代数学里最重要的一部著作，在该书“方程”一章中引进了 负数，并提出了“正负术”，即正负数加减运算法则 ． ４８ 第 章 有 理 数 １公元 世纪魏晋时数学家刘徽，于公元 年撰写了《九章 ３ ２６３ 算术注》，在这部著作中刘徽对负数的出现作了很自然的解释： “两算得失相反，要令正、负以名之 ”这句话实质上给出了正、负 ． 数的定义 刘徽还对当时用算筹（小竹棒，当时的计算工具）作计 ． 算时如何表示作出规定：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异 ”就 ． 是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹 如果只有同色算筹的 ． 话，则遇到正数将筹放正，负数将筹放邪（同斜）宋代以后出现笔 ． 算也相应地用红色和黑色数字以区别正数、负数 后来由于黑色 ． 图 １ ２３ 刘徽 成了主要书写色，才演变成用黑色数字表示收入，红色数字表示 支出 今天人们还常用“财政赤字”来表示财政的亏空 ． ． 关于正负数的加减运算法则，《九章算术》中已有着明确规 定 正负数乘除法则，元代朱世杰于《算学启蒙》（ 年）中作出 ． １２９９ 了规定：“同名相乘为正，异名相乘为负”、“同名相除所得为正，异 名相除所得为负”因此最迟于 世纪末，我国对有理数四则运 ． １３ 算法则已全面作了总结 ． 在国外， 世纪的印度数学家也开始使用负数 在欧洲对负数 ７ ． 的认识却进展缓慢，直到 世纪在韦达的著作中还回避使用负数 １６ ． 图 １ ２４ 刘徽《九章算术注》书影 ４９ 近 似 数 １．７一、内容整理 二、主要知识回顾 整数与分数统称有理数 有理数又常按以下方式分类： １． ． 正有理数 { 有理数 ０ 负有理数 有理数是有序的，可以比较大小 在数轴上，右边的点所表示的数比左 ２． ． 边的点所表示的数大 ． ５０ 第 章 有 理 数 １有理数运算 ３． （）运算法则 １ 两数同号 两数异号 两数中 运 算 一个为 符 号 绝 对 值 符 号 绝 对 值 ０ 加法 乘法 减法可化为加法：减去一个数，等于加上 ． 除法可化为乘法：除以一个不为 的数，等于乘以 ０ ． 乘方即为乘法：是相同因数的乘法 ． （）运算律 ２ 设 ， ， 是任意有理数，用式子表示下面运算律： ａ ｂ ｃ 运 算 加 法 乘 法 交换律 结合律 分配律 （）运算顺序 ３ 先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算 ． 三、自评与互评 引进负数解决了什么问题？谈谈你的看法 １． ． 举例说明有理数的运算（加、减、乘、除）与小学学习的同样运算的不同 ２． 之处 ． 如果你是老师，你准备以什么具体问题向学生解释算式 ３． ２ －３ ＝－１． 把你的想法和同学们交流 ． 从特殊到一般是数学发现中常用的方法，在本章的学习中也多次用到 ４． 这种方法，请举例说明 ． 数轴是研究数学问题的重要工具，结合本章学习谈谈数轴是如何帮助 ５． 你理解所学知识的 ． ５１ 小结·评价判断正误： １ （）有理数分为正数和负数 （ ） １ ． （） 一定表示负数 （ ） ２ －ａ ． （） （ ） ３ －｜ －２ ｜ ＝２． （）（ ） （ ） ４ －３ ３０ ＞０． 报纸上常出现进出口贸易“顺差”和“逆差”，查一查资料，说一说它们的含义 ２ ． 将下列各数表示在数轴上，并从小到大用“ ”号把它们连接起来： ３ ＜ ， ， ， ， ， ， ， －４ ０ －１５ １ －０５ －６ ＋７ ２５． 比较下列各组数的大小： ４ （） （ ）与 ； １ － ＋ ０ １６ －｜ － ０ １６１ ｜ （） （ ）与 ； ２ － －１５ １５ （） 与 １ ； ３ －０３３３ － ３ （） 与 ４ ｜－９ ｜ －｜＋９ ｜  （）在数轴上到原点距离等于 个单位长度的点表示什么数？ ５ １ ６ （）求满足等式 的 值 ２ ｜ ｘ ｜ ＝ ｜ －５ ｜ ｘ ． 计算： ６ （）（ ） ； （）（ ） （ ）； １ －１０ ＋８ ２ －１３ ＋ －３０ （）（ ） ； （）（ ） （ ）； ３ －１５ －２１ ４ －１３ － －７ （）（ ） （ ）； （） （ ）； ５ －３２ － －３２ ６ ２５ － －２５ （） ( ２ ) ( ５ ) ； （）（ ） ； ７ － × － ８ －１１ ×１２ ５ ２ （）（ ） ； （ ）（ ） （ ）； ９ －９１ ÷１３ １０ －４８ ÷ －１６ （ ） ( １ ) ( ４ ) ； （ ） （ ） １１ － ÷ － １２ ２５ ÷ －５  ３ ３ 判断正误： ７ （）两个数的积是正数，这两个数都是正数 （ ） １ ． （）负数的任何次方都是负数 （ ） ２ ． ５２ 第 章 有 理 数 １计算： ８ （） ； １ ７３ －８２ ＋５１ －１２ （） ［ （ ）］； ２ １５ － １ － －１０ －４ （） ２ ( １ ) ( １ ) １ ； ３ － ＋ － － － － ３ ６ ４ ２ （） ( １ ２ ３ ) ( ３ ) ； ４ － － ÷ － ２ ５ １０ ５ （） ５ ( ２ ) １０； ５ － × ０．５ － ÷ ３ ３ ９ （） ( ２ ) ( ３ ) （ ）； ６ ４２ × － ＋ － ÷ －０．２５ ３ ４ （）（ ） （ ） （ ） ； ７ －５６ ÷ －１２ ＋８ ＋ －２ ×５ （） （ ） （ ） ８ －３２ － －２ ２ ＋ －３ ３ －２３． 填空： ９ （）截至 年底，我国已建立的自然保护区总面积为 万公顷，用科学记数 １ ２０１０ １４９４４ 法表示应为 ； ｈｍ２ （）截至 年底，我国手机用户达到 亿户 用科学记数法表示应为 户 ２ ２０１０ ８５９ ． ． 用四舍五入法对下列各数按要求取近似值： １０ （） ， （精确到十位）； １ １２１７ ８６０４００ （） ， （精确到百分位） ２ ３４０１７ ９２５９８ ． 某冷冻厂的一个冷库的温度是 ，现有一批食品需要在 下冷藏，如果 １１ －２℃ －２８℃ 每时能降温 ，问经过多长时间能降到所要求的温度？ ４℃ 某商店出售的一种袋装大米，在包装袋上标有： （ ） （ ） 问： １２ ２５ ｋｇ ±０２５ ｋｇ ． （） （ ）是什么意思？ １ ±０２５ ｋｇ （）这袋大米最多有多重？最少有多重？ ２ 学校开运动会选拔男仪仗队员 身高以 为基准，高于基准记为正，低于基 １３ ． １７５ ｃｍ 准记为负 现有参选队员 人，量得他们的身高后，分别记为 ， ， ． ５ －５ ｃｍ －３ ｃｍ ， ， 如果实际选拔男仪仗队员的身高标准为 （包括 －１ ｃｍ ２ ｃｍ ３ ｃｍ． １７３ ～１７７ ｃｍ 和 ），那么上述 人中有几人可入选？ １７３ ｃｍ １７７ ｃｍ ５ ５３ 小结·评价有理数 ， 表示在数轴上得到点 ， ，我们就把 ， 叫做 ， 的一维 １ ｘ ｘ Ａ Ａ ｘ ｘ Ａ Ａ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 坐标 一般地，称 为点 与点 之间的距离 如果 ， 分别取下面 ． ｜ ｘ －ｘ ｜ Ａ Ａ ． ｘ ｘ ２ １ １ ２ １ ２ 各组的值，试求 的值 ｜ ｘ －ｘ ｜ ． ２ １ （） ， ； （） ， ； １ ｘ ＝ ５ ｘ ＝ ２ ２ ｘ ＝ ２ ｘ ＝－５ １ ２ １ ２ （） ， ； （） ， ３ ｘ ＝ ６ ｘ ＝－３ ４ ｘ ＝－３ ｘ ＝－６ １ ２ １ ２ （ ） （ ） 是正整数，求 ＋１ ｎ ＋ －１ ｎ 的值 ２ ｎ ． ２ 计算： ３ （） … ； １ １ －２ ＋３ －４ ＋５ －６ ＋ ＋９９ －１００ （） … ； ２ １ －２ ＋３ －４ ＋５ －６ ＋ ＋９９ －１００ ＋１０１ （） … （ ） （ 为正整数） ３ １ －２ ＋３ －４ ＋５ －６ ＋ ＋ －１ ｎ＋１ｎ ｎ ． ５４ 第 章 有 理 数 １整式加减 代数式 ２．１ 整式加减 ２．２ ， RSTUVWXTYZ[\]’-* ^[_‘\] ， ？ .abcdef.*ghi 6jab‘kjlm D2 ？ 3nopqrFQ !"0’(1+23425678． ５５ 小结·评价２． 代 数 式 １ 用字母表示数 １． 问题 年 月 日，我国成功发射了“神舟七 ? ２００８ ９ ２５ 号”载人飞船 它在椭圆形轨道上环绕地球飞过 周，历时 ． ４５ 约 试求： ６８ ｈ． （）该飞船绕地球飞行一周约需 （精确到 图 ２ １ １ ｍｉｎ ）； １ ｍｉｎ （）该飞船绕地球飞行 周约需 ２ ｎ ｍｉｎ． 问题 能被 整除的整数叫做偶数（ ），不 ? ２ ｅｖｅｎ ｉｎｔｅｇｅｒ 能被 整除的整数叫做奇数（ ） ２ ｏｄｄ ｉｎｔｅｇｅｒ ． 设 表示任意一个整数，用含有 的式子表示： ｋ ｋ （）任意一个偶数： ； １ （）任意一个奇数： ２ ． 图 ２ ２ ５６ 第 章 整式加减 ２问题 如图 ，月历中用长方形框任意框出的 个 ? ２ ２ ３ 数 之间的关系是 （请用一个等式表示 这个关系） ． 从上面例子可以看出：用字母表示数，可以把一些数量 关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使所 得式子反映的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带 来方便 ． 用所给字母表示有关图形的周长和面积的计算公式： １ 用字母表示公式 名 称 图 形 周长（） 面积（） Ｃ Ｓ 正方形 Ｃ＝４ａ Ｓ＝ａ２ 三角形 梯 形 圆 填空： ２ （）甲、乙两地相距 ，一辆汽车以 的平均速度从甲地到乙地，走完全程共 １ ｓｋｍ ｖ ｋｍ／ｈ 需 ； ｈ ５７ 代 数 式 ２．１（）把 盐放进 水中全部溶化得到盐水，这时盐水含盐的百分率为 ； ２ ａ ｇ ｂ ｇ （）棱长为 的正方体，它的体积为 ； ３ ａ ｃｍ ｃｍ３ （）圆锥的底面半径为 ，高为 ，它的体积为 ４ ｒｍ ｈｍ ｍ３． 填空： ３． （）如果 ， 互为相反数，那么 ； １ ａ ｂ ａ ＋ｂ ＝ （）用字母表示有理数减法法则： ２ ． 判断正误： ４． （）如果 ， 是任意数， ，那么 （ ） １ ａ ｂ ａ ＝ ｂ ｜ ａ ｜ ＝｜ － ｂ ｜． （）如果 ， 是任意数， ，那么 （ ） ２ ａ ｂ ａ ＞ ｂ ｜ ａ ｜ ＞｜ ｂ ｜． 代数式 ２． 在前面，出现了 ， ， ， ， ，ｓ ，１ ９１ｎ ａ ＋ｂ ２ｋ －１ ４ａ ａ２ πｒ２ｈ ｖ ３ 等，像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数 的字母连接而成的式子，叫做代数式（ ） ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ． 单个的数或字母也是代数式 ． 在代数式中： （）如果出现乘号，可写成“·”或不写 数字与字母相 １ ． 乘时，数字写在字母前，如 写成 字母与字母相乘 ９１ ×ｎ ９１ｎ． 时，相同字母写成幂的形式，如 · 写成 数字与数字相 ａ ａ ａ２． 乘时，“ ”号不能省 × ． （）如果式中出现除法，一般写成分数形式，如 写 ２ ｓ ÷ｖ 成 ｓ ． ｖ 在今后的学习中，为解决问题常需先把问题中的一些数量 关系用代数式表示出来，也就是列出代数式 ． 例 设甲数为 ，乙数为 ，用代数式表示： １ ａ ｂ （）甲数的 倍与乙数的一半的差； １ ３ ５８ 第 章 整式加减 ２（）甲、乙两数和的平方 ２ ． 解 （） １ （）（ ） １ ３ａ － ｂ． ２ ａ ＋ ｂ ２． ２ 例 填空： ２ （）某商店上月收入 元，本月收入比上月的 倍还多 １ ｘ ２ 万元，该商店本月收入为 元； ５ （）一件 元的衬衫，降价 后，价格为 元； ２ ａ １０％ （）含盐 的盐水 ，在其中加入盐 后，盐水 ３ １０％ ８００ ｇ ａ ｇ 含盐的百分率为 ． 解 （）（ ） １ ２ｘ ＋５００００ ． （）（ ） ２ １ －１０％ ａ． （）８００ × １０％ ＋ ａ ８０ ＋ ａ ３ × １００％ ＝ × １００％． ８００ ＋ ａ ８００ ＋ ａ 填空： １ （）甲数比乙数的 倍多 ，设乙数为 ，则甲数为 ； １ ２ ４ ｘ （）甲数除以乙数得商为 ，设甲数为 ，则乙数为 ２ １０ ｙ ． 填空： ２ （） 支铅笔售价 元， 支这种铅笔的售价是 元； １ ｍ １０ ｎ （）苹果每千克售价 元，买 以上 折优惠 现买 ，应付 元 ２ ｐ ５ ｋｇ ９ ． １５ ｋｇ ． 用代数式表示： ３ （） 的相反数； １ －ａ （） ， 两数平方的和 ２ ａ ｂ ． 用代数式表示： ４ （）一桶含盐 的盐水的质量为 ，则这桶盐水中水的质量为多少？ １ ｐ％ ｍ ｋｇ （）某超市里的矿泉水进价每瓶为 元，零售时每瓶要加价 ，它的零售价是多 ２ ａ ２０％ 少元？ ５９ 代 数 式 ２．１例 用代数式表示： ３ （）把 本书分给若干名学生，若每人 本，尚余 本， １ ａ ５ ３ 求学生数； （） 年 月 日京沪高铁客运专线正式开通，从 ２ ２０１１ ６ ３０ 北京到上海，高铁列车比动车组列车运行时间缩短了约 ３ ｈ． 假设从北京到上海列车运行全程为 ，动车组列车的平 ｓ ｋｍ 均速度为 ，求高铁列车运行全程所需的时间 ｖ ｋｍ／ｈ ． 解 （）从 本书中去掉 本后，按每人 本正好分 １ ａ ３ ５ 完，故学生数为 ａ －３ ． ５ （）因为动车组列车运行全程需要 ｓ ，所以，高铁列 ２ ｈ ｖ 车运行全程需要( ｓ ) －３ ｈ． ｖ 例 说出下列代数式的意义： ４ （）圆珠笔每支售价 元，练习簿每本售价 元，那么 １ ａ ｂ 表示什么？ ３ａ ＋４ｂ （）长方形的长、宽分别为 ， ，那么 （ ）表示 ２ ａ ｂ ａ ｂ ＋１ 什么？ 解 （） 支圆珠笔与 本练习簿的总价格 １ ３ ４ ． （）长为 、宽为 的长方形的面积 ２ ａ ｂ ＋１ ． 填空： １ （）购买单价为 元的贺年卡 张，付出 元，应找回 元； １ ａ ｎ ５０ （）女儿今年 岁，妈妈的年龄是女儿的 倍，年后妈妈的年龄是 岁 ２ ｘ ３ ３ ． 用代数式表示被 除所得的商为 、余数为 的整数 ２ ３ ｎ ２ ． 长方体的长为 、宽和高都是 ，用代数式表示长方体的表面积 ３ ３ ｍ ａ ｍ ． 代数式 可以表示什么？结合生活实际，举出两个可以用这个代数式表示其中数 ４ ２ｘ ＋３ 量关系的例子 ． ６０ 第 章 整式加减 ２整数 读作“二十三”，应是 如果 １． ２３ ２ ×１０ ＋３． 一个整数的个位和十位上的数字分 别是 ， ，那么这个两位数用代数 ａ ａ １ ２ 式表示为 ． 对于任一个三位数，设它个位、 十位和百位上的数字分别为 ， ， ａ ａ １ ２ ，那么这个三位数用代数式表示 ａ ３ 为 ． 松手释放一个小球，让它从 ２． 高处自由落下（图 ），测得它下 ２ ３ 图 ２ ３ 落的高度 与时间 的有关数据如下表： ｈ ｔ ｔ／ｓ １ ２ ３ １ １ １ ｈ／ｍ ×９．８ ×１ ×９．８ ×４ ×９．８ ×９ ２ ２ ２ … ｔ／ｓ ４ ５ １ １ … ｈ／ｍ ×９．８ ×１６ ×９．８ ×２５ ２ ２ （）观察表中的数据，你发现有什么规律？ １ （）用含 的式子表示 ，并求出 时的 ２ ｔ ｈ ｔ ＝ １０ 值 ｈ ． 把长与宽分别为 ， 的小长方形纸片，一个紧 ３． ２ １ 接着前一个排在一条直线上，形成一个个大长方形，依次 如图 ２ ４ 图 ２ ４ ６１ 代 数 式 ２．１（ ）分别算出各个大长方形的周长（填在 大长方形周 １ 表内）： 长是怎么算的，与 同学们交流，看看 小长方形个数 算法是否一样？ １ ２ ３ ４ ５ ６ 大长方形周长 （）当小长方形有 个时，求大长方形的周长 ２ ｎ ． （）在一块长和宽分别为 ， 的长方形园地里，修建一个 １ １ ａ ｂ 中心是圆，四角都是四分之一个圆（半径均为 ）的花 ｒ 坛，其余部分种上草 请算出草地面积，如图（）； ． １ （）如果将长方形四边的中点顺次连接起来得到的四个 ２ 三角形及中间一个圆（半径为 ）的部分做花坛，其余 ｒ 部分做草地，如图（），这时草地的面积是多少？与图 ２ （）比较，哪一个图中草地面积大些？ １ （）在这块园地里，你能设计出其他形状的花坛吗？把你 ３ 的设计和同学交流一下，并写出计算草地面积的 式子 ． （第１ 题） 观察下列一组数：１ ，３ ，５ ，７ ，…它们是按一定规律排列 ２． ２ ４ ６ ８ 的，那么这一组数的第 个数是 ｋ ． 如图是一组有规律的图案，第 个图案由 个基础图形组成，第 个图案由 个基础 ３． １ ４ ２ ７ 图形组成……第 （ 是正整数）个图案由 个基础图形组成 ｎ ｎ ． （第３ 题） ６２ 第 章 整式加减 ２在代数式中， ， ，１ ， 都是数与字母的积， ４ａ ａ２ πｒ２ｈ －ｙ ３ 像这样的代数式叫做单项式（ ），其中 ， ，１ ， ｍｏｎｏｍｉａｌ ４ １ π ３ 分别是 ， ，１ ， 的系数（ ）单项 －１ ４ａ ａ２ πｒ２ｈ －ｙ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ． ３ 式的系数是 或 时，“”省略不写 单个的字母或数，如 １ －１ １ ． ， 等也是单项式 ａ ７ ． 一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的 次数（ ）如 ， 的次数都是 ；而 ，１ 的次 ｄｅｇｒｅｅ ． ４ａ －ｙ １ ａ２ πｒ２ｈ ３ 数分别是 ， ２ ３ ， ， ， ， 都是几个 ２ｘ ＋３ ｂ ＋ａ ａｂ ＋ａｃ ｗ －２ １００ａ ＋１０ｂ ＋ｃ 单项式的和，像这样的代数式叫做多项式（ ） ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ． 在多项式里，每个单项式（连同符号）叫做多项式的项 （ ），其中不含字母的项，叫做常数项（ ） ｔｅｒｍ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍ ． 如 中， ， 和 都是它的项，其中 是常 ４ａ２ －ａ ＋７ ４ａ２ －ａ ７ ７ 数项 ． 一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式 一个 ． 多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 如 ． 是二次三项式 ４ａ２ －ａ ＋７ ． 单项式与多项式统称为整式（ ） ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ． 例 写出下列单项式的系数和次数： ５ ， ，２ ， ，１ －１５ａ２ｂ ｘｙ ａ２ｂ２ －ａ ａｈ． ３ ２ 解 单项式 ２ １ －１５ａ２ｂ ｘｙ ａ２ｂ２ －ａ ａｈ ３ ２ 系 数 ２ １ －１５ １ －１ ３ ２ 次 数 ３ ２ ４ １ ２ ６３ 代 数 式 ２．１例 下列多项式分别是几次几项式？ ６ ２ １ ， ， １ ｘ － ｙ ４ａ２ －ａｂ ＋ｂ２ ｘ２ｙ２ － ｘｙ －１． ３ ２ ３ 解 ２ １ 是一次二项式； ｘ － ｙ ３ ２ 是二次三项式； ４ａ２ －ａｂ ＋ｂ２ １ 是四次三项式 ｘ２ｙ２ － ｘｙ －１  ３ 判断正误： １ （） 是一次单项式 （ ） １ ｘ ． （）５ 是单项式 （ ） ２ ． ａ （）单项式 没有系数 （ ） ３ ｘｙ ． （） 是五次单项式 （ ） ４ ２３ｘ２ ． （） 不是单项式 （ ） ５ －１ ． （） 是二次二项式 （ ） ６ ３ｘ ＋ｙ ． 填表： ２ 单 项 式 ３ －７ａ ｘ２ｙ３ ｍ ０．３ｘｙ ２ａｂ －ｘ２ｙ ５ 系 数 次 数 下列多项式是几次几项式，说出它们各项的系数、次数： ３ （） ； （） ； １ －２ｘ ＋１ ２ ｘ２ －ｘｙ ＋ｙ２ （） ； （） ３ ３ｘ －４ｘ２ ＋１ ４ －ｍｎ －ｍ ＋１ 说出多项式 中最高次项及常数项 ４ ２ｘ －３ｘｙ２ ＋１ ． ６４ 第 章 整式加减 ２代数式的值 ３． 一项调查研究显示：一个 岁的人，每天所需的睡 １０ ～５０ 眠时间 与他的年龄 岁之间的关系为 １１０ －ｎ ｔ ｈ ｎ ｔ ＝ ． １０ 例如， 岁的人每天所需的睡眠时间为 ３０ １１０ －３０ （） ｔ ＝ ＝ ８ ｈ ． １０ 算一算，你每天需要多少睡眠时间？ 像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的 运算关系计算得出的结果叫做代数式的值（ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ） ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ． 例 某堤坝［图 （）］的横截面是梯形［图 （）］， ７ ２ ５ １ ２ ５ ２ 测得梯形上底 ，下底 ，高 ，求这个 ａ ＝１８ｍ ｂ ＝３６ｍ ｈ ＝２０ ｍ 截面的面积 ． 图 ２ ５ 解 梯形面积公式是 １ （ ） Ｓ ＝ ａ ＋ｂ ｈ． ２ 将 ， ， 代入上面公式，得 ａ ＝ １８ ｂ ＝ ３６ ｈ ＝ ２０ １ （ ） Ｓ ＝ ａ ＋ｂ ｈ ２ １ （ ） ＝ × １８ ＋３６ ×２０ ２ ６５ 代 数 式 ２．１（ ） ＝ ５４０ ｍ２ ． 答：堤坝的横截面面积是 ５４０ ｍ２． 例 当 ， 时，求下列代数式的值： ８ ｘ ＝－３ ｙ ＝ ２ （） ； （）（ ） １ ｘ２ －ｙ２ ２ ｘ －ｙ ２． 解 当 ， 时， ｘ ＝－３ ｙ ＝ ２ （） （ ） １ ｘ２ －ｙ２ ＝ －３ ２ －２２ ＝ ９ －４ ＝ ５． （）（ ） （ ） ２ ｘ －ｙ ２ ＝ －３ －２ ２ （ ） ＝ －５ ２ ＝ ２５． 填图： １ （第１ 题） （第２ 题） 如图是一个圆环，外圆与内圆的半径分别是 和 ２ Ｒ ｒ． （）用代数式表示圆环面积； １ （）当 ， 时，圆环的面积是多少（ 取 ）？ ２ Ｒ ＝５ｃｍ ｒ ＝２ｃｍ π ３１４ 设甲数是 ，乙数是 ３ ｘ ｙ． （）用代数式表示甲、乙两数和的立方； １ （）用代数式表示甲、乙两数的立方和； ２ （）当 ， 时，计算（）和（）所列代数式的值 ３ ｘ ＝－２ ｙ ＝－１ １ ２ ． ６６ 第 章 整式加减 ２习题 ２． １ 填空： １ （） 种子售价 元，那么 种子的售价是 元； １ ２０ ｋｇ ａ ｍ ｋｇ （）某旅游景区有自行车出租，在前 每辆每时收租金 元，以后每时收租金 ２ ２ ｈ １０ 元，那么一辆自行车出租 应收租金 元 ａ ５ ｈ ． 填空： ２ （）三个连续整数中，中间一个是 ，其余两个分别是 和 ； １ ｎ （） 是偶数，那么它的相邻偶数是 ２ ２ｎ ． 某商品实行 折优惠 （）如果它的原价为 元，求优惠价；（）如果优惠价为 ３ ８ ． １ ｘ ２ ｘ 元，求原价 ． 某餐厅有 液化气，计划每天用 现节约用气，每天少用 问实行节约 ４ ａｍ３ ｂｍ３． ２ｍ３． 用气后可多用多少天？ 如图，求图中阴影部分的面积 ５ ． （第５ 题） 已知代数式： ６ ，５ ，２ ， ， ， ， ， １ ， ，１ ３ｘ ａｂ －ｙ ａ ＋ｂ １ ＋ｘ２ －３ｘ －２ｔ２ ３ｘ － ｍ２ －１ ＋１． ２ Ｒ ２ ｒ （）其中哪些是单项式？分别指出它们的系数和次数； １ （）其中哪些是多项式？它们分别是几次几项式？如果有常数项，那么常数项各 ２ 是什么？ 当 １ ， 时，求下列代数式的值： ７ ｘ ＝ ｙ ＝－２ ２ （） ； （）４ｘ －２ｙ １ ２ｘ２ －ｙ ＋２ ２  ｘｙ ６７ 代 数 式 ２．