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2023－2024 学年第一学期期末检测
高 三 数 学
2024.01
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求)
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B中元素个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则在复平面内z对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量＝(1，3)，＝(－1，2)，则在上的投影向量为( )．
A．(1，－2) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－，)
4．计算机在进行数的计算处理时，通常使用的是二进制．一个十进制数 n(n∈N*)可以表
示成二进制数(aaa…a) ，k∈N，则n＝a2k＋a2＋…＋a20，其中a ＝1，当k≥1时，
0 1 2 k 2 0 1 k 0
a∈(0，1)．例如2024＝1×210＋1×29＋1×28＋1×27＋1×26＋1×25＋0×24＋1×23＋0×22
k
＋0×21＋0×20，则十进制数 2024表示成二进制数为(11111101000) ．那么，二进制数
2
11位
(11111111111) 表示成十进制数为( )．
2
11位
A．1023 B．1024 C．2047 D．2048
5．若a＞b＞1，x＝ln，y＝(lna＋lnb)，z＝，则( )．
A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x
6．已知函数f(x)的导数为f′(x)，对任意实数x，都有f(x)－f′(x)＞0，且f(1)＝1，则f(x)＞e的
解集为( )．
A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋
∞)
7．已知0＜β＜α＜，sinαsinβ＝，cosαcosβ＝，则cos2α＝( )．
A．0 B． C． D．1
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，若正方形ABCD的一边AB为圆O的
一条弦，则OC的最大值为( )．
A．＋ B．2 C．2＋2 D．5
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．已知函数f(x)＝x(ex＋ae)是奇函数或偶函数，则y＝f(x)的图象可能是( )．
A． B． C． D．
10．将两组数据合并成一组数据后(可以有重复的数据)，下列特征数一定介于合并前两组
数据的该种特征数之间(可以取等)的有( )．
A．平均数 B．极差 C．标准差 D．中位数
11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，若p：ω≤2，且p是q的必要条件，则q可能为( )．
A．f(x)的最小正周期为π B．x＝是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在[0，]上单调递增 D．f(x)在[，]上没有零点
12．棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中，下列选项中正确的有( )．
1 1 1 1
A．过AC的平面截此正方体所得的截面为四边形
1
B．过AC的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2，4]
1
C．四棱锥C－ABC D 与四棱锥C －ABCD的公共部分为八面体
1 1 1 1 1
D．四棱锥C－ABC D 与四棱锥C －ABCD的公共部分体积为
1 1 1 1 1
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若(x－)6展开式中的常数项为120，则实数a的值为 ▲ ．
14．某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为16π，则该圆台的高为
▲ ．
15．已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点为F，M是OF的中点，若椭圆C上到点M的距离最
小的点有且仅有一个，则椭圆C的离心率的取值范围为 ▲ ．
16．有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾
邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件．对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被
标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件
的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为 ▲ ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4b，C＝．
(1)求tanA：
(2)若c＝1，求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)
已知数列{a}、{b}满足a＝3，b＝1，a ＝3a＋b，b ＝a＋3b．
n n 1 1 n＋1 n n n＋1 n n
(1)证明：数列{a＋b}是等比数列；
n n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，
平面PAD⊥平面ABCD，M、N分别为AD、PB的中点，且PB＝．
(1)求证：BC⊥MN；
(2)求二面角A－PB－C的余弦值．20．(本小题满分12分)
某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人．假
设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得
赔偿的人数为X．
(1)求E(X)，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随
着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次
数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若 X~B(n，
p)，则D(X)＝np(1－p)，当n较大且p较小时，我们为了简化计算，常用 E(X)的值估算
D(X)的值．
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率．
参考数据：若 X~N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－3σ≤X≤μ＋
3σ)≈0.997．
21．(本小题满分12分)
已知双曲线E：(a＞0，b＞0)的离心率为，且左焦点F到渐近线的距离为．过F作直线
l、l 分别交双曲线E于A、B和C、D，且线段AB、CD的中点分别为M、N．
1 2
(1)求双曲线E的标准方程；(2)若直线l、l 斜率的乘积为－，试探究：是否存在定圆G，使得直线MN被圆G截得
1 2
的弦长恒为4?若存在，请求出圆G的标准方程；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(lnx－m)x的最小值为－1．
(1)求实数m的值；
(2)若f(x)＝a有两个不同的实数根x，x(x＜x)，求证：2－x＜x＜x－(a＋1)e．
1 2 1 2 2 1 2
