海南省海南中学等四校2024-2025学年高三下学期3月联考数学试题（含答案）_2025年4月_2504012025届海南省海南中学、海口市第一中学、文昌中学、嘉积中学四校高三下学期模拟联考

时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A{x|x  2k,kZ}，B=  x|2 x2  ，则AB
A．[1,1] B．[2,2] C．{0,2} D．{2,0,2}
6i
2．i是虚数单位，则复数 的虚部为
1i
A．3 B．－3 C．3i D．－4i
      
3．已知a，b 是单位向量，若a(a3b)，则|ab|
2 6 8
A． B．
2 2
C． D．8
3 3
4．如图是某年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是
①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省只有1个；
②与去年同期相比，第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；
③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；
④去年同期A省的GDP总量是第三位．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④
5．若alog
3
6， 6b 18 ，则ablog
3
2
A．1 B．－1 C．2 D．－2
高三数学 第1页 （共4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}x2 y2
6．设双曲线C:  1(a 0,b0) 的右焦点为F ，O为坐标原点，以OF 为直径的圆
a2 b2
与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）A，B两点，若 AB  2b，则双曲
线C的离心率为
A．4 B．2 C． 3 D． 2
7．已知cos  30   1 ，且0 90，则tan  30  sin2 60  cos  150  
3
3 2 32 2 3 2 32 2
A． B． C． D．
9 9 9 9
8．已知函数 f x，gx是定义在R上的函数，其中 f x是奇函数，gx是偶函数，
gx gx 
且 f  x g  x ax2 3x1. 若对任意1 x  x 2，都有 1 2 3，则
1 2 x x
1 2
实数a的取值范围是
A．    ,,  33



   00,,  B．0, C．

  3 ,   D．

  3 , 0 
 44  4   4 
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
 
9．已知函数 f(x) 2sin(2x )1m在区间[0, ]上的最大值为4，则下列说法正确
6 2
的是

A． f(x)的最小正周期为 B．m1
2
  
C．点( ,2)是 f(x)图象的一个对称中心 D． f(x)在区间[ , ]上单调递减
12 3 6
a
n , 当a 为偶数时
10．若数列{a }满足：a  2 n ，已知a 1，则S 
n n1 4 4
a 3, 当a 为奇数时
n n
A．14 B．15 C．17 D．18
11．如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A B C D 内灌进一些水，已知 BC＝8，
1 1 1 1
CD＝3 3，AA
1
＝
8 2
，当底面ABCD水平放置时，水面位置满足BF∶FB
1
＝1∶3，
容器内有水部分的几何体体积是V，下列命题正确的是
A．固定容器底面一边 BC 于地面上，将容器倾斜，有水的
部分始终呈棱柱形
B．固定容器底面一顶点 B 于地面上，将容器倾斜，有水的
部分可能是三棱锥
C．体积为V，高为4 2的圆锥不能放在半径是3 2 的球体内
D．体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为
3 6 的圆锥内任意旋转
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
高三数学 第2页 （共4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．数列
a

,

b
都是等差数列，且a

1
,b 
3
，a b
18.则数列
a b
的
n n 1 2 1 2 2025 2025 n n
前2025项的和是______.
13．设点F 是抛物线y2 2px(p0)的焦点，过抛物线上一点P作其准线的垂线，垂足为Q，
已知直线FQ交y轴于点A  0,2  ，且PQF 的面积为8，则该抛物线的方程为______．
14．将标号为1～10的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有______
种不同的装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下
两球球号之积，重复上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C 的对边，且bcosC 3bsinCac0.
（1）求B；
 
（2）若b＝4，△ABC的面积为4 3，D为AC边上一点，满足 AC3AD,
① 求△ABC的周长；；
② 求BD的长．
16．（本题满分15分）
已知函数 f(x)lnxax.
（1）当a1时，曲线y  f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y mx2 (m2)x1 (m0)
相切，求实数m的值；
（2）函数 f(x)a2恒成立，求实数a的取值范围.
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，ADC60,PAPC,PD  AD 2.
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA<PC, 四棱锥P-ABCD的体积为1，
求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
18．（本题满分17分）
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、
高三数学 第3页 （共4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和
互动性帮助孩子学习和发展。萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了
更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数x(0x10)与孩子的喜
爱程度y(0 y1)进行统计调查，得到如下数据表：
x 5 6 7 8 9
y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70
（1）请根据上表提供的数据，通过计算变量x，y的相关系数r，回答是否可以认为
该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．（当r  0.75,1 时，x与y相关性很强）
（2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令．机器人
执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满
意的概率为80%；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为30%．如果使用者
对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？
（3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4
个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功．已知小李答对前两道题的概率
均为p ，答对后两道题的概率均为p ．假设每次答题相互独立，且互不影响．当
1 2
63
p  p  时，求小李挑战成功的概率的最大值．
1 2 52
n
x xy y
i i
参考公式：相关系数r  i1 ．
n n
x x2y y2
i i
i1 i1
19．（本题满分17分）
x2 y2 3 1
已知上下顶点分别为A，B的椭圆E:  1经过点( ,1)，P为直线l:y 上
m 4 2 2
的动点，且P不在椭圆E上，PA与椭圆E的另一交点为C，PB与椭圆E的另一交
点为D（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：直线CD过定点；
1
（3）设（2）问中定点为Q，过点C，D分别作直线l:y 的垂线，垂足分别为M，N，
2
记CMQ，MNQ，DNQ的面积分别为S ,S ,S ，试问：是否存在常数t，
1 2 3
使得S ,tS ,S 总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
1 2 3
高三数学 第4页 （共4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A B C D B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
【选择题解析】
1．集合A{x|x  2k,kZ}，B=  x|2 x2  ，AB{2,0,2}.
故选：D.
6i 6i(1i) 6i(1i) 6i
2．   33i，复数 的虚部为3.
1i (1i)(1i) 2 1i
故选：A.
  
