四川省资阳市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学答案_2025年7月_250715四川省资阳市2024-2025学年高二下学期期末质量监测（全科）

资阳市2024—2025学年度高中二年级第二学期期末质量监测
数学参考答案和评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．D
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
100
12．2x-y+2=0 13．64 14．15，
51
四、解答题：本大题共5小题，共77分。
15．(13分）
1
设8次射击中击中目标的次数为X，则X～B(8， )． 2分
2
（1）恰有3次击中目标的概率为
1 1 7
P(X=3)=C3×( )3×( )5= ．7分
8 2 2 32
（2）至少有6次击中目标的概率为
1 1 1 37
P(X≥6)=C6×( )8+C7×( )8+C8×( )8= ． 13分
8 2 8 2 8 2 256
16．(15分）
（1）由a =2n+1+2a ，得a -2a =2n+1，
n+1 n n+1 n
a a 2n+1
所以， n+1 - n = =1．5分
2n+1 2n 2n+1
a
所以，数列

n
2n
 是以1为首项、1为公差的等差数列． 6分
a
（2）由（1）得， n =n，则a =n×2n． 8分
2n n
数学试卷第1页（共4页）由S =1×2+2×22+3×23⋯+(n-1)×2n-1+n×2n，
n
得2S =1×22+2×23+3×24⋯+(n-1)×2n+n×2n+1，10分
n
所以，-S =2+22+23⋯+2n-n×2n+1，13分
n
所以S =(n-1)2n+1+2．15分
n
17．(15分）
（1）由题，得fx  =x+1  ex+1．1分
由fx  =0，得x=-1，2分
当x<-1时，fx  <0，此时fx  为减函数，3分
当x>-1时，fx  >0，此时fx  为增函数．5分
（2）由（1）可知，fx  =xex+1为0，+∞  的增函数，又ex>0，xm>0，
由fex  ≥fxm  ，得ex≥xm．8分
即lnex≥lnxm，所以x≥mlnx．9分
因为m>0，x>0，
1 lnx
所以对于x>0，不等式 ≥ 恒成立，10分
m x
设gx 
lnx
= （x>0），令gx
x

1-lnx
= =0，得x=e，12分
x2
当x∈0，e  时，gx  >0，gx  单调递增；当x∈e，+∞  ，gx  <0，gx  单调递减，
所以，函数gx  在0，+∞  的极大值为ge 
1
= ，也即为最大值．13分
e
1 1
所以 ≥ ．14分
m e
解得0<m≤e．
故正数m的取值范围是(0，e]．15分
18．（17分）
（1）任选一个频道，选中A，B分别记为C ，C ，播放一次，播放成功记为D，
1 2
1 2 1
P(C D)=P(C )P(D|C )= × = ，1分
1 1 1 2 3 3
1 1 1
P(C D)=P(C )P(D|C )= × = ,2分
2 2 2 2 2 4
1 1 7
则P(D)=P(C D)+P(C D)= + = ，3分
1 2 3 4 12
P(C D) 4
所以A频道成为优选频道的概率P= 1 = ．5分
P(D) 7
（2）记A，B 分别表示A，B两频道在第i次测试成功，
i i
所以PA i 
2
= 3 ，PB i 
1
= ，i=1，2，3．6分 2
记“A频道成为优选频道”为事件C，则
（ⅰ）PC  =PA 1 

+PA B A 1 1 2 
2 1 1 2 7
= + × × = ．10分 3 3 2 3 9
（ⅱ）可知，X的所有可能值为：0，1，2，3．
数学试卷第2页（共4页）PX=0 
2
= ，11分
3
PX=1 
1 1 1 1 2 5
= × + × × = ，12分
3 2 3 2 3 18
PX=2 
1 1 1 1 1 1 1 1 2 5
= × × × + × × × × = ，13分
3 2 3 2 3 2 3 2 3 108
PX=3 
1 1 1 1 1 1
= × × × × = ．14分
3 2 3 2 3 108
综上所述，X的分布列为：
X 0 1 2 3
72 30 5 1
P
108 108 108 108
15分
数学期望EX 
72 30 5 1 43
=0× +1× +2× +3× = （次）．17分
108 108 108 108 108
19．(17分）
（1）fx  的定义域为0，+∞  ，fx 
1 a x-a
= - = ．1分
x x2 x2
若a≤0，恒有fx  >0，fx  单调递增，没有最小值，不符合题意．2分
若a>0，令fx  =0，解得x=a，
当x∈0，a  时，fx  <0，fx  单调递减；当x∈a，+∞  时，fx  >0，fx  单调递增，
3分
故当x=a时，fx  取最小值fa 
1
=0，即a× +lna=1，得lna=0，
a
所以a=1.5分
（2）由（1）知a=1.
（i）即证不等式xexlnx+1>0．
由（1）可知a=1时，fx 
a
= +lnx≥1，即fx
x

1
= +lnx≥1，
x
1
所以lnx≥1- ，即xlnx≥x-1， ① 7分
x
由fex 
1 1
≥1，可得 ≥1-x，即- ≤x-1． ②9分
ex ex
1
因为①②等号成立的条件不同，故xlnx>- ．
ex
所以xexlnx>-1，即xexlnx+1>0.10分
（ⅱ）由fx 
1 1
= +lnx≥1，得到x+ln ≥1，即lnx≤x-1，
x x
当x>0时，ln1+x  <x.12分
1 1
令x= ，得ln1+
3n 3n

1
< ．13分
3n
1
所以ln1+
3

1
+ln1+
32

1
+⋯+ln1+
3n

数学试卷第3页（共4页）1 1
1-
1 1 1 3 3n
< + +⋯+ =
3 32 3n

1 1
= 1-
1 2 3n
1-
3

1
< ，
2
1 即ln 1+
3
 1 1+
32
 1 ⋯1+
3n
  

 1 < ，
2
1
所以1+
3

1
1+
32

1
⋯1+
3n
 < e，
即3+1  32+1  ⋯3n+1  < e×31+2+3+⋯+n．
所以3+1  32+1  ⋯3n+1  < e× 3n(n+1)<( 3)n2+n+1，得证．17分
数学试卷第4页（共4页）