１将 ， ， ， 分别代入 （ ） （ ）和 ８ ａ ＝－８ ｂ ＝ ３ ｃ ＝２ ｄ ＝－４ ａ －ｂ － ｃ －ｄ ａ －ｂ －ｃ ＋ｄ 两个式子，计算结果，看看它们是否相等？再任给 ， ， ， 若干组你喜欢的值， ａ ｂ ｃ ｄ 代入上面式子中，计算结果 从中你能得到什么结论？ ． 从山脚起每升高 ，气温降低 已知山脚的温度是 ，在高出山脚 ９． １００ ｍ ０．６℃． ２６℃ ｘ ｍ 的山上温度是多少？在高出山脚 的山上温度是多少？ ８００ ｍ 一种放铅笔的 形槽如图，从下向上数，第一层放 支，第 １０ Ｖ １ 二层放 支，依次每层多放 支 只要数一数顶层的支数 ２ １ ． （ ） ，就可以用公式ｎ ｎ ＋１ 算出槽内铅笔的总数 当 ， ｎ ． ｎ ＝ ６ ２ 时，分别计算槽内铅笔的总数 ｎ ＝１２ ． 某商店出售一种商品，其数量 与售价 之间的关系如 １１． ｘ ｙ 下表（表中 是包装费）： ０．２ （第１０ 题） 数量 件 … ｘ／ １ ２ ３ ４ 售价 元 … ｙ／ ２．３ ＋０．２ ４．６ ＋０．２ ６．９ ＋０．２ ９．２ ＋０．２ （）写出用数量 表示售价 的代数式； １ ｘ ｙ （）求 件这种商品的售价； ２ ２０ （）若买这种商品花费了 元，问买了多少件？ ３ ２３．２ 探索数的规律 任意写一个三位数，比如 然后再把这个三位数 ４１９． 重写一次与它并排构成一个六位数： 对于这个 ４１９ ４１９． 六位数，先用 去除，把得到的商用 去除，对第二次 ７ １１ 得到的商再用 去除 这时，你得到怎样的结果？ １３ ． 再举几个三位数，按上述步骤试试 ． 你能归纳出其中的规律吗？能说明其中的道理吗？ ６８ 第 章 整式加减 ２２． 整式加减 ２ 问题 在甲、乙两面墙壁上，各挖去一个圆形空洞安装 窗花，其余部分油漆 请根据图中尺寸（图 ）算出： ． ２ ６ （）两面墙上油漆面积一共有多大？ １ （）较大一面墙比较小一面墙的油漆面积大多少？ ２ 图 ２ ６ 合并同类项 １． 解答上面问题（），容易看出一种办法是先算两个长方 １ 形墙面的面积之和 ，再减去两个圆面积之和 ２ａｂ ＋ａｂ πｒ２ ＋ πｒ２． 在 中，项 与 都含字母 和 ，并且 的 ２ａｂ ＋ａｂ ２ａｂ ａｂ ａ ｂ ａ 指数都是 ， 的指数也都是 ；在 中 项 与 １ ｂ １ πｒ２ ＋πｒ２ πｒ２ πｒ２ 都含字母 ，并且 的指数都是 像这样，所含字母相同，并 ｒ ｒ ２． 且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（ ）常数 ｌｉｋｅ ｔｅｒｍ ． 项与常数项是同类项 ． 在多项式中遇到同类项，可以运用加法交换律、加法结 合律、分配律合并，如 ４ｘ２ ＋２ｘ －１ －３ｘ２ ＋３ｘ ＋２ ６９ 整式加减 ２．２＝ ４ｘ２ －３ｘ２ ＋２ｘ ＋３ｘ －１ ＋２ （ ） （ ） ［（ ） ］ ＝ ４ｘ２ －３ｘ２ ＋ ２ｘ ＋３ｘ ＋ －１ ＋２ （ ） （ ） （ ） ＝ ４ －３ ｘ２ ＋ ２ ＋３ ｘ ＋ －１ ＋２ ＝ ｘ２ ＋５ｘ ＋１． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 （ ） ｕｎｉｔｅ ｌｉｋｅ ｔｅｒｍ ． 合并同类项的法则是： 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的 指数不变 ． 下面，请计算：（ ） （ ） ２ａｂ ＋ａｂ － πｒ２ ＋πｒ２ ＝ ． 例 合并下式中的同类项 １ ． ４ａ２ ＋３ｂ２ －２ａｂ －３ａ２ ＋ｂ２． 解 ４ａ２ ＋３ｂ２ －２ａｂ －３ａ２ ＋ｂ２ （ ） （ ） ＝ ４ａ２ －３ａ２ －２ａｂ ＋ ３ｂ２ ＋ｂ２ （ ） （ ） ＝ ４ －３ ａ２ －２ａｂ ＋ ３ ＋１ ｂ２ ＝ ａ２ －２ａｂ ＋４ｂ２． 例 求多项式 １ １ 的值，其中 ２ ３ａ ＋ａｂｃ － ｃ２ －３ａ ＋ ｃ２ ３ ３ １ ， ， ａ ＝－ ｂ ＝ ２ ｃ ＝－３． ６ 解 １ １ ３ａ ＋ａｂｃ － ｃ２ －３ａ ＋ ｃ２ ３ ３ （ ） ( １ １ ) ＝ ３ａ －３ａ ＋ａｂｃ ＋ － ｃ２ ＋ ｃ２ ３ ３ （ ） ( １ １ ) ＝ ３ －３ ａ ＋ａｂｃ ＋ － ＋ ｃ２ ３ ３ ＝ ａｂｃ． 当 １ ， ， 时， ａ ＝－ ｂ ＝ ２ ｃ ＝－３ ６ ７０ 第 章 整式加减 ２原式 ( １ ) （ ） ＝ ａｂｃ ＝ － ×２ × －３ ＝ １． ６ 下列各题中的两项是不是同类项？ １． （） 与 ； （） 与 ； １ ３ ａ２ ｂ ３ａ ｂ２ ２ ｘｙ －ｘｙ （） 与 ； （） 与１ ３ ４ａｂｃ ４ａｃ ４ －３ ． ３ 判断下面合并同类项是否正确，若有错，请改正： ２． （） （ ） １ ５ｘ２ ＋６ｘ２ ＝ １１ｘ４． （） （ ） ２ ５ｘ ＋２ｘ ＝ ７ｘ２． （） （ ） ３ ５ｘ２ －３ｘ２ ＝ ２． （） （ ） ４ １６ｘｙ －１６ｙｘ ＝ ０． 合并下列各式中的同类项： ３． （） ； １ －８ｘ ＋８ｘ ＝ （） ２ －ａ －７ａ ＋３ａ ＝ ． 求值： ，其中 ４． ３ｘ －４ｘ２ ＋７ －３ｘ ＋２ｘ２ ＋１ ｘ ＝ ２． 去括号、添括号 ２． 解答本节的问题（），就是求整式 与 ２ ２ａｂ －πｒ２ ａｂ －πｒ２ 的差： （ ） （ ）， ２ａｂ －πｒ２ － ａｂ －πｒ２ 要计算上式，先要去括号，如何去括号呢？ 利用运算律，可以去括号，例如， （ ） ４ ＋ －ａ ＋ｂ ［ （ ）］ （加法结合律） ＝ ４ ＋ －ａ ＋ｂ （ ） ＝ ４ ＋ －ａ ＋ｂ ；（减法法则） ＝ ４ －ａ ＋ｂ ７１ 整式加减 ２．２（ ） ４ － －ａ ＋ｂ ［（ ） （ ）］（减法法则） ＝ ４ ＋ －１ × －ａ ＋ｂ 一 个 数 与 ［ （ ）］（分配律） （ ）相乘，得它 ＝ ４ ＋ ａ ＋ －ｂ －１ （ ） （ ）（加法结合律） 的相反数，你还 ＝ ４ ＋ａ ＋ －ｂ （ ） 记得吗？ ＝ ４ ＋ａ ＋ －ｂ （减法法则） ＝ ４ ＋ａ －ｂ． 比较 （ ） ， 习题 第 ２．１ ４ ＋ －ａ ＋ｂ ＝ ４ －ａ ＋ｂ 题，为这里归纳 （ ） ８ ４ － －ａ ＋ｂ ＝ ４ ＋ａ －ｂ． 法则作了铺垫 在去括号前后，括号里各项的符号有什么 ． 变化 ． 一般地，我们有如下的去括号法则： （）如果括号前面是“ ”号，去括号时把括号连同它 １ ＋ 前面的“ ”号去掉，括号内的各项都不改变符号 ＋ ． （）如果括号前面是“ ”号，去括号时把括号连同它 ２ － 前面的“ ”号去掉，括号内的各项都改变符号 － ． 下面再来求 与 的差： ２ａｂ － πｒ２ ａｂ － πｒ２ （ ） （ ） ２ａｂ － πｒ２ － ａｂ － πｒ２ ＝ ２ａｂ － πｒ２ － ａｂ ＋ πｒ２ ＝ ａｂ． 例 先去括号，再合并同类项： ３ （） （ ）； １ ８ａ ＋２ｂ ＋ ５ａ －ｂ （） （ ） （ ） ２ ａ ＋ ５ａ －３ｂ －２ ａ －２ｂ ． 解 （） （ ） １ ８ａ ＋２ｂ ＋ ５ａ －ｂ ＝ ８ａ ＋２ｂ ＋５ａ －ｂ ７２ 第 章 整式加减 ２（ ） （ ） ＝ ８ａ ＋５ａ ＋ ２ｂ －ｂ ＝ １３ａ ＋ｂ． （） （ ） （ ） ２ ａ ＋ ５ａ －３ｂ －２ ａ －２ｂ ＝ ａ ＋５ａ －３ｂ －２ａ ＋４ｂ （ ） （ ） ＝ ａ ＋５ａ －２ａ ＋ －３ｂ ＋４ｂ ＝ ４ａ ＋ｂ． 去括号： １． （） （ ）； （） （ ）； １ ｘ ＋ －ｙ ＋３ ２ ｘ － －３ －ｙ （） （ ） ； （） （ ） ３ － ｘ －ｙ ＋３ ４ ３ － ｘ ＋ｙ ． 判断下列去括号有没有错误，如有错误，请改正： ２． （） （ ） （ ） １ ｘ２ － ３ｘ －２ ＝ ｘ２ －３ｘ －２． （） （ ） （ ） ２ ７ａ ＋ ５ｂ －１ ＝ ７ａ ＋５ｂ ＋１． （） （ ） （ ） ３ ２ｍ２ － ３ｍ ＋５ ＝ ２ｍ２ －３ｍ －５． （） （ ） （ ） （ ） ４ － ａ －ｂ ＋ ａｂ －１ ＝－ａ －ｂ ＋ａｂ －１． 先去括号，再合并同类项： ３． （）（ ） （ ）； １ ４ａｂ －ａ２ －ｂ２ － －ａ２ ＋ｂ２ ＋３ａｂ （） （ ） （ ） ２ ｘ ＋ －１ －ｘ －２ ２ｘ －４ ． 在解答本节的问题（）时，也可以先分别算出甲、乙两 １ 面墙的油漆面积再求和，这时就需添括号，即 （ ） （ ） ２ａｂ－πｒ２ ＋ ａｂ－πｒ２ ＝ ２ａｂ －πｒ２ ＋ａｂ －πｒ２ ＝ ２ａｂ ＋ａｂ －πｒ２ －πｒ２ （ ） （ ） ＝ ２ａｂ ＋ａｂ － πｒ２＋πｒ２ ． 添括号的法则是： ７３ 整式加减 ２．２（）所添括号前面是“ ”号，括到括号内的各项都不 １ ＋ 添括号是否 改变符号； 正确，可以用去 （）所添括号前面是“ ”号，括到括号内的各项都改 ２ － 括号法则检验 变符号 ． ． 在下列各题的括号内，填写适当的项： １． （） （ ）； １ ａ －ｂ ＋ｃ －ｄ ＝ ａ ＋ （） （ ）； ２ ａ －ｂ －ｃ ＋ｄ ＝ ａ － （） （ ） ； ３ ａ －ｂ －ｃ ＋ｄ ＝ ａ ＋ ＋ｄ （） （ ） ４ ａ －ｂ ＋ｃ －ｄ ＝ ａ －ｂ － ． 判断下列各题中添括号有没有错误 有错误的，应当怎样改正？ ２． ． （） （ ） （ ） １ ａ －２ｂ －３ｍ ＋ｎ ＝ ａ － ２ｂ －３ｍ ＋ｎ ． （） （ ） （ ） ２ ｍ －２ｎ ＋ａ －ｂ ＝ ｍ ＋ ２ｎ ＋ａ －ｂ ． （） （ ） （ ） （ ） ３ ｘ －２ａ －４ｂ ＋ｙ ＝ ｘ －２ａ － ４ｂ －ｙ ． （） （ ） （ ） ４ ａ －２ｂ ＋ｃ －１ ＝－ ａ ＋２ｂ －ｃ ＋１ ． 不改变多项式 的值，按下面的要求把它的后两项用括号括起来： ３． ｘ３ －ｘ２ｙ ＋ｘｙ２ －ｙ３ （）括号前带有“ ”号； （）括号前带有“ ”号 １ ＋ ２ － ． 整式加减 ３． 通过前面的研究我们知道，整式加减运算可归结为去括 号、合并同类项 ． 例 求整式 与 的和 ４ ４ －５ｘ２ ＋３ｘ －２ｘ ＋７ｘ２ －３ ． 解 （ ） （ ） ４ －５ｘ２ ＋３ｘ ＋ －２ｘ ＋７ｘ２ －３ ＝ ４ －５ｘ２ ＋３ｘ －２ｘ ＋７ｘ２ －３ （ ） （ ） （ ） ＝ －５ｘ２ ＋７ｘ２ ＋ ３ｘ －２ｘ ＋ ４ －３ ＝ ２ｘ２ ＋ｘ ＋１． ７４ 第 章 整式加减 ２运算结果，常将多项式按某个字母（如 ）的指数从大到 ｘ 小（或从小到大）依次排列，这种排列叫做关于这个字母（如 ）的降幂（升幂）排列 本例的结果是降幂排列 ｘ ． ． 例 先化简，再求值： ５ ［ （ ） （ ）］，其中 ５ａ２ － ａ２ － ２ａ －５ａ２ －２ ａ２ －３ａ ａ ＝ ４． 解 原式 （ ） ＝ ５ａ２ － ａ２ －２ａ ＋５ａ２ －２ａ２ ＋６ａ （ ） ＝ ５ａ２ － ４ａ２ ＋４ａ ＝ ５ａ２ －４ａ２ －４ａ ＝ ａ２ －４ａ． 当 时， ａ ＝ ４ 原式 ＝ ａ２ －４ａ ＝ ４２ －４ ×４ ＝ ０． 计算： １． （） （ ） （ ） ； １ －３ａ ＋ －２ａ２ － －２ａ －３ａ２ （ ２ ）( － １ ｘｙ ) ＋ ( － ２ ｘ２ ) － １ ｘ２ － ( － １ ｘｙ ) ． ３ ５ ２ ６ 把多项式 重新排列： ２． －２ｘ２ｙ ＋３ｘｙ２ －ｘ３ｙ３ －４ （）按 的降幂排列； （）按 的降幂排列 １ ｘ ２ ｙ ． （）求 与 的和，结果按 的降幂排列； ３． １ ３ｘ２ －２ｘ ＋１ ３ －２ｘ２ －ｘ ｘ （）求 减 的差，结果按 的升幂排列 ２ ７ －２ｘ ＋ｘ２ ５ ＋３ｘ －２ｘ２ ｘ ． 计算： ４． （） （ ） （ ）； １ － ｘ３ ＋２ｘ２ －１ ＋ ｘ３ －２ｘ２ ＋ｘ －２ （）（ ） （ ） （ ） ２ ２ａｘ －３ｂｙ －５ －２ ａｘ －２ ＋ －２ｂｙ ＋１ ． 求值： （ ） （ ），其中 ， ５． －２ － ２ａ －３ｂ ＋１ － ３ａ ＋２ｂ ａ ＝－３ ｂ ＝－２． ７５ 整式加减 ２．２习题 ２． ２ 合并同类项： １． （） ； （） ； １ －８ｘ ＋６ｘ －ｘ ２ ４ａｂ －５ａｂ ＋２ａｂ （） ； （） ３ ２ｘ２ ＋ｘ －ｘ２ －ｘ ４ ３ｘ２ －６ ＋４ｘ －６ｘ －２ｘ２ ＋５． 求下列各式的值： ２． （） ，其中 １ ； １ ２ｘ２ －３ｘ ＋ｘ２ ＋４ｘ －２ ｘ ＝－ ２ （） ，其中 ， ２ ７ａ２ －２ａｂ ＋ｂ２ ＋ａ２ ＋３ａｂ －２ｂ２ ａ ＝－２ ｂ ＝ ２． 把下列多项式先按 的降幂排列，再按 的升幂排列： ３． ｘ ｘ （） ； １ １３ｘ －４ｘ２ －２ｘ３ －６ （） ２ ３ｘ２ｙ －３ｘｙ２ ＋ｙ３ －ｘ３． 先去括号，再合并同类项： ４． （） （ ）； １ ３ａ －ｂ ＋ ５ａ －３ｂ ＋３ （）（ ） （ ）； ２ ２ｂ －３ａ － ２ａ －３ｂ ＋１ （） （ ） （ ） ３ ４ｘ２ ＋２ ｘ２ －ｙ２ －３ ｘ２ ＋ｙ２ ． 在下列各式的括号里填上适当的项： ５． （） （ ）； １ ２ａ ＋ａ２ －ｂ２ ＝ ２ａ ＋ （） （ ）； ２ ４ －ａ２ ＋２ａｂ －ｂ２ ＝ ４ － （） （ ） ３ ａ ＋ｂ －ａ２ ＋ｂ２ ＝ ａ ＋ｂ － ． 用括号把多项式 分成两组，使其中含 的项相结合，含 的项相 ６． ａｍ ＋ｂｎ －ｂｍ －ａｎ ｍ ｎ 结合（两个括号用“ ”连接） － ． 计算： ７． （）（ ） （ ）； １ ３ａ ＋２ｂ ＋８ｃ ＋ ２ａ －３ｂ －５ｃ （）（ ） （ ）； ２ ２ｘｙ ＋ｘ２ －ｙ２ － ｘ２ －ｙ２ －３ｘｙ （） ［ （ ） ］ ３ ３ｘ２ － ５ｘ ＋ ４ｘ －５ －９ｘ２ ． ７６ 第 章 整式加减 ２归 纳 推 理 用一些相同的小正方形，排成如下的一些大正方形图形，如 图 ２ ７． 图 ２ ７ 把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形 １． 的个数填入表中： 图号（） … … ｎ １ ２ ３ ４ ５ ｋ 一边上小正方形个数（） … … ｎ １ ２ ３ 阴影小正方形个数（ ） … … ａ １ ３ ５ ｎ 第 个图中小正方形只有 个，且有阴影，记作 把 ２． １ １ Ｓ ＝１． １ 第 个图并入第 个图，这时第 个图中阴影小正方形数就是前 １ ２ ２ 面两个图中阴影小正方形数的和： 我们把这个 ａ ＋ａ ＝１ ＋３ ＝４． １ ２ 和 记作 ，即 ａ ＋ａ Ｓ １ ２ ２ Ｓ ＝ ａ ＋ａ ＝ １ ＋３ ＝ ２２． ２ １ ２ 把第 ，两个图中的阴影部分一起并入第 个图，这时第 １ ２ ３ ３ 个图中的阴影小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的 和，记作 ，即 Ｓ ３ Ｓ ＝ ａ ＋ａ ＋ａ ＝ １ ＋３ ＋５ ＝ ９ ＝ ３２． ３ １ ２ ３ 下面，请你观察图后，归纳，猜想结果： ， Ｓ ＝ ａ ＝ １ １ １ ， Ｓ ＝ ａ ＋ａ ＝ １ ＋３ ＝ ２２ ２ １ ２ ７７ 整式加减 ２．２， Ｓ ＝ ａ ＋ａ ＋ａ ＝ １ ＋３ ＋５ ＝ ３２ ３ １ ２ ３ ， Ｓ ＝ ４ ， Ｓ ＝ ５ …… Ｓ ＝ ． ｎ 像这样，根据某类事物的部分对象具有的某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理 ． 思考 下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的 １ 后继项： （） ， ， ， ， ， ， ， ； １ １ ２ ４ ８ １６ ３２ （） ， ， ， ， ， ， ， ２ ２０ １８ １６ １４ １２ １０ ． 思考 平面上 条直线最多有几个交点？当直线是 条、 ２ ２ ３ ４ 条、 条时最多有多少个交点？ ｎ 对于科学的发现，归纳推理也是十分有用的，通过观察、实 验，对有限个对象的性质作归纳整理，提出对某类事物带有规律 性的猜想，是科学研究的基本方法之一 ． 数 学 符 号 在古代，由于没有数学符号，要说明、解决一个数学问题，就 画一幅图画或写一篇文章 例如： ． 图 ２ ８ 这是埃及出土的“莱茵德纸草书”（约公元前 年）上的问 １６５０ 题，图 中记录的问题用现在的数字符号来表示，就是下面这道 ２ ８ 数学题： ( ２ １ １ ) ＋ ＋ ＋１ ｘ ＝ ３７． ３ ２ ７ 又如，我国古代著名数学著作《孙子算经》（约公元 年） ４００ ７８ 第 章 整式加减 ２中，刊载一个“雉（鸡）兔同笼”问题及其答案和解题方法如下： 问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足 问 ． 雉、兔各几何？ 答曰：雉二十三，兔一十二 ． 术曰：上置三十五头、下置九十四足，半其足得四十七 以 ． 少减多，再命之，上三除下四，上五除下七 下有一除上三，下有 ． 二除上五，即得 ． 数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达（ ， Ｆ． Ｖｉｅｔａ 年），他受古希腊数学家丢番图（ ， 世 １５４０ ～１６０３ Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ ３ 纪）在著作中采用了一些符号的启发，第一次有意识地系统使用 代数字母与符号 其后，奥特雷德（ ， ． Ｗ． Ｏｕｇｈｔｒｅｄ １５７４ ～ １６６０ 年）、笛卡儿（ ， 年）、莱布尼茨（ Ｒ． Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ １５９６ ～ １６９０ Ｇ． Ｗ． ， 年）、牛顿（ ， 年）、欧 Ｌｅｉｂｎｉｚ １６４６ ～１７１６ Ｉ． Ｎｅｗｔｏｎ １６４３ ～１７２７ 拉（ ， 年）等数学家对数学符号系统的完善 Ｌ．Ｅｕｌｅｒ １７０７ ～１７８３ 都作过很多贡献，我们今天所使用的符号，实际是长期历史淘汰 后剩下的 ． 图 ２ ９ 韦达 数学符号系统的建立，对于数学本身的发展以及应用于广泛 的科学技术领域都是至关重要的 今天，数学符号已经成为一种 ． 数学语言，是我们学习、研究、传播、交流和应用时必不可少的 工具 ． 一、内容整理 ７９ 小结·评价二、主要知识回顾 用 符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 １． ． 的代数式叫做单项式 单项式中的 ２． ． 叫做这个单项式的系数； 叫做这个单项式的次数 ． 的代数式叫做多项式 一个多项式里， ３． ． 的次数就叫做这个多项式的次数 ． 统称为整式 整式加减运算可归结为 ４． ． ． 去括号与添括号，关键要注意括号前的符号 如果括号前面是“ ”号， ５． ． ＋ 去（添）括号时括号内的各项都不改变符号；如果括号前面是“ ”号，去（添） － 括号时括号内的各项都改变符号 ． 三、自评与互评 用字母表示数，建立代数式，是学习代数的基础 学过本章后你有什么 １． ． 体会？互相交流一下 ． 举两个用代数式解决问题的例子，并互相评价所提问题及其解答 ２． 方法 ． 填空： １． （）小麦播种前每公顷土地施肥 作底肥，给 １ １８００ ｋｇ 土地施底肥共需肥料 ； ａ ｈｍ２ ｋｇ （）某工厂 月份生产机床 台， 月份比 月份增 ２ １０ ａ １１ １０ 产 ， 月份生产机床 台 １０％ １１ ． 用代数式表示： ［第１（２）题］ ２． （）宽为 ，长比宽多 的长方形的周长； １ ａ ｃｍ ２ ｃｍ （）长为 ，周长为 的长方形的面积 ２ ａ ｃｍ ２０ ｃｍ ． ８０ 第 章 整式加减 ２设 ，将对应的 值填入表中： ３． ｙ ＝ ３ －２ｘ ｙ １ １ ３ ｘ －１ － ０ １ ２ ２ ２ ２ ｙ 某初级中学的七、八、九各年级的学生数之比是 ，已知全校学生数为 ，那 ４． ４∶３∶３ ｍ 么七年级学生数是多少？ 一个三位数的百位上的数字是 ，十位和个位上的数字组成的两位数为 ，用代数 ５． ２ ｘ 式表示这个三位数 ． 某种药品的原价为 元，两次降价 后，售价是多少元？ ６． ｐ １０％ 下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？把它们填在相应的框中： ７． ， ， １ ，ｂ ， ，５ ， ， ３ｘ －５ ｘ ＋ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ ｘ２ｙ ２ｘ －ｙ ｂ２ －４ａｃ． ２ ａ ２ （）指出下列单项式的系数和次数： ８． １ ，２ａｂ， ， ； －４ｘ２ｙ２ ２ａ －ａｂ２ ３ （）指出下列多项式的项数和次数： ２ ， ， ａ２ ＋２ａ －１ ｔ －１ ｘ２ －２ｘｙ －ｙ２ ＋１． 填空： ９． （）多项式 按字母 的降幂排列为 １ ａｂ ＋ｂ２ －ａ２ ＋１ ａ ； （）代数式 ， ，１ ， ， 中，与 是同类项的有 ２ ３ｘ２ｙ －２ｘｙ２ ｘｙ －ｘ２ｙ ３ｘ ５ｘ２ｙ ２ ； ８１ 小结·评价（） （ ）； ３ ａ２ －ｘ２ ＋２ｘ －１ ＝ ａ２ － （） （ ） （ ）； ４ ｘ２ － ｙ２ －ｘ ＋ｙ ＝ ｘ２ －ｙ２ ＋ （）（ ）（ ） ［ （ ）］［ （ ）］ ５ ２ａ －ｂ ＋ｃ ２ａ ＋ｂ －ｃ ＝ ２ａ － ２ａ ＋ ． 计算： １０． （） （ ） （ ）； １ ３ ａ２ －２ａｂ － －ａｂ ＋ｂ２ （） （ ） （ ） ２ －２ ２ｘ２ －ｘ ＋４ ＋３ ｘ２ －２ｘ ＋３ ． 求值： １１． （）（ ） （ ） （ ），其中 ； １ ３ｘ２ －２ － ４ｘ２ －２ｘ －３ ＋ ２ｘ２ －１ ｘ ＝－２ （） ［ （ ） ］ ，其中 ， ， ２ ３ｘ２ｙ － ２ｘ２ｙ － ２ｘｙｚ －ｘ２ｚ －４ｘ２ｚ －ｘｙｚ ｘ ＝－２ ｙ ＝－３ ｚ ＝ １． 某体育场看台第 排有 个座位，后面每排比前一排多 个座位，第 排、第 １２． １ ａ ２ ２ ３ 排、第 排各有几个座位？如用 表示第 排的座位数，则 是多少？当 ４ ｍ ｎ ｍ ａ ＝ ， 时，求 的值 ２０ ｎ ＝ １２ ｍ ． 在 的盐水中，加水 后含盐 ，则盐水中含盐多少千克？ １． ｘ ｋｇ １０ ｋｇ １０％ 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地到乙地，速度为每时 如果汽车每时多行 ２． ２００ ｋｍ ｘ ｋｍ． ，可以提前多长时间到达乙地？ ３０ ｋｍ 根据公式 填写下表： ３． ｓ ＝ ｓ ＋ｖｔ ０ ｓ ｓ ｖ ｔ ０ ３０ １２ ４ １２０ ６０ ２ ７５ １５ １２ １４０ ２０ ４０ 某房产公司卖出 ， 两套公寓，每套均售得 万元，其中公寓 亏本 ，公寓 ４． Ａ Ｂ ａ Ａ ２０％ 盈利 Ｂ ２０％． （）用代数式表示公寓 ， 的成本价； １ Ａ Ｂ （）设房产公司在这两笔交易中的盈亏为 万元，写出用 表示 的代数式，并 ２ ｐ ａ ｐ 说明 时的盈亏情况 ａ ＝ ８０ ． ８２ 第 章 整式加减 ２一列数，规律如下： １． ， ， ，…， １ ×２ ２ ×３ ３ ×４ 那么第 个数是 ，第 个数是 １００ ｎ ． 如图是花朵摆成的三角形图案，每条边上有 （ ）个点（即花朵），每个图案的 ２． ｎ ｎ ＞１ 总点数（即花朵总数）用 表示 Ｓ ． （）观察图案，当 时， ； １ ｎ ＝ ６ Ｓ ＝ （）分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用 表示 ） ２ ｎ Ｓ （）当 时，求 ３ ｎ ＝ １００ Ｓ． （第２ 题） 如图，把棱长为 的正方体一个接一个地拼在一起，排成一组长方体 ３． ａ ． （第３ 题） （）计算拼成的长方体的表面积，填入下表： １ 正方体个数 １ ２ ３ ４ ５ ６ 长方体表面积 （）用代数式表示 个小正方体拼成的长方体表面积 ２ ｎ ． ８３ 小结·评价一次方程与方程组 一元一次方程及 ３．