辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高二下学期第二次月考试题数学PDF版含解析_2025年7月_250708辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高二下学期第二次月考

东北育才高中 2024-2025 学年度下学期第二次月考
高二年级数学科试题
答题时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.“ab”是“lna lnb”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知集合A x|1 x3 ，B  x|xm ，若BC A，则实数m的取值范围为
R
（ ）
A.m1 B.m1 C.m3 D.m1
3.曲线 y e1x x2在x=1处的切线方程为（ ）
A.y 3x B. y 2x C. y  x1 D.y3x1
4.等比数列{a }的前10项的积为310，且a a 1，则数列{a }的公比为（ ）
n 3 4 n
A. 3 B.3 C. 3 D.3
5.抛掷两个骰子，观察掷得的点数，记事件M 为“两个骰子的点数不相同”，事件N 为“点
数之和大于8”，则在事件M 发生的条件下，事件N 发生的概率是（ ）
5 5 1 4
A. B. C. D.
6 9 3 15
6.设等差数列 a 的前n项和为S ，点(n,S )（nN*）在函数 f(x) Ax2 BxC
n n n
（A,B,CR）的图像上，则（ ）
A.C0 1 B.若A0，则n N*，使S 最大
0 n
C.若A0，则n N*，使S 最大 D.若A0，则n N*，使S 最大
0 n 0 n
3
7.已知a log 3 3 ，b0.25，csin ，则a，b，c的大小关系是（ ）
9 4
A.cba B.c<a<b C.abc D.acb
8.小王到某公司面试，一共要回答4道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题
答对的概率均为 p（0 p1），且每道题答对与否相互独立，记小王答完4道题的总得分
为X ，则当E(X)D(X)取得最大值时，p（ ）
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
第1页 共4页9.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，
发现用模型ycekx拟合比较合适.令zlny，得到z1.3xa，经计算发现x,z满足下表：
天数x（天） 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
则（ ）
A.ce0.2 B.ce0.2 C.k 1.3 D.k 1.3
10.函数 f(x)aex lnx的图像可以是（ ）
A. B. C.
D.
11.已知数列  a  满足：a 3，3na (n1)a ，则下列说法正确的是（ ）
n 1 n n1
3n
A.a 
n n
 
B. a 是单调递减数列
n
3
C.若对任意nN*，都有(1)na a ，则  2
n n1 2
 1  3
D.若T 为数列 的前n项和，则T 
n a  n 4
n
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
1
12.函数 f(x) x3x2的极大值为 .
3
lnx,x 0,
13.已知函数 f(x) 若直线 y kx与曲线 y  f(x)有三个不同的交点，
x2 2x,x0,
则实数k的取值范围是 .
14.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状
完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子
1
内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为P ，若有P  P B，
n n1 4 n
则常数B  ，且
P  （用含有正整数n的式子表示）.
n
第2页 共4页四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知公差大于1的等差数列  a  中，a 3，且a 1，a 1，a 3成等比数列.
n 2 1 3 6
（Ⅰ）求数列
a
的通项公式；
n
 1  1 1
（Ⅱ）设数列 的前n项和为S ，求证：  S  ．
a a  n 3 n 2
n n1
16．（本小题满分15分）
跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力.
2024年暑假期间，某高中以2023年入学（以下称2023级）的学生为试点，倡议学生每天
坚持不超过半小时的跳绳锻炼.开学后，对2023级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，
并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），
得到如下数据：
人数 5 10 20 15 15 10 15 10
每周跳绳的累计时
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
间（单位：小时）
成绩区间
[90,100) [120,130) [140,150) [170,180) [170,180) [160,170) [180,190) [190,200)
（单位：个）
（Ⅰ）请完成下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学
生每周跳绳的累计时间有关”；
跳绳个数不少于170个 跳绳个数不足170个 合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时
每周跳绳的累计时间不足2小时
合计
（Ⅱ）将测试成绩位于区间[170,190)之内评定为“良好”，位于区间[190,200)之内评定为“优
秀”.在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再
从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和
数学期望E(X)．
n(ad bc)2
附：2  ，其中nabcd .
