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【例】角动量为𝐿、质量为𝑚的地球人造卫星，在半径为𝑟的圆轨道上运行。试求它的动
能、势能和总能量。（真题2022年上·高中）北斗卫星导航系统是中国攀登科技高峰取得的重大成果，
如图所示，某北斗卫星在近地点A和远地点B的动能分别为𝐸 ，𝐸 ，角动量大小分
𝑘𝐴 𝑘𝐵
别为𝐿 、𝐿 ，则（ ）
𝐴 𝐵
A．𝐿 = 𝐿 ，𝐸 < 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
B．𝐿 < 𝐿 ，𝐸 < 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
C．𝐿 = 𝐿 ，𝐸 > 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
D．𝐿 > 𝐿 ，𝐸 > 𝐸
𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵
2024FENBI第三节 刚体的定轴转动
刚体运动的描述
（一）刚体的概念：在任何情况下形状和大小都不会发生变化的物体称为刚体。
（二）刚体的平动：如果在运动过程中，刚体内任意两点所连成的直线始终保持与初始位置平行，
则称这种运动为平动。
（三）刚体的定轴转动概述
1.转动：如果刚体在运动过程中，其上各点都绕同一条直线旋转，这种运动就称为转动，这一直
线叫做转轴。
2.定轴转动：如果转轴相对于所选的参考系固定，这种转动则称为绕固定轴的转动，简称定轴转
动。转动惯量
（一）物理意义
转动惯量是描述刚体在转动时总惯性大小的物理量。转动惯量用符号𝐽表示，单位是kg ∙ m2 。
（二）公式
1.单个质点的转动惯量为:𝐼 = 𝑚𝑟2
2.质点系的转动惯量为:𝐼 = σ 𝑚 𝑟 2
𝑖 𝑖
3.质量连续分布的刚体的转动惯量:𝐼 = ∫ 𝑟2d𝑚
𝑚
d𝑚为质量元，简称质元。质量为线分布时，d𝑚 = 𝜆d𝑙，𝜆为质量的线密度；质量为面分布时，
dm = σd𝑆，𝜎（西格玛）为质量的面密度；质量为体分布时，dm = ρd𝑉，ρ为质量的体密度。【例】求质量为𝑚、长为𝑙的匀质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量。
𝑦
𝑥
𝑥
𝑂 d𝑥【例2】如图表示质量为𝑚、半径为𝑅、密度均匀的圆盘，求它对过圆心且与盘面垂直的
转轴的转动惯量。
𝑅
𝑟 d𝑟（三）平行轴定理
刚体转动惯量与轴的位置有关。若二轴平行，其中一轴过质心，则刚体对二轴转动
惯量有下列关系：
2
𝐼 = 𝐼 + 𝑚𝑑
𝐶
其中，𝑚为刚体质量，𝐼 为刚体对过质心轴的转动惯量，𝐼为对另一平行轴的转动
𝐶
惯量，𝑑为两轴的垂直距离，该式叫做平行轴定理。
𝑧′
𝑧
𝐶
𝑑
𝑂【例】如图所示为实验用的摆，摆长为𝑙，摆球（圆盘）半径为𝑟，摆长的质量为𝑚 ，
𝑙
摆球的质量为𝑚 。求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量。
𝑟
𝑙
𝑟刚 体 的 定 轴 转 动 定 律
（一）内容
在定轴转动中，刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反
比。
（二）公式
𝑀
𝛽 = 或 𝑀 = 𝐼𝛽
𝐼
𝑑𝜔
𝑀 = 𝐼𝛽 = 𝐼
𝑧
𝑑𝑡【例1】一转动系统的转动惯量为I，角速度为ω，两制动闸瓦对轮的压力都为𝐹 ，
𝑁
闸瓦与轮缘间的摩擦因数为𝜇，轮半径为𝑟，求从开始制动到静止需用多少时间。【例2】一半径为𝑅，质量为𝑚的匀质圆盘（忽略厚度），平放在粗糙的水平桌面上，
设盘与桌面间的摩擦因数为𝜇，令圆盘最初以角速度𝜔 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，
0
问它将经过多少时间才停止转动？
𝑅
𝑟 d𝑟（真题2016年下·高中）确定物体绕某个轴的转动惯性，可以由理论计算也可通过实验测定。
（1）用积分计算质量为𝑚、半径为𝑅的内质薄圆盘绕其中心轴转动惯量。
（2）如图所示，该圆盘质量未知，可用如图的实验方法测得该圆盘绕中心轴的转动惯量。左
圆盘的边缘绕有质量不计的细绳，绳的下端挂一质量为𝑚的重物，圆盘与转轴间的摩擦忽略
