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《东莞市2025—2026学年第一学期七校联考试题（试卷）高三》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A D B C B BC ACD
题号 11
答案 ABD
7．【详解】当 时，由 ，此时函数 无零点；
当 时， 对任意的 恒成立，函数 在 上单调递增，
且当 时， ，当 时， ，此时 存在一个零点，不符
合题意；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
由 可得 ，所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为
，
所以 ，因为函数 不存在零点，
所以 ，可得 ，解得 .
综上所述，当函数 不存在零点时， ，故选：C.
8．【详解】
由双曲线 可知渐近线方程为 ，
因为 ，所以 ，在 中， ， ，可得 .
即 ，则
又因为点 在渐近线 上，所以 ，解得 ，可得
.
10．【详解】对于A选项，由基本不等式可得 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，A对；
对于B选项，由 可得 ，解得 ，所以， ，B错；
对于C选项，由 可得 ，则
，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，C对；
对于D选项， ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，D对.故选：ACD.
11．【详解】对于A，由图可知，点 到平面 的距离最大时，直线 与平面
所成的角最大，
答案第2页，共2页又点 为线段 上的动点，所以点 为 时， 到平面 的距离最大，
又因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，
又 ，所以直线 与平面 所成角的最大值为 ，故A正确；
对于B，取 的中点 ，延长 交 的延长线于 ，
由 ，可得 ，所以 ，所以 为 的中点，
由正方体 ，可得 ，又易得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 （不含端点 ），易得 ，
所以点 的轨迹长度为 ，故B正确；
对于C，取 的中点 ，取 的中点 ，易证 ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 且 ，又 且 ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，
又 平面 ，所以 与平面 不平行，
所以点 到平面 的距离不是定值，又三角形 的面积为定值，所以三棱锥 的体积不为定值，故C错误；
对于D，以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
由 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
又 ，所以 ，所以点 ，
设 ，则 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 的取值范围为 ，故D正确.
12．60【详解】二项式展开式的通项公式： ，
令 ，解得 ，所以可得第三项中 的系数是 .
13．26【详解】因为 得圆心为 ，半径 ，
因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3，
所以圆心 到直线 的距离为3，即 ，解得 或 ，
又因为直线 不过第三象限，所以 ，即 ，所以 ．
14． 【详解】由不等式 得： ，
答案第4页，共2页即 ，令 ，则 ，
函数 在 上单调递增， ， ，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
，即 恒成立；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
， ；综上所述： .
15．【详解】（1）因为 ，且由正弦定理得，
所以 ，...................................................................1分
因为A+B+C=π，所以 ，.................2分
，
，........................4分
因为 ，所以 ，.....................................................................5分
即 ，所以 ，........................................................................6分
因为 ，所以 ，所以有 ，所以 .........................7分
（2）因为 ，且∆ABC的面积为 ，所以有 ............................................................11分
所以 ，即 ，所以∆ABC周长为 ....................................13分
16．（1）当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场，
则甲获胜的概率为 ；..............................................................3分
当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场，
则乙获胜的概率为 ，..............................................................6分
故比赛四局结束的概率为 .....................................................................7分
（2）由题意， 的可能取值为 ，
当 时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜，
则 ；..............................................................................................................9分
当 时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜，
则 ；.............................................................................................11分
当 时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两
局，甲胜最后一局，
则 ；.............................................................................13分
所以 的分布列为 ..........................................14分
故 ．............................................................................15分
17．（1）由题知， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，......................................1分
答案第6页，共2页因为 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，........................................3分
又 是 中点，所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，........................................................................................................5分
又 平面 ，所以平面 平面 .............................................................6分
（2）由题知，以 为原点， 所在直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系如图所示，.........................................................................................7分
过 作 ，因为 ，所以 ，则
，设 ，..............................8分
则 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，................................................................9分
则 ，........................... .........................10分
设平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量，
则 ，取 ，可得 ，..........................12分
又 ，可得 ，
取 ，可得 ，...........................................................................13分
令平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，.......................................................................14分所以 ，即二面角 的正弦值为 .......................15分
18．（1）由题意可得 ........................................................................................2分
解得 ，所以 的方程为 ...................................................................4分
（2）依题意画出图像为：
设直线 的方程为 ................................................................................................5分
（因为点 在第二象限，所以 ，即 ），设 ， .
联立直线与椭圆方程 得 ........................................6分
当 时， .
由根与系数的关系知， ①， ②........................................8分
因为 是 的中点，所以 ，结合①解得 .
答案第8页，共2页代入②，解得 （ 舍去），
所以直线 的方程为 ，即 或 ..........11
分
（3）根据题意画出图像为：
由①②可得， .........................................12分
由题意可得， ，直线 的方程为
，......................16分
所以直线 过定点 .....................................................................................................17分
19．（1）依题意， ，则有 ，
当 时，
.............................................................................3分
又 也满足，所以 .....................................................................................4分（2）函数 的定义域为 ，.................................................5分
求导得 ，................................................................................6分
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，
所以函数 的最小值为0..............................................................................................9分
（3）由（2）知，当 时， ，令 ，
则 ，..........................................................................................................10分
则 ，..........12分
因此 ，
令 ，
于是 ，..............................................................14分
两式相减得 ，
因此 ，所以 .............................................................17分
答案第10页，共2页