(ab)(cd)(ac)(bd)
P(2 k ) 0.100 0.050 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
第3页 共4页17．（本小题满分15分）
已知函数 f(x)ax2 axlnx，
（Ⅰ）若曲线y f(x)在x1处的切线方程为ymx2，求实数a，m的值；
（Ⅱ）若对于任意x1， f(x)axa恒成立，求实数a的取值范围
.
18.（本小题满分17分）
近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的
“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与
能效比均在大幅提升．
（Ⅰ）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包
1
括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P  ，
1 25
1 1
P  ，P  .
2 24 3 23
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P ；
0
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过
筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记A表示事件“某
芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，无需说明理由，请
直接写出P(A|B)与P(A|B)的大小关系；
（Ⅱ）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布N(5.40,0.052)，现从中
随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间(5.25,5.45)．若m=24，将
使得P(m24)的最大的M值M0 作为M的估计值，试求M0 的值．
参考数据：P()0.6827，P(33)0.9973．
19．（本小题满分17分）
设函数y f(x)在区间D上的导函数为 f(x)，且 f(x)在D上存在导函数 f(x)（其中
f(x)[f(x)]）. 定义：若区间D上 f(x)0恒成立，则称函数 f(x)在区间D上为
凹函数
x1
（Ⅰ）.判断函数 f(x) 在区间(0,)上是否为凹函数？并说明理由；
x
1 1 3
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数g(x) ae2x  x2(lnxlna ) 在区间(0,)上为
2 2 2
凹函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）设kZ且k 0，对于任意的x0,，不等式
1lnx1
 k 成立，求k的最
x x1
大值．
第4页 共4页东北育才高中 2024-2025 学年度下学期第二次月考
高二年级数学科试题 （答案）
答题时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.“ab”是“lna lnb”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当0ab时，对数无意义；反之，由lna lnb，得a b0，则ab成立. 故
“ab”是“lna lnb”的必要不充分条件. 故选：B
2.已知集合A x|1 x3 ，B  x|xm ，若BC A，则实数m的取值范围为
R
（ ）
A.m1 B.m1 C.m3 D.m1
【答案】A
【详解】因为C A x|x1或x 3 ，若BC A，则m1.故选：A.
R R
3.曲线 y e1x x2在x=1处的切线方程为（ ）
A.y 3x B. y 2x C. y  x1 D.y3x1
【答案】C
【详解】对函数 y e1x x2求导得ye1x 2x ,故当x=1时,斜率k e1121，又
切线过点(1,2)，故切线方程为 y2(x1)，即 y  x1. 故选：C.
4.等比数列{a }的前10项的积为310，且a a 1，则数列{a }的公比为（ ）
n 3 4 n
A. 3 B.3 C. 3 D.3
【答案】A
【详解】{a }为等比数列，设其公比为q，由a a a2q5 1，知q 0，又
n 3 4 1
aa a 310,aa a 2q9  9，q4 9，故q  3故选：A.
1 2 10 1 10 1
第5页5.抛掷两个骰子，观察掷得的点数，记事件M 为“两个骰子的点数不相同”，事件N 为“点
数之和大于8”，则在事件M 发生的条件下，事件N 发生的概率是（ ）
5 5 1 4
A. B. C. D.
6 9 3 15
【答案】D
65 5
【详解】事件M 包含的基本事件有 个，则P  M   ，事件MN 包含的基本事
62 6
30  
8 2 P MN 4
件有 个，则P  MN   ，所以P(N |M)   ．故选： ．
62 9 P  M  15
8 D
6.设等差数列 a 的前n项和为S ，点(n,S )（nN*）在函数 f(x) Ax2 BxC
n n n
（A,B,CR）的图像上，则（ ）
A.C0 1 B.若A0，则n N*，使S 最大
0 n
C.若A0，则n N*，使S 最大 D.若A0，则n N*，使S 最大
0 n 0 n
【答案】D
1 1 1
【详解】因为等差数列 a 的前n项和S na  n(n1)d  dn2(a  d)n（d 为
n n 1 2 2 1 2
1 1
公差），所以nN*，点(n,S )在函数 y  dx2(a  d)x 的图像上，故在 f(x)中，
n 2 1 2
1 1
A d，B a  d ，C 0.所以C0 00无意义，选项A错误；若A0，则d 0，
2 1 2
S na ，当a 0时，不存在n N*，使S 最大，选项B错误；若A0，则d 0，
n 1 1 0 n
S 有最小值，无最大值，选项C错误；若A0，则d 0，S 有最大值，选项D正确.故
n n
选：D.