不计。测得重物下落的加速度为𝑎，求圆盘绕其中心轴的转动惯量。
2024FENBI五 、 刚 体 的 角 动 量 定 理 和 角 动 量 守 恒 定 律
（一）刚体的角动量
1.概念：刚体做定轴转动的角动量的大小等于其转动惯量与角速度的乘积，其方向与角速
度方向相同。
2.公式：𝑳 = σ 𝑟 ×△ 𝑚 𝑣 = σ△ 𝑚 𝑟 2 𝝎 = 𝐼𝝎
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
式中， △ 𝑚 为刚体的第𝑖个质元的质量， 𝑟 为该质元到转轴的距离， 𝜔为刚体绕定轴转动
𝑖 𝑖
的角速度。
（二）刚体的角动量定理
𝑑𝑳
1.微分形式： 𝑴 =
𝑑𝑡
该式表明作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。
𝑡 𝑡
2.积分形式： ∫ 𝑴𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑳 = 𝑳 − 𝑳 = 𝐼𝝎 − 𝐼𝝎
𝟎 𝟎
𝑡 𝑡
0 0
该式表明作用于刚体的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。（三）角动量守恒定律
若刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量为一常量。
公式： 𝑳 = σ 𝑳 = 常量
𝒊
即： 𝐼 𝝎 = 𝐼 𝝎
1 1 2 2【例1】在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为𝑚的人。圆盘的半径为𝑅，转动惯量
为𝐼，角速度为𝜔。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化。六 、 刚 体 转 动 的 功 与 能
（一）刚体的转动动能
刚体由于转动而具有的动能称为刚体的转动动能
1
𝐸 = 𝐼𝜔2
𝑘
2
（二）力矩的功
𝜃
当刚体在力矩𝑀的作用下，从角𝜃 转到角𝜃 时，力矩M所做的总功为：𝐴 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 2 𝑀𝑑𝜃
1 2
𝜃
1
若𝑀与𝑑𝜃同号，则𝐴为正；若异号，𝐴为负。
（三）刚体定轴转动的动能定理
1 1
2 2
𝐴 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 = 𝐸 − 𝐸
2 1 𝑘2 𝑘1
2 2【例1】某冲床上飞轮的转动惯量为4.00 × 10 3 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚 2 ，当它的转速达到30 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛
时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降到10 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛，求每冲一次飞轮对外所
做的功。【例2】一根质量为𝑚、长为𝑙的均匀棒𝑂𝐴，可绕通过其一端的光滑轴𝑂在竖直平面
内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点𝐶和端点𝐴
的速度。质点的直线运动 刚体的定轴转动
𝑑𝑥 𝑑𝜃
速度𝑣 = 角速度𝜔 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝜔
加速度𝑎 = 角加速度𝛽 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
匀速直线运动𝑥 = 𝑣𝑡 匀角速转动𝜃 = 𝜔𝑡
力𝐹 力矩𝑀
质量𝑚 转动惯量𝐼
牛二𝐹 = 𝑚𝑎 转动定律𝑀 = 𝐼𝛽
动量𝑚𝑣 角动量𝐼𝜔
冲量𝐹𝑡 冲量矩𝑀𝑡
动量定理𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 角动量定理𝑀𝑡 = 𝐼𝜔 − 𝐼 𝜔
0 0 0
动量守恒定律σ 𝑚𝑣 = 常量 角动量守恒定律σ 𝐼𝜔 = 常量