１ 其解法 一元一次方程的 ３．２ 应用 二元一次方程组 ３．３ 及其解法 二元一次方程组 ３．４ 的应用 三元一次方程组 ３．５ 及其解法 综合与实践 一次 ３．６ 方程组与 技术 ＣＴ 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 “ （ ） ” ， s t uvw xyPz{|}.(GLF~ (cid:127)(cid:128) ， ？ ‘(cid:129) !(cid:130)(cid:131)1 ， (cid:132)(cid:133)x(cid:131)(cid:134)(cid:135)~.y(cid:136)(cid:137)(cid:138)*T(cid:139)m (cid:140)[(cid:141)(cid:142) z(cid:143)． ， !"#$9:’(;<;=>?@A<;=>?B ８４ C3DEFGH$IJKLMN． 第 章 一次方程与方程组 ３３． 一元一次方程及其解法 １ 问题 在参加 年北京奥运会的中国代表队中， ? ２００８ 羽毛球运动员有 人，比跳水运动员的 倍少 人 参加奥 １９ ２ １ ． 运会的跳水运动员有多少人？ 图 ３ １ 设参加奥运会的跳水运动员有 人 根据题意，得 ｘ ． ２ｘ －１ ＝ １９． 问题 王玲今年 岁，她爸爸 岁，问再过几年，她 ? １２ ３６ 爸爸年龄是她年龄的 倍？ ２ 设再过 年，王玲的年龄是 （ ）岁，她爸爸的年龄 ｘ １２ ＋ｘ 为 （ ）岁 根据题意，得 ３６ ＋ｘ ． （ ） ３６ ＋ｘ ＝ ２ １２ ＋ｘ ． 像上面得到的两个方程都只含有一个未知数（元），未 知数的次数都是 ，且等式两边都是整式的方程叫做一元一 １ 次方程（ ） ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ． 我们在小学已经学过简单的一元一次方程，知道使方程 两边相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可 叫做方程的根 ． ８５ 一元一次方程及其解法 ３．１方程是等式（含未知数的等式），解方程就是根据等式 的性质求方程的解的过程 ． 等式有如下的基本性质： 性质 等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一 １ 个整式，所得结果仍是等式，即 如果 ，那么 ， ａ ＝ｂ ａ ＋ｃ ＝ｂ ＋ｃ ａ －ｃ ＝ｂ －ｃ． 性质 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 ２ 能为 ），所得结果仍是等式，即 ０ 如果 ，那么 ，ａ ｂ （ ） ａ ＝ｂ ａｃ ＝ｂｃ ＝ ｃ≠０ ． ｃ ｃ 性质 如果 ，那么 （对称性） ３ ａ ＝ｂ ｂ ＝ａ． 例如，由 ，得 －４ ＝ｘ ｘ ＝ －４． 性质 如果 ， ，那么 （传递性） ４ ａ ＝ｂ ｂ ＝ｃ ａ ＝ｃ． 例如，如果 ，又 ，所以 ｘ ＝ ３ ｙ ＝ ｘ ｙ ＝ ３． 在解题过程中，根据等式这一性质，一个量用与它相等 的量代替，简称等量代换 ． 下面，我们利用等式的基本性质来解一般的一元一次 方程 ． 例 解方程： １ ２ｘ －１ ＝ １９． 解 两边都加上 ，得 １ ， （等式基本性质 ） ２ｘ ＝ １９ ＋１ １ 即 ２ｘ ＝ ２０． 两边都除以 ，得 ２ （等式基本性质 ） ｘ ＝ １０． ２ 检验：把 分别代入原方程的两边，得 ｘ ＝ １０ 左边 ， ＝ ２ ×１０ －１ ＝ １９ 右边 ， ＝ １９ 即 左边 右边 ＝ ． 所以 是原方程的解 ｘ ＝ １０ ． ８６ 第 章 一次方程与方程组 ３说明下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的： １． （）如果 ，那么 ； １ ５ｘ ＋３ ＝ ７ ５ｘ ＝ ４ （）如果 ，那么 １ ； ２ －８ｘ ＝ ４ ｘ ＝－ ２ （）如果 ，那么 ； ３ －５ａ ＝－５ｂ ａ ＝ ｂ （）如果 ，那么 ； ４ ３ｘ ＝ ２ｘ ＋１ ｘ ＝ １ （）如果 ，那么 ； ５ －０．２５ ＝ ｘ ｘ ＝－０．２５ （）如果 ， ，那么 ６ ｘ ＝ ｙ ｙ ＝ ｚ ｘ ＝ ｚ． 根据等式的基本性质解下列方程，并检验： ２． （） ； （） ； （）１ １ １ １ ５ｘ －７ ＝ ８ ２ ２７ ＝ ７ ＋４ｘ ３ ＝ ｘ － ． ２ ３ ６ 仔细观察例 解答过程中的第 步： １ １ 你发现了什么？ 根据等式的基本性质 对方程进行变形，相当 １ 于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到 另一边，这种变形叫做移项 ． 移项，一般 都习惯把含未 例 解方程： ２ ３ｘ ＋５ ＝ ５ｘ －７． 知数的项移到 解 移项，得 等式左边 ． ３ｘ －５ｘ ＝－７ －５． 合并同类项，得 ８７ 一元一次方程及其解法 ３．１－２ｘ ＝－１２． 两边都除以 ，得 －２ ｘ ＝ ６． 下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ １． （）从 ，得 ； １ ９ ＋ｘ ＝ ７ ｘ ＝ ７ ＋９ （）从 ，得 ； ２ ５ｘ ＝ ７ －４ｘ ５ｘ －４ｘ ＝ ７ （）从 ，得 ３ ２ｙ －１ ＝ ３ｙ ＋６ ２ｙ －３ｙ ＝ ６ －１． 解下列方程，并检验： ２． （） ； （） １ １ ； １ ２ｘ ＝ ｘ ＋５ ２ ２ｘ － ＝－ ｘ ＋２ ２ ２ （） ； （） （ ） ３ ５ｘ ＋２１ ＝ ７ －２ｘ ４ １１ｘ ＋１ ＝ ５ ２ｘ ＋１ ． 例 解方程：（ ） （ ） （ ） ３ ２ ｘ －２ －３ ４ｘ －１ ＝ ９ １ －ｘ ． 解 去括号，得 ２ｘ －４ －１２ｘ ＋３ ＝ ９ －９ｘ． 移项，得 ２ｘ －１２ｘ ＋９ｘ ＝ ９ ＋４ －３． 合并同类项，得 －ｘ ＝ １０． 两边同除以 ，得 －１ ｘ ＝－１０． 注意：（）用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项， １ 并且不要搞错符号； （） 不是方程的解，必须把 系数化为 ，才算 ２ －ｘ ＝１０ ｘ １ 完成解的过程 ． ８８ 第 章 一次方程与方程组 ３下面是解方程的全过程，解法正确吗？试给出评判 １． ． 解方程：（ ） （ ） （ ） ３ ｙ －３ －５ １ ＋ｙ ＝ ７ ｙ －１ ． 解 去括号，得 ３ｙ －３ －５ ＋５ｙ ＝ ７ｙ －１． 移项，得 ３ｙ ＋５ｙ －７ｙ ＝－１ ＋３ －５． 故 ｙ ＝－３． 解下列方程： ２． （） （ ）； （） （ ） （ ） ； １ ６ ＝ ５ｙ －２ ｙ ＋４ ２ ５ ｍ ＋８ －６ ２ｍ －７ ＝ １ （） （ ） （ ）； （） （ ） （ ） （ ） ３ ５ ｘ ＋２ ＝ ２ ２ｘ ＋７ ４ ３ ２ｙ ＋１ ＝ ２ １ ＋ｙ ＋３ ｙ ＋３ ． 例 解方程： １０ｘ ＋１ ２ｘ ＋１ ４ ｘ － ＝ －１． ６ ４ 解 去分母，得 （ ） （ ） １２ｘ －２ １０ｘ ＋１ ＝ ３ ２ｘ ＋１ －１２． 去括号，得 １２ｘ －２０ｘ －２ ＝ ６ｘ ＋３ －１２． 移项，得 １２ｘ －２０ｘ －６ｘ ＝ ３ －１２ ＋２． 合并同类项，得 －１４ｘ ＝－７． 两边同除以 ，得 －１４ １ ｘ ＝ ． ２ 通过上面的例子，总结出解一元一次方程 一般有哪些步骤，每步的根据是什么？ ８９ 一元一次方程及其解法 ３．１下面方程解的过程是否正确？若不正确，请改正 １． ． 解方程：３ｘ －２ ｘ ＋２ ＝ －１． ３ ６ 解 两边同乘以 ，得 ６ ６ｘ －２ ＝ ｘ ＋２ －６． 移项、合并同类项，得 ５ｘ ＝－２． 系数化成 ，得 １ ２ ｘ ＝－ ． ５ 把下列方程去分母，所得结果对不对？如果不对，请改正： ２． （）方程为：２ｘ －１ ５ｘ ＋１ １ － ＝ １． ６ ４ 去分母，得 （ ） （ ） ２ ２ｘ －１ －３ ５ｘ ＋１ ＝ １． （）方程为：２ｘ ＋３ ９ｘ ＋５ ２ － ＝ ０． ２ ８ 去分母，得 （ ） （ ） ４ ２ｘ ＋３ － ９ｘ ＋５ ＝ ８． 解下列方程： ３． （）２ｘ ＋１ ｘ ＋１ ； （） ｙ －１ ｙ ＋２； １ － ＝ ０ ２ ｙ － ＝－ ５ ３ ２ ５ （）３ [ ２ ( ｘ ) ] ； （）１．１ －４ｘ １．３ －３ｘ ５ｘ －０．４ ３ －１ －２ －ｘ ＝ ２ ４ － ＝ ． ２ ３ ４ ０．６ ０．２ ０．３ 习题 ３． １ 填空，并在括号内注明是根据等式的哪条基本性质变形的： １． （）如果 ，那么 （ ） １ ｘ ＋７ ＝ １０ ｘ ＝ １０ － ． （）如果 ｘ ，那么 （ ） ２ ＝ ３ ｘ ＝ ． ２ ９０ 第 章 一次方程与方程组 ３（）如果 ２ ２ ，那么 （ ） ３ ２ｘ － ＝－ ２ｘ ＝ ． ３ ３ （）如果 ，那么 （ ） ４ －４ｘ ＝ ２ ｘ ＝ ． 根据等式的基本性质解下列方程，并检验： ２． （） ； （） ； １ ｘ ＋７ ＝ ４ ２ ５ｘ ＝ ４ｘ ＋３ （） ； （） ３ －２ｘ ＝ ６ ４ ０．５ｘ ＋１ ＝ ３． 小华在解方程 时是这样写解的过程的： ３． ｘ －２ ＝ ３ ｘ －２ ＝３ ＝ｘ ＝３ ＋２ ＝５． 小华这样写对不对？为什么？应该怎样写？ 解下列一元一次方程： ４． （） ； １ ３ｘ ＝ １２ ＋２ｘ （） ； ２ －６ｘ －７ ＝－７ｘ ＋１ （） （ ） ； ３ ５ｘ ＋ ｘ ＋１ ＝１９ （） （ ） （ ） ４ ３ ｘ －７ ＋５ ｘ －４ ＝１５． 解下列一元一次方程： ５． （）１ ( １ ) ； １ ｘ －１ －１ ＝ １ ２ ２ （）１ [ １ （ ）] ２ （ ）； ２ ｘ － ｘ －１ ＝ ｘ －１ ２ ２ ３ （）ｘ －２ ２ｘ －１ ； ３ － ＝ １ ４ ６ （）ｘ ＋４ ｘ －３ ； ４ － ＝－１．６ ０．２ ０．５ （）５ｙ ＋１ ９ｙ ＋１ １ －ｙ ５ ＝ － ． ６ ８ ３ 解本节问题 所得的方程： ６． ２ （ ） ３６ ＋ｘ ＝ ２ １２ ＋ｘ ． 等于什么数时，代数式 ｘ 与５ －２ｘ 的值相等？ ７． ｘ ６ ＋ ３ ２ 在公式 中，已知 ， ， ，求 ８． ｖ ＝ ｖ ＋ａｔ ｖ ＝ １００ ｖ ＝ ２５ ａ ＝ １０ ｔ． ０ ０ 在公式 （ ）中，已知 ， ，求 （ 取 ） ９． Ｓ ＝ ２πｒ ｒ ＋ｈ Ｓ ＝ ９４２ ｒ ＝ １０ ｈ． π ３．１４ 已知 是方程 的解，求系数 １０． ｘ ＝ ５ ａｘ －８ ＝ ２０ ＋ａ ａ． ９１ 一元一次方程及其解法 ３．１小华（ ）邀小明（ ）玩一个猜数 Ｈ Ｍ 游戏（图 ）： ３ ２ ：你任意想好一个数，不说出来 Ｈ ． 只要你对所想的数连续进行如下四步 运算：减去 、乘以 、加上 、除以 将 ３ ４ １２ ２． 最后得数告诉我，我能立即猜出你原来 想的是什么数 ． ：（想了一下） Ｍ －１０． ：你想的数是 Ｈ －５． ：对 Ｍ ． 图 ３ ２ （）你能说明这个猜数游戏的道理吗？ １ （）你能设计另一个猜数游戏，去考考你的同学吗？ ２ ９２ 第 章 一次方程与方程组 ３３． 一元一次方程的应用 ２ 例 如图 ，用直径为 的圆柱体钢，锻造一 １ ３ ３ ２００ ｍｍ 个长、宽、高分别为 ， 和 的长方体毛 ３００ ｍｍ ３００ ｍｍ ９０ ｍｍ 坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时 取 ，结果 π ３．１４ 精确到 ）？ １ ｍｍ 图 ３ ３ 分析：把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生了 圆柱体体积 变化，但锻造前后的体积是相等的，也就是 ＝ （ 为底面 圆柱体体积 长方体体积 πｒ２ｈ ｒ ＝ ． 圆半径，为高）、 解 设应截取的圆柱体钢长为 根据题意，得 ｈ ｘ ｍｍ． 长方体体积 ＝ (２００)２ （ 为 长， ３．１４ × ｘ ＝ ３００ ×３００ ×９０． ａｂｃ ａ ｂ ２ 为宽，为高） ｃ ． 解方程，得 ｘ ≈２５８． 答：应截取约 长的圆柱体钢 ２５８ ｍｍ ． 例 为了适应经济发展，铁路运输再次提速 如果客 ２ ． 车行驶的平均速度增加 ，提速后由合肥到北京 ４０ ｋｍ／ｈ 的路程只需行驶 那么，提速前，这趟客车平均 １１１０ ｋｍ １０ ｈ． 每时行驶多少千米？ 分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间 ． 它们之间的基本关系是： ９３ 一元一次方程的应用 ３．２路程 平均速度 时间 ＝ × ． 解 设提速前客车平均每时行驶 ，那么提速后客 ｘ ｋｍ 车平均每时行驶 （ ） 客车行驶路程 ，平均 ｘ ＋４０ ｋｍ． １１１０ ｋｍ 速度是 （ ） ，所需时间是 根据题意，得 ｘ ＋４０ ｋｍ／ｈ １０ ｈ． （ ） １０ ｘ ＋４０ ＝ １１１０． 解方程，得 ｘ ＝ ７１． 答：提速前这趟客车的平均速度是 ７１ ｋｍ／ｈ． 分析行程问题中的等量关系，还可以借助线段示意图 ． 列方程解应用题有哪些步骤？ 以上几例，说明了列方程解应用题的一般步骤： 弄清题意和题中的数量关系，用字母（如 ， ）表示 １． ｘ ｙ 问题里的未知数； 分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）； ２． 根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程； ３． 解这个方程，求出未知数的值； ４． 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答 ５． 案（包括单位名称） ． 列方程，解下列各题： 一种小麦磨成面粉，出粉率为 （即 成为麸子）为了得到 面粉，至少 １． ８０％ ２０％ ． ４ ５００ ｋｇ 需要多少小麦？ ９４ 第 章 一次方程与方程组 ３甲厂有钢材 ，乙厂有钢材 如果每天从甲厂运出 、乙厂运出 ，几天后，甲 ２． ４３２ ｔ ９６ ｔ． ２０ ｔ ４ ｔ 厂剩余的钢材是乙厂的 倍？ ２ 甲、乙两地相距 ，一人骑自行车从甲地出发每时行 ；另一人骑摩托车从乙 ３． １８０ ｋｍ １５ ｋｍ 地同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自行车车速的 倍，问多少时间后两 ３ 人相遇？ 例 王大伯 年前把手头一笔钱作为 年定期存款存 ３ ３ ３ 入银行，年利率为 到期后得到本息共 元，问当年 ５％． ２３ ０００ 王大伯存入银行多少钱？ 分析：本题中涉及的数量关系有 本金 利率 年数 利息， × × ＝ 本金 利息 本息和 ＋ ＝ ． 解 设当年王大伯存入银行 元，年利率为 ，存期 ｘ ５％ ３ 年，所以 年的利息为 元 年到期后的本息共为 ３ ３ ×５％ｘ ．３ 元 ２３０００ ． 根据题意，得 ｘ ＋３ ×５％ｘ ＝ ２３０００． 解方程，得 ２３０００ ｘ ＝ ． １．１５ ｘ ＝ ２００００． 答：当年王大伯存入银行 元 ２００００ ． 例 一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价 ４ 提高 作为标价，然后再按标价 折出售，这样商店每卖 ３０％ ９ 出一个这种书包可盈利 元 问这种书包每个进价多少？ ８．５０ ． 分析：买卖商品的问题中涉及的数量关系有 实际售价 进价（或成本） 利润 － ＝ ． 解 设每个书包进价为 元，那么这种书包的标价为 ｘ （ ），对它打 折得实际售价为 ９ （ ） １ ＋３０％ ｘ ９ × １ ＋３０％ ｘ． １０ ９５ 一元一次方程的应用 ３．２根据题意，得 ９ （ ） × １ ＋３０％ ｘ －ｘ ＝ ８．５０． １０ 解方程，得 ｘ ＝ ５０． 答：这种书包每个进价为 元 ５０ ． 爸爸为小亮存了一笔钱，为期 年 年后本息共 元，小亮爸爸当时存入了多少 １． ５ ．５ ６ ３７５ 元？（当时的 年期储蓄的年利率为 ） ５ ５．５％ 一件夹克衫，按进价加 成(即５ )作为定价 后因季节关系，按定价的 折出售，打折 ２． ５ ． ８ １０ 后每件卖 元，试问一件夹克衫卖出后商家是赔还是赚？ ６０ 例 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队 ５ 排涝的土地面积之比为 ，而这一次装运水泵和耗用的 ４∶５∶６ 电力费用共计 元，三个作业队按土地面积比各应该负担 １２０ 多少元？ 分析：各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正 比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 元 由于共 １２０ ． 有土地 份，因而 元可由 份分担 据此， ４ ＋５ ＋６ ＝ １５ １２０ １５ ． 得解法如下 ． 解 设每份土地排涝分担费用 元，那么三个作业队应 ｘ 负担费用分别为 元、 元、 元 根据题意，得 ４ｘ ５ｘ ６ｘ ． ４ｘ ＋５ｘ ＋６ｘ ＝ １２０． 解方程，得 ｘ ＝ ８． ， ， ４ｘ ＝ ３２ ５ｘ ＝ ４０ ６ｘ ＝ ４８． 答：三个作业队各应该负担 元、 元、 元 ３２ ４０ ４８ ． 注意：本题中“设每份土地排涝分担费用 元”属间接设未 ｘ 知数法 当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法 ． ． ９６ 第 章 一次方程与方程组 ３长方形的长与宽之比为 ，它的周长为 ，求这个长方形的面积 １． ５∶２ ５６ ｃｍ ． 兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股 元，弟弟入股 元，一年后盈利 元 ２． ２５０００ ２００００ ８ ３５２ ． 按入股的资金比例分配，兄弟两人各应分得盈利多少元？ 习题 ３． ２ 有资料表明：我国的水资源总量约为 亿立方米，且主要分布在南方地区 １． ２４ ０００ ． 南方地区的水资源量比北方地区的水资源量的 倍还多 亿立方米 试问北 ３ ４ ０００ ． 方地区的水资源量占全国总量的百分之几？ 将一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体铁块和一个棱长为 的 ２． １２ ｃｍ ６ ｃｍ ４７ ｃｍ ６ ｃｍ 正方体铁块熔成一个底面边长均为 的长方体，求这个长方体的高 １５ ｃｍ ． 通讯员原计划用 从甲地到乙地，因为任务紧急，他每时比原计划快 ，结果 ３． ５ ｈ ３ ｋｍ 提前 到达，求甲、乙两地间的距离 １ ｈ ． 张宏在商场买一种商品 如买 件，则所带钱差 元；如买 件，尚余 元 问 ４． ． ９ ３．５ ８ ２．５ ． 张宏带了多少钱？ 一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的 倍 如果把个位和十位上的数字 ５． ２ ． 对调，那么所得两位数比原两位数大 求原来的两位数 ３６． ． 某种贺年卡大量上市，几天来价格不断下滑 小红第一天买了 张；第二天贺年卡 ６． ． ２ 的价格打 折，小红买了 张；第三天贺年卡的价格又下跌了 元，小红又买了 ８ ５ ０．２ 张，三天共花了 元 如果用 元在第三天买这种贺年卡，能买多少张？ ５ ２９ ． ２９ ９７ 一元一次方程的应用 ３．２３． 二元一次方程组及其解法 ３ 问题 某班同学在植树节时植樟树和白杨树共 ? ４５ 棵 已知樟树苗每棵 元，白杨树苗每棵 元，购买这些树苗 ． ２ １ 用了 元 问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？ ６０ ． 图 ３ ４ 上述问题中有几个未知数，列一元一次方程 １． 能解吗？ 如果设两个未知数 ， ，你能列出几个独立 ２． ｘ ｙ 的方程？ 设樟树苗买了 棵，白杨树苗买了 棵，根据两种树苗 ｘ ｙ 总数为 棵，得 ４５ ｘ ＋ｙ ＝ ４５． ① 又根据购买树苗的总费用是 元，得 ６０ ２ｘ ＋ｙ ＝ ６０． ② 这里的 ， 既要满足树苗总数关系 ，又要满足购买 ｘ ｙ ① 树苗总费用关系 ，就是说它必须同时满足上面 两个 ② ①② 方程 因此，我们把上面两个方程加上括号联立在一起， ． 写成： ， {ｘ ＋ｙ ＝ ４５ ① ， ２ｘ ＋ｙ ＝ ６０ ② 其中每个方程都是含有两个未知数的一次方程，像这样的方 程，叫做二元一次方程 联立在一起的几个方程，称为方程 ． ９８ 第 章 一次方程与方程组 ３组 由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组就叫做二元 ． 一次方程组（ ） ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｕｎｋｎｏｗｎｓ ． 问题 我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有雉 ? （鸡）兔同笼，上有 头，下有 足，问雉、兔各几何？ ３５ ９４ 设有雉 只，兔 只 根据头数、足数可得二元一次方 ｘ ｙ ． 程组： ， {ｘ ＋ｙ ＝ ３５ ① ２ｘ ＋４ｙ ＝ ９４． ② 图 ３ ５ 根据题意，列出二元一次方程组： １． （）小华买了 分与 分的邮票共 枚，花了 元 １ ６０ ８０ １０ ７ ２ 角，那么， 分和 分的邮票各买了多少枚？ ６０ ８０ （）甲、乙两人共植树 棵，甲所植的树比乙所植的树 ２ １３８ 的２ 多 棵，试问甲、乙两人各植树多少棵？ ８ ３ 请你根据生活中的某一事例，编拟一道数学问题并列出方 ［第１（１）题］ ２． 程组 ． 问题 中，我们得到方程组： １ ， {ｘ ＋ｙ ＝ ４５ ① ２ｘ ＋ｙ ＝ ６０． ② 怎样求出其中 ， 的值呢？ ｘ ｙ ９９ 二元一次方程组及其解法 ３．３由 ，得 ① ， ｙ ＝ ４５ －ｘ ③ 通 过 “代 这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数 ． 入”，消 去 了 一 把 代入 ，得 ③ ② 个未知数，二元 （ ） ， ２ｘ ＋ ４５ －ｘ ＝ ６０ 转化 成 一 元 求 这是一个一元一次方程 解了！ ． 解方程，得 ｘ ＝ １５． 把 代入 ，得 ｘ ＝ １５ ③ ｙ ＝ ３０． 把 ， 代入原方程组中的两个方程中去检 ｘ ＝ １５ ｙ ＝ ３０ 验，两个方程都成立 所以，它们是这个二元一次方程组的 ． 解，我们把它写成如下的形式： ， {ｘ ＝ １５ ｙ ＝ ３０． 即樟树苗买了 棵，白杨树苗买了 棵 １５ ３０ ． 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的 值，叫做二元一次方程组的解 ． 上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是 要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元 一次方程 ． 这里的消元方法是，从一个方程中求出某一个未知数的 表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫 做代入消元法，简称代入法（ ） ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ． 