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东莞市2025—2026学年第一学期七校联考试题
高三数学
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2−3x≥0},B={x|−2<x≤2}，则(C A)∩B（ ）
R
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．记等比数列 的前 项之积为 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在正方体 中， 分别为 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 在定义域内不存在零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 与 的
两条渐近线分别交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量X的方差 ，则
B．若随机变量Y服从两点分布，且 ，则
C．若随机变量ξ服从正态分布 ， ，则
D．若随机变量η服从二项分布 ，则
10．设 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
11．在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为线段 上的动点， 为底面 （含边界）上的动点，且平面 平面 ，则
（ ）
A．直线 与平面 所成角的最大值为
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 的体积为定值
D．若 ，且 平面 ，则 的取值范围为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 的展开式中， 的系数为 .
13．已知圆 和不过第三象限的直线 ，若圆
上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ．
14．已知不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题:本题共5小题，共77分，解应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
15．（本小题满分 13 分）已知 分别为∆ABC三个内角 的对边，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，且∆ABC的面积为 ，求∆ABC的周长.16．（本小题满分 15 分）已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为
，乙每局获胜的概率为 ，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如
下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束．
(1)求比赛四局结束的概率；
(2)在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛 局结束，求 的分布列与数学期
望．
17．（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底
面四边形 为直角梯形， ， ， ， 是
的中点， 是 上的一点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若异面直线 和 垂直，求二面角 的正弦值.
18．（本小题满分 17 分）已知椭圆 的右焦点为 ，
离心率为 ，点 在 上，且位于第二象限，点 ，直线 与 在第一象
限交于点 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 的中点，求直线 的方程；
(3)过点 作直线 轴，过点 作直线 轴，直线 交于点 ，证明直线
过定点，并求出该定点.19．（本小题满分 17 分）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何
图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著
《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三
角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个
球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 层球数比第 层球数多 ，
设各层球数构成一个数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的最小值；
(3) 若 数 列 满 足 ， 对 于 ， 证 明 ：
.
