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2022 年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共
30分）
1. 若实数a的相反数是-3，则a等于（ ）
A. -3 B. 0 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
【详解】解：∵3的相反数是-3，
∴a=3．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2
C. 3y•2x2y＝6x2y2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【答案】C
【解析】
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；
C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；
D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上
知识是解题的关键．
4. 如图，直线a b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（
）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得∠1+∠3=90°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：∠3=180°-90°-∠1=40°，
∵a b，
∴∠2=∠3＝40°，
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及平角的意义，熟练掌握平行线的性质及平角的意义
是解题的关键．
5. 某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，
且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．
已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单
价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝ +10
【答案】B
【解析】
【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是
学科网（北京）股份有限公司（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分
式方程．
【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价
是（x+10）元，
依题意得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统
计图．下列结论正确的是（ ）
A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是11 D. 方差是
8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可．
【详解】解：A、平均数为 ，故选项错误，不符合题意；
B、众数为5、7、11、3、9，故选项错误，不符合题意；
C、从小到大排列为3，5，7，9，11，中位数是7，故选项错误，不符合题意；
D、方差 ，故选项正确，符
合题意；
故选∶D．
【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、
方差的算法是解题的关键．
7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得
∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难
度不大．
8. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与
AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作
直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得
，
学科网（北京）股份有限公司进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD， ，
∴ ，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴ ，
∴AD=4，AF=2， ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂
直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB
与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证
明 DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．
【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
△
则DE∥AB，
学科网（北京）股份有限公司∴∠APC＝∠EDC．
在 DCE中，有 ， ， ，
∴△ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关
键．
10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为
直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣
2，y）、点B（﹣ ，y）、点C（ ，y）在该函数图象上，则y＜y＜y；（5）
1 2 3 1 3 2
4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知 ，对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，然
后可得 ，则有 ，进而可判断（1）（2）（3），最后根
据函数的性质可进行判断（4）（5）．
【详解】解：由图象及题意得： ，对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有 ，即 ，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y）、点B（﹣ ，y）、点C（ ，y）在该函数图象上，
1 2 3
学科网（北京）股份有限公司∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴ ，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为 ，
∴当x=m时，（m为常数），则有 ，
∴ ，即为 ，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的
关键．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共
24分）
11. 分解因式：a3﹣4a＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式= ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查提公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
12. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个
数用科学记数法表示为_____．
【答案】3.4×10-10
【解析】
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中
，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数决定．
13. 一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一
个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是________．
【答案】m+n＝10．
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．
【详解】∵一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的
概率相同，
∴m与n的关系是：m+n＝10．
故答案为m+n＝10．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．
14. 如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O，若AB＝2 ，则阴影部分的面积为
_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意易得
，则有 ，然后根据特殊
三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴弓形AB 面积为 ，
的
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查扇形面积、轴对称的性质及三角函数，熟练掌握扇形面积、轴对称
的性质及三角函数是解题的关键．
15. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例
函数 的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k
的值是 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】过B作 于D，设 ，根据三角形的面积公式求得 ，进
而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．
【详解】解：过B作 于D，如下图．
学科网（北京）股份有限公司∵点B在反比例函数 的图象上，
∴设 ．
∵ 的面积为6，
∴ ，
∴ ．
∵点C是AB的中点，
∴ ．
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k 几的何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，
正确的理解题意是解题的关键．
16. 如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠
在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同
时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为
_____cm．
【答案】
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意易得 cm，则当点D沿DA方向下滑时，得到
，过点 作 于点N，作 于点M，然后可得
，进而可知点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，最后问题
可求解．
【详解】解：由题意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，
∴ cm，
如图，当点D沿DA方向下滑时，得到 ，过点 作 于点N，作
于点M，
∵∠DAM=90°，
∴四边形NAMC′是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分∠NAM，
即点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，
∴当 时，此时四边形 是正方形，CC′的值最大，最大值为
，
∴当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 ；
故答案为 ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质
及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三
角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17. 计算：2sin60°﹣| ﹣2|+（π﹣ ）0﹣ +（﹣ ）﹣2．
【答案】3
【解析】
【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
【详解】解：2sin60°﹣| ﹣2|+（π﹣ ）0﹣ +（﹣ ）﹣2
=2× -2+ +1-2 +4
= -2+ +1-2 +4
=3．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化
简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
18. 先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x是不等式组 的整数
解．
【答案】 ，当x=2时，原分式的值为
【解析】
【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组 整的数解，根据分式有意义的条件选出
合适的x值，进而代入求解即可．
【详解】解：原式= ；
由 可得该不等式组的解集为： ，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式= ．
【点睛】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为
0．
学科网（北京）股份有限公司19. 如图，在四边形ABCD中，AB CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连
接CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】（1）见详解 （2）△ABC的面积为
【解析】
【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四
边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得 ，则有△BCE是
等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则 ，进而问题可求解．
【小问1详解】
证明：∵AB CD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
【小问2详解】
解：由（1）知： ，
∵∠D＝120°，
∴ ，
∵E为AB中点，
∴ ，