例 解方程组： １ ， {２ｘ ＋３ｙ ＝－７ ① ｘ ＋２ｙ ＝ ３． ② 分析：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未 知数的代数式表示 方程 中 的系数是 ，因此，可以先将方 ． ② ｘ １ １ ００ 第 章 一次方程与方程组 ３程 变形，用含 的代数式表示 ，再代入方程 求解 ② ｙ ｘ ① ． 解 由 ，得 ② ｘ ＝ ３ －２ｙ． ③ 把 代入 ，得 ③ ① （ ） ２ ３ －２ｙ ＋３ｙ ＝－７． －ｙ ＝－１３． ｙ ＝ １３． 把 代入 ，得 ｙ ＝ １３ ③ ｘ ＝ ３ －２ ×１３． ｘ ＝－２３． ， 所以 {ｘ ＝－２３ ｙ ＝ １３． 把下列方程写成用含 的代数式表示 的形式： １． ｘ ｙ （） ； １ ３ｘ －２ｙ ＝ ４ （） ； ２ ５ｘ －ｙ ＝ ５ （） ３ ５ｘ ＋２ｙ ＋１ ＝ ０． 用代入法解下列方程组： ２． ， ， （）{ｘ ＋ｙ ＝ ３００ （）{ｘ －３ｙ ＝ １ １ ； ２ ； ｘ ＝ ｙ ＋１０ ｘ ＋２ｙ ＝ ６ ， ， （）{３ｘ －２ｙ ＝ １０ （）{３ｍ －４ｎ ＝ ７ ３ ； ４ ２ｘ －ｙ ＝ ０ ９ｍ －１０ｎ ＋２３ ＝ ０． 解问题 中的方程组： ３． ２ ， {ｘ ＋ｙ ＝ ３５ ２ｘ ＋４ｙ ＝ ９４． ， ， 已知二元一次方程组 {ａｘ ＋ｂｙ ＝ １３ 的解为{ｘ ＝ ３ 求 ， 的值 ４． （ ） ａ ｂ ． ａ ＋ｂ ｘ －ａｙ ＝ ９ ｙ ＝ ２． １ ０１ 二元一次方程组及其解法 ３．３解问题 中的方程组，除代入消元法外，是否还 １ 有别的消元方法？ 根据等式的基本性质可这样来考虑： ， {ｘ ＋ｙ ＝ ４５ ① ２ｘ ＋ｙ ＝ ６０． ② 从方程 的两边各自减去方程 的两边，得 ② ① ２ｘ －ｘ ＝ ６０ －４５． 这样，也得到一个一元一次方程 ． 解方程，得 ｘ ＝ １５． 把 代入 ，得 ｘ ＝１５ ① １５ ＋ｙ ＝ ４５． 解方程，得 ｙ ＝ ３０． ， 这个结果与 所以 {ｘ ＝ １５ 代入法求得的结 ｙ ＝ ３０． 像这种把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未 果一样 ． 知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法（ ａｄｄｉｔｉｏｎ ） ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ． 例 解方程组： ２ ， {４ｘ ＋ｙ ＝ １４ ① ８ｘ ＋３ｙ ＝ ３０． ② 分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减， 都不能消去未知数 或 ，怎么办？我们可以对其中一个 ｘ ｙ （或两个）方程进行变形，使得这个方程组中 或 的系数相 ｘ ｙ １ ０２ 第 章 一次方程与方程组 ３等或互为相反数，再来求解 ． 解法一（消去 ） ｘ 将 ，得 ① ×２ ８ｘ ＋２ｙ ＝ ２８． ③ ，得 ② －③ ｙ ＝ ２． 把 代入 ，得 ｙ ＝ ２ ① ４ｘ ＋２ ＝ １４． ｘ ＝ ３． ， 所以 {ｘ ＝ ３ ｙ ＝ ２． 解法二（消去 ） 请同学们自己完成 ｙ ． 例 解方程组： ３ ， {４ｘ ＋２ｙ ＝－５ ① ５ｘ －３ｙ ＝－９． ② 分析：比较方程组中的两个方程， 的系数的绝对值比 ｙ 较小，将 ， ，就可使 的系数绝对值相等，再用加 ① ×３ ② ×２ ｙ 减法即可消去 ｙ． 解 ，得 ① ×３ １２ｘ ＋６ｙ ＝－１５． ③ ，得 ② ×２ １０ｘ －６ｙ ＝－１８． ④ ，得 ③ ＋④ ２２ｘ ＝－３３． ３ ｘ ＝－ ． ２ 把 ３ 代入 ，得 ｘ ＝－ ① ２ －６ ＋２ｙ ＝－５． １ ｙ ＝ ． ２ １ ０３ 二元一次方程组及其解法 ３．３３ ， { ｘ ＝－ 所以 ２ １ ｙ ＝ ． ２ 用加减法解下列方程组： ， ， （ ） {２ ｘ － ３ ｙ ＝ ５ （）{ｘ ＋２ｚ －９ ＝ ０ １ ； ２ ； ２ｘ －２ｙ ＝－２ ３ｘ －ｚ ＋１ ＝ ０ １ ， ， { ｘ ＋３ｙ ＝ １９ （）{４ｘ －２ｙ ＝ ３９ （） ３ ３ ； ４ ３ｘ －４ｙ ＝ １８ １ ｙ ＋３ｘ ＝ １１． ３ 用代入法、加减法解方程组的基本思路、具体步 骤各是什么？用代入法、加减法解题时各应注意些 什么？ 例 解方程组： ４ （ ） （ ）， {２ ｘ －１５０ ＝ ５ ３ｙ ＋５０ ① · · １０％ ｘ ＋６％ ｙ ＝ ８．５％ ×８００． ② 解 将原方程组化简，得 ， {２ｘ －１５ｙ ＝ ５５０ ③ ５ｘ ＋３ｙ ＝ ３４００． ④ ，得 ③ ＋④ ×５ ２７ｘ ＝ １７５５０． １ ０４ 第 章 一次方程与方程组 ３ｘ ＝ ６５０． 将 代入 ，得 ｘ ＝ ６５０ ④ ５ ×６５０ ＋３ｙ ＝ ３４００． ｙ ＝ ５０． ， 所以 {ｘ ＝ ６５０ ｙ ＝ ５０． 解下列方程组： { ｘ ｙ ， ， （） ＋ ＝ １ （）{０．８ｘ －０．９ｙ ＝ ０．２ １ ３ ５ ２ ； （ ） （ ） ； ６ｘ －３ｙ ＝ ４ ３ ｘ ＋ｙ ＋２ ｘ －３ｙ ＝ １５ ｍ ＋ｎ ｎ －ｍ ， { － ＝ ２ ， （） ３ ４ （）{９ｘ ＋７ｙ ＝ ３０ ３ ４ ； ｎ ； ７ｘ ＋９ｙ ＝ ３４ ４ｍ ＋ ＝ ８ ３ ， （）{ｘ ＋ｙ ＝ ６０ ５ · · ３０％ ｘ ＋６０％ ｙ ＝ １０％ ×６０． 习题 ３． ３ 根据第 题中的问题，列出方程组： １ ～４ 如图，图（）中天平的左盘放着一只梨和一只苹果，右盘放有 的砝码，此 １． １ ３００ ｇ （第１ 题） １ ０５ 二元一次方程组及其解法 ３．３时天平平衡；图（）中，把梨和苹果分别放在天平的左、右盘中，当右盘内加一个 ２ 的砝码时，天平又达到平衡 问梨和苹果各为多少克？ ５ ｇ ． 有甲、乙两个数，它们的和是 ，甲数的 倍比乙数大 ，求这两个数 ２． ２５ ２ ８ ． 赵亮家年初从承包的鱼塘中捕捞鲫鱼和鲢鱼共 ，卖出后得 元 已知 ３． ２０００ ｋｇ １３６００ ． 鲫鱼每千克 元，鲢鱼每千克 元 问鲫鱼、鲢鱼各捕捞了多少千克？ ８ ６ ． 据资料所得，我国由风蚀和水蚀造成的水土流失面积达 万平方千米 其中风蚀 ４． ３５７ ． 造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多 万平方千米 问风蚀与水蚀 ３５ ． 造成的水土流失面积各是多少万平方千米？ 用代入法解下列方程组： ５． ， ， （ ）{ ３ ｘ ＋ ４ ｙ ＝ ２ （）{ｘ ＋ｙ ＝ ５ １ ； ２ ； ２ｘ －ｙ ＝ ５ ３ｘ －７ｙ ＝ １１ ， ， （）{２ｘ －３ｙ ＝ ８ （）{９ｘ ＋８ｙ ＝－２ ３ ； ４ ； ３ｘ ＋７ｙ ＝ ０．５ ４ｘ ＋５ｙ ＝－１１ ２ｕ ３ｖ １ ， （ ） ，  ＋ ＝ （）{３ ｘ －１ ＝ ｙ ＋５ （） ３ ４ ２ ５ （ ） （ ）； ６  ５ ｙ －１ ＝ ３ ｘ ＋５  ４ｕ ＋ ５ｖ ＝ ７ ．  ５ ６ １５ 用加减法解下列方程组： ６． ， ， （）{４ｍ －３ｎ ＋１ ＝ ０ （）{５ｘ ＋２ｙ ＝ ２ １ ； ２ ； ２ｍ ＋６ｎ ＝ ７ ７ｘ －５ｙ ＝ ３４ ， ， （）{３ｘ ＋ｙ ＋１ ＝ ０ （）{３ｘ －４ｙ ＋５ ＝ ０ ３ ； ４ ； ３ｙ ＝ ２ｘ ＋１９ ５ｘ ＋２ｙ ＝ ９ ｘ ＋１ ｙ ＋２ ， ，  － ＝ ０ （）{８ｘ ＋３ｙ ＋２ ＝ ０ （） ３ ４ ５ ； ６  ６ｘ ＋５ｙ ＋７ ＝ ０  ｘ －３ － ｙ －３ ＝ １ ．  ４ ３ １２ 解下列方程组： ７． （ ） {２ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ ， （） ＝ －１ （）２ｖ ＋ｔ ３ｖ －２ｔ ； １ ３ ４ ２ ＝ ＝ ３ （ ） （ ） ； ３ ８ ６ ｘ ＋ｙ ＝ ４ ２ｘ －ｙ ＋１６ （ ） ， （）{５ ｘ －３ｙ －６ ＝ ２ｘ ＋１ ３ （ ） ３ ｘ ＋６ｙ ＋４ ＝ ９ｙ ＋１９． １ ０６ 第 章 一次方程与方程组 ３３． 二元一次方程组的应用 ４ 列方程组解决实际问题，是中学数学应用的一个重要方 面 方程组是一组表示相等关系的等式，因此，对于一个实际 ． 问题，要想通过列出方程组来求解，就得从问题中找出一组 相等关系，这是列方程组解应用题的关键一环 下面通过一 ． 些例子来学习建立方程组的方法 ． 例 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 分， １ ３ 平一场得 分 市第二中学足球队比赛 场，没有输过一 １ ． １１ 场，共得 分 试问该队胜几场，平几场？ ２７ ． 解法一 如果设该市第二中学足球队胜 场，那么该队 ｘ 平（ ）场 根据得分规定，胜 场，得 分，平（ ） １１ － ｘ ． ｘ ３ｘ １１ －ｘ 场，得（ ）分 共得 分，得方程 １１ －ｘ ． ２７ （ ） ３ｘ ＋ １１ －ｘ ＝ ２７． 解方程，得 ｘ ＝ ８． （场） １１ －ｘ ＝ １１ －８ ＝ ３ ． 答：该市第二中学足球队胜 场，平 场 ８ ３ ． 如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数 分别用不同的未知数 ， 来表示，是否能列出方程 ｘ ｙ 组来求解呢？ １ ０７ 二元一次方程组的应用 ３．４解法二 设市第二中学足球队胜 场，平 场 由该队 ｘ ｙ ． 共比赛 场，得方程 １１ ｘ ＋ｙ ＝ １１． ① 又根据得分规定，胜 场，得 分，平 场，得 分，共 ｘ ３ｘ ｙ ｙ 得 分，因而得方程 ２７ ３ｘ ＋ｙ ＝ ２７． ② 解方程 组成的方程组，得 ①② ， {ｘ ＝ ８ ｙ ＝ ３． 答：该市第二中学足球队胜 场，平 场 ８ ３ ． 例 甲、乙两人相距 ，以各自的速度同时出发 如 ２ ４ ｋｍ ． 果同向而行，甲 追上乙；如果相向而行，两人 后相 ２ ｈ ０．５ ｈ 遇 试问两人的速度各是多少？ ． 分析：用示意图来表示数量关系，比较直观，便于找到 相等关系 本例中“同时出发，同向而行”，可用图 ． ３ ６ 表示 ． 图 ３ ６ “同时出发，相向而行”，可用图 表示 ３ ７ ． 画示意图可 以帮助我们理清 数量间的关系 ． 图 ３ ７ 解 设甲、乙的速度分别是 ， 根据题意 ｘ ｋｍ／ｈ ｙ ｋｍ／ｈ． 与分析中图示的两个相等关系，得 １ ０８ 第 章 一次方程与方程组 ３， {２ｘ －２ｙ ＝ ４ ① １ １ ｘ ＋ ｙ ＝ ４． ② ２ ２ ，得 ② ×４ ＋① ４ｘ ＝ ２０． ｘ ＝ ５． 将 代入 ，得 ｘ ＝ ５ ① ｙ ＝ ３． ， 所以 {ｘ ＝ ５ ｙ ＝ ３． 答：甲的速度是 ，乙的速度是 ５ ｋｍ／ｈ ３ ｋｍ／ｈ． 某班课外活动小组买了 副象棋和 副跳棋，共计 元 已知 副象棋的价格比 副跳 １． ９ ７ ７０ ． ２ １ 棋的价格高 元 角，问 副象棋和 副跳棋的价格各是多少元？ １ ５ １ １ 某人骑自行车预定用同样时间往返于甲、乙两地 来时每时行 ，结果迟到 ； ２． ． １２ ｋｍ ６ ｍｉｎ 回去时每时行 ，结果早到 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来预定的 １５ ｋｍ ２０ ｍｉｎ． 时间 ． 一艘江轮航行在相距 的两个港口之间，顺流需 ，逆流需 ，求江轮在 ３． ７２ ｋｍ ４ ｈ ４ ｈ４８ ｍｉｎ 静水中的航速 ． （顺流航行的航速 船在静水中速度 水速；逆流航行的航速 船在静水中速度 ＝ ＋ ＝ － 水速） 例 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合 ３ 而成，要求原料中含二氧化硅 根据化验，石英砂中含 ７０％． 二氧化硅 ，长石粉中含二氧化硅 试问在 原 ９９％ ６７％． ３．２ ｔ 料中，石英砂和长石粉各多少吨？ 分析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间 有何关系？引入未知数，填写下表： １ ０９ 二元一次方程组的应用 ３．４石英砂 长石粉 总量 ／ｔ ／ｔ ／ｔ 列表可以帮 需要量 助我们理清数量 ｘ ｙ ３．２ 含二氧化硅 关系 ９９％ｘ ６７％ｙ ７０％ ×３．２ ． 解 设需石英砂 ，长石粉 ｘ ｔ ｙ ｔ． 由所需总量，得 ｘ ＋ｙ ＝ ３．２． ① 再由所含二氧化硅的百分率，得 本 题 如 果 ９９％ｘ ＋６７％ｙ ＝ ７０％ ×３．２． ② 解方程 组成的方程组，得 只引入一个未知 ①② ， 数能解决吗？试 {ｘ ＝ ０．３ 试看 ． ｙ ＝ ２．９． 答：在 原料中，石英砂 ，长石粉 ３．２ ｔ ０．３ ｔ ２．９ ｔ． 某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多 计划明年春播作物的面积增 １． ６３０ ｈｍ２． 加 ，秋播作物的面积减少 ，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加 ２０％ １０％ 试求这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？ １２％． 甲、乙两种铜块分别含铜 和 请问这两种铜块各取多少克，熔化后才能得到 ２． ６０％ ８０％． 含铜 的铜块 克 ７４％ ５００ ． 例 某村 位农民筹集 万元资金，承包了一些低产 ４ １８ ５ 田地 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整， ． 改种蔬菜和荞麦 种这两种作物每公顷所需的人数和需投入 ． 的资金如下表： 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金 万元 ／ 蔬菜 ５ １．５ 荞麦 ４ １ 在现有的条件下，这 位农民应承包多少公顷田地，怎样 １８ １ １０ 第 章 一次方程与方程组 ３安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？ 分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够 用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下： 作物品种 种植面积 需要人数 投入资金 万元 Ｓ／ｈｍ２ ／ 蔬菜 ｘ ５ｘ １．５ｘ 荞麦 ｙ ４ｙ ｙ 合计 １８ ５ 解 设蔬菜的种植面积为 ，荞麦的种植面积为 ｘ ｈｍ２ 根据题意，得 ｙ ｈｍ２． ， {５ｘ ＋４ｙ ＝ １８ １．５ｘ ＋ｙ ＝ ５． 解方程组，得 ， {ｘ ＝ ２ ｙ ＝ ２． 承包田地的面积为 （ ） ｘ ＋ｙ ＝ ４ ｈｍ２ ． 人员安排为 （人）， （人） ５ｘ ＝ ５ ×２ ＝ １０ ４ｙ ＝ ４ ×２ ＝ ８ ． 答：这 位农民应承包 的田地，种植蔬菜和荞麦 １８ ４ ｈｍ２ 各 ，并安排 人种蔬菜，人种荞麦，这样能使所有的人 ２ ｈｍ２ １０ ８ 都有工作，且资金正好够用 ． 某医院利用甲、乙两种原料为病人配制营养品 已知每克甲原料含 单位蛋白质和 １． ． ０．６ 单位铁质，每克乙原料含 单位蛋白质和 单位铁 ０．０８ ０．５ ０．０４ 质，如果病人每餐需 单位蛋白质和 单位铁质，那么每餐 ３４ ４ 甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 某车间有 人，每人每天可以生产螺栓 个或螺母 ２． ９０ ７６００ ８８００ 个，如果一个螺栓配两个螺母 试问应怎样分配人力，才能使 ． 每天生产的螺栓与螺母恰好配套？ （第２ 题） １ １１ 二元一次方程组的应用 ３．４习题 ３． ４ 若干学生分若干支铅笔，如果每人 支，那么多余 支；如果每人 支，那么缺 １． ５ ３ ７ ５ 支 试问有多少名学生？共有多少支铅笔？ ． 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步 如果同时同地出发，相向而行，每隔 ２． ． 相遇一次；如果同向而行，每隔 相遇一次 已知甲比乙跑得快，甲、乙每 ２ ｍｉｎ ６ ｍｉｎ ． 分各跑多少圈？ 某商场向银行申请了甲、乙两种贷款，共计 万元 每年应付利息 万元，甲种贷 ３． ６８ ． ３．８２ 款年利率是 ，乙种贷款年利率是 试问这两种贷款的金额各是多少？ ６％ ５％． 某人装修房屋，原预算 元 装修时因材料费下降了 ，装修工人的工资涨了 ４． ２５ ０００ ． ２０％ ，实际用去 元 求原预算材料费和付给装修工人的报酬各多少？ １０％ ２１５００ ． 辆马车和 辆卡车一次能运货 ， 辆马车和 辆卡车一次能运货 试求 ５． ５ ４ ２４ ｔ １０ ２ ２１ ｔ． 每辆马车和卡车平均各装货多少吨？ 某化肥厂把化肥送到甲、乙两个村庄，先后各送了两次 每次的运量和运费如 ６． ． 下表： 次 序 甲村运量 乙村运量 共计运费 元 ／ｔ ／ｔ ／ 第 次 １ ６ ５ ２７０ 第 次 ２ ８ １１ ４９０ 试问两个村庄应该各负担运费多少元？ 某铁路桥长 ，现有一列火车从桥上通过，测得火 ７． １０００ ｍ 车从开始上桥到完全过桥共用 ，整列火车在桥上的 ６０ ｓ 时间是 试求车速和车长 ４０ ｓ． ． （第７ 题） １ １２ 第 章 一次方程与方程组 ３结合你身边的实际，编制 个可以通过解同一个方程： １． ４ 来解决的问题 ３ｘ ＋４ ＝ ４０ ． 有人说：“凡可用二元一次方程组解决的问题，都可用 ２． 一元一次方程来解决 因此，在学过一元一次方程后没有必要 ． 再学二元一次方程组了 ”对此，谈谈你的看法，并写成小论文 ． ． １ １３ 二元一次方程组的应用 ３．４３．  三元一次方程组及其解法 ５ 许多实际问题，在列方程解时，涉及的未知数往往不止 两个，如本章的“数学史话”所介绍的《九章算术》一书中第 八章第一题，列成方程组，就是 ， {３ｘ ＋２ｙ ＋ｚ ＝ ３９ ， ２ｘ ＋３ｙ ＋ｚ ＝ ３４ ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ２６． 这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫 做三元一次方程组 ． 怎样解三元一次方程组，解二元一次方程组的消元法 （加减消元法和代入消元法）是否能加以推广，用来解三元 一次方程组呢？ 例 解方程组： １ ， {ｘ ＋ｙ ＋２ｚ ＝ ３ ① ， －２ｘ －ｙ ＋ｚ ＝－３ ② ｘ ＋２ｙ －４ｚ ＝－５． ③ 解 先用加减消元法消去 ： ｘ ，得 ② ＋① ×２ ｙ ＋５ｚ ＝ ３． ④ ，得 ③ －① ｙ －６ｚ ＝－８． ⑤ 下面解由 联立成的二元一次方程组： ④⑤ 本套书中凡是标有 的内容均为选学内容，不作考试要求  ． １ １４ 第 章 一次方程与方程组 ３，得 ④ －⑤ ， １１ｚ ＝ １１ ⑥ 所以 ｚ ＝ １． ⑦ 将 代入 ，得 ⑦ ④ ｙ ＝－２． 将 ，的值代入 ，得 ｙ ｚ ① ｘ ＝ ３． ， {ｘ ＝ ３ 所以 ， ｙ ＝ － ２ ｚ ＝ １． 代入原方程组检验，知道这的确是原方程组的解 上面 ． 是先通过消元，消去 和 中 ，将原方程组化成 ② ③ ｘ ， 通过消元， {ｘ ＋ｙ ＋２ｚ ＝ ３ ① ， 把解三元一次方 ｙ ＋５ｚ ＝ ３ ④ 程组的问题转化 ， ｙ －６ｚ ＝－８ ⑤ 成解二元一次方 再通过消元，消去 中 ，化成 程组的问题 ⑤ ｙ ． ， {ｘ ＋ｙ ＋２ｚ ＝ ３ ① ， ｙ ＋５ｚ ＝ ３ ④ ， １１ｚ ＝ １１ ⑥ 通过消元， 然后，由 解得 ，再将 值回代 ，解得 ，最后， ⑥ ｚ ＝１ ｚ ④ ｙ ＝－２ 把解二元一次方 将 ，值回代 ，解得 通过消元，把一个较复杂的三 程组的问题转化 ｙ ｚ ① ｘ ＝ ３． 元一次方程组化为简单易解的形如由 联 立 成 的 阶梯 成解一元一次方 ①④⑥ 形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程就称为 程的问题 ． 用消元法解三元一次方程组 ． １ １５ 三元一次方程组及其解法 ３．５解下列方程组： ， ， {ｘ ＋ｙ ＋ｚ ＝ ６ {２ｘ －ｙ ＋３ｚ ＝ １ （） ， （） ， １ ２ｘ ＋３ｙ －ｚ ＝ ４ ２ ２ｘ ＋２ｚ ＝ ６ ； ３ｘ －ｙ ＋ｚ ＝ ８ ４ｘ ＋２ｙ ＋５ｚ ＝ ４． 例 解《九章算术》第八章第一题的方程组： ２ ， {３ｘ ＋２ｙ ＋ｚ ＝ ３９ ① ， ２ｘ ＋３ｙ ＋ｚ ＝ ３４ ② ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ２６． ③ 解 将方程 前移为第 个方程，将方程 和 分别后 ③ １ ① ② 移为第 个和第 个方程，得 ２ ３ ， {ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ２６ ④ ， ３ｘ ＋２ｙ ＋ｚ ＝ ３９ ⑤ ２ｘ ＋３ｙ ＋ｚ ＝ ３４． ⑥ ， ，得 ⑤ －④ ×３ ⑥ －④ ×２ ， {ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ２６ ④ ， －４ｙ －８ｚ ＝－３９ ⑦ －ｙ －５ｚ ＝－１８． ⑧ ( １ )，得 ⑧ ＋⑦ × － ４ ， ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ２６  ，   －４ｙ －８ｚ ＝－３９   ３３  －３ｚ ＝－ ．  ４ 再通过回代，解得 １１ ， １７ ， ３７ ｚ ＝ ｙ ＝ ｘ ＝ ． ４ ４ ４ １ １６ 第 章 一次方程与方程组 ３３７ ，  ｘ ＝  ４  所以  １７ ， ｙ ＝ ４   １１ ｚ ＝ ．  ４ 例 幼儿营养标准中要求一个幼儿每天所需的营 ３ 养量中应包含 单位的铁、 单位的钙和 单位的维 ３５ ７０ ３５ 生素 现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们 ． 配餐，其中包含 ， ， 三种食物，下表给出的是每份 Ａ Ｂ Ｃ （ ）食物 ， ， 分别所含的铁、钙和维生素的量 ５０ ｇ Ａ Ｂ Ｃ （单位） ． 食 物 铁 钙 维 生 素 Ａ ５ ２０ ５ Ｂ ５ １０ １５ Ｃ １０ １０ ５ （）如果设食谱中 ， ， 三种食物各为 ， ， 份， １ Ａ Ｂ Ｃ ｘ ｙ ｚ 请列出方程组，使得 ， ， 三种食物中所含的营养量刚 Ａ Ｂ Ｃ 好满足幼儿营养标准中的要求 ． （）解该三元一次方程组，求出满足要求的 ， ， 的 ２ Ａ Ｂ Ｃ 份数 ． 解 （）设食谱中 ， ， 三种食物各为 ， ， 份， １ Ａ Ｂ Ｃ ｘ ｙ ｚ 由该食谱中包含 单位的铁、 单位的钙和 单位的维生 ３５ ７０ ３５ 素，得方程组 ， { ５ｘ ＋ ５ｙ ＋１０ｚ ＝ ３５ ① ， ２０ｘ ＋１０ｙ ＋１０ｚ ＝ ７０ ② ５ｘ ＋１５ｙ ＋ ５ｚ ＝ ３５． ③ （） ， ，得 ２ ② －① ×４ ③ －① １ １７ 三元一次方程组及其解法 ３．５， { ５ｘ ＋ ５ｙ ＋１０ｚ ＝ ３５ ① ， －１０ｙ －３０ｚ ＝－７０ ④ １０ｙ － ５ｚ ＝ ０． ⑤ ，得 ⑤ ＋④ ， 你还有其他 { ５ｘ ＋ ５ｙ ＋１０ｚ ＝ ３５ ① 解法吗？ ， －１０ｙ －３０ｚ ＝－７０ ④ －３５ｚ ＝－７０． ⑥ 再通过回代，解得 ， ， ｚ ＝ ２ ｙ ＝ １ ｘ ＝ ２． 答：该食谱中包含 种食物 份， 种食物 份， 种 Ａ ２ Ｂ １ Ｃ 食物 份 ２ ． 解下列方程组： １． ， ， {３ｘ ＋ｙ －４ｚ ＝ １３ {３ｘ －ｙ ＋ｚ ＝ ４ （） ， （） ， １ ５ｘ －ｙ ＋３ｚ ＝ ５ ２ ２ｘ ＋３ｙ －ｚ ＝ １２ ； ｘ ＋ｙ －ｚ ＝ ３ ｘ ＋ｙ ＋ｚ ＝ ６． 某商场计划用 元从某厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求 已知该厂家 ２． ６００００ ． 生产的甲、乙、丙三种型号手机，出厂价分别为每部 元、 元和 元 该商场 １８００ ６００ １２００ ． 用 元恰好购买上述三种型号手机共 部，因市场需求甲型号手机比丙型号手 ６００００ ４０ 机多购买了 部，求该商场购买了上述三种型号手机各多少部？ ２４ 习题 ３． ５ 解下列方程组： １． ， ， {ｘ ＋ｙ ＋ｚ ＝ ３ {ｘ ＋２ｙ ＝ ９ （） ， （） ， １ ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ６ ２ ｙ －３ｚ ＝－５ ； ； ２ｘ ＋ｙ ＋２ｚ ＝ ５ －ｘ ＋５ｚ ＝ １４ １ １８ 第 章 一次方程与方程组 ３， ， {２ｘ －２ｙ ＋ｚ ＝ ０ {２ｘ ＋３ｙ ＋ｚ ＝ １１ （） ， （） ， ３ ２ｘ ＋ｙ －ｚ ＝ １ ４ ｘ ＋ｙ ＋ｚ ＝ ６ ； ｘ ＋３ｙ －２ｚ ＝ １ ３ｘ －ｙ －ｚ ＝－２． 已知甲、乙两数之和为 ，乙、丙两数之和为 ，甲、丙两数之和为 ，求这三个数 ２． ３ ６ ７ ． 在等式 中，当 时， ；当 时， ；当 时， ３． ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ ＋ｃ ｘ ＝－１ ｙ ＝０ ｘ ＝ ２ ｙ ＝３ ｘ ＝５ 求 ， ， 的值 ｙ ＝ ６０． ａ ｂ ｃ ． 某饮食方案中要求每天食谱中包含 单位的脂肪， 单位的蛋白质， 单位 ４． １００ ２００ ４００ 的淀粉 现有三种食品 ， ， ，每份（ ）食品 ， ， 分别所含的脂肪、蛋白 ． Ａ Ｂ Ｃ ５０ ｇ Ａ Ｂ Ｃ 质和淀粉的量（单位）如下表： 食 品 脂 肪 蛋 白 质 淀 粉 Ａ ２ ７ １７ Ｂ ２ ４ ７ Ｃ １０ １６ ３０ 试求满足要求的 ， ， 的份数 Ａ Ｂ Ｃ ． 联产品的成本计算 奶制品加工厂可以同时生产出牛奶、奶油等产品， 煤气厂在生产过程中，会同时生产出煤气、焦炭和煤焦 油等产品 一个工厂使用同种原料，经过同一加工过程 ． 而同时生产出来的两种或两种以上的主要产品称为联 产品 如何确定联产品中每种产品的单位成本（即每千 ． 克的成本）呢？可以通过几次测试来求解 ． （）设某工厂在一次投料生产过程中能同时生产 １ 出两种产品，现通过两次测试，每次测试所花费的联合 １ １９ 三元一次方程组及其解法 ３．５成本（指 和 两种产品的成本之和，其中 Ａ Ｂ 每种产品的成本 产量 单位成本） ＝ × 如下： 产品 批 次 ／ｋｇ 联合成本 万元 ／ Ａ Ｂ 第一批生产 ４０ ２０ １６ 第二批生产 １６０ ６０ ６０ 试求每种产品的单位成本 ． （）设某工厂在一次投料生产过程中能同时获得 ２ 三种产品，现通过三次测试，每次测试所花费的联合成 本如下： 产品 批 次 ／ｋｇ 联合成本 万元 ／ Ａ Ｂ Ｃ 第一批生产 １００ ４０ ４０ １３２ 第二批生产 ４００ １８０ １６０ ５３８ 第三批生产 ５００ ２４０ ２２０ ６８６ 试求每种产品的单位成本 ． １ ２０ 第 章 一次方程与方程组 ３３． 综合与实践 ６ 一 次 方 程 组 与 技 术 ＣＴ 是 射线计算机断层成像（ — ＣＴ Ｘ Ｘ ｒａｙ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ）的简称，它显著地改善了 射线检查的分辨能 ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ Ｘ 力，其分辨率大大高于一般 光机，能清楚地显示出器官是 Ｘ 否有病变，因而被广泛地用于医学诊断 ． 的工作程序是这样的：根据人体不同组织对 射线 ＣＴ Ｘ 吸收程度的不同，运用灵敏度极高的仪器对人体进行检查， 然后将检查所获取的数据输入计算机，由计算机对数据进行 处理，就可得到人体被检查部位的各断层的图象，从而发现 体内任何部位的细小病变 ． 如 在对人的大脑进行检查时，为了显示整个头部 ＣＴ 的情况，就需要先把它分成多个连续的横断面即断层，断 图 ３ ８ ＣＴ 检查 层厚度一般为 ，再进行扫描，以获得各断层 １ ～ １０ ｍｍ 图象 ． 图 ３ ９ 头部断层 各断层的 图象是如何得来的？我们在受检体内欲 ＣＴ 成图象的断层表面上，按一定大小（长或宽为 ）把 １ ～２ ｍｍ 断层划分成许多很小的部分（它的高就是断层的厚度），这 些小块就称为体素，如图 ，一般用吸收值来表示 射线 ３ ９ Ｘ １ ２１ 综合与实践 一次方程组与 技术 ３．６ ＣＴ束穿过一个体素后被吸收的程度，要得到该断层的图象，要 发现受检体有无病变，就需要把它上面的各体素的吸收值都 求出来 ． 图 ３ １０ 如何求一个断层上各体素的吸收值呢？下面我们用 最简单的由 ，， 三个体素组成的断层（图 ）为例 Ａ Ｂ Ｃ ３ １０ 来加以说明 设体素 ，， 的吸收值分别为 ，，，则 射 ． Ａ Ｂ Ｃ ｘ ｙ ｚ Ｘ 线束 穿过体素 和 后，由探测器测得的总吸收值 １ Ａ Ｂ 为 ，则 ｐ １ ｘ ＋ｙ ＝ｐ ． ① １ 同样， 射线束 穿过体素 和 后，测得总吸收值为 ， 此方法称为 Ｘ ２ Ａ Ｃ ｐ Ｘ ２ 联立方程法，由于 射线束 穿过体素 和 后，测得总吸收值为 ，则 ３ Ｂ Ｃ ｐ 需建立的方程太 ３ ， 多，因而建立图象 ｘ ＋ｚ ＝ｐ ② ２ 的速度较慢 目前 ． ｙ ＋ｚ ＝ｐ ． ③ ３ 图象的建立 ＣＴ 将方程 联立起来，得到一个含有未知数 ，，的 普遍采用滤波反 ①②③ ｘ ｙ ｚ 三元一次方程组，解此方程组，可以求得体素 ，， 的各自 投影法，建立图象 Ａ Ｂ Ｃ 的速度很快，待 吸收值 Ｘ ． 射线扫描结束之 由于一般的断层至少也得划分成 个 １６０ ×１６０ ＝２５ ６００ 后，随之可得 ＣＴ 体素， 射线束从不同位置、不同方向穿过该断层，因而需 图象 Ｘ ． 要解由此而建立的 个元的一次方程组，才能求出各体 ２５６００ 素的吸收值 ． １ ２２ 第 章 一次方程与方程组 ３问题 设图 中测得的 个总吸收值分别为 ? ３ １０ ３ ， ， ，求体素 ，， 的吸收值 ｐ ＝ ０．８ ｐ ＝ ０．５５ ｐ ＝ ０．６５ Ａ Ｂ Ｃ ． １ ２ ３ 问题 如图 ，设 个病人甲、乙、丙的 个体素 ? ３ １０ ３ ３ ，， 被 射线束 ，， 分别穿过后所测得的总吸收值 Ａ Ｂ Ｃ Ｘ １ ２ ３ 如下： 总 吸 收 值 病 ｐ ｐ ｐ 人 １ ２ ３ 甲 ０．４５ ０．４４ ０．３９ 乙 ０．９０ ０．８８ ０．８２ 丙 ０．６６ ０．６４ ０．７０ （）设 ，， 分别为体素 ， ， 的吸收值，完成 １ ｘ ｙ ｚ Ａ Ｂ Ｃ 下表： 体 素 吸 病 收 值 ｘ ｙ ｚ 人 甲 乙 丙 （）设 射线束穿过健康器官、肿瘤、骨质的体素吸收 ２ Ｘ 值如下： 在 图象 ＣＴ 组 织 类 型 体素吸收值 中，各体素的黑 健康器官 白程度是由吸 ０．１６２５ ～０．２９７７ 收值来定的，深 肿瘤 ０．２６７９ ～０．３９３０ 色表示低吸收 骨质 值区，浅色表示 ０．３８５７ ～０．５１０８ 高吸收值区 对照上表，分析 个病人的检测情况，判断哪位患有 ． ３ 肿瘤 ． １ ２３ 综合与实践 一次方程组与 技术 ３．６ ＣＴ“方程”的由来 一次方程的问题，在我国数学史上占有重要的地位 我国古 ． 代数学专著《九章算术》中，第八章的章名就叫“方程”图 讲 ． ３ １１ 的就是列多元一次方程组解决实际问题 ． 图 ３ １１ 在我国古代还没有 ， ，这些符号，也没有阿拉伯数字，不 ｘ ｙ ｚ 能用笔在纸上作运算 我们的祖先是如何列方程组解决问题的 ． 呢？他们创造了用算筹（竹子做的条形棒子）来表示数目的方法 ． 如图 所示，它有下面的两种排列方式： ３ １２ 图 ３ １２ １ ２４ 第 章 一次方程与方程组 ３运算是把算筹摆在桌面上进行的 ． “方程”中的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一 秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗 问上、中、下禾实一秉各 ． 几何？” 按今天的解法，即设上、中、下等稻子（禾）每捆（秉）可出谷子 （实）分别为 ， ，（斗），于是得含三个未知数的方程组： ｘ ｙ ｚ ， {３ｘ ＋２ｙ ＋ｚ ＝ ３９ ， ２ｘ ＋３ｙ ＋ｚ ＝ ３４ ｘ ＋２ｙ ＋３ｚ ＝ ２６． 而《九章算术》中的解，只是根据条件，将 题中各个系数依次摆出像图 的格式，然 （上等稻子捆数） ３ １３ 后用直除法（列与列相减，这里不详细介绍） （中等稻子捆数） 去解 ． 由于这样排出的数字构成一个方阵，而且 （下等稻子捆数） 方阵中各个数字所在位置不可任意调换，排列 （打出稻谷斗数） 有严格程式 《九章算术》称它为“方程”这也 ． ． 是方程一词的最早来源 以后，就把含未知数 ． 的等式（不论是含一个或多个未知数）统称为 图 ３ １３ 方程了 ． 一、内容整理 １ ２５ 小结·评价二、主要知识回顾 等式的基本性质是： １． （） ； １ （） ； ２ （） ； ３ （） ４ ． 解一元一次方程，就是根据等式的基本性质和运算律，通过 、 ２． 、 、 等步骤，将原方程变形为最简方程 （ ）的 ａｘ ＝ ｂ ａ ≠０ 形式，再在方程两边同除以未知数的系数 ，从而得出方程的解 ｂ ａ ｘ ＝ ． ａ 解二元一次方程组的基本思路是：通过 ，把解二元一次方程组 ３． 转化成解 消元常见方法有 和 ． ． 方程（组）是反映现实世界数量之间相等关系的一个有效的数学模型 ４． ． 建立方程（组）模型解决实际问题的关键是：首先分析问题中有哪些数量，其 次是分析这些数量间有怎样的关系，然后再建立相关模型 ． 三、自评与互评 和同伴一起比较“代入法”和“加减法”的异同点，然后互出两道题，互 １． 相检测一下，看解答是否正确、简捷 ． 通过学习一元一次方程、二元一次方程组和三元一次方程组的解法， ２． 你有怎样的体会？ 解下列一元一次方程： １． （） ； （） ； １ ７ｘ ＝－３ｘ ＋５ ２ ３ｘ －２７ ＝ １５ －３ｘ （） （ ） ； （） （ ） （ ） ３ １２ －３ ２ －ｙ ＝ ６ｙ ＋５ ４ ６ ｙ ＋７ －３ ＝ ４ ３ －ｙ ＋３． 解下列一元一次方程： ２． （）２ｘ ＋１ ｘ ＋１１； （）２ （ ） １ ３ （ ） １ ＝ ２ ｙ －３ ＝ ｙ － ｙ －７ ． ３ ５ ５ ３ ５ １ ２６ 第 章 一次方程与方程组 ３解下列方程组： ３． ， ， （）{３ｘ －２ｙ ＝ １０ （）{２ｘ ＋３ｙ －２ ＝ ０ １ ； ２ ； ４ｘ －３ｙ ＝ １３ ４ｘ －９ｙ ＋１ ＝ ０ ｙ ｘ ＋１ ， （ ），  － ＝ ３ （）{ｘ ＋１ ＝ ５ ｙ ＋２ （） ３ ６ ３ （ ） （ ） ； ４  ３ ２ｘ －５ －４ ３ｙ ＋４ ＝ ５ ２ ( ｘ － ｙ ) ＝ ３ ( ｘ ＋ ｙ ) ．  ２ １８ 在等式 中，当 时， ；当 时， 试求 ，的值 ４． ｙ ＝ ｋｘ ＋ｂ ｘ ＝ １ ｙ ＝ ３ ｘ ＝－２ ｙ ＝ ９． ｋ ｂ ． 将内径为 的圆柱形玻璃杯装满水，用它向一个长方体铁盒中倒水 已知长 ５． ９０ ｍｍ ． 方体铁盒的长、宽、高分别为 ， ， ，问当铁盒装满水时，玻璃 １３１ ｍｍ １３１ ｍｍ ８１ ｍｍ 杯中水的高度大约下降多少毫米？ 某公路收费站的收费标准是：大客车 元，大货车 ６． ２０ 元，轿车 元 某天通过该收费站的三种车辆的数 １０ ５ ． 量之比是 ，共收费 万元 试问这天通过收 ５∶７∶６ ４．８ ． 费站的三种车辆各是多少辆？ 运输户承包运送 套玻璃茶具，运输合同规定： ７． ２ ０００ 每套运费 元；如有损坏，每套不仅得不到运费， １．６ 还要赔 元，结果，这个运输户得到运费 元 １８ ３ １０２ ． （第６ 题） 问运输过程中损坏了几套茶具？ 同一建筑工地上，在甲处劳动的有 人，在乙处劳动的有 人 现调来 人支 ８． ２７ １９ ． ２０ 援，使在甲处的总人数为在乙处的总人数的 倍 问调来的 人分配至甲、乙两 ２ ． ２０ 处各多少人？ 有一旅客携带 行李乘飞机去外地 按规定，旅客最多可免费携带 行 ９． ３０ ｋｇ ． ２０ ｋｇ 李，超重部分每千克按当班飞机票价格的 购买行李票 现该旅客购买了 １．５％ ． 元的行李票，问当班飞机票的价格是多少元？ １２０ 在长方形 中，放入 个形状和大小相同的小长 １０． ＡＢＣＤ ８ 方形，位置和尺寸如图所示，试求阴影部分的面积 ． 某厂现有厂房 ，计划拆除部分旧厂房，重建 １１． １５ ０００ ｍ２ 新厂房，使厂房总面积扩大 如果新建厂房的面 ４０％． 积是拆除的旧厂房面积的 倍，那么应该拆除多大面 ３ （第１０ 题） 积的旧厂房？新建厂房面积有多大？ １ ２７ 小结·评价某印刷厂第一、二两个装订车间由于改进了操作方法，每天第一车间多装订书 １２． ，第二车间多装订书 如果改进后一天共装订书 册，那么比原来 １０％ １５％． ５ ０００ 一天多装订书 册 试问原来第一、二车间一天各装订书多少册？ ６００ ． 某校今年秋季招收七年级、高中一年级新生共 人 计划明年秋季这两个年级 １３． ５００ ． 招生数比今年增加 ，其中七年级增加 ，高中一年级增加 ，求该校明 １８％ ２０％ １５％ 年计划招收七年级、高中一年级新生各多少人？ 某人用 元买进甲、乙两种股票，当甲股票升值 ，乙股票下跌 时全 １４． ２４０００ １５％ １０％ 部卖出，共获利 元（不计佣金和印花税等交易成本）试问某人买了甲、乙 １ ３５０ ． 两种股票各是多少元？ 将浓度为 的酒精与浓度为 的酒精混合，制成了浓度为 的酒精 １５． ３０％ ６０％ ５０％ ，问前两种酒精各使用了多少千克？ ３０ ｋｇ 某天，一蔬菜经营户用 元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共 到 １６． ６０ ４０ ｋｇ 菜市场去卖，西红柿和豆角这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品 名 西红柿 豆角 批发价 元 ／ １．２ １．６ 零售价 元 ／ １．８ ２．５ 问：他当天卖完这些西红柿和豆角共能赚多少钱？ 甲、乙两人同时解方程组 １． ， {ａｘ ＋ｂｙ ＝ ２ ｍｘ －７ｙ ＝ ８． ， 甲解对了，得 {ｘ ＝ ３ ｙ ＝ ２． ， 乙写错了 ，得 {ｘ ＝－２ ｍ ｙ ＝－２． 试求原方程组中 ， ， 的值 ａ ｂ ｍ ． １ ２８ 第 章 一次方程与方程组 ３某商品的进价为 元，标价为 元，折价销售时的利润率为 ，问此商品是 ２． ２００ ３００ ５％ 利润 按几折销售的？ [利润率 ] ＝进价（或成本） 一个三位数，个位、百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的 倍比 ３． ７ 个位、十位上的数字之和大 ，个位、十位、百位上的数字之和是 ，求这个三 ２ １４ 位数 ． 我国古代数学专著《九章算术》中有一题：用卖 头牛、 头羊的钱买 头猪，剩 ４． ２ ５ １３ 钱 ；用卖 头牛、头猪的钱买 头羊，钱正好；用卖 头羊、 头猪的钱买 １０００ ３ ３ ９ ６ ８ ５ 头牛，还差钱 求牛、羊、猪每头的价钱各多少？ ６００． 三个连续整数的和为 ，求这三个数 如果是三个连续偶数，是否有解？如果是三 １． ６６ ． 个连续奇数，是否有解？ 某本书正文所标注的页码共用了 个阿拉伯数字，问这本书的正文共有多 ２． ２ ９８９ 少页？ １ ２９ 小结·评价直线与角 几何图形 ４．１ 线段、射线、直线 ４．２ 线段的长短比较 ４．３ 角 ４．４ 角的比较与补 ４．５ （余）角 用尺规作线段与角 ４．６ ， ， ， RUV(cid:144)(cid:145)‘(cid:146)*(cid:147)(cid:148) (cid:149)V(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153) (cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157) (cid:158) (cid:159)(cid:160)¡N¢.&(cid:150)£⁄． ， !"0OPQRSETU,VW ’(XY@Z,) -./． １ ３０ 第 章 直线与角 ４４． 几何图形 １ 我们周围的物体，多姿多彩 如果只研究它们的形状和 ． 大小，而不涉及它们的其他性质，就得到各种几何图形 ． 画线，把图 中上一行的物体与下一行中类 ４ １ 似它们的几何图形连接起来： 图 ４ １ 你能再举一些类似于上面这些图形的物体吗？ 长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 １ ３１ 几何图形 ４．１（ ） ｓｏｌｉｄ ． 包围着体的是面（ ）面有平的面与曲的面两种 ｓｕｒｆａｃｅ ． ． 平面没有边界 教室里窗户玻璃的表面、黑板的表面给 ． 我们的都只是平面的局部的形象 ． 观察图 ，回答： ４ １ 长方体、四面体各有几个面？它们是平的面还是曲的面？ １． 包围着圆柱、圆锥、球的面是平的面还是曲的面？ ２． 长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，这 样的几何体都是多面体 ． 圆柱、圆锥、球都是旋转体 围成圆柱、圆锥的面有平的 ． 面和曲的面，其中平的面是底面、曲的面是侧面 围成球的面 ． 是曲的面 ． 空中架设的电线（图 ）、墙面与地板面的交界线都 ４ ２ 给我们线的形象 几何体中面与面相交形成线（ ）多面 ． ｌｉｎｅ ． 体中面与面的交线是直的，它们叫做多面体的棱 圆柱、圆锥 ． 中侧面与底面的交线是曲线 ． 图 ４ ２ 线与线相交得到点（ ）多面体中棱与棱相交的点 ｐｏｉｎｔ ． 叫做顶点，如长方体有 个顶点，四面体有 个顶点 ８ ４ ． 几何图形是由点、线、面、体组成的 其中点是最基本的图 ． 形 电视屏幕上的画面，可以看作是由点组成的，如图 ． ４ ３． 几何图形中，像直线、角、三角形、圆等，它们上面的各点 都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形；像长方体、圆 图 ４ ３ 柱体、球等，它们上面的各点不都在同一个平面内，这样的图 形叫做立体图形 ． １ ３２ 第 章 直线与角 ４几何图形在建筑、图案、徽标等许多方面都有着广泛的 应用，如图 ４ ４． 图 ４ ４ 试举出图形是长方体、圆柱的实物的例子 １． ． 下图中的蒙古包，可看作由哪些几何体组成的？ ２． （第２ 题） 习题 ４． １ 把图中一些实物与类似它们的几何图形用线连接起来 １． ． （第１ 题） １ ３３ 几何图形 ４．１数一数长方体、四面体的面数、顶点数和棱数，并填写下表： ２． 名 称 面数（） 顶点数（） 棱数（） ｆ ｖ ｅ ｆ ＋ｖ －ｅ 长方体 四面体 收集应用几何图形的实际例子（商标、图案、标志等），与同学进行交流 ３． ． 制作正多面体 本书最后附有两张如图 且放大了的手工图 ４ ５ 纸，请剪下后粘合，做成 个正多面体的模型 ５ ． 数学家欧拉 （ ， Ｌ． Ｅｕｌｅｒ １７０７ ～ 年，原籍瑞士） １７８３ 发现多面体中，面 图 ４ ５ 数 、顶点数 和棱 ｆ ｖ 对照模型，填写下表： 数 之间存在着本 ｅ 题中得到的重要关 名 称 面数（） 顶点数（） 棱数（） ｆ ｖ ｅ ｆ ＋ｖ －ｅ 系式，并证明了它 （）正四面体 ． １ 人们把这个著名的 （）正六面体 ２ 关系式称为欧拉 （）正八面体 ３ 公式 ． （）正十二面体 ４ （）正二十面体 ５ 从中你能得出怎样的规律？ １ ３４ 第 章 直线与角 ４４． 线段、射线、直线 ２ 如图 （），长方体的棱可以看作是什么 １． ４ ６ １ 图形？ 如图 （），数学课本封面长方形的边是 ２． ４ ６ ２ 什么图形？ 图 ４ ６ 在图 中，像长方体的棱、长方形的边，这些图形都 ４ ６ 是线段（ ） ｌｉｎｅ ｓｅｇｍｅｎｔ ． 线段有两个端点 以 ， 为端点的线段，记作线段 ． Ａ Ｂ ＡＢ （或线段 ）或线段 该线段可以用图 的方式表示 图 ４ ７ ＢＡ ａ． ４ ７ ． 线段可以延长 用直尺画线段 的延长线，如图 （）； ． ＡＢ ４ ８ １ 延长线段 （或称反向延长线段 ），如图 （） ＢＡ ＡＢ ４ ８ ２ ． １ ３５ 线段、射线、直线 ４．２图 ４ ８ 将线段向一个方向无限延长就得到了射线（ 或 ｒａｙ ｈａｌｆ ）图 （）中所示的光线给我们射线的形象 射线有 ｌｉｎｅ ． ４ ９ １ ． 一个端点，它可以用图 （）所示的方式表示，图中的射 ４ ９ ２ 线记作射线 （端点 应写在点 之前） ＯＰ Ｏ Ｐ ． 图 ４ ９ 将线段向两个方向无限延长就形成了直线（ ｓｔｒａｉｇｈｔ ｌｉｎｅ 或 ）直线没有端点，它可以用图 所示的方式表 ｒｉｇｈｔ ｌｉｎｅ ． ４ １０ 示，图中的直线记作直线 （或直线 ）或直线 ＡＢ ＢＡ ｌ． 图 ４ １０ 如图 （），经过一点 画直线，可以画 １． ４ １１ １ Ａ 几条？如图 （），经过两点 ， 画直线，可以 ４ １１ ２ Ａ Ｂ 画几条？ 图 ４ １１ 图 ４ １２ 如图 ，要把一根挂衣帽的挂钩架，水平 ２． ４ １２ 固定在墙上，至少要钉几个钉子？ １ ３６ 第 章 直线与角 ４上面问题，反映了直线有如下基本事实： 基本事实 经过两点有一条直线，并且只 是人们在长期 有一条直线 实践中总结出 ． 来的结论，可以 图 中直线 与直线 相 ４ １３ ｌ ｍ 作为后面几何 交，得到一个交点 ，它们会不会还 图 ４ １３ Ａ 证 明 的 原 始 有另外的交点？为什么？ 依据 ． 根据上面的基本事实，可得直线的如下性质： 两条直线相交只有一个交点 ． 如图，下列语句的叙述是否正确，为什么？ １． （）线段 与线段 是同一条线段； （ ） １ ＡＢ ＢＣ （）直线 与直线 是同一条直线； （ ） ２ ＡＢ ＢＣ （）点 在线段 上； （ ） （第１ 题） ３ Ａ ＢＣ （）点 在射线 上 （ ） ４ Ｃ ＡＢ ． 读下列语句，并按照这些语句画出图形： ２． （）直线 经过点 ； １ ＤＥ Ｆ （）点 在直线 外； ２ Ｐ ｌ （）在同一平面内，经过点 有三条直线 ， ， ； ３ Ｏ ａ ｂ ｃ （）直线 和 相交于点 ４ ＡＢ ＣＤ Ｏ． 习题 ４． ２ 如图，已知三点 ， ， 画线段 、直线 、射线 １． Ａ Ｂ Ｃ． ＡＢ ＢＣ ＣＡ． （第１ 题） １ ３７ 线段、射线、直线 ４．２填空： ２． （）图（）中，共有 条线段，它们是 ； １ １ （）图（）的长方体，共有 条棱，其中以点 为端点的棱有 条，它们是 ２ ２ Ｂ ． （第２ 题） （）关于直线，有哪些基本事实和性质？ ３． １ （）射线有几个端点？线段有几个端点？ ２ （）线段 与线段 是同一条线段吗？ ３ ＡＢ ＢＡ 如图，射线 与射线 是同一条射线吗？射线 与 ４． ＯＡ ＡＢ ＯＡ 射线 呢？ ＡＯ （第４ 题） １ ３８ 第 章 直线与角 ４４． 线段的长短比较 ３ 小明和小刚站在一起，谁的个子高（图 ）？ ４ １４ 比较两条线段 与 的长短，可以采用叠合的 ＡＢ ＣＤ 方法 ． 将 ， 放在同一条直线上，如图 ，使端点 ＡＢ ＣＤ ４ １５ 与 重合，端点 与 落在 的同一侧 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ ． 当点 与 重合时，线段 与线段 相等 １． Ｄ Ｂ ＡＢ ＣＤ ［图 （）］，记作 ４ １５ １ ＡＢ ＝ ＣＤ． 当点 在线段 内部时，线段 大于线段 图 ４ １４ ２． Ｄ ＡＢ ＡＢ ［图 （）］，记作 ＣＤ ４ １５ ２ ＡＢ ＞ ＣＤ． 图 ４ １５ 当点 在线段 延长线上时，线段 小于线段 ３． Ｄ ＡＢ ＡＢ ［图 （）］，记作 ＣＤ ４ １５ ３ ＡＢ ＜ ＣＤ． 我们也可以利用刻度尺量出线段的长度，来比较它们的 长短 ． 在图 （）中，点 在线段 的延长线上，如果线 ４ １６ １ Ｃ ＡＢ 段 ，线段 ，那么线段 就是 与 的和，记 ＡＢ ＝ ａ ＢＣ ＝ｂ ＡＣ ａ ｂ 作 ＡＣ ＝ ａ ＋ｂ． 在图 （）中，点 在线段 上，如果线段 ４ １６ ２ Ｄ ＡＢ ＡＢ ＝ ，线段 ，那么线段 就是 与 的差，记作 ａ Ｄ Ｂ ＝ ｂ Ａ Ｄ ａ ｂ ＡＤ ＝ ａ －ｂ． 图 ４ １６ １ ３９ 线段的长短比较 ４．３在图 中，点 在线段 上且使线段 ， ４ １７ Ｃ ＡＢ ＡＣ ＣＢ 相等，这样的点 叫做线段 的中点（ ），这 Ｃ ＡＢ ｍｉｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ 图 ４ １７ 时有 １ ， ＡＣ ＝ ＣＢ ＝ ＡＢ ２ 或 ＡＢ ＝ ＡＣ ＋ＣＢ ＝ ２ＡＣ ＝ ２ＣＢ． 如图 ，甲、乙两地间有曲线、折线、线段等 条路线可走，其中 １． ４ １８ ４ 哪一条路线最短？ 图 ４ １８ 图 ４ １９ 如图 ，人们修建公路遇到大山阻碍时，为什么时常打通一条穿 ２． ４ １９ 越大山的直的隧道？ 上面问题，反映了线段有如下的基本事实： 两点之间的所有连线中，线段最短 ． 两点 之 间 线 段 的 长 度，叫 做 这 两 点 之 间 的 距 离 （ ） ｄｉｓｔａｎｃｅ ． 例 已知：线段 ，延长 至点 ，使 点 ＡＢ ＝４ ＡＢ Ｃ ＡＣ ＝ １１． 是 的中点，点 是 的中点 求 的长 Ｄ ＡＢ Ｅ ＡＣ ． ＤＥ ． １ ４０ 第 章 直线与角 ４解 如图 ，因为 ，点 为 中点，故 ４ ２０ ＡＢ ＝ ４ Ｄ ＡＢ ＡＤ ＝ ２． 图 ４ ２０ 又 因为 ，点 为 中点， ＡＣ ＝ １１ Ｅ ＡＣ ＡＥ ＝ ５．５． 故 ＤＥ ＝ ＡＥ －ＡＤ ＝ ５．５ －２ ＝ ３．５． 比较各图中线段 与 的长度（可以先目测，再用刻度尺测量） １． ＡＢ ＣＤ ． （第１ 题） 如图，， 是线段 上不同的两点，那么： ２． Ｃ Ｄ ＡＢ （） ， ； １ ＡＣ ＝ －ＤＣ ＢＤ ＝ －ＣＤ （） ， ； ２ ＡＣ ＝ －ＢＣ ＢＤ ＝ －ＡＤ （） ３ ＡＢ ＝ ＋ ＋ ． （第２ 题） （第３ 题） 如图，点 ，， 在一条直线上，已知 ， ， ３． Ａ Ｂ Ｃ ＡＢ ＝３ｃｍ ＢＣ ＝１ｃｍ 是 的中点， 是 的中点，求 的长 Ｍ ＡＢ Ｎ ＢＣ ＭＮ ． 如图，用刻度尺测量出 ， ， 的长度，并比较 ４． ＡＢ ＡＣ ＢＣ ＡＢ ＋ＡＣ 与 的长短 不通过测量，你能比较 与 的长短 ＢＣ ． ＡＢ ＋ＡＣ ＢＣ （第４ 题） 吗？依据是什么？ １ ４１ 线段的长短比较 ４．３习题 ４． ３ 用叠合的方法比较数学课本与练习本的宽，看哪一个长些 １． ． 如图，， 是线段 上两点， 是 的中点， ， ，求 ， ２． Ｃ Ｄ ＡＢ Ｄ ＡＣ ＣＢ ＝ ４ ｃｍ ＤＢ ＝ ７ ｃｍ ＡＢ 的长 ＡＣ ． （第２ 题） 同一条直线上有 ， ， ， ， ， 六个点，且 是 的中点， 是 的中点， ３． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｃ ＡＢ Ｂ ＡＤ Ａ 是 的中点， 是 的中点， ，求 的长 ＢＥ Ｄ ＥＦ ＡＣ ＝ １ ＥＦ ． 线段 上有两点 ， ，点 将 分成两部分， ；点 将 也 ４． ＡＢ Ｐ Ｑ Ｐ ＡＢ ＡＰ∶ ＰＢ ＝２ ∶ ３ Ｑ ＡＢ 分成两部分， ；且 求 ， 的长 ＡＱ ∶ ＱＢ ＝ ４ ∶１ ＰＱ ＝ ３ ｃｍ． ＡＰ ＱＢ ． 已知线段 ，点 是任意一点，那么线段 与 的和最少是多少？ ５． ＡＢ ＝ １０ ｃｍ Ｃ ＡＣ ＢＣ １ ４２ 第 章 直线与角 ４４． 角 ４ 钟面上的时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条 相交棱所构成的图形（图 ），都给我们以角（ ）的 ４ ２１ ａｎｇｌｅ 形象 ． 图 ４ ２１ 图 ４ ２２ 角可以看作是从一点 出发的两条射线 ， 所组 Ｏ ＯＡ ＯＢ 用三个字 成的图形（图 ），其中，点 叫做角的顶点，射线 ， ４ ２２ Ｏ ＯＡ 母表示角时，要 叫做角的边 这个角可记作 ，读作“角 ”（当不 把表示顶点的 ＯＢ ． ∠ＡＯＢ ＡＯ Ｂ 引起误解时，也可记作 ） 字母写在中间 ∠Ｏ ． ． 角还可以用如图 所示的方法表示，图中的角记作 ４ ２３ 或 ∠１ ∠α． 在没有特 别说明的情况 下，我们说的角 都是在 ０° ～１８０° 图 ４ ２３ 图 ４ ２４ 之间 ． 也可以看成是射线 绕着点 旋转到 的 ∠ＡＯＢ ＯＡ Ｏ ＯＢ 位置后形成的图形（图 ）射线 ， 分别叫做这个 ４ ２４ ． ＯＡ ＯＢ 角的始边和终边 ． １ ４３ 角 ４．４填空： １． 如图，从端点 引出射线 ， ， ， ，图中小于 的角 Ｏ ＯＡ ＯＢ ＯＣ ＯＤ ９０° 分别是 ． 填表： ２． （第１ 题） 名 称 锐角 钝角 周角 图 形 范 围 α ＝９０° α ＝３６０° 角的度量单位是“度、分、秒”把一个周角 等分，每 ． ３６０ 一等份是 度的角， 度记作 ；把 的角 等分，每一等 １ １ １° １° ６０ 份是 分的角， 分记作 ；把 的角 等分，每一等份是 １ １ １′ １′ ６０ １ 秒的角，秒记作 即 １ １″． ， １° ＝ ６０′ １′ ＝ ６０″． 例 计算： １ （）用度、分、秒表示 ； １ ３０．２６° （） 等于多少度？ ２ ４２°１８′１５″ 解 （）因为 １ ０．２６° ＝ ６０′ ×０．２６ ， ＝ １５．６′ ０．６′ ＝ ６０″ ×０．６ ， ＝ ３６″ 所以 ３０．２６° ＝ ３０°１５′３６″． １ ４４ 第 章 直线与角 ４（）因为 ( １ )′ ２ １５″ ＝ ×１５ ６０ ， ＝ ０．２５′ ( １ )° １８．２５′ ＝ ×１８．２５ ６０ ， ≈０．３０４° 所以 ４２°１８′１５″≈４２．３０４°． 例 把一个周角 等分，每份是多少？（精确到 ） ２ １７ １′ 解 ３６０° ÷１７ ＝ ２１° ＋３° ÷１７ ＝ ２１° ＋１８０′ ÷１７ ≈２１°１１′． 填空： １． （）( １ )° ； （） １ ＝ ′ ″ ２ ５２°１９′１２″ ＝ °． ４ 计算： ２． （） ； （） ； １ ２５°２３′１７″ ＋４６°５３′４３″ ２ ７５°２３′１２″ －４６°５３′４３″ （） ； （） ３ １９°２０′２４″ ×４ ４ １３４°２２′ ÷３． 习题 ４． ４ 如图是中央电视台部分节目的播出时间，分别确定钟表上时针与分针所成的最小 １． 的角的度数 ． （第１ 题） １ ４５ 角 ４．４平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运 ２． 动的方向，这种表示方向的角叫做方向角，在测绘、航海 中经常用到 如图， 是表示北偏东 方向的一条射 ． ＯＡ ２０° 线 仿照这条射线画出表示下列方向的射线： ． （）北偏西 ； （）南偏东 ； １ ５０° ２ １０° （）西南方向（即南偏西 ） ３ ４５° ． 计算： ３． （） ； １ ３０°１９′２１″ ＋１５°４０′４２″ （） ； （第２ 题） ２ ９０° －６８°１７′５０″ （） ； ３ ４０．８２° ＝ ° ′ ″ （） ； ４ ５２°２２′ ×９ （） （精确到 ） ５ １７８°５３′ ÷５ １′ ． 已知一条射线 ，若从点 再引两条射线 ， ，使 ， ４． ＯＡ Ｏ ＯＢ ＯＣ ∠ＡＯＢ ＝ ７２° ∠ＢＯＣ ＝ ，求 的度数 ３６° ∠ＡＯＣ ． １ ４６ 第 章 直线与角 ４４． 角的比较与补（余）角 ５ 比较两个角的大小，可以采用叠合的方法 ． 叠合 与 ，如图 ，把 移 ∠ＤＥＦ ∠ＡＢＣ ４ ２５ ∠ＤＥＦ 动，使它的顶点 移到和 的顶点 重合，一 Ｅ ∠ＡＢＣ Ｂ 边 和 重合，另一边 和 落在 的同 ＥＤ ＢＡ ＥＦ ＢＣ ＢＡ 旁 如果 和 重合，那么 ． ＥＦ ＢＣ ∠ＤＥＦ ＝ ∠ＡＢＣ ［图 （）］；如果 落在 的内部，那么 ４ ２５ １ ＥＦ ∠ＡＢＣ ［图 （）］；如果 落在 ∠ＤＥＦ ＜∠ＡＢＣ ４ ２５ ２ ＥＦ ∠ＡＢＣ 的外部，那么 ［图 （）］ ∠ＤＥＦ ＞ ∠ＡＢＣ ４ ２５ ３ ． 图 ４ ２５ 我们也可用量角器量出角的度数，再比较它们的大小 ． 在图 中， 是 与 的和，记作 ４ ２６ ∠ＡＯＣ ∠ＡＯＢ ∠ＢＯＣ ， 是 与 的 ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＡＯＢ ＋ ∠ＢＯＣ ∠ＡＯＢ ∠ＡＯＣ ∠ＣＯＢ 差，记作 类似地， ∠ＡＯＢ ＝ ∠ＡＯＣ － ∠ＣＯＢ． ∠ＡＯＣ － ∠ＡＯＢ ＝ ∠ＣＯＢ． 图 ４ ２６ １ ４７ 角的比较与补（余）角 ４．５例 如图 ，求解下列问题： １ ４ ２７ （）比较 与 ， 与 的大小； １ ∠ＡＯＣ ∠ＢＯＣ ∠ＢＯＤ ∠ＣＯＤ （）将 写成两个角的和与两个角的差的形式 ２ ∠ＡＯＣ ． 解 （）由图 可以看出： １ ４ ２７ ，（ 在 内） ∠ＡＯＣ ＞ ∠ＢＯＣ ＯＢ ∠ＡＯＣ （ 在 内） ∠ＢＯＤ ＞ ∠ＣＯＤ． ＯＣ ∠ＢＯＤ （） ， ２ ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＡＯＢ ＋∠ＢＯＣ 图 ４ ２７ ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＡＯＤ －∠ＤＯＣ． 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分 成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线（ ａｎｇｕｌａｒ ） ｂｉｓｅｃｔｏｒ ． 如图 ， 是 的平分线，这时有： ４ ２８ ＯＣ ∠ＡＯＢ １ ， ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＣＯＢ ＝ ∠ＡＯＢ ２ 或 ∠ＡＯＢ ＝ ２∠ＡＯＣ ＝ ２∠ＣＯＢ． 图 ４ ２８ 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角 互为补角（ ），简称互补 ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ａｎｇｌｅ ． 如图 ， ， 叫做 的补角， ４ ２９ ∠１ ＋∠２ ＝１８０° ∠１ ∠２ ∠２ 也叫做 的补角， 与 互补 ∠１ ∠１ ∠２ ． 图 ４ ２９ 图 ４ ３０ 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角 互为余角（ ），简称互余 ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ａｎｇｌｅ ． 如图 ， ， 叫做 的余角， ４ ３０ ∠α ＋∠β ＝９０° ∠α ∠β ∠β 也叫做 的余角， 与 互余 ∠α ∠α ∠β ． １ ４８ 第 章 直线与角 ４例 如图 ， ， 与 互补， 与 ２ ４ ３１ ∠１ ＝ ∠３ ∠１ ∠２ ∠３ 互补，那么 与 有什么关系？ ∠４ ∠２ ∠４ 图 ４ ３１ 解 因为 与 互补，所以 ∠１ ∠２ ∠２ ＝ １８０° － ． 因为 与 互补，所以 ∠３ ∠４ ∠４ ＝ １８０° － ． 又 因为 ，所以 ∠１ ＝ ∠３ ＝ ． 于是得到补角的性质： 同角（或等角）的补角相等 ． 余角有无与上面补角类似的性质？如果有，你 能说明道理吗？ 同角（或等角）的余角相等 ． 按下列要求画图、计算： １． （）画 ； １ ∠ＡＯＢ ＝ ９０° （）在 外画 ； ２ ∠ＡＯＢ ∠ＢＯＣ ＝ ３０° （）分别画 ， 的角平分线 ， ； ３ ∠ＡＯＢ ∠ＢＯＣ ＯＤ ＯＥ （）求 ， 的度数 ４ ∠ＡＯＣ ∠ＥＯＤ ． １ ４９ 角的比较与补（余）角 ４．５已知：如图，点 为直线 上一点， 是 的平分线， 在 内 看图填 ２． Ｏ ＡＢ ＯＣ ∠ＡＯＢ ＯＤ ∠ＣＯＢ ． 空（选填“ ”“ ”或“ ”）： ＜ ＞ ＝ （） ， １ ∠ＡＯＤ ∠ＡＯＢ ， ∠ＡＯＤ ∠ＤＯＢ ； ∠ＡＯＣ ∠ＢＯＣ （） 的补角是 ， 的余角是 ， ２ ∠ＡＯＤ ∠ＣＯＤ 的补角是 ， 的补角是 ∠ＢＯＤ ∠ＡＯＣ ． （第２ 题） 习题 ４． ５ （）图中共有几个角？说出它们之间的大小关系； １． １ （）把图中的一个角写成另两个角的和； ２ （）把图中的一个角写成另两个角的差 ３ ． （第１ 题） （第２ 题） 如图，点 ，， 在同一条直线上， 是一条射线， ， 分别是 ， ２． Ａ Ｏ Ｂ ＯＣ ＯＥ ＯＦ ∠ＡＯＣ ∠ＣＯＢ 的角平分线 你能说出 的度数吗？你是怎样得到的？ ． ∠ＥＯＦ 已知：如图， ，且 ，求 的度数 ３． ∠ＡＯＢ ＝ １６５° ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ ＝ ９０° ∠ＣＯＤ ． （第３ 题） （第４ 题） 已知：如图，从点 依次引四条射线 ， ， ， ，如果 ， ， ４． Ｏ ＯＡ ＯＢ ＯＣ ＯＤ ∠ＡＯＢ ∠ＢＯＣ ， 的度数之比为 ，求 的度数 ∠ＣＯＤ ∠ＤＯＡ １∶２∶３∶４ ∠ＢＯＣ ． １ ５０ 第 章 直线与角 ４已知：如图， ， 平分 ，且 ５． ∠ＣＯＢ ＝ ２∠ＡＯＣ ＯＤ ∠ＡＯＢ ，求 的度数 ∠ＣＯＤ ＝ １９° ∠ＡＯＢ ． 互余且相等的两个角各是多少度？ ６． 一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？ ７． （第５ 题） 生物中的最佳角 如图 ，大雁迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边 １． ４ ３２ 与其飞行方向夹角是 从空气动力学角度看，这个角度对 ５４°４４′８″． 于大雁队伍飞行最佳，所受阻力最小 ． 图 ４ ３２ 不少植物的叶子在茎上的排布很有规律，如图 （）从茎 ２． ４ ３３ １ ． 的顶端沿茎向下看，相邻两片叶子间的夹角是 ，如图 （） １３７°２８′ ４ ３３ ２ ． 图 ４ ３３ １ ５１ 角的比较与补（余）角 ４．５研究表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的 ． 蜂窝的形状如图 （），其中单个蜂房的横断面是正六 ３． ４ ３４ １ 边形，如图 （），蜂房顶由三个菱形拼接而成，如图 （）， ４ ３４ ２ ４ ３４ ３ 菱形的钝角是 ，锐角是 ，如图 （） １０９°２８′ ７０°３２′ ４ ３４ ４ ． 这种结构使蜂窝具有省料且质量轻的特点 ． 图 ４ ３４ １ ５２ 第 章 直线与角 ４４． 用尺规作线段与角 ６ 画图形、设计图案，时常要画线段和角 ． 画一条线段等于已知线段，可以先用刻度尺量出已知线 段的长度，再画出等于这个长度的线段 ． 画一个角等于已知角，可以利用量角器量出已知角的度 数，再画一个等于这个度数的角 ． 几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画 图的方法叫做尺规作图 ． 下面介绍如何用尺规作一条线段等于已知线段，作一个 角等于已知角 ． 例 作一条线段等于已知线段 １ ． 已知：线段 ［图 （）］ ａ ４ ３５ １ ． 求作：线段 ，使 ＡＢ ＡＢ ＝ ａ． 图 ４ ３５ 作法： （）作一条直线 ； １ ｌ （）在 上任取一点 ，以点 为圆心，以线段 的长度 ２ ｌ Ａ Ａ ａ 为半径画弧，交直线 于点 ［图 （）］ ｌ Ｂ ４ ３５ ２ ． 线段 就是所求作的线段 ＡＢ ． 例 作一个角等于已知角 ２ ． 已知： ［图 （）］ ∠ＡＯＢ ４ ３６ １ ． 求作： ，使 ∠ＤＥＦ ∠ＤＥＦ ＝ ∠ＡＯＢ． 作法： （）在 上以点 为圆心，任意长为半径画弧，分 １ ∠ＡＯＢ Ｏ 别交 ， 于点 ，［图 （）］； ＯＡ ＯＢ Ｐ Ｑ ４ ３６ １ 图 ４ ３６ １ ５３ 用尺规作线段与角 ４．６（）作射线 ，并以点 为圆心， 长为半径画弧交 ２ ＥＧ Ｅ ＯＰ 于点 ； ＥＧ Ｄ （）以点 为圆心， 长为半径画弧交第（）步中所 ３ Ｄ ＰＱ ２ 画弧于点 ； Ｆ （）作射线 ［图 （）］， 即为所求作的角 ４ ＥＦ ４ ３６ ２ ∠ＤＥＦ ． 如图，已知线段 ， ，用直尺和圆规作一条线段 等于 （） ；（） １． ａ ｂ ＡＢ １ ａ ＋ｂ ２ ａ －ｂ． （第１ 题） （第２ 题） 如图，已知 ，用尺规作 ２． ∠α ∠ＡＯＢ ＝ ２∠α． 用直尺和圆规按下列步骤作图： ３． （）作线段 ； １ ＡＢ （）以点 为圆心， 为半径画弧； ２ Ａ ＡＢ （）以点 为圆心， 为半径画弧，与第（）步所画的弧在 的一方交于点 ； ３ Ｂ ＡＢ ２ ＡＢ Ｃ （）连接 ， ，所得的是什么图形？ ４ ＡＣ ＢＣ 习题 ４． ６ 已知线段 ， （ ），用直尺和圆规作一条线段 ，使得线段 等于 １． ａ ｂ ａ ＞ ｂ ＡＢ ＡＢ ２ａ －ｂ． （第１ 题） （第２ 题） １ ５４ 第 章 直线与角 ４已知 ， ，且 ，用直尺和圆规作 ，使得： ２． ∠α ∠β ∠α ＞ ∠β ∠ＡＯＢ （） ； （） １ ∠ＡＯＢ ＝ ∠α ＋∠β ２ ∠ＡＯＢ ＝ ∠α －∠β． 画 图 （）任意画一个圆； １． １ （）以圆心为顶点，利用量角器接连画五个 ２ ７２° （ ）角，这些角的边分别与圆周交于五个点； ３６０° ÷５ （）用线段连接相间的点； ３ （）适当修饰后，即得五角星 ４ ． （）过纸上一点画一些直线，使相邻两条直线之 ２． １ 间的夹角都是 这里是先画出的 条，如图 （）； １０°． ５ ４ ３７ １ （）以该点为中心，分别以 ， ， ， ， ２ １ ｃｍ ２ ｃｍ ３ ｃｍ ４ ｃｍ 等为半径作圆； ５ ｃｍ （）在这个图形上按一定规则着上颜色可得到不 ３ 同的图案 图 （）是一种具有“螺旋”感的图案； ． ４ ３７ ２ （）你可按不同的规则着色，看能否得出别样的 ４ 图案 ． 图 ４ ３７ １ ５５ 用尺规作线段与角 ４．６“几何”的由来 人类早期对几何图形的认识和研究，是由于生产和生活的需 要 几何的起源，在国外可追溯到公元前 年的古埃及 由于 ． ３ ０００ ． 尼罗河泛滥成灾，经常要测量被河水冲毁了的土地，这便逐步产 生了几何图形的知识 埃及文化传入希腊后，公元前 年左右， ． ３００ 希腊数学家欧几里得（ ）在泰勒斯（ ）、毕达哥拉斯 Ｅｕｃｌｉｄ Ｔｈａｌｅｓ （ ）等前人工作基础上，结合自己的发现，把当时已有的 Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ 数学内容，归纳整理写出了一本包括 卷的巨著——— １３ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ （《原本》）在这本书里，对几何图形性质的研究，是从一些基本定 ． 义和尽可能少的几条不言而喻的、一致公认的基本事实（称为公理） 图 ４ ３８ 欧几里得 出发，运用逻辑推理的方法，推演出内容丰富、准确可靠的几何学 ． 从此使几何学成为一门系统演绎的科学 《原本》包括有 条公理、 ． ５ ５ 条公设（现代数学已不区分公设与公理，都称之为公理）、 个定 １１９ 义和 条命题，构成了历史上第一个数学公理体系，它是一部划 ４６５ 时代的数学巨著，影响遍及整个科学领域 ． 年，我国明代科学家徐光启和意大利传教士利玛窦 １６０７ （ ）合作，把该书的前 卷翻译成中文，取名《几何原 Ｍａｔｔｅｏ Ｒｉｃｃｉ ６ 本》书名所加的“几何”两字，出自拉丁文 （ 指土地， ． Ｇｅｏｍｅｔｒｙ Ｇｅｏ 指测量）中 的音译，“几何”在中文里还有“多少”的含 ｍｅｔｒｙ Ｇｅｏ 义 这样，音义兼顾，十分贴切、巧妙 ． ． 图 ４ ３９ 我国古代的许多著作如《墨经》、《周髀算经》、《九章算术》中 记载了大量的图形知识和处理几何问题的方法 年我国考古 ．１９５２ 学家在陕西省西安市半坡村发现一处距今约六七千年的氏族部 落的遗址，表明当时已经会建造圆锥形或长方体形的房屋（图 ） 年在安徽灵璧和浙江嘉兴发现的新石器时代的遗 ４ ３９ ．１９５３ 图 ４ ４０ 址，挖掘出不少碎陶片，上面就有方格、米字、回字等几何图案（图 ）在考古中还发现，公元前 世纪时的浮雕中就有伏羲执 ４ ４０ ． ２ 矩（曲尺）、女娲执规（圆规）的画像（图 ），说明我国古代很 ４ ４１ 早就会使用规和矩，并在实际中运用几何知识了 ． 图 ４ ４１ １ ５６ 第 章 直线与角 ４一、内容整理 二、主要知识回顾 线段是直线的一部分，它有两个端点 １． ． （）线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短； １ （）线段的中点：如图 ， 为 的中点，则 １ ，或 ２ ４ ４２ Ｃ ＡＢ ＡＣ ＝ＣＢ ＝ ＡＢ ２ ＡＢ ＝ ２ＡＣ ＝ ２ＣＢ． 射线是直线的一部分，它有一个端点 ２． ． 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有 图 ４ ４２ ３． 一条直线 ． 直线的性质：两条直线相交只有一个交点 ４． ． 角 ５． ． （）由同一点出发的两条射线所组成的图形，如图 中的 （或 １ ４ ４３ ∠ＡＯＢ ）；也可以看成是射线 绕点 旋转到 位置所形成的图形； ∠α ＯＡ Ｏ ＯＢ 图 ４ ４３ 图 ４ ４４ （）角的平分线：如图 ，若 平分 ，则 ２ ４ ４４ ＯＢ ∠ＡＯＣ ∠ＣＯＢ ＝ ∠ＢＯＡ ＝ １ ５７ 小结·评价１ ； ∠ＡＯＣ ２ （）同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等； ３ （） ， ４ １° ＝ ′ １′ ＝ ″． 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角 ６． ． 三、自评与互评 与小学数学比较，本章有哪些新的内容？ １． 总结所学直线、线段、射线、角的意义、性质和表示方法 ２． ． 与同学合作，检测自己能否根据学过的几何语句准确地画出图形，并 ３． 用学过的语句描述简单的几何图形 ． 已知线段 ，延长 到 ，使 ， 为 的中点，求 的长 １． ＡＢ ＝２ｃｍ ＡＢ Ｃ ＢＣ ＝２ＡＢ Ｄ ＡＢ ＤＣ ． 把一条 的线段分成三段，中间一段长为 ，问第一段中点到第三段中点 ２． ３２ ｃｍ ８ ｃｍ 的距离等于多少？ 