1 1
2 2
平动动能 𝑚𝑣 转动动能 𝐼𝜔
2 2
常力的功𝐴 = 𝐹𝑠 常力矩的功𝐴 = 𝑀𝜃
1 1 1 1
2 2 2 2
动能定理𝐹𝑠 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 动能定理𝑀𝜃 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔
0 0
2 2 2 22 0 2 5 年 教 师 资 格 证
理论精讲 -大学 电磁学 1
主讲老师 楠风
粉笔教师教育 粉笔教师第 一 节 真 空 中 的 静 电 场
一、真空中的库仑定律
1 𝑞 𝑞
1 2
𝑭 = 𝒓
4𝜋𝜀 𝑟3
0
式中，𝑞 、𝑞 分别为两点电荷所带电量；𝑟为两点电荷之间的距离；𝒓为施力电荷指向
1 2
受力电荷的位置矢量；𝜀 （埃普西隆）称为真空介电常数或真空电容率，𝜀 = 8.85 ×
0 0
−12
10 F/m。
Ԧ
𝑞 𝐹
𝑞
2
1二 、 电 场
（一）点电荷的电场
𝑭 1 𝑞
𝑬 = = 𝒓
𝑞 4𝜋𝜀 𝑟3
0 0
式中，𝑬是电量为𝑞的点电荷产生的电场，𝑞 为
0
试验电荷的电量，𝑭为试验电荷受到的电场力。
（二）电荷连续分布的带电体产生的场强
1 𝒓d𝑞
𝑬 = ∫ d𝑬 = ∫
𝑄 4𝜋𝜀 𝑄 𝑟3
0
∫ 表示对整个带电体求积分。
𝑄【例1】在𝑦𝑂𝑧平面上有一半径为𝑅的圆环，均匀带有电量𝑄（正电荷），求均匀带
电圆环轴线上（𝑥轴）某点𝑃处的场强。
𝑬
//
𝑬
⊥【例2】试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心 𝑂 相距为x的任一给定点 𝑃 处的电场强度，
设盘的半径为𝑅，电荷面密度为𝜎。【例3】已知半圆环的半径为𝑅、电荷线密度为𝜆，则均匀带电半圆环圆心处的电场
强度为
2024FENBI三 、 真 空 中 静 电 场 的 高 斯 定 理
（一）电场线的基本性质
1.静电场的电场线总是起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），不会在
没有电荷的地方中断。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾的，有起点和终点。
2.静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。
3.任何两条电场线不会相交。（二）电通量
1.概念
将通过电场中某一个面的电场线的条数称为通过该面的电通量，用Φ 表示。
𝑒
2.公式
（1）任一曲面的电通量为
Φ = ∬ dΦ = ∬ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑆 𝑒 𝑆
这是一个面积分，积分号下标𝑆表示此积分的范围遍及整个曲面。
（2）如果S为闭合曲面，则
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑆
式中，∯ 表示对闭合曲面的积分。
𝑆（三）高斯定理
1.内容
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量
的代数和）除以𝜀 。
0
2.公式
1
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺 = 𝑞
𝑒 𝑆 𝜀 𝑖
0
式中，σ 𝑞 表示闭合曲面S内的电荷的代数和。
𝑖
𝐸
d𝑆 Ԧ d𝑆 Ԧ【例1】求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度。
𝑆
𝑅
𝑟【例2】：电荷均匀分布于一个无限大平面上，其面密度为𝜎,求其激发的静电场的电场强度。
𝜎
𝑆 𝑆
2 1
𝒆 𝒆
𝑛2 𝑛1【例3】1.求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强度。（圆柱半径为
𝑅，单位长度的电荷量为𝜆。）
2.求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。【例4】求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。
