福建省莆田第六中学2024届高三上学期1月质检模拟测试数学_2024届福建省莆田第六中学高三上学期1月质检模拟测试

莆田六中高三上学期 1 月模拟测试数学学科试卷 6. 若函数 ， 的值域为 ，则 的取值范围是（ 命题人：高三备课组 审核人：高三备课组 一．选择题（每题5分，共40分，每题只有一个符合题意的选项） ） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ，则（ ） 2. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 8. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则对所有这样的函数 ，由下列 3. 已知向量 满足 ，则 的夹角为（ ） 条件一定能得到 的是（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 4．函数 f(x)sinxlnx2的图象大致为（ ） 二．多项选择题（每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B． A. 图中所有小长方形的面积之和等于1 B. 中位数的估计值介于100和105之间 C. 该班成绩众数的估计值为97.5 D. 该班成绩的极差一定等于40 10. 一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示， C． D． 且 ，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥 5.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒， ，取 和 中点 、 ，则下 乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ） A. 288种 B. 360种 C. 480种 D. 504种 列判断中正确的是（ ）三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) A. 直线 面 13. 的展开式中 的系数为______.（用数字作答）． B. 三棱锥 体积为定值. 14. 等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ， ， ，则 C. 与面 所成的角为定值 =______. D. 设面 面 ，则 ∥ 15.已知 为坐标原点， 分别是椭圆 的左顶点､上顶点和右焦点，点 在椭圆 上，且 ，若 ，则椭圆 的离心率为______. 11．已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线上，点 ，点P到点Q和到y轴 16. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为 ， 的距离分别为 ，则（ ） ，且 ，则它的内切球的体积为______. A．抛物线C的准线方程为 四．解答题(本大题共6小题，共70分) B．若 ，则 周长的最小值等于3 17．（10分）在DABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 C．若 ，则 的最小值等于2 2bccosAacosC . (1)求角A的大小； 19 D．若 ，则 的最小值等于 (2)若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积. a 7 BC AM 2 DABC 的 18．（12分）在数列 a  中，a 1,2a a n2． 12. 定义在 上 函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，都有 ， n 1 n1 n (1)证明：数列 a a 1 为常数列． n1 n a 且满足 ，则（ ） (2)若b n  4n n 1 ，求数列b n 的前 n 项和 T n ． 19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，ADDC， A. 函数 为奇函数 1 ，BCDC AD2， 为 的中点. PAPDPB2 5 2 E AD B. 不等式 的解集为 （1）求证：PE平面ABCD； （2）求二面角APBC的余弦值； C. 若方程 有两个根 ， ，则 （3）记BC的中点为M ，若N 在线段PE上，且直线MN与平面 D. 在 处的切线方程为nadbc2 所成的角的正弦值为 ，求线段 的长. 2  PAB EN 其中 abcdacbd， nabcd . 20．（12分）近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年 份的统计表： 21．已知双曲线 ： 的离心率为 ，直线 ： 与双曲线C仅有一 年份x 2018 2019 2020 2021 2022 个公共点. y 销量 （万 1.60 1.70 1.90 2.20 2.60 台） (1)求双曲线 的方程 某机构调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： (2)设双曲线 的左顶点为 ，直线 平行于 ，且交双曲线C于M，N两点， 购置传统燃油 购置新能源车 总计 求证：△ 的垂心在双曲线C上. 车 x2 男性车主 35 60 22．（12分）已知函数 f xln1x . 2 女性车主 25 (1)求曲线y f x 在x1处切线的斜率； 总计 100 (2)当x0, 时，比较 f x 与x的大小； (1)求新能源乘用车的销量 y 关于年份x的线性相关系数r，并判断 y 与x之间的线性相关关系的强  a (3)若函数 gxcosx x 2 2 ，且 f   e2  gb1 （a0,b0），证明： f  b2 1 ga1. r 0.75,1 r 0.30,0.75 r 0,0.30 弱；（若 ，相关性较强；若 ，相关性一般；若 ，相关性较 弱） (2)请将上述22列联表补充完整，根据小概率值0.05的独立性检验，分析购车车主购置新能 源乘用车与性别是否有关系？  n  x x  y y   n x y nxy i i i i r i1  i1 ①参考公式：相关系数 ；  n  x x 2   n  y y 2  n x2nx 2   n y2ny 2 i i i i i1 i1 i1 i1 6.6 2.6 ②参考数据： ； ③卡方临界值表：  0.10 0.05 0.010 0.005 0.001  2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 莆田六中高三上学期1月模拟测试数学学科答案 即 ，解得 ，……………………………………………9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 分 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C C D A C 故 的面积为 . …………………………………………10分 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 18.（12分）【详解】（1）令 ，得 ， ．………………………………1 9 10 11 12 分 ABC ACD BD AC 因为 ①，所以 ②．