3
7.已知a log 3 3 ，b0.25，csin ，则a，b，c的大小关系是（ ）
9 4
A.cba B.c<a<b C.abc D.acb
【答案】B
3 3 
【详解】a log 3 3 log 32  ，设 f(x)sinxx，x[0, ]，则
9 32 4 2
 3 3 3
f(x)cosx10，∴ f(x)在[0, ]上单调递减，∴ f( )sin   f(0)0 ∴
2 4 4 4
第6页3 3 1 4 256 1 4 1 4
sin  ，故ca，∵ (4)4  ，而( )4  3.16，∴(4)4 ( )4，∴4  ，
4 4 3 81 3 3
∴  1 4  3 即0.25  3 ，故ba，∴c<a<b.故选：B.
4 4
8.小王到某公司面试，一共要回答 道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题
答对的概率均为 p0 p1，且每道4题答对与否相互独立，记小王答完4道题的总得分为X ，
则当EXDX取得最大值时，p（ ）
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
【答案】
【详解】设C 答对题的个数为Y，由已知可得Y B  4,p  ，所以E  Y 4p，
D  Y 4p  1 p ，因为每道题答对得2分，答错倒扣1分，X 为小王答完4道题的总得分，
所以X 2Y4Y3Y4，所以E  X 3E  Y 412p4，
D  X 9D  Y 94p  1 p 36p  1 p ，所以
2
 2 2
E  X D  X 36p248p436p  12 ，又0 p1，所以当p 时，
 3 3
EXDX取最大值，最大值为 故选：
二、多项选择题：本大题共3小题，12每. 小题6C分. ，共18分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，
发现用模型ycekx拟合比较合适令zlny，得到z1.3xa，经计算发现x,z满足下表：
.
天数x(天) 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
则（ ）
A.ce0.2 B.ce0.2 C.k 1.3 D.k 1.3
【答案】
BC
第7页23456 1.54.55.56.57
【详解】因为x 4，z  5，所以z1.3xa的中心
5 5
点为 ， ，代入z1.3xa，可得a51.340.2，由zlny，ycekx，则
zln (4 cekx 5  ) kxlnc，所以k 1.3,lnca0.2，即ce0.2 故选：
10.函数 f(x)aex lnx的图像可以是（ ） . BC.
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】当a  0是，f  x lnx，故A符合；当a  0时，f  x aex lnx在  0,
上单调递减，且 f  1 aeln1<0，故B符合；当a0时，由 fxaex  1 为  0, 上
x
1 1
的单调递增函数，令 f x 0，则aex  0，即a  ，因为 y exx，可得
x exx
yex x1 0，所以 y exx在  0, 上的单调递增函数，所以 y exx e000，
1
所以a  有唯一解x 0,，当0,x 时，fx0，当  x , 时，fx0，
exx 0 0 0
所以函数 f  x  在0,x 上单调递减，在  x , 上单调递增，故D正确.故选：ABD.
0 0
11.已知数列  a  满足：a 3，3na (n1)a 则下列说法正确的是（ ）
n 1 n n1
3n
A.a 
n n
 
B. a 是单调递减数列
n
3
C.若对任意nN*，都有(1)na a ，则  2
n n1 2
 1  3
D.若T 为数列 的前n项和，则T 
n a  n 4
n
【答案】ACD
a 3n
【详解】由3na  n1  a ，可得 n1  ，故
n n1 a n1
n
第8页a a a 3  n1  3  n2  32 31 3n
a  n  n1  2 a     3 ,a 3也符合，
n a a a 1 n n 1 3 2 n 1
n1 n2 1
故a 
3n
，a 
33
9，A正确；由于
a
n1 
3n
1
2n1
1，故a a ，因此  a 
n n 3 3 a n1 n1 n1 n n
n
a n  1 
是单调递增数列，B错误；由(1)na a 可定(1)n n1 3 31 ，
n n1 a n1  n1
n
1 1
当n为偶数时，则3(1 ) 恒成立，由于 f  n 1 单调递增，故
n1 min n1
 1  1 1
31  2，当n为奇数时，则3(1 ) 恒成立，由于 f  n 1
 21 n1 min n1
1 3 3
单调递增，故3(1 ) ，故对任意nN*，都有(1)na a ，则 2，
11 2 n n1 2
3 2n3 3
故C正确；利用错位相减法得T    ，D正确， 故选：ACD.
n 4 43n 4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
1
12.函数 f(x) x3x2的极大值为 .
