文档内容
2022 年深圳市初中学业水平测试（回忆版）
数学学科试卷
说明:1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的
位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页． 考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框
涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 作答非选择题11-22，用黑色字迹的
钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内． 写在本试卷或草稿纸上，其答
案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个
是正确的）
1. 下列互为倒数的是（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【详解】解：A．因为 ，所以3和 是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为 ，所以 与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为 ，所以3和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为 ，所以 和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个
数互为倒数”．
2. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状．
3. 某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是：9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，
9.3，9.6．请问这组评分的众数是（ ）
A. 9.5 B. 9.4 C. 9.1 D. 9.3
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据众数的概念求解即可．
【详解】解： 这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．
这组评分的众数为9.3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查众数：是一组数据中出现次数最多的数，解题的关键是掌握众数的定义．
4. 某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正
数；当原数的绝对值 时， 是负数．【详解】解：1.5万亿 ．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，解题的关键是正确确定 的值以及 的值．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判
断即可．
【详解】解： ，计算正确，故此选项符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本
题的关键．
6. 一元一次不等式组 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出不等式组 的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解．【详解】解：不等式 ，
移项得： ，
∴不等式组的解集为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示解集，根据不等式的解集，利用找不等式组的解集
的规律的出解集是解题的关键．
7. 将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得： ， ，利用平行线的性质可求 ，进而可求解．
【详解】解：如图， ， ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B. 同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角定理，分别分析得出答案．
【详解】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握圆周角定
理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法等进行求解是解决本题的关键．
9. 张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆
下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为 根，下等草
一捆为 根，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设上等草一捆为 根，下等草一捆为 根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下
等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设上等草一捆为 根，下等草一捆为 根，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10. 如图所示，已知三角形 为直角三角形， 为圆 切线， 为切点， 则
和 面积之比为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算
即可．
【详解】解：如图取 中点O，连接 ．
∵ 是圆O的直径．
∴ ．
∵ 与圆O相切．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∵ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
∵点O是 的中点．∴ ．
∴ ．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周
角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式： =____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
12. 某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，
发现有300人是符合条件的，那么则该工厂1200人中符合选拔条件的人数为________________．
【答案】900人
【解析】
【分析】符合选拔条件的人数=该工厂总共人数×符合条件的人数所占的百分率，列出算式计算即可求解．
【详解】解： （人）．
故答案是：900人．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的百分率．
13. 已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为________________．
【答案】9
【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到△ ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：根据题意得△ ，
解得 ．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 的根与△
有如下关系：当△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数
根；当△ 时，方程无实数根．
14. 如图，已知直角三角形 中， ，将 绕点 点旋转至 的位置，且 在 的
中点， 在反比例函数 上，则 的值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，作 轴于点 ，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出 是
等边三角形，从而得出 ，即可得出 ，解直角三角形求得 的坐标，进
一步求得 ．
【详解】解：连接 ，作 轴于点 ，由题意知 ， 是 中点， ， ，
，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
在反比例函数 上，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化 性质，解题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
15. 已知 是直角三角形， 连接 以 为底作直角三角形
且 是 边上的一点，连接 和 且 则 长为______．【答案】
【解析】
【分析】将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，HE，利用 证明
，得 ， ，从而得出 ，则 ，
即可解决问题．
【详解】解：将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，HE，
是等腰直角三角形，
又 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
，
，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等
知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16.
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算
即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题
的关键．
17. 先化简，再求值： 其中
【答案】 ，
【解析】【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：原式
=
将 代入得原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】（1）50人， ；
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用 乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次抽查的总人数为 （人 ，
“合格”人数的百分比为 ，
故答案为：50人， ；
【小问2详解】
解：不合格的人数为： ；
补全图形如下：
【小问3详解】
解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为 ，
故答案为： ；
【小问4详解】
解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，所以刚好抽中甲乙两人 的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、
画出树状图或列表是解题的关键．
19. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本． 已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，
且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费
用是多少?