∴△BCE是等边三角形，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，
熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
20. 为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类
学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学
生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所
示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所
对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名
学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的
概率．
【答案】（1）40；补全条形统计图见解析；90°；
（2）该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
（3）选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是 ．
【解析】
【分析】（1）利用A类人数除以所占百分比可得抽取总人数；根据总数计算出C类的人
数，然后再补图；用360°乘以C类所占的百分比，计算即可得解；
（2）利用样本估计总体的方法计算即可；
学科网（北京）股份有限公司（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结
果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：抽取的学生总数：12÷30%=40（人），
C类学生人数：40-12-14-4=10（人），
补全统计图如下：
扇形统计图中C类所在的扇形的圆形角度数是360°× =90°；
故答案为：40；90°；
【小问2详解】
解：2500× =1625（人），
答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
【小问3详解】
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，
学科网（北京）股份有限公司所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
21. 如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A
的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处
测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．
【答案】隧道EF的长度 米．
【解析】
【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设
AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有
，最后问题可求解．
【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示：
由题意得： ，
∴△EAD是等腰直角三角形，
∴AG=EG=DG，
设AG=EG=DG=x，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
答：隧道EF的长度 米．
【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数 （x＞0）的图像相
交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比
为2：3
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到
△OA′C′，判断点A′是否在函数 （x＞0）的图像上，并说明理由．
【答案】（1）b=5，k=6
（2）不在，理由见详解
【解析】
【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积
法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
∴b=5，k=6；
【小问2详解】
解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：
过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，
学科网（北京）股份有限公司由（1）可知：一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ，
∴点 ，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，
∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，
∴点C的纵坐标为 ，
∴点C的横坐标为 ，
∴点C坐标为 ，
∴CF=4，OF=1，
∴ ， ，
由旋转的性质可得： ，
根据等积法可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A′不在反比例函数图像上．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握
反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．
23. 为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本
文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
学科网（北京）股份有限公司（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动
（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单
价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100
本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书
款？
【答案】（1）科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）社区至少要准备2700元购书款．
【解析】
【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列
出方程组进行求解；
（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，
由（1）及题意可分当 时，当 时及当 时，进而问题
可分类求解即可．
【小问1详解】
解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：
，解得： ；
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
【小问2详解】
解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，
由（1）可得：
①当 时，则有： ，
∵12＞0，
∴当m=30时，w有最小值，即为 ；
②当 时，则有： ，
∵-1＜0，对称轴为直线 ，
∴当 时，w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w有最小值，即为 ；
③当 时，此时科技类图书的单价为 （元），则有
，
∵2＞0，
∴当m=51时，w有最小值，即为 ；
综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键
是找准等量关系，注意分类讨论．
24. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，
连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O 的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有
∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证；
（2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有
，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：连接OD，OE，如图所示：
∵ ，
∴∠A=∠ODA，
∵点E是边BC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，
∴∠DOE=∠COE，
∵ ，
∴△COE≌△DOE（SAS），
学科网（北京）股份有限公司∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接CD，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ，即 ，
∵AD＝4，BD＝9，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADC中，由勾股定理得： ，
∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线
的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
25. 在Rt ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连
接AD、BD．
△
学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段
AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）135°
（2）（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD= CE．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四
边形的性质即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；
②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE， CEH是等腰直角三
角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．
△
【小问1详解】
解：由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
在优弧 上取点G，连接AG，BG，
∵Rt ABC中，∠BCA=90°，
∴∠BGA=45°，
△
∵四边形ADBG是圆内接四边形，
∴∠ADB=180°-45°=135°，
故答案为：135°；
【小问2详解】
①补全图形，如图：
学科网（北京）股份有限公司由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
∵Rt ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
△
②2BE-AD= CE．理由如下：
过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：
∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，
学科网（北京）股份有限公司∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，
∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD= CE．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接
四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形
和等腰直角三角形解决问题．
26. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝
ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求 PAB周长的最小值；
△
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点
D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】（1）2a=b+1，c=-2；
（2） PAB的周长最小值是2 +2 ；
△
（3）此时Q（-1，-2），DQ最大值为 ．
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出 PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP， PAB的周长最小值
为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出 PAB最小值；
△ △
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出
△
QD=ED= EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性
质即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴ ，
∴2a=b+1，c=-2；
【小问2详解】
解：当a= 时，则b=- ，
∴抛物线的解析式为y= x2- x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时， PAB的周长最小，
△
∵点A、C关于直线x=1对称，
△
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得BC=2 ，AB=2 ，
∴△PAB的周长最小值是：2 +2 ．
【小问3详解】
解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED= EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ= QE=- (t2+2t)= - (t+1)2+ ，
当t=-1时，DQ有最大值 ，此时Q（-1，-2）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的
性质是解题的关键．
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