3
【答案】0
lnx,x 0,
13.已知函数 f(x) 若直线 y kx与曲线 y  f(x)有三个不同的交点，
x2 2x,x0,
则实数k的取值范围是 .
1
【答案】
2,0 

e
1 lnx
【详解】设 ylnx与y kx相切于点(x ,lnx )，则k  y|   0 ，解得x e，
0 0 xx 0 x x 0
0 0
1 y kx
此时k  ，由 得x2 (k 2)x 0，由0可得k 2，此时切点
e y x22x,x0
1
为(0,0)，作出函数 y kx与y  f  x  的图象如图，由图象可知，当2<k 0或k  时，
e
直线 y kx与 y  f  x  有三个不同的交点，
14.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状
完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子
第9页1
内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为P ，若有P  P B，
n n1 4 n
则常数B  ，且P  （用含有正整数n的式子表示）.
n
3 1 1 1
【答案】 ，2(2n1)  （也可写作  ） （第一空2分，第二空3分）
8 2 22n1 2
【详解】第n次取出的球是红球的概率为P ，则取出的球为白球的概率为1P ，对于第n1
n n
5
次取出的球是红球有两种情况：①红球从红箱中取出，其概率为 P ；②红球从白箱中取
8 n
3 5 3 1 3 3 1 3
出，其概率为 (1P)，所以P  P  (1P) P  ，所以B  . 由P  P  ，
8 n n1 8 n 8 n 4 n 8 8 n1 4 n 8
1 1 1 1 1 1 5 1 1
得P   (P  )，令P  a ，则a  a ，且a  P     ，则数列
n1 2 4 n 2 n 2 n n1 4 n 1 1 2 8 2 8
 a 为等比数列，且公比为 1 ，所以 a  1 ( 1 )n1 2(2n1)，则P 2(2n1)  1 .故答案
n 4 n 8 4 n 2
3 1
为： ，2(2n1)  .
8 2
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知公差大于1的等差数列 a 中，a 3，且a 1，a 1，a 3成等比数列.
n 2 1 3 6
（Ⅰ）求数列
a
的通项公式；
n
 1  1 1
（Ⅱ）设数列 的前n项和为S ，求证：  S  .
a a  n 3 n 2
n n1
解：（Ⅰ）设 a 的公差为d （d 1），
n
由(a 1)2 (a 1)(a 3) ，a 3，
3 1 6 2
得(a d 1)2 (a d 1)(a 4d 3) 即(2d)2 (4d)4d ，
2 2 2
2
解得d 2或d  ，∵d 1，∴
5
d 2， ……………………………4分
∴
a a (n2)d  2n1 ……………………………
n 2
6分
第10页1 1 1 1 1
（Ⅱ）   (  )，
a a (2n1)(2n1) 2 2n1 2n1
n n1
∴
1 1 1 1 1 1 1 1
S  (1     ) (1 ) ， ……………………………
n 2 3 3 5 2n1 2n1 2 2n1
9分
1 1
∵nN*，∴2n13，∴0  ，
2n1 3
2 1 1 1 1 1
∴ 1 1，  (1 ) ，
3 2n1 3 2 2n1 2
∴
1 1
 S  ． ……………………………13
3 n 2
分
16．（本小题满分15分）
跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力.
2024年暑假期间，某高中以2023年入学（以下称2023级）的学生为试点，倡议学生每天
坚持不超过半小时的跳绳锻炼.开学后，对2023级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，
并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），
得到如下数据：
人数 5 10 20 15 15 10 15 10
每周跳绳的
累计时间（单 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
位：小时）
成绩区间
[90,100) [120,130) [140,150) [170,180) [170,180) [160,170) [180,190) [190,200)
（单位：个）
（Ⅰ）请完成下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学
生每周跳绳的累计时间有关”；
跳绳个数不少于170个 跳绳个数不足170个 合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时
每周跳绳的累计时间不足2小时
合计
（Ⅱ）将测试成绩位于区间[170,190)之内评定为“良好”，位于区间[190,200)之内评定为“优
秀”.在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再
从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和
数学期望E(X)．
第11页n(ad bc)2
附：2  ，其中nabcd .
