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2024-2025 学年度第二学期第二次月考答案
一、单选题
1．下列函数中，在区间 单调递增，且在定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于 A 中，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 是偶函数，所以 A 不符合题意；
对于 B 中，函数 既不是奇函数也不是偶函数，所以 B 不符合题意；
对于 C 中，由 ，根据指数函数的性质，可得函数 是非奇非偶函数，所以 C
不符合题意；
对于 D 中，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 是奇函数，
当 时， 是严格增函数，所以 D 符合题意．故选：D．
2．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．故选：C．
3．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一
八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件 A 表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念
馆”，事件 B 表示“两个家庭选择景点不同”，则概率 （ ）
A． B． C． D． 【答案】A
【详解】事件 A 包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有 5 个，
其中，事件 B 包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有 4 个，
概率 .故选：A.
4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 在区间 上单调递增，符合题意，
当 时，
因为 为二次函数，且函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选： .
5．已知随机变量 ， 且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于 A， ，解得 ，故 A 不符合题意；
对于 B， ，故 B 不符合题意；
对于 C， ，故 C 符
合题意；
对于 D，由均值的性质可知， ，故 D 不符合题意.故选：C.
6．已知 是定义域为 的奇函数，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
则 ，故 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，由奇函数的性质可得 ，
所以， ， ，
因此， .
故选：D.
7．设函数 满足： ，都有 ，且 .记 ，
则数列 的前 10 项和为（ ）
A．55 B．45 C． D．
【答案】C
【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到 ，从而转化为等比数列，再利
用数列思想求和即可.
【详解】令 可得 ，
再令 可得 ，
又因为 ，所以 ，
再令 可得 ，
又因为 ，所以有 ，
即 是等比数列，则有首项 ，公比 ，
所以 ，即 ，则 ，
故选：C.
8． 是定义在 上的偶函数， 为其导函数且 ，且 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 是定义在 上的偶函数，
当 时，令 ，则 ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
即当 时， 的解集为 ，
因为函数 是定义在 上的偶函数，由其对称性可知：
当 时， 的解集为 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
二、多选题
9．已知数列 的前 n 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为递减数列
B．当且仅当 时， 取得最大值
C．
D． 是等比数列
【答案】ACD
【详解】由题意可知， ，则 ，故数列 为递减数列，故 A 正确；
因二次函数 的对称轴为 ，且开口朝下，
则当 或 时， 取得最大值，故 B 错误；
当 时， ，
则 ，
又 ，符合上式，故 ，故 C 正确；
令 ，则 ，则 是等比数列，故 D 正确.
故选：ACD
10．已知随机变量 服从正态分布 ，定义函数 为 取值不超过 的概率，即
，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． 在 上是增函数 D． ，使得
【答案】ABC
【详解】对于 A：因为 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C：当 增大时， 也增大，
所以 在 上是增函数，故 C 正确；
对于 D：因为 ， ，
当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ；
当 时， ，则 ，
又 ，所以 不成立，故 D 错误；
故选：ABC.
11．已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】函数 和 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
作出它们的图象及直线 ，由直线 与直线 垂直，
且交点为 知 ， ，
因此 ，所以有：
，
，
正确的 BD，错误的是 C，
故选：BD．
三、填空题
12．已知函数 ，则 的值等于 ．
【答案】
【详解】因为 ，则 .
故答案为：
13.已知 是等差数列 的前 项和，且满足 ， ，则 ；
【答案】35
【详解】因为 是等差数列 的前 项和， .则 ，
化简得 ，
消元求解得： .
所以 .
所以 .
故答案为：35.
14．已知函数 满足 ，且 ，则方程
的实数解的个数为 ．
【答案】
【详解】由函数 满足 ，则 ，所以 的周期为 ，
由 ，则 ，
可得 的图象如图，
方程 的解，即为 与 的交点横坐标，
且当 时 ，
由图可知两图象交点个数为 ，即方程 的实数解的个数为 .
故答案为：
四、解答题
15．已知函数 ，曲线 在 处的切线斜率为 ．
(1)求 a 的值；(2)求 在区间 上的最值．
【详解】（1）由题意可得 ，..................................................................................2 分
因为 ，则 ，解得 .............................................4 分
（2）由（1）可知 ，则 ， ，..............................................5 分
令 ，即 ，解得 ，..............................................................................6 分
当 时， ， 在 上单调递减，.................................................8 分
当 时， ， 在 单调递增，.................................................10 分
即 时， 有极小值，且 ，................................11 分
又 ， ， ...................................12 分
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .-----------------------------13 分
16．已知数列 中， ， ，且数列 为等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 n 项和，证明： ．
【详解】（1）因为数列 中， ， ，且数列 为等差数列，
设数列 的公差为 ，则 ，故 ，.........................................2
所以 .......................................................................4
故 .........................................................6
（2）因为 ，...........................................................................8
所以 .............................10
= ..........................................................................................................12
，故原不等式成立.......................................1517．已知函数 为奇函数．
(1)求 ，判断 的单调性
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【详解】（1）法一 函数 为奇函数，所以 ，
即 ，
则 ，即 ，则 ，得 ；.........................................
3
法二：或者 ................................................................不检验扣
分
所以 ，
函数 在 上为增函数，.....................................................................................................6
（2） 不等式 恒成立，
，...........................................................................................................7
函数 为奇函数，
，........................................................................................................8
函数 在 上单调递增，则 ，......................................................................9
即 恒成立，.........................................................................................................10
当 时，不等式 恒成立，满足题意；.......................................................................12
当 时，需满足 ，即 ，解得 ；................................................
14
综上，实数 的取值范围为 ．...........................................................................................15
18．甲、乙两个箱子中，各装有 个球，其中甲箱中有 个红球和 个白球，乙箱中有
个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 或 ，则从甲箱中随机摸出 个球；如果点数为 、 、 、 ，则从乙箱中随机摸出 个球．已知掷 次骰
子后，摸出的球都是红球的概率是 ．
(1)求 的值；
(2)记摸到红球的个数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
【详解】（1）设事件 为“掷出骰子的点数为 或 ”，则事件 为“掷出骰子的点数为 、 、
、 ”，则 ， ，..........................................................................2
设事件 为“摸出的球都是红球”，则 ， ，
由全概率公式可得 ，...............4
整理可得 ，解得 或 （舍去），故 .............................................6
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值有： 、 、 ，
则 ......................................................................................8
， ，.........................................................................10
，.........................................................................12
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
. .......................................................................................................................................14
.则 .........................................................................................17
19．已知 ．
(1)若 在 上单调递增，求 a 的取值范围；
(2)若 的图像在 处的切线为 ，求 a 与 b 的值，并证明 时，
．【详解】（1）若 在 上单调递增，
则 对 恒成立，.................................2
设 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，...............4
所以只需 ，即 ，所以 a 的取值范围是 .....................................6
（2）因为 ， ，.........................................................................7
所以 在 处切线方程为 ，..............................................8
根据题意，该切线为 ，所以 ，解得 ， ，...............................9
所以 ，因为 ，所以 ，..............................................10
设 ，则 ，
因为 两个函数均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，...........................................................................................12
因为 ， ，
所以 使 ，所以 ，即 ，............................14
当 时， ， 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，....................................................15
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上成立...........................................................................................17