如图，用“ ”“ ”或“ ”填空： ３． ＞ ＜ ＝ （）若 是 的平分线，则 ， １ ＢＥ ∠ＡＢＣ ∠ＡＢＣ ∠ＡＢＥ ； ∠ＡＢＥ ∠ＥＢＣ （）已 知 是 上 一 点，则 ， ２ Ｄ ＢＣ ∠ＢＡＤ ∠ＢＡＣ （第３ 题） ∠ＤＡＣ ∠ＢＡＣ． （）作 ，在 的内部作 ， ， ４． １ ∠ＡＯＢ ＝９０° ∠ＡＯＢ ∠ＢＯＣ ＝３０° ∠ＡＯＤ ＝７５° ∠ＡＯＥ ＝ ； ３０° （）填空：在上面所作的图中， ，射线 是 的 ， ２ ∠ＣＯＤ ＝ ＯＤ ∠ＢＯＣ 是 的 ， ＯＥ ∠ＡＯＣ ∠ＤＯＥ ＝ ． 如图， 是一个平角， ， ，那么： ５． ∠ＡＯＢ ∠１ ＝ ∠２ ∠３ ＝ ∠４ （） 是 的角平分线； １ ＯＤ （） 的补角是 ， 的补角是 ， 的补角是 ； ２ ∠ＡＯＣ ∠ＢＯＥ ∠ＡＯＤ （） 的余角是 ， 的余角是 ３ ∠３ ∠１ ． １ ５８ 第 章 直线与角 ４（第５ 题） （第６ 题） 如图，点 在直线 上， ，写出： ６． Ｏ ＡＤ ∠ＢＯＥ ＝ ∠ＣＯＤ ＝ ９０° （）互为余角的角；（）互为补角的角；（）相等的角 １ ２ ３ ． 已知 ，求 的补角和余角的度数 ７． ∠α ＝ ５０°１７′４２″ ∠α ． 根据下列条件，用量角器、刻度尺画出点的位置： ８． （）点 在北偏东 方向上，与点 相距 ； １ Ａ ３０° Ｏ ２ ｃｍ （）点 在北偏西 方向上，与点 相距 ； ２ Ｂ ７０° Ｏ １ ｃｍ （）点 在西南方向上，与点 相距 ； ３ Ｃ Ｏ １．５ ｃｍ （）点 在正东方向上，与点 相距 ４ Ｄ Ｏ １．５ ｃｍ． （第８ 题） 已知甲从点 出发向北偏东 方向走 到达点 ，乙从 ９． Ａ ３０° ５０ ｍ Ｂ 点 出发向南偏西 方向走了 到达点 ，试求 ， 所成的最小的角的 Ａ ３５° ８０ ｍ Ｃ ＡＢ ＡＣ 度数 ． 已知 ， ， ， 四点，任意三点都不在同一直线上，以其中的任意两点为端点的 １． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 线段有多少条？ 线段 ，点 是 中点，点 在 上且 求线段 ２． ＡＢ ＝１２ｃｍ Ｍ ＡＢ Ｃ ＭＢ ＭＣ∶ ＣＢ ＝１∶ ２． ＡＣ 的长 ． 在平面内有 ， ， 是 的平分线， 是 ３． ∠ＡＯＢ ＝５０° ∠ＢＯＣ ＝３０° ＯＭ ∠ＡＯＢ ＯＮ ∠ＢＯＣ 的平分线 求 的度数 ． ∠ＭＯＮ ． １ ５９ 小结·评价设有两块三角尺，其中一块的三个角分别是 ， ， ，另一块的三个角分别是 １． ９０° ６０° ３０° ， ， 你用这两块三角尺能画出多少个小于平角的，度数确定且大小互不 ９０° ４５° ４５°． 相等的角？ 如图，给出一条线段 ，这时，图中的线段条数为 ，记作 ２． ＡＢ １ ，即 如果在 上任取一点 （不与原有端点重 Ｓ Ｓ ＝１． ＡＢ Ｃ ０ ０ 合），这时，共有 条线段，即 （第２ 题） Ｓ １ Ｓ ＝ １ ＋２ ＝ ３． １ 如果在 上任取两个不同点（不与原有各个点重合），这时，共有 条线段， ＡＢ Ｓ ２ 那么 Ｓ ＝ １ ＋２ ＋３ ＝ ６． ２ 如此类推： ， 各等于多少？ Ｓ Ｓ ３ ４ 如果在 上任给 个不同点，那么 等于多少？ ＡＢ ｎ Ｓ ｎ １ ６０ 第 章 直线与角 ４数据的收集与整理 数据的收集 ５．１ 数据的整理 ５．２ 用统计图描述数据 ５．３ 从图表中的数据获 ５．４ 取信息 综合与实践 水资 ５．５ 源浪费现象的调查 、 、 …… ¥ƒ§¤ '“«‹ ›fifl(cid:176) !–(cid:130)†‡·N ， ， *(cid:181) *(cid:181)x¶•.‚(cid:148) „”(»…‰*(cid:181)． ， !"#$0’([\@4*+],;^_!>‘ a ’(bcdefTghijkl． １ ６１ 小结·评价５． 数据的收集 １ 生活中数据无处不在，可是你是否知道，这些数据是如 何得到的？ 问题 班级要举办球类比赛，如果由你来策划这次活 ? 动，你将如何安排？ 解决这个问题，首先需要了解全班每位同学各喜爱哪项 球类活动 为此，你需要进行调查，你可以把要调查的问题作 ． 用字母代替 为目标来设计调查问卷 ． 球类 活 动 的 类 型，便于统计 ． 调 查 问 卷 你喜爱的球类活动是（只选一项） （ ） ． 篮球 足球 乒乓球 羽毛球 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 排球 Ｅ． 填完后，请将问卷交给王平同学，谢谢合作 ． 人口普查是国 家为了解人口情 将问卷发给每位同学，然后收集、记录 ． 况，定期进行的人 下面是对该班 位同学“喜爱的球类活动”收集的资 口调查，它的对象 ５０ 料 习惯上把所收集的资料称为“数据” 是全国所有人口 ． ． ． 我国的人口普查已 进行了 次，第六 ６ 次人口普查是于 年 月 日 ２０１０ １１ １ ０ 时开始的 ． 调查是收集数据的重要方法 在问题 提到的收集数据 ． １ 活动中，全班同学是我们要考察的对象，我们用问卷对全体 １ ６２ 第 章 数据的收集与整理 ５同学作了逐一调查 像这样对全体对象进行的调查叫做全 ． 面调查（普查）我国政府定期进行的人口普查，就是采用全 ． 面调查 ． 问题 某灯泡生产厂家，改进了生产过程中的某一项 ? 工艺，生产出 只新灯泡 现需对这 只新灯泡进行试 ５００ ． ５００ 验，看新灯泡的使用寿命是否比原灯泡长 做这样的试验时， ． 能否对这 只灯泡全部进行试验？为什么？ ５００ 调查、试验如采用普查可以收集到较全面、准确的数据， 图 ５ １ 但普查的工作量比较大，有时受客观条件（人力、财力等）的 限制难以进行；有时由于调查具有破坏性，不允许采用 在这 ． 些情况下，常常采用抽样调查（ ），即从被考 ｓａｍｐｌｉｎｇ ｓｕｒｖｅｙ 察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式 ． 在一个统计问题中，我们把所要考察对象的全体叫做总 体（ ），其 中 的 每 一 个 考 察 对 象 叫 做 个 体 ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ （ ），从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一 ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ 个样本（ ），样本中个体的数目叫做样本容量（ ｓａｍｐｌｅ ｓａｍｐｌｅ ） ｓｉｚｅ ． 例如，在通过试验考察 只新工艺生产的灯泡的使用 ５００ 寿命时，从中抽取 只进行试验 这 只灯泡的使用寿命 ５０ ． ５００ 的全体是总体，其中每只灯泡的使用寿命是个体，抽取的 ５０ 只灯泡的使用寿命是一个样本， 是这个样本的样本容量 ５０ ． 为了使抽取的 只灯泡能很好地反映 只灯泡的情 ５０ ５００ 况，抽取时要使每只灯泡被抽到的机会相等，应该如何抽取？ 可以先把 只灯泡逐一进行编号，再把编号写在小纸 ５００ 片上，将小纸片揉成团，放在一个不透明的容器内，充分搅拌 后，从中一个一个地抽出 个号签 ５０ ． 上面抽取样本的过程中，总体中的各个个体都有相等的 机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样 （ ） ｓｉｍｐｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｓａｍｐｌｉｎｇ ． １ ６３ 数据的收集 ５．１下面的问题都要收集数据，你认为采用全面调查还是抽样调查合适？ １． （）了解本班学生每周的课外阅读时间； １ （）奥运会上，为了解参赛运动员是否服用违禁药物的情况，对运动员进行的尿样 ２ 检查； （）调查中央电视台《焦点访谈》节目的收视率； ３ （）对我国首个空间实验室“天宫一号”的零部件的检查； ４ （）一批罐头产品的质量检查； ５ （）对河水的污染情况的调查 ６ ． 分别指出以下各个问题中的总体、个体、样本和样本容量： ２． （）考察某商场一年中每天的营业额，从中抽取 天的营业额； １ ４０ （）了解一批某种型号电池的使用寿命，从中抽取 节进行检测 ２ １０ ． 某乡为了解果农的年收入情况，从全乡果农中抽取 户果农进行调查，这 户果农 ３． ５０ ５０ 的年收入是（ ） ． （ ）样本 （ ）样本容量 （ ）个体 （ ）总体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 某班举办元旦联欢会，主持人从全班同学中抽取 个幸运奖，要使每名同学都有相等 ４． ５ 的中奖机会，你认为应该如何抽取？ 水库相关数据收集的重要性 在河流上拦河筑坝形成人工的水池（用来调节河水的流量） 就是水库 由于天然来水（包括水库以上河道的来水和库区范围 ． 内的降雨、雪等）的时间，与用水部门需水的时间往往不能吻合， 例如，冬季发电需水量较多，而一般河流都处于枯水期 为充分利 ． 用河流的天然来水，就需要兴建水库，人为地将天然来水在时间 上重新分配，进行调节 当汛期来水流量大于流出的用水流量时， ． 水库就蓄水，水就被暂时蓄于水库；当枯水期来水流量小于用水 流量时，水库就放水，将汛期多余水量调剂到枯水期使用 我国一 ． １ ６４ 第 章 数据的收集与整理 ５般河流汛期和枯水期水量相差悬殊，而多数用水部门如发电、航 运、供水等，一年内需水量变化不大 这就要求在一年范围内将天 ． 然来水重新分配，调节每月用水流量 ． 下表收集的是某水库某年各月的来水流量和用水流量的数 据，其中每月的用水流量都是 ２０．０ ｍ３／ｓ． 月 份 合计 ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １ ２ 来水流量 （ ） ３１．１ ４０．４ ６８．２ ８５．８ ５８．２ ３０．６ １３．４ ６．５ ３．２ ４．４ ９．２ １５．５ ３６６．５ ｍ３／ｓ 用水流量 （ ） ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２０．０ ２４０．０ ｍ３／ｓ 余、亏水量 （ ） １１．１ ２０．４ ４８．２ ６５．８ ３８．２ １０．６ －６．６ －１３．５ －１６．８ －１５．６ －１０．８ －４．５ １２６．５ ｍ３／ｓ 从上表可以看出 月至 月为余水期， 月至次年 月为亏水 ３ ８ ９ ２ 期 本例中 个月的余水期总余水量为 ． ６ １１．１ ＋２０．４ ＋４８．２ ＋６５．８ ＋ （ ）·月， 个月的亏水期总亏水量为 ３８．２ ＋１０．６ ＝１９４．３ ｍ３／ｓ ６ ６．６ ＋ 在水利计 １３．５ ＋１６．８ ＋１５．６ ＋１０．８ ＋４．５ ＝６７．８ （ ｍ３／ｓ ）·月，水库在亏水期需 算 中 常 用 （流 要补充 （ ）·月的水量 由于余水期多余的水量远远超过亏 量·月）表示水 ６７８ ｍ３／ｓ ． 水期所缺的水量，所以该年在亏水期也能正常供水 量，一 个 月 以 ． 由于一个水库的天然来水量每年不同，所以每年都要综合地 日计，即 ３０．４ 考虑汛期与枯水期的均衡发电、水坝与电站的安全及下游用水等 （ ）·月 １ ｍ３／ｓ ＝ 因素，来对水库每月用水流量合理地进行调节，使之得到最佳的综 ２６２６５６０ ｍ３． 合效益 为此，我们需要采集历年的来水流量的数据，一般如有几 ． 十年的来水流量的数据，我们就可以发现来水流量变化的统计规 律，预估未来余、亏水量可能的变化，用以判断水库未来蓄、放水的 工作情况 ． 习题 ５． １ 以你所在班级同学为调查对象，了解一下每位学生的如下情况，你将采用何种调 １． 查方式？（需普查还是抽样调查？若需抽样调查，又该如何抽样？） （）每天课外阅读的时间； １ １ ６５ 数据的收集 ５．１（）每天课外做作业的时间； ２ （）每天进行户外运动的时间； ３ （）全班同学对某科教师教学满意情况 ４ ． 下列问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？ ２． （）为了检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取 件，量得它们的长度如 １ １０ 下（单位： ）： ｃｍ ， ， ， ， ， ２２．３６ ２２．３５ ２２．３３ ２２．３５ ２２．３７ ， ， ， ， ２２．３４ ２２．３８ ２２．３６ ２２．３２ ２２．３５． （）某县参加中考共有 名学生，从中抽取 名考生的成绩进行分析 ２ ５０００ ５００ ． 请设计一个调查个人情况（包括姓名、性别、出生年月、身高、体重、视力等）的问 ３． 卷，对全班的同学进行调查 ． １ ６６ 第 章 数据的收集与整理 ５５． 数据的整理 ２ 在上一节“你喜爱的球类活动”调查中，我们得到了如 下的数据： 从这些数据中，你能一下子就看出喜爱哪项球 类活动的同学最多吗？ 收集到的数据，一般比较散乱，难以从中获得需要的信 息 为此，要对数据进行整理 ． ． 通常将这些数据制成表： 全班同学喜爱的球类活动统计表 节目形式 记 录 人 数 百分率（ ） ％ 篮球（ ） 正正正■ Ａ １７ ３４ 足球（） 正■ Ｂ ８ １６ 乒乓球（） 正正■ Ｃ １４ ２８ 羽毛球（ ） 正■ Ｄ ６ １２ 排球（） 正 Ｅ ５ １０ １ ６７ 数据的整理 ５．２把数据整理成表，同时还常用一些统计图来直观地表达 经整理后得到的结果，使人看到统计图后，便一目了然 常用 ． 的统计图有三种，在小学我们已经学过：条形统计图（ ｂａｒ ）、折线统计图（ ）和 ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｈａｒｔ ｂｒｏｋｅｎ ｌｉｎｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｈａｒｔ 扇形统计图（ ），如图 、图 和 ｓｅｃｔｏｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｈａｒｔ ５ ２ ５ ３ 图 ５ ４． 图 ５ ２ 图 ５ ３ 图 ５ ４ 由图 可见，扇形统计图可以直观、生动地反映出喜 ５ ４ 爱各种球类活动的同学数占全班人数的百分率 ． 在扇形统计图中： 扇形的圆心角 该部分占总体的百分率 ＝３６０° × ． 如表示“篮球”部分的扇形的圆心角为 ３６０° ×３４％ ＝ １２２．４°． 怎样绘制扇形统计图呢？我们来看下面的例子 ． 例 年某调查所进行了“如何度过春节”的调查， ２０１０ 结果如下： “如何度过春节”的调查情况统计表 选 择 占调查人数的百分率（ ） ％ 回家 ４４．５ 旅游 ３７．０ １ ６８ 第 章 数据的收集与整理 ５（续表） 选 择 占调查人数的百分率（ ） ％ 工作 ５．７ 学习 ５．６ 尚未定 ７．２ 请根据上面数据，画出表示调查结果的扇形统计图 ． 分析：根据人们的 种选择情况，要把表示总体的圆分 ５ 成 个扇形 先由每种选择的人数占调查总人数的百分率， ５ ． 计算出相应扇形圆心角的大小；然后，根据各扇形圆心角的 度数，画出各个扇形 ． 解 表示“回家”部分的扇形的圆心角为 ３６０° ×４４．５％ ＝ １６０．２°． 表示“旅游”部分的扇形的圆心角为 ３６０° ×３７．０％ ＝ １３３．２°． 表示“工作”部分的扇形的圆心角为 ． 表示“学习”部分的扇形的圆心角为 ． 表示“尚未定”部分的扇形的圆心角为 图 ５ ５ ． 用量角器画出相应的扇形的圆心角，标明各扇形表示的 部分的名称和所占百分率，得到图 ５ ５． 体育老师对某班同学进行了 跳绳次数的体能测验，所得数据如下： １． １ ｍｉｎ ， ， ， ， ， ， ， ， ４８ ６２ ５４ ５５ ６７ ６５ ５６ ６８ ， ， ， ， ， ， ， ， ５１ ４７ ５８ ６２ ６３ ５８ ６２ ５９ ， ， ， ， ， ， ， ， ５３ ４６ ５８ ６３ ５７ ６０ ６５ ６３ ， ， ， ， ， ， ， ５２ ５４ ６１ ６０ ５４ ５８ ６７ ５８． １ ６９ 数据的整理 ５．２（）根据上述数据，完成下表： １ 全班同学１ ｍｉｎ 跳绳次数分布表 次 数 记 录 人 数 百分率（ ） ％ ４５ ～４９ ５０ ～５４ ５５ ～５９ ６０ ～６４ ６５ ～６９ （）用扇形统计图来表述上表中不同次数范围的人数占总人数的百分率 ２ ． 如图，从这两个统计图中，你能判断哪个学校的男教师多吗？说说道理 ２． ． （第２ 题） 在全校，根据“你知道父母的生日吗？”的调查结果，绘制表示调查结果的扇形统计图 ３． ． 英文字母统计 下面是一篇英语幽默短文： Ｔｈｅ Ｆｉｒｓｔ Ｄａｙ ａｔ Ｓｃｈｏｏｌ ， Ｗｈｅｎ Ｂｉｌｌ ｃａｍｅ ｂａｃｋ ｆｒｏｍ ｓｃｈｏｏｌ ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｄａｙ ｈｉｓ ｍｏｔｈｅｒ ａｓｋｅｄ ｈｉｍ． １ ７０ 第 章 数据的收集与整理 ５： ？ Ｍｏｔｈｅｒ Ｉｓ ｉｔ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｔｏ ｇｏ ｔｏ ｓｃｈｏｏｌ ： ， Ｂｉｌｌ Ｙｅｓ． Ａｆｔｅｒ ｃｌａｓｓ Ｉ ｈａｖｅ ａ ｇｏｏｄ ｔｉｍｅ ｗｉｔｈ ａ ， ｆｅｗ ｃｌａｓｓｍａｔｅｓ． Ｉｆ Ｉ ｄｏｎｔ ｈａｖｅ ａｎｙ ｃｌａｓｓｅｓ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ！ ｅｖｅｎ ｍｏｒｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｔｏ ｇｏ ｔｏ ｓｃｈｏｏｌ 分组完成下面的统计表： 字 字母出现 占字母总数的 字 字母出现 占字母总数的 母 的次数 百分率（ ） 母 的次数 百分率（ ） ％ ％ ａ ｎ ｂ ｏ ｃ ｐ ｄ ｑ ｅ ｒ ｆ ｓ ｇ ｔ ｈ ｕ ｉ ｖ ｊ ｗ ｋ ｘ ｌ ｙ ｍ ｚ 上述表中： （）出现最多的字母为 ； １ （）出现的百分率超过 的字母有 ２ ４％ ． 习题 ５． ２ 数学教师在一次数学活动后，对全班学生就“你是否乐意参加这样的数学活动”进 １． 行了调查，结果如下： １ ７１ 数据的整理 ５．２态 度 人 数 百分率（ ） ％ 乐意参加 ３５ 无所谓 １０ 不乐意 ５ （）持各种态度的学生数占全班人数的百分率是多少？请填入上表； １ （）用扇形统计图表示上述调查结果 ２ ． 下面是某班 名学生立定跳远的得分记录： ２． ４０ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ２ ４ ３ ５ ３ ５ ４ ４ ３ ５ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， １ ５ ３ ３ ２ ４ ３ ５ ４ ４ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ４ ５ ２ ３ ２ ５ ４ ５ ２ ３ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ４ ４ ３ ５ ２ ４ ５ ４ ３ ４． （）用表格整理上面的数据； １ （）用条形统计图表示上面的数据； ２ （）用扇形统计图表示不同得分的同学人数占班级总人数的百分率 ３ ． 如表是我国国家税务总局公布的 年的税收收入统计表 ３． ２００４ ～２０１０ ． 年 份 ２００４ ２００５ ２００６ ２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ 税收收入 亿元 ２５７１８ ３０８６６ ３７６３６ ４９４４９ ５４２２０ ６３１０４ ７７３９０ ／ 请用折线统计图来表示上述税收收入情况 ． １ ７２ 第 章 数据的收集与整理 ５５． 用统计图描述数据 ３ 问题 小华对 年同学家中有无电视机及 ? ２００１ ～２０１１ 近一年来同学在家看电视的情况，在同年级两个班的 名 １００ 同学中作了问卷调查，得到如下两个方面的数据： 调查项目 年拥有电视机的家庭数 １ ２００１ ～２０１１ 年 份 ２００１ ２００３ ２００５ ２００７ ２００９ ２０１１ 户 数 ２０ ３２ ５６ ７０ ８８ ９４ 调查项目 近一年中每周看电视的时间 ２ 看电视的时间 以下 以上 ４ ｈ ４ ～８ ｈ ８ ｈ 占被调查人数的百分率（ ） ％ ３６ ４８ １６ 对于调查项目 ，小华同学画了两幅统计图（图 和 １ ５ ６ 图 ）： ５ ７ 图 ５ ６ 图 ５ ７ １ ７３ 用统计图描述数据 ５．３如果小华想让别人通过统计图很快地了解不同时期拥有电视机户 １． 数的增长情况，你认为选择图 和图 中的哪幅图较合适？ ５ ６ ５ ７ 对于调查项目 ，用怎样的统计图较合适？ ２． ２ 对于常用的三种统计图：条形统计图、折线统计图和扇形统计图 ３． （图 ），说说它们在描述数据上各自的优势 ５ ８ ． 图 ５ ８ 问题 年、 年两次人口普查中，都对每 ? ２０００ ２０１０ １０ 万人中受教育程度的人数进行了统计，结果如下表： 每１０ 万人中受教育程度的人数统计表 受教育程度 人 数 大 学 高 中 初 中 小 学 其 他 普查 年第五次 ２０００ ３６１１ １１１４６ ３３９６１ ３５７０１ １５５８１ 年第六次 ２０１０ ８９３０ １４０３２ ３８７８８ ２６７９９ １１４５１ （）小王用两幅条形统计图比较两次普查各种受教育 １ 程度的情况，如图 ５ ９． （）小李用一幅条形统计图比较两次普查各种受教育 ２ 程度的情况，如图 ５ １０． １ ７４ 第 章 数据的收集与整理 ５图 ５ ９ 图 ５ １０ 哪种方法效果好？好在哪里？ 小明就市电视台的节目受欢迎的情况，对本班 名同学作了一次调查，结果如下： １． ５０ 最受学生欢迎的电视节目 节 目 人 数 节 目 人 数 新闻 动画 １６ ５ 体育 其他 １８ ３ 综艺 ８ 选用适当的统计图描述上表数据 ． １ ７５ 用统计图描述数据 ５．３下面是某报刊载的“城市居民最关心的生活问题”的调查结果 ２． ． 城市居民最关心的生活问题 最关心的 占总人数的 最关心的 占总人数的 问题 百分率（ ） 问题 百分率（ ） ％ ％ 医疗保障 健康 ２１ １５ 收入 就业 ２０ １４ 子女教育 其他 １９ １１ 试将上面的调查结果用扇形统计图表示 ． 习题 ５． ３ 下表给出了 年至 年我国人口自然增长率情况 １． １９９９ ２００９ ． 年 份 １９９９ ２００１ ２００３ ２００５ ２００７ ２００９ 增长率（ ） ‰ ８．１８ ６．９５ ６．０１ ５．８９ ５．１７ ５．０５ 请制作适当的统计图表示我国 年至 年人口自然增长率的变化情况 １９９９ ２００９ ． ( １ ) １‰ ＝ １０００ 年 月 日晚，从摩纳哥蒙特卡罗举行的国际展览局大会上传来了振奋人 ２． ２００２ １２ ３ 心的消息———中国当选为 年世博会的东道主，选举的方式是由国际展览局 ２０１０ 个成员国的代表以无记名方式进行投票 ８９ ． 在首轮投票中，中国 票，韩国 票，俄罗斯 票，墨西哥 票，其他 票； ３６ ２８ １２ ６ ７ 在第二轮投票中，中国 票，韩国 票，俄罗斯 票，其他 票； ３８ ３４ １０ ７ 在第三轮投票中，中国 票，韩国 票，其他 票； ４４ ３２ １３ 在最后一轮投票中，中国以 票胜出 ５４ ． 请用扇形统计图表示出首轮投票的结果 ． １ ７６ 第 章 数据的收集与整理 ５５． 从图表中的数据获取信息 ４ 统计图表反映了被描述对象的重要内容和数据情况，它 简单明了，有利于我们把握数据的特点，统计图还能直观、生 动地传递信息 ． 