(ab)(cd)(ac)(bd)
P(2 k ) 0.100 0.050 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
解：（Ⅰ）依题意补全列联表如下：
跳绳个数不少于170个 跳绳个数不足170个 合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时 40 10 50
每周跳绳的累计时间不足2小时 15 35 50
合计 55 45 100
…………
…………………2分
因为
100(40351510)2 2500
2    25.253 10.828， ………………………
55455050 99
……5分
所以有99.9%的把握认为“2023级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有
关”. …………6分
（Ⅱ）对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，其中被评定为“良好”的有9
人，被评定为“优秀”的有2人，则X 的可能值为 ， ，
. …………0……1 ……………8分
2 C3
P(X 0) 9 ，
C3
11
C2C1 24 C1C2 3
P(X 1) 9 2  P(X 2) 9 2  ， …………………………11分
C3 55 C3 55
11 11
所以X 的分布列为：
X
P 28 24 3
0 1 2
55 55 55
…………
………………13分
第12页X 的数学期望
28 24 3 6
E(X)0 1 2  …………………………
55 55 55 11
15分 .
17．（本小题满分15分）
已知函数 f(x)ax2 axlnx，
（Ⅰ）若曲线y f(x)在x1处的切线方程为ymx2，求实数a，m的值；
（Ⅱ）若对于任意x1， f(x)axa恒成立，求实数a的取值范围
1 .
解：（Ⅰ）因为 f(x)2axa ，所以 f(1)a1， f(1)0，
x
所以曲线 f(x)在x1处的切线方程为y0(a1)(x1)，即y(a1)x(1a)，
………………
…………3分
ma1
所以 ，得a1，
21a
m2， …………………………5分
（Ⅱ）令F(x) f(x)axa ，依题意，F(x)ax2 alnx0对x1恒成立，
1 2ax2 1
因为F(x)2ax  ，x1
x x
1°当a0时，F(x)0，此时F(x)在[1,)上单调递减，
所以x1时，F(x)F(1)0，不符题意，舍
去． …………………………8分
1 1
2a(x )(x )
2a 2a
2°当a0时，F(x) ，x1
x
1 1 1 1
①当 1，即0a 时，由F(x)0，得1 x ，所以F(x)在[1, )上单调
2a 2 2a 2a
1
递减，故x(1, )时，F(x)F(1)0，不符题意，舍
2a
去． …………………………11分
1 1
②当0 1，即a 时，F(x)0，所以F(x)在[1,)上单调递增，
2a 2
1
所以x1时，F(x)F(1)0，符合题意，所以a ．
2
第13页综上，
1
a . …………………
2
………15分
18.（本小题满分17分）
近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术，智能芯片作为人工智能的
“心
脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效
比均
在大幅提升．
（Ⅰ）已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包
1
括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P  ，
1 25
1 1
P  ，P  .
2 24 3 23
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P ；
0
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过
筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记A表示事件“某
芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，无需说明理由，请
直接写出P(A|B)与P(A|B)的大小关系；
（Ⅱ）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布N(5.40,0.052)，现从中
随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间(5.25,5.45)．若m=24，将
使得P(m24)的最大的M值M0 作为M的估计值，试求M0 的值．
参考数据：P()0.6827，P(33)0.9973．
解 ：（ Ⅰ ） ① 进 入 第 四 道 工 序 前 ， 该 款 芯 片 的 次 品 率 为
1 1 1 3
P 1(1P)(1P)(1P) 1(1 )(1 )(1 ) 
0 1 2 3 25 24 23 25
………
…………………5分
②
第14页P(A|B)P(A|B) ………………………
…7分
P(AB) P(AB) P(AB)P(B)P(AB)P(B)
（证明：P(A|B)P(A|B)  
P(B) P(B) P(B)P(B)
P(AB)[1P(B)][P(A)P(AB)]P(B) P(AB)P(A)P(B)
 
P(B)P(B) P(B)P(B)
P(B| A) P(B)，∴P(A)P(B| A) P(A)P(B)，
⸪
∴P(AB) P(A)P(B)，
∴P(A|B) P(A|B) ）
（Ⅱ） P(5.255.45)P(5.4030.055.400.05)P(3)
⸪
P()P(33) 0.68270.9973
   0.84
2 2
…………9分
依题意，mB(M,0.84)，P(m24)C240.84240.16M24 ，
M
设 f(x)C240.84240.16x24 ，
x
f(x) f(x1) C240.84240.16x24 C24 0.84240.16x23
由 得 x x1 ，
f(x) f(x1) C240.84240.16x24 C24 0.84240.16x25
x x1
193 200
解得  x ，又xN ，所以x28，
7 7
所 以 M 的 估 计 值 M 为
0
28. ………………………………………………………………17分
19．（本小题满分17分）
设函数y f(x)在区间D上的导函数为 f(x)，且 f(x)在D上存在导函数 f(x)（其中
f(x)[f(x)]） 定义：若区间D上 f(x)0恒成立，则称函数 f(x)在区间D上为凹
函数. .