【答案】（1）甲类型的笔记本电脑单价为110元，乙类型的笔记本电脑单价为120元
（2）最低费用为11750元
【解析】
【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为 元．列出方程即可解
答；
（2）设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行
解答即可．
【小问1详解】
设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为 元．
由题意得：
解得：
经检验 是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本电脑单价为： （元）．
答：甲类型的笔记本电脑单价为110元，乙类型的笔记本电脑单价为120元．
【
小问2详解】设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本电脑购买了 件．
由题意得： ．
∴ ．
．
∵ ，
∴当a越大时w越小．
∴当 时，w最大，最大值为 （元）．
答：最低费用为11750元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用
是解题的关键．
20. 二次函数 先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．（1） 的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出 与 的交点坐标；
（3）点 在新的函数图象上，且 两点均在对称轴的同一侧，若 则
（填“ ”或“ ”或“ ”）
【答案】（1）
（2）图见解析， 和
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把点 代入 即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可
求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若 ，则 ，当P，Q
两点均在对称轴的右侧时，若 ，则 ，进而可求解．
【小问1详解】
解：当 时， ，
∴ ．
【小问2详解】
平移后的图象如图所示：由题意得： ，
解得 ，
当 时， ，则交点坐标为： ，
当 时， ，则交点坐标为： ，
综上所述： 与 的交点坐标分别为 和 ．
【小问3详解】
由平移后的二次函数可得：对称轴 ， ，
∴当 时， 随x的增大而减小，当 时， 随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若 ，则 ，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若 ，则 ，
综上所述：点 在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若 ，则或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合
思想解决问题是解题的关键．
21. 一个玻璃球体近似半圆 为直径，半圆 上点 处有个吊灯 的中
点为
的
（1）如图①， 为一条拉线， 在 上， 求 长度．
（2）如图②，一个玻璃镜与圆 相切， 为切点， 为 上一点， 为入射光线， 为反射光线，
求 的长度．
（3）如图③， 是线段 上的动点， 为入射光线， 为反射光线交圆 于点
在 从 运动到 的过程中，求 点的运动路径长．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，可得出 为 的中位线，可得出D为 中点，即可得出 的长度；
（2）过N点作 ，交 于点D，可得出 为等腰直角三角形，根据 ,可
得出 ，设 ，则 ，根据 ，即可求得 ，
再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： ，推导得出 ，即可计算给出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
∵
∴ 为 的中位线
∴D为 的中点
∵
∴
【小问2详解】
过N点作 ，交 于点D，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，即 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴在 中， ；
【小问3详解】
如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径
长为： ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ，
∴N点的运动路径长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以
上知识，并能灵活运用是解题的关键．
22. （1）【探究发现】如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，将 沿 翻折到
处，延长 交 边于 点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且 将 沿
翻折到 处，延长 交 边于点 延长 交 边于点 且 求 的长．的
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 中， 为 边上 三等分点， 将 沿
翻折得到 ，直线 交 于点 求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 的长为 或
【解析】
【分析】（1）根据将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，得 ，
，即得 ，可证 ；
（2）延长 ， 交于 ，设 ，在 中，有 ，得 ，
，由 ，得 ， ， ，而 ，
，可得 ，即 ， ，设 ，则 ，因
，有 ，即解得 的长为 ；（3）分两种情况：（Ⅰ）当 时，延长 交 于 ，过 作 于 ，设
， ，则 ， ，由 是 的角平分线，有 ①，在
中， ②，可解得 ， ；
（Ⅱ）当 时，延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，同理解
得 ， ．
【详解】证明：（1） 将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
；
（2）解：延长 ， 交于 ，如图：
设 ，
在 中， ，
，
解得 ，，
， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
， ，
，即 ，
，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，
解得 ，
的长为 ；
（3）（Ⅰ）当 时，延长 交 于 ，过 作 于 ，如图：设 ， ，则 ，
，
，
，
，
沿 翻折得到 ，
， ， ，
是 的角平分线，
，即 ①，
，
， ， ，
在 中， ，
②，
联立①②可解得 ，；
（Ⅱ）当 时，延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，如图：
同理 ，
，即 ，
由 得： ，
可解得 ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分
线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