问题 年 月 日，某报在刊登国家统计局公 ? ２０１１ ４ ２９ 布的《 年第六次人口普查主要数据公报（第一号）》时， ２０１０ 还附发了下面一组统计图（图 ）： ５ １１ 图 ５ １１ 从图中，你得到了哪些信息？ （）图 是从哪几个方面反映我国人口（未包括台 １ ５ １１ 湾、香港、澳门）构成情况的？ （）图 中哪几项把第六次与第五次人口普查资 ２ ５ １１ 料作了对比？ １ ７７ 从图表中的数据获取信息 ５．４例 根据图 中的统计图，回答下列问题： ５ １２ （） 年这些海域共发生赤潮多少次？ １ ２００１ （）哪个海域发生赤潮的次数最少？哪个海域发生 ２ 赤潮的次数最多？你认为哪些海域的环境需要重点 治理？ 海水中某些浮 游植物、原生动物或 细菌爆发性增殖或 高度聚集引起水体 变色的有害生态现 象称为赤潮 赤潮的 ． 发生有自然因素，但 人类无节制地向海 洋排放、倾倒废弃 图 ５ １２ 物，引起藻类及其他 解 （）从图 可以看出全国部分沿海省（直辖 浮游生物迅速繁殖， １ ５ １２ 市）赤潮发生的次数，所以这些海域赤潮共发生的次数是 是目前发生赤潮的 （次） 主要原因 赤潮会破 ． ２６ ＋１７ ＋１４ ＋６ ＋４ ＋３ ＋２ ＋２ ＋２ ＋１ ＝ ７７ ． 坏海洋的生态平衡、 （）在这些海域中，发生赤潮的次数以浙江省最多，达 ２ 海洋渔业和水产资 次，海南省最少，为 次 从赤潮发生次数多少来看，浙 ２６ １ ． 源，危害人类的健 江、辽宁、广东等省海域的环境需要重点治理 ． 康 ． 问题 （） 市晚报刊出了该市几种报纸发行量的 ? １ Ａ 统计图及其附带的说明（图 ） ５ １３ ． １ ７８ 第 章 数据的收集与整理 ５图 ５ １３ （）对于图 （）中 市几种报纸的发行量，时报 ２ ５ １３ ２ Ａ 刊出了另一幅统计图［图 （）］ ５ １４ ２ ． 图 ５ １４ 比较晚报和时报刊出的两幅统计图，有什么感受？该市 几家报纸发行量的差别大吗？你同意晚报的宣传吗？ 为什么两幅统计图表示的数据相同，给人的感觉不 一样？ 统计图表示的数据是否从 开始，横轴、纵轴上单位长 ０ １ ７９ 从图表中的数据获取信息 ５．４度是否一致会导致直观上的差异 ． 由此可知，图表虽然给我们带来了有利于决策的各种信 息，但用不当的图表来表达数据，会给人以误导 在从图表中 ． 获得信息时，要关注数据的来源、收集的方法和描述的形式， 以便获得可靠的信息 ． 请从下面统计图中获取信息： １． （）该地区何时的汽车销售量 １ 最大？ （）何时汽车销售量增长率 ２ 最高？ 根据下表数据绘制的两幅折线统 ２． 计图，表示的是某股票的价格变 化情况 ． 年 份 ２００５ ２００６ ２００７ ２００８ （第１ 题） 股票最高 价格 元 ２０ ２１ ２３ ２７ ／ （第２ 题） （）哪一幅图显示的增长幅度可能给人以误导？ １ （）造成误导的原因是什么？ ２ １ ８０ 第 章 数据的收集与整理 ５如图是甲、乙两家公司的利润增长情况统计图 哪一家公司的利润增长速度较快？ ３． ． （第３ 题） 习题 ５． ４ 如图所示的扇形图是根据两户人家的支出情况画出来的： １． （第１ 题） （）两家在食物方面的支出各占多大比例？ １ （）能否从图中得出在交通支出方面，甲家庭比乙家庭花去的钱少？ ２ （）要回答上面的问题（），还需什么资料？ ３ ２ （）如果以食物的支出占家庭全部支出的比例越小来说明生活水平越高，你认为 ４ 哪家生活状况好些？ １ ８１ 从图表中的数据获取信息 ５．４如图为某公司下属两个销售部近 年来的年销售额： ２． ６ （第２ 题） （）哪一年销售部 与销售部 的销售额差距最小？ １ Ｂ Ａ （）为什么 年对于销售部 来说是不一样的一年？ ２ ２００７ Ａ （）销售额最多的一年，销售部 比销售部 约多百分之几？ ３ Ｂ Ａ 如图为两本中学生科普图书近年销售情况的折线统计图： ３． （第３ 题） （）分别描述两本书 年间的销售情况； １ ２００５ ～２０１０ （）按照图中后几年的销售趋势，预测两本书今后的销售情况 ２ ． １ ８２ 第 章 数据的收集与整理 ５城镇人口占总人口比例的大小表示城镇化水平的高低，下表为我国城镇人口占总 ４． 人口的百分率 ． 年 份 １９５３ １９６４ １９８２ １９９０ ２００２ ２０１０ 百分率（ ） ％ １３．２６ １８．３０ ２１．１３ ２６．４１ ３９．０９ ４９．６８ （）绘制城镇人口占总人口比例的折线统计图； １ （）我国城市化水平在哪几个年段提高较快？ ２ 某公司去年 月的销售额如下表： ５． ７ ～１２ （单位：万元） 月 份 ７ ８ ９ １０ １１ １２ 销售额 ８０ ８５ ８５ ９０ ９５ １００ 如图是公司王经理和业务员小张根据上述数据分别绘制的折线统计图 ． （第５ 题） 王经理指着自己画的图说：下半年我公司的业绩上升的速度较为缓慢；而业务员 小张说：下半年我公司业绩直线上升 ． （）请你仔细比较这两个图，它们所表示的数据相同吗？你认为他们谁说的有 １ 道理？ （）为什么这两个图给人的感觉不一样？ ２ １ ８３ 从图表中的数据获取信息 ５．４用 软件绘制统计图 Ｅｘｃｅｌ 选择合适的计算机软件可以利用计算机绘制出各种统 计图表， （以下简称 ）软件就是其中的 Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ Ｅｘｃｅｌ Ｅｘｃｅｌ 一个 ． 通过下面的操作，我们来了解用 软件绘制统计图的 Ｅｘｃｅｌ 方法 ． 例 根据下表，绘制统计图 ． ２０１０ 年上海世博会每月入园人数统计表 月 份 ５ ６ ７ ８ ９ １０ 人数 万人 ／ ８０３．４４ １３０９．５７ １３７８．９４ １２４５．９２ １０００．８４ １５６９．７３ 具体操作步骤如下： （）打开 软件，在打开的窗口中根据上表输入数据， １ Ｅｘｃｅｌ 选中“人数 万人”数据 （图 ）； ／ Ｂ２ ～Ｂ７ ５ １５ 图 ５ １５ 图 ５ １６ （）选择“插入”菜单中的“图表”命令（图 ），在弹出 ２ ５ １６ 的“图表向导”对话框中选择需要的图表类型（图 ）； ５ １７ １ ８４ 第 章 数据的收集与整理 ５图 ５ １７ （）点击“下一步”按钮，按照提示一步一步做下去，就能 ３ 画出你需要的统计图（折线统计图、条形统计图、扇形统计图）， 如图 的三个图形 ５ １８ ． 图 ５ １８ 进一步修饰上述图表：调整纵轴上数据的起点，将横轴上 显示的数据改成月份，给图表加上标题等 ． １ ８５ 从图表中的数据获取信息 ５．４５． 综合与实践 ５ 水 资 源 浪 费 现 象 的 调 查 由于水资源（指陆地上的淡水资源）分布不均匀、人口 急剧增长、水污染等原因，全世界已有三分之一的人口面临 供水紧张的问题 我国是水资源紧缺的国家，人均水资源占 ． 有量约为世界人均水平的四分之一 每年的 月 日是联 ． ３ ２２ 合国确定的“世界水日”，它提醒人们要保护水资源，珍惜 水，节约用水 ． 图 ５ １９ 请珍惜每一滴水 请观察日常生活中有哪些水资源浪费现象，与同学进行 交流，就水资源浪费现象作一调查 ． 试写出 种日常生活中水资源浪费现象 １． ４ ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 试针对上述 种现象设计并制作调查问卷，了解全 ２． ４ 班同学日常生活中水资源浪费的情况 ． １ ８６ 第 章 数据的收集与整理 ５调 查 问 卷 你曾经有过的水资源浪费行为是（可选多项）（ ） ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 填完后，请将问卷交给 同学，谢谢合作 ． 将问卷发给每位同学，然后收集并完成下表 ３． ． 全班同学日常生活中水资源浪费的情况统计表 水资源浪费现象 用“正”字记录 人 数 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 请根据上面的数据，用条形统计图表示调查结果 ４． ． 针对调查结果中涉及人数最多的水资源浪费现象， ５． 请提出杜绝或减少该浪费现象的措施，并将措施向全班同学 宣传 ． 一、内容整理 １ ８７ 小结·评价二、主要知识回顾 数据收集：全面调查或抽样调查 １． ． 为使收集的数据具有代表性，抽样方法要讲究 本章介绍的常用的抽样方 ． 法是： ． 三种常见统计图（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）的画法 ２． ． 从统计图中正确获取信息，对要研究的问题作出判断 ３． ． 三、自评与互评 这章内容有些在小学已学过，学习本章后你有哪些新的收获与体会？ １． 与同学们交流一下 ． 你是否注意从统计图表中获取信息？并举例说明在数据的收集和整 ２． 理时，应当注意些什么？ 假设你想对全校七年级同学如何到校问题进行一次调查，那么，在调查中： １． （）你的调查目标是 ； １ （）你的调查对象是 ； ２ （）你要记录的数据是调查对象的 ； ３ （）你能设计一张调查表吗？ ４ 如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间 ２． ． （）哪一朝代历经的时间最长？哪一个朝代最短？ １ （）有多少个朝代历经的时间超过 年？ ２ ２５０ （）如果把西汉、东汉合为汉，北宋、南宋合为宋，那么上面（），（）题答案有什么 ３ １ ２ 变化？ １ ８８ 第 章 数据的收集与整理 ５（第２ 题） 如图是某一天中各时段上网人数所占网民总数的百分率的折线图： ３． （第３ 题） （）哪个时段上网的网民最少？ １ （）从何时开始上网人数激增，何时上网人数最多？ ２ （）哪几个时段是网民使用互联网的高峰时间？ ３ 王蓉同学负责做一期班级墙报的编辑，她想了解同学们对这期墙报的评价，对全 ４． 班 名同学进行了一项问卷调查，调查结果如下（其中 表示很好， 表示较好， ４４ Ａ Ｂ 表示一般， 表示不好）： Ｃ Ｄ １ ８９ 小结·评价Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｂ （）把上面的资料整理成统计表； １ （）作何种评价的人数最多； ２ （）根据统计表，请你对这期墙报作一个总的评价 ３ ． 请你选择适当的统计图将下表中的国内生产总值和增长速度表示出来，并根据所 １． 制作的统计图说说你所获得的信息 ． 国内生产 增长速度 年 份 总值 亿元 （按可比价格计算）（ ） ／ ％ ２０００ ９９２１４ ８．４ ２００１ １０９６５５ ８．３ ２００２ １２０３３３ ９．１ ２００３ １３５８２３ １０．０ ２００４ １５９８７８ １０．１ ２００５ １８４９３７ １０．２ ２００６ ２１６３１４ １１．６ ２００７ ２６５８１０ １１．９ ２００８ ３１４０４５ ９．０ ２００９ ３４０５０７ ９．２ ２０１０ ４０１５１３ １０．４ １ ９０ 第 章 数据的收集与整理 ５下表给出了在第 届、第 届亚运会上，获得金牌前五名的国家或地区的奖牌 ２． １５ １６ 情况： 第１５ 届 第１６ 届 国家或地区 金牌 银牌 铜牌 国家或地区 金牌 银牌 铜牌 中国 中国 １６５ ８８ ６３ １９９ １１９ ９８ 韩国 韩国 ５８ ５３ ８２ ７６ ６５ ９１ 日本 日本 ５０ ７１ ７７ ４８ ７４ ９４ 哈萨克斯坦 伊朗 ２３ １９ ４３ ２０ １４ ２５ 泰国 哈萨克斯坦 １３ １５ ２６ １８ ２３ ３８ （）从这两张统计表中你能得到哪些信息？ １ （）小翔将表中的数据制成了下面的两幅统计图，请你对这两幅统计图进行评价 ２ ． （第２ 题） 如图是 年和 年某村 至 六个村办企业上缴利润的百分率 ３． ２００９ ２０１０ Ａ Ｆ ． １ ９１ 小结·评价（） 企业 年上缴的利润是否比 年上缴的利润少？ １ Ｂ ２０１０ ２００９ （） 企业 年上缴的利润比 年上缴的利润增加了百分之几？ ２ Ｆ ２０１０ ２００９ （）完成下面的条形统计图 ３ ． （第３ 题） 中国体育代表团从 年至 年参加了 届奥运会，获得的奖牌数如下面统 ４． １９８４ ２００８ ７ 计表所示： 年 份 合计 枚 １９８４ １９８８ １９９２ １９９６ ２０００ ２００４ ２００８ ／ 金牌 枚 ／ １５ ５ １６ １６ ２８ ３２ ５１ 银牌 枚 ／ ８ １１ ２２ ２２ １６ １７ ２１ 铜牌 枚 ／ ９ １２ １６ １２ １５ １４ ２８ 合计 枚 ／ （）完成上表； １ （）用折线统计图表示中国体育代表团在各届奥运会上分别获得的奖牌总数； ２ （）从图中你可以获得哪些信息？ ３ １ ９２ 第 章 数据的收集与整理 ５如图是甲、乙两个旅游地的月平均气温和平均降雨量，其中，折线表示气温（单位： １． ）的变化，条形表示降雨量（单位： ） ℃ ｍｍ ． （第５ 题） （）甲、乙两地平均气温与平均降雨量之间各有怎样的关系？ １ （）甲地是位于北半球还是南半球？乙地呢？ ２ （）甲、乙两地，从气候条件看，哪一个更能吸引游客？ ３ 就你自己生活或学习中的某一方面数据制作合适的统计图，并分析其结果和原 ２． 因，更好地指导自己的生活或学习 ． １ ９３ 小结·评价附录 常用的单位及其符号 １ 量的名称 单位（符号） 备 注 毫米（ ） ｍｍ 厘米（ ） ｃｍ １ ｃｍ ＝１０ ｍｍ 长度 米（ ） ｍ １ ｍ ＝１００ ｃｍ 千米（ ） ｋｍ １ ｋｍ ＝１０００ ｍ 海里（ ） ｎ ｍｉｌｅ １ ｎ ｍｉｌｅ ＝１．８５２ ｋｍ 平方毫米（ ） ｍｍ２ 平方厘米（ ） ｃｍ２ １ ｃｍ２ ＝１００ ｍｍ２ 面积 平方米（ ） ｍ２ １ ｍ２ ＝１００００ ｃｍ２ 公顷（ ） ｈｍ２ １ ｈｍ２ ＝１００００ ｍ２ 平方千米（ ） ｋｍ２ １ ｋｍ２ ＝１００００００ ｍ２ 立方毫米（ ） ｍｍ３ 体积 立方厘米（ ） ｃｍ３ １ ｃｍ３ ＝１０００ ｍｍ３ 立方米（ ） ｍ３ １ ｍ３ ＝１００００００ ｃｍ３ 毫升（ ） 容积 ｍＬ １ ｍＬ ＝１ ｃｍ３ 升（） Ｌ １ Ｌ ＝１０００ ｍＬ 毫克（ ） ｍｇ 克（） 质量 ｇ １ ｇ ＝１０００ ｍｇ 千克（ ） ｋｇ １ ｋｇ ＝１０００ ｇ 吨（） ｔ １ ｔ ＝１０００ ｋｇ 秒（） ｓ 分（ ） 时间 ｍｉｎ １ ｍｉｎ ＝６０ ｓ ［小］时（） ｈ １ ｈ ＝６０ ｍｉｎ 天（） ｄ １ ｄ ＝２４ ｈ 秒（） ″ 角度 分（） ′ １′＝６０″ 度（） ° １° ＝６０′ 米 秒（ ） 速度 ／ ｍ／ｓ 千米 时（ ） ５ ／ ｋｍ／ｈ １ ｋｍ／ｈ ＝ ｍ／ｓ １８ 温度 摄氏度（ ） ℃ １ ９４ 附 录附录 部分中英文词汇索引 ２ 中 文 英 文 页 码 正数 ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ３ 负数 ｎｅｇａｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ３ 整数 ｉｎｔｅｇｅｒ ５ 分数 ｆｒａｃｔｉｏｎ ５ 有理数 ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ５ 原点 ｏｒｉｇｉｎ ７ 正方向 ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ７ 单位长度 ｕｎｉｔ ｌｅｎｇｔｈ ７ 数轴 ｎｕｍｂｅｒ ａｘｉｓ ７ 相反数 ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ９ 绝对值 ａｂｓｏｌｕｔｅ ｖａｌｕｅ １１ 加法法则 ｌａｗ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎ １８ 减法法则 ｌａｗ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ２１ 加法交换律 ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ｌａｗ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎ ２２ 加法结合律 ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ ｌａｗ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎ ２３ 乘法法则 ｌａｗ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ２９ 倒数 ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ３０ 除法法则 ｌａｗ ｏｆ ｄｉｖｉｓｉｏｎ ３２ 分配律 ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｌａｗ ３６ 幂 ｐｏｗｅｒ ３９ 底数 ｂａｓｅ ｎｕｍｂｅｒ ３９ 指数 ｅｘｐｏｎｅｎｔ ３９ 科学记数法 ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｎｏｔａｔｉｏｎ ４２ 近似数 ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ４５ 误差 ｅｒｒｏｒ ４６ 偶数 ｅｖｅｎ ｉｎｔｅｇｅｒ ５６ 奇数 ｏｄｄ ｉｎｔｅｇｅｒ ５６ 代数式 ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ５８ 单项式 ｍｏｎｏｍｉａｌ ６３ 系数 ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ６３ １ ９５ 附 录（续表） 中 文 英 文 页 码 次数 ｄｅｇｒｅｅ ６３ 多项式 ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ６３ 常数项 ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍ ６３ 整式 ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ６３ 代数式的值 ｖａｌｕｅ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ６５ 同类项 ｌｉｋｅ ｔｅｒｍ ６９ 合并同类项 ｕｎｉｔｅ ｌｉｋｅ ｔｅｒｍ ７０ 一元一次方程 ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ８５ 二元一次方程组 ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ９９ ｔｗｏ ｕｎｋｎｏｗｎｓ 代入法 ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ １００ 加减法 ａｄｄｉｔｉｏｎｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ １０２ 体 ｓｏｌｉｄ １３１ 面 ｓｕｒｆａｃｅ １３２ 线段 ｌｉｎｅ ｓｅｇｍｅｎｔ １３５ 射线 或 ｒａｙ ｈａｌｆ ｌｉｎｅ １３６ 直线 或 ｓｔｒａｉｇｈｔ ｌｉｎｅ ｒｉｇｈｔ ｌｉｎｅ １３６ 中点 ｍｉｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ １４０ 距离 ｄｉｓｔａｎｃｅ １４０ 角 ａｎｇｌｅ １４３ 角的平分线 ａｎｇｕｌａｒ ｂｉｓｅｃｔｏｒ １４８ 补角 ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ａｎｇｌｅ １４８ 余角 ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ａｎｇｌｅ １４８ 抽样调查 ｓａｍｐｌｉｎｇ ｓｕｒｖｅｙ １６３ 总体 ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ １６３ 个体 ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ １６３ 样本 ｓａｍｐｌｅ １６３ 样本容量 ｓａｍｐｌｅ ｓｉｚｅ １６３ 简单随机抽样 ｓｉｍｐｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｓａｍｐｌｉｎｇ １６３ 条形统计图 ｂａｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｈａｒｔ １６８ 折线统计图 ｂｒｏｋｅｎ ｌｉｎｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｈａｒｔ １６８ 扇形统计图 ｓｅｃｔｏｒ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｈａｒｔ １６８ １ ９６ 附 录手工纸（参考本书第 页） １３４ １ ９７１ ９９年，我们根据《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修 １９９９ 订版）》，编写了一套华东版初中数学教材，经三年实验后，于 年报教育部 ２００２ 经全国中小学教材审定委员会审查通过 ． 年，国家颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》及《全日制义务教 ２００１ 育数学课程标准（实验稿）》，正式启动了新一轮中小学课程、教材改革 本套 ． 教科书就是根据课程标准，在吸取了华东版教材实验过程中的经验后重新编 写的，并于 年经全国中小学教材审定委员会初审通过 现教育部决定全 ２００４ ． 面启动义务教育课程标准实验教材的修订工作，我们已切实把《义务教育数学 课程标准（ 年版）》的要求落实到新修订的教材中，使教材的质量进一步 ２０１１ 得到提升，特色更加鲜明 ． 本套教材在送审和实验过程中，得到了许多专家、学者、教研人员与广大 师生的关爱，特别是人民教育出版社张孝达先生与陈宏伯先生直接参与教材 的整体设计和章节审稿，他们以实际行动给予我们很大的支持与鼓舞，我们衷 心地感谢他们 ． 为了做好这次的修订工作，我们调整并充实了编写队伍，本套教科书编写 组主要人员有： 吴之季 苏 淳 杜先能 徐子华 郭要红 胡 涛 陈先荣 王南林 胡茂侠 邱广东 本册主要编写人员有： 孙 彦 王道宇 冯 玲 王志刚 胡亚华 凤良仪 苏茂鸣 周光剑 陆学政 王南林 李德山 万家练 徐 勇 曾令鹏 此外，参与本册修改工作的还有： 胡祥峰 王 捷 李春楠 徐慧敏 曹玉清 陈钦光 郭宏斌 王晓丰 黄健梅 刘志昂 郭茂华 郝广俊 周 奇 教材建设是一项长期任务，需要通过实验、修改，反复锤炼 这不仅需要 ． 全体编写人员的努力，还要有广大师生的积极支持与参与，恳请使用本套教材 的师生批评指正 ． 新时代数学编写组 年 月 ２０１３ ４说 明 本书下列图片由东方 提供：图 冯雷、 第 ＩＣ １ １１ Ｐ３７ 题图 、图 、图 （）、图 、图 陈 ３ ＳＴＲ １ １７ １ １８ ２ １ ２０ １ ２２ 诚、 第 题图、图 、图 （）刘君凤、 Ｐ４８ ４ ２ １ ｇｉｐｎｏ ２ ５ １ Ｐ８０ 第 （）题图园禾、图 （）、图 （） １ ２ ３ １ １ ３ １ ２ ＭＩＣＨＡＥＬ 、图 、 第 题图戚振林、 章头图、 ＫＡＰＰＥＬＥＲ ３ ４ Ｐ１１２ ７ Ｐ１３０ 第 题图朱明、图 、图 （）钟阳、图 （）、 Ｐ１３３ ２ ４ ２ ４ ９ １ ４ ２１ １ 图 徐振华、图 、图 顾留章 ４ ３２ ５ １ ５ １２ ．