x1
（Ⅰ）判断函数 f(x) 在区间(0,)上是否为凹函数？并说明理由；
x
第15页1 1 3
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数g(x) ae2x  x2(lnxlna ) 在区间(0,)上为
2 2 2
凹函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）设kZ且k 0，对于任意的x0,，不等式
1lnx1
 k 成立，求k的最
x x1
大值．
x1 1 2
解：（Ⅰ）∵ f(x) ，∴ f(x) ， f(x)
x x2 x3
∵x0时， f(x)0，
x1
∴函数 f(x) 在区间(0,)上是凹函
x
数 …………………………3分
1 1 3
（.Ⅱ）∵g(x) ae2x  x2(lnxlna ) ，
2 2 2
3 1
∴g(x)ae2x x(lnxlna ) x ，g(x)2ae2x lnxlna ，
2 2
若g(x)在区间(0,)上为凹函数，
则g(x)2ae2x lnxlna 0在(0,)上恒成立，
x 1 x
∴2ae2x lnxlna ln ，即2e2x  ln 在(0,)上恒成立，
a a a
∴2xe2x  x ln x ln x e ln a x 在(0,)上恒成立，
a a a
x x
当ln 0时，显然成立，下面讨论ln 0的情况，
a a
令h(x) xex（x0），则h(x)(x1)ex，
∵x0时，h(x)0，∴h(x)在(0,)上为增函数，
由2xe2x ln x e ln a x ，得gh(2x)h(ln x )，∴2xln x ，即e2x  x ，
a a a a
x
即x0时，a 恒成立，
e2x
x 12x
设(x) （x0），则(x) ，
e2x e2x
1 1
当0 x 时，(x)0，所以(x)在(0, )上单调递增，
2 2
1 1
当x 时，(x)0，所以(x)在( ,)上单调递减，
2 2
1 1 1
所以 x ( ) ，则a ，
2 2e 2e
第16页故存在实数a，使得g(x)在区间(0,)上为凹函数，a的取值范围为
1
( ,) ……………10分
2e
（Ⅲ）∵x . 0,，∴ 1lnx1  k  k  x1 1lnx1 ，
x x1 x
令Fx
x1 1lnx1
 ， 则Fx
xlnx11
，
x x2
1 x
令Gxxlnx11，则Gx1  ，
x1 x1
当x0,时，Gx0，Gx在区间0,上单调递增，
又∵G21ln30，G32ln40，
∴存在x 2,3，使Gx  x lnx 110，
0 0 0 0
∴当x0,x 时，Gx0，Fx0，Fx在区间0,x 上单调递减，
0 0
当xx ,时，Gx0，Fx0，Fx在区间x ,上单调递增，
0 0
∴当x0,时，Fx的最小值为Fx 
x
0
1 1lnx
0
1
 ，
0 x
0
由Gx  x lnx 110，有lnx 1x 1，∴Fx 
x
0
1 1x
0
1
 x  1，
0 0 0 0 0 0 x 0
0
∵x 2,3，∴Fx 3,4，又∵k 
x1 1lnx1
 Fx恒成立，∴k Fx ，
0 0 0
x
∵kZ且k 0，∴k的最大值为
3. …………………………………………17分
第17页