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沧衡名校联盟高三年级 2023—2024 学年上学期期末联考
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量 满足 ， ，则 （ ）
A.2 B.1 C. D.
4.已知 ，则“ ”的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆 的左焦点为F，M，N为 上关于坐标原点 对称的两个点，若 的周长
为22，则 （ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
6.某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每
名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（ ）
A.18 B.27 C.36 D.45
学科网（北京）股份有限公司7.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥 中，
两两互相垂直，则二面角 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.直线 与曲线 的公共点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A.该班数学成绩的极差大于40
B.该班数学成绩不低于115分的频率为0.15
C.该班数学成绩在 内的学生比在 外的学生少
D.估计该班数学成绩的 分位数为97.5
10.已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，其中 ， ，
则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.
B.
C. 在 上单调递减
D. 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数
11.已知函数 满足 （ 为 的导函数），且
在 处的切线倾斜角小于 ，则（ ）
A. B.
C. 有且仅有1个零点 D. 有且仅有1个极值点
12.已知抛物线 的焦点为 ，准线为l，A是 上除坐标原点 以外的动点，过点 且与 相切
的直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，垂足为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2B.若点 落在 上，则 的横坐标为2
C.四边形 为菱形 D. ， ， 成等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ，数列 的前 项和为 ，则 _________.
14.若正数a，b满足 ，则 的最小值是_________.
15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆
被称为“阿波罗尼斯圆”.已知 ，Q为直线 上的动点， 为圆 上的动点，则
学科网（北京）股份有限公司的最小值为_________.
16.已知正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，P，Q分别为线段 ， 上的动点，
则 的最小值为_________.
四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知在等差数列 中， ， .
（I）求 的通项公式；
（II）若 是等比数列，且 ， ，求数列 的前 项和 .
18.（12分）
在 中， .
（I）求 ；
（II）若 ，点 在边 上， 平分 ，求 的长.
19.（12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 平面 ， ，
为棱 的中点，点 在棱 上.
（I）证明：平面 平面 ；
（II）若Q为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20，（12分）
一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相
学科网（北京）股份有限公司同.若某次闪红光，则下次有 的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有 的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，
则下次有 的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
（I）求第4次闪光为红光的概率；
（II）求第 次闪光为红光的概率.
21.（12分）
已知双曲线 是关于 轴和 轴均对称的等轴双曲线，且经过点 .
（I）求 的方程；
（II）若 是 上一动点，直线 与 交于B，C两点，证明： 的面积为定值.
22.（12分）
已知函数 .
（I）设 且 ，求 在区间 内的单调递减区间（用 表示）；
（II）若 ，函数 有且仅有2个零点，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司沧衡名校联盟高三年级2023—2024学年上学期期末联考
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选
错的得0分.
9.BD 10.AC 11.BCD 12.ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.2 15. 16.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
17.解析（I）设 的公应为 .
由 得 ，解得
所以 .
（II）由（I）可知 ， ，则 ， .
因为 是等比数列，所以公比为 ，
所以 ，所以 .
所以 .
18.解析记内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（I）因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，故由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司（II）因为 平分 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
19.解析（I）如图，连接 .
由已知可得 为正三角形，又 为 的中点，所以 .
因为 平面 ，所以 .因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（II）由已知得 ，所以 两两互相垂直，以 为坐标原点， 所在直线分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
设 ，则 ， ， ， ， ，
， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 可取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 .
20.解析（I）由题意，前4次闪光的顺序为“红共蓝红”或“红蓝黄红”，
所以 .
（I）设事件 表示“第n次闪光为红光”，事件 表示“第n次闪光为黄光”，事件 表示“第n次闪光
为蓝光”，且 ， ，则 ，
由题意知 ，当 时， ，
即 ，整理得 ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
故 ，即第 次闪红光的概率为 .
21.解析（I）因为 是关于 轴和 轴均对称的等轴双曲线，故可设其方程为 ，
又 经过点 ，所以 ，
所以 的方程为 ，即 .
（II）因为 在 上，所以 .
联立方程得 消去 整理可得 ，
将 代入，可得 .
所以 .
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，则 ， ，
所以
.
点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
所以 的面积为定值 .
22.解析（I） ，
由 ，得 ，当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，当 或 时， ，
所以 在区间 内的单调递减区间为 .
（II）依题意， ，定义域是 .
（i）当 时，有 .
当 时， ， ，所以 ；
当 时，由 知 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以 ，又 ，所以 .
所以 在 总有唯一的零点 .
学科网（北京）股份有限公司（ii）当 时，有 ， ， .
若 ，有 ，当且仅当 时两个不等号中的等号同时成立，
可知 在 有且仅有1个零点1，符合题意.
若 ，有 在 单调递增， .
①若 ，则当 时，有 ；
②若 ，又 ，则可知 ，使得 .
由①②，可知 在 单调递减，所以 ，
又当 时， ，所以 在 至少有1个零点，
则可知 在 至少有2个零点，不符合题意.
若 ，有 在 单调递增，又 ， ，
则可知 ，使得 ，且 在 单调递增，则有 ，
又当 时， ，所以 在 至少有1个零点，
则可知 在 至少有2个零点，不符合题意.综上可知， .
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