…………………………… ………2分 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 4 ①-②得 ，即 ． …………………………4分 13．-8 14．31 15． 16． 3 因为 ，所以数列 为常数列．…………………………………………5分 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（10分）【详解】（1）由已知及正弦定理得 ， （2）由（1）可得 ，所以 是公差为1的等差数列，所以 ．………7分 …………………………1分 因为 ， ………………………………………………………………………8 则 ，……………………3分 分 在 中 ，故 ， …………………………………………4分 所以 ③， 又 ，故 . …………………………………………………………………………5分 ④．………………………………………………………………9分 （2）由 ，得 ， ………………………………………6分 ③-④得 由题意 ，则 ，…………………7分所以 ，…………………9分 ，…………………………………………………………………11分 （Ⅲ）设 ，则 ，而 ，所以 ，由（Ⅱ）知平 所以 ． …………………………………………………………………12分 19．（12分）【详解】 面 的法向量为 ，设直线与平面 所成的角为 ，则 （Ⅰ）连接 ，则 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形；所以 ，…………………11分 ，因为 且 为 的中点，所以 ，………2分 化简得 ，解得： 或 ，故线段 的长度为 或 .……………12分 所以 ，所以 ，即 ，………3分 x2020 y2.00 又因为 ，所以 平面 ；………………………………………4分 20.【详解】（1）由表格知： ， ，（1分） （Ⅱ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5 x x2 (2)2(1)201222 10 i 所以 ，（2分） 则 , i1 5 所以 ,…………5分 y y2 (0.4)2(0.3)2(0.1)2(0.2)2(0.6)2 0.66 i ，（3分） i1 设平面 的法向量为 ，则 ， 5 x xy y(2)(0.4)(1)(0.3)010.220.62.5 i i ，（4分） i1 即 ，取 ，…………6分 5  x x  y y  i i 2.5 2.5 r i1   0.960.75 由上，有  5  x x 2   5  y y 2 10 0.66 2.6 ，（6分） i i 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，…7 i1 i1 分 所以 y 与x之间的线性相关性较强；（7分）（2）依题意，完善表格如下： 消去 得 ， 购置传统燃油 购置新能源车 总计 车 所以 ， ， 男性车主 35 25 60 如图所示，过A引 的垂线交C于另一点H， 女性车主 15 25 40 则AH的方程为 . 总计 50 50 100 （9分） 代入 得 ，即 （舍去）或 . 100352515252 25 2   4.173.841 则2的观测值 50504060 6 ，（11分） 所以点H为 . 根据小概率值0.05的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此 推断犯错误概率不大于0.05.（12分） 所以 21. 解：（1）因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ， 所以双曲线 的方程为 ， ， 联立直线 与双曲线 的方程 ，消去 得 ， 即 ， 所以 ，故 为 的垂心，得证. x2 1 22．（12分）【详解】（1）解：因为函数 f xln1x ，可得 fx x………1 因为 与双曲线C仅有一个公共点，所以 ， 2 1x 分 解得 ,故双曲线 的方程为 . 1 3 则 f1 1 ，……………………………………………………………………………2分 11 2 （2）设 ， ， 则 满足所以曲线y f x在 处切线的斜率为 3 .…………………………………………………3分 要证 f  b2 1 ga1 ，只需证 g  b2  ga1 ，即证b2 a1， x1 2 x2 1 x2 a （2）解：设函数x f xxln1x x，可得x x1 ，…4分 因为be2，所以b2 ea ，……………………………………………………………10分 2 1x 1x x0, x0 x 0, mxexx1x0 mxex10 mx 0, 当 时， ，则 在 上单调递增，………………………………5分 设函数 ，则 ，所以 在 上单调递增， x00 f xx0 f xx a0 mam00 ea a1 b2 a1 所以 ，从而 ，所以 .…………………………………6分 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，………………………11分 hx f x1gxln1x1cosx g  b2  ga1 f  b2 1 ga1 （3）证明：设函数 ， 所以 ，从而得证 .……………………………12分 ln1x0 hx0 x0 1cosx0 当 时， ， ，则 恒成立，  a  a  a 则由 h  e2  0 ，得 f e21 ge2，……………………………………………………7分        a  a f e21 gb gb ge2 又 ，所以 ，……………………………………………8分     x2 因为gxcosx ，可得 gxxsinx ，令 txgxxsinx ，可得 2 tx1cosx0 ， tx gx (0,) gxg00 所以 单调递增，即 在 单调递增，所以 ， 所以gx 在 0, 上单调递增，又由b0,e a 2 0，所以be a 2，…………………………9分 f  b2 1 g  b2 同理得 ，12. 【答案】AC 选择题第8题，第12题答案 【解析】 8. 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得 进而可求解 【解析】 【分析】利用已知条件易得 是周期为 的奇函数，且 是一条对称轴，再结合各项 ，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C. 判断是否一定有 成立即可. 【详解】对于 A， ，由 可得 【详解】由题设 ，即 ， ，所以 ，且定义域为 ，故 为奇 所以 是周期为 的奇函数，且 是一条对称轴， 函数，A正确， 由 于 ， 所 以 当 时，则 ， ，不符合 当 时，则 且 ，不符合； 为常数，则 当 时，则 ， ，故 又在 中，令 ，则 ，故 ，故 ， ； 所以 ， 当 时，则 且 ，不符合； 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多 对 于 B, 可 得 ， 又 ， 故 ， 则 个符合题目要求.全不选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.，故B错误， 对于C， 为单调递增函数，而 为开口向上，且对称轴为 的二次函数， 且 是 的两个交点， 的 两个交点设为 ，则 ，且 ，又 为单调递增 函数，所以 ，所以 ， C正确， 由 得 ，所以 在 处的切线方程为 ，D错误， 故选：AC