2024FENBI（真题2018年上高中）【例】球形电容器由两个同心的球壳导体A、B组成，如图所示。
导体𝐴、𝐵的半径分别为𝑅 和𝑅 ，且𝑅 < 𝑅 ，导体𝐴、𝐵在真空中分别带有电荷+𝑞和−𝑞，求：
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
(1)导体𝐴、𝐵之间的电场强度；
(2)该电容器的电容。
2024FENBI四 、 静 电 场 的 环 路 定 理 电 势 能 电 势
（一）静电场力的功
在点电荷的电场中移动试验电荷时，电场力做的功除了与其电量𝑞 成正比外，还与移动试验电
0
荷的始、末位置有关，而与路径无关。若使试验电荷沿任一闭合回路𝐿绕行一周，则点电荷的静电场
力所做的功为零，即：𝐴 = ∮ 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿 0
（二）环路定理
1．内容：在静电场中沿任意闭合路径，场强的环流恒为零，即静电场是保守力场。
2．公式：∮ 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿
该公式称为静电场的环路定理，公式左边的积分称为场强𝐸的环流。
𝑞
𝐸
0
𝐴 𝐵（三）电势能 电势 电势差
1．电势能
当场源电荷局限在有限大小的空间里时，常把电势能零点选在无穷远处，则𝑞 在𝑎点的电势
0
能𝑊 为
𝑎
∞
𝑊 = න 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎 0
𝑎
该公式表明，试验电荷𝑞 在电场中𝑎点的电势能，等于将试验电荷由𝑎点沿任意路径移至无
0
穷远处的过程中电场力做的功。2．电势
（1）公式
𝑊 ∞
𝑎
𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎
𝑞
0 𝑎
该公式表明，电场中任意点𝑎的电势𝑉 在数值上等于单位正电荷在该点的电势能，也等于单
𝑎
位正电荷从该点沿任意路径移至无穷远处的过程中电场力所做的功。（2）电势的计算
①点电荷电场的电势
在点电荷𝑞的电场中，若选取无穷远处作为电势零点，在𝑎点产生的电势为
∞ ∞ 𝑞 𝑞
𝑉 = න 𝑬 ⋅ d𝒓 = න d𝑟𝑐𝑜𝑠0° =
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟2 4𝜋𝜀 𝑟
𝑎 𝑟 0 0
式中，𝑟是电荷𝑞到𝑎点的距离。②点电荷系电场的电势
若真空中有𝑛个点电荷，其电量分别为𝑞 、𝑞 ，…，𝑞 ，这𝑛个点电荷在𝑎点产生的电势为
1 2 𝑛
𝑛
𝑞
𝑖
𝑉 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟
0 𝑖
𝑖=1
式中，𝑟 、𝑟 ，…，𝑟 分别为各点电荷到𝑎点的距离。
1 2 𝑛
该公式表明，在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代
数和。这一结论称为电势叠加原理
③电荷连续分布带电体系电场的电势
∞ d𝑞
对一个电荷连续分布的带点体系，在𝑎点产生的电势为：𝑉 = ∫
𝑎
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟
0
式中，𝑟是电荷元d𝑞到𝑎点的距离。（四）导体的静电平衡
导体中没有电荷作任何宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
导体静电平衡的必要条件是导体内任一点的电场强度都等于零。
推论：1.导体是等势体，其表面是等势面
2.导体表面的电场强度垂直于导体表面【例1】一半径为𝑅的带电细圆环，所带电量为𝑞，求在圆环轴线上任一点𝑃的电势。【例2】计算均匀带电球面电场中的电势分布【例3】两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有10−8𝐶正电荷，大球
面均匀带有1.5 × 10−8𝐶正电荷。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。在 粉 笔 ，
遇 见 不 一 样 的 自 己 !
粉笔教师教育 粉笔教师