3．由题意，若a (a 3b)，
则 ，则 ，
则
故选：A
4．①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省有2个，B省和C省的GDP总量和
增长率分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；
由图计算去年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；
由③知去年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确.
故选：B
5．由6b 18blog 18，
6
故ablog 2log 6log 18log 2log 18log 2log 92
3 3 6 3 3 3 3
故选：C
6．由OF 为直径知OA AF ，在RtOAF中, FA b,OF c,OAa，
高三数学联考题参考答案 第1页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}c
c 2 bab, e   2 . 故选：D
2 a
7．因为0 90,cos  30   1 0，故30 3090，
3
则sin  30   2 2 ，则tan  30  2 2，
3
又sin2 60  sin2 90  30 cos2  30   1 ，
 
9
1
又cos(150)cos[180(30)]cos(30)
3
1  1 3 2 2
故原式2 2    ．
9  3 9
故选：B
8．因为 f(x)f(x) ，g(x)g(x)，用x代替x得 f(x)g(x)ax23x1，
所以f(x)g(x)ax2 3x1，结合 f xgxax23x1，
gx gx 
所以g(x)ax21，因为 1 2 3，1x x 2，所以g(x)3x g(x )3x ，
x x 1 2 1 1 2 2
1 2
设h(x)g(x)3xax23x1，所以h(x)在(1,2)单调递增，
a0 a0
 
所以  3 或a0或  3 ，

 2

 1
 2a  2a
3 3
所以 a0或a0或a0，所以a .
4 4
故选：C
 2
9．由 f(x) 2sin(2x )1m，可得 f(x)的最小正周期T  ，故A错误；
6 2
   7  1
由x[0, ]，得2x [ , ]，则sin(2x )[ ,1]，
2 6 6 6 6 2
 f(x)的最大值为3m，由3m4，得m1，故B正确；
 k 
令2x  k,kZ ，得x   ,kZ ，
6 2 12
则 f(x)图象的对称中心为 ，

点( ,2)是 f(x)图象的一个对称中心，故C正确．
12
    
由x[ , ]，得2x [ , ]，此区间为正弦函数的一个增区间，
3 6 6 2 2
 
则 f(x)在[ , ]上单调递增，故D错误；
3 6
故选：BC
a
10．若a 为奇数，则a a 31，即a 4，不合题意，故a 为偶数，则a  3 1，
3 4 3 3 3 4 2
高三数学联考题参考答案 第2页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}即a 2．若a 为奇数，则a a 32，即a 5，若a 为奇数，则a a 35，
3 2 3 2 2 1 2 1
a
即a 8，不合题意，则a 为偶数，则a  1 5，即a 10，此时S 1052118；
1 1 2 2 1 4
a
若a 为偶数，则a  2 2，即a 4，若a 为奇数，则a a 34，即a 7，
2 3 2 2 1 2 1 1
a
此时S 742114；若a 为偶数，则a  1 4，即a 8，
4 1 2 2 1
此时S 842115．故选ABD．
4
11．A选项，固定容器底面一边BC于地面上, 根据棱柱的定义，有二个面相互平行且是全
等的多边形，其余每相邻两个面的交线互相平行，所以有水的部分是棱柱，故A正确；
B选项，有水部分几何体的体积为V 48 6
当平面ACB 水平放置时，三棱锥B-ACB 的体积取到最大值，
1 1
1
此时V  S BB 32 6 48 6 ，故B错误
BACB ACB 1
1 3 1
1 36 3
C选项，设圆锥底面半径为r， r2h48 6，r2 
3 
由于r2 (4 2 3 2)2 (3 2)2，故C正确.
D选项，依题意，设正方体棱长为a，a3 48 6，解得a2 6，
正方体的外接球半径为 R3 2
圆锥底面半径3 6 ，圆锥的高h9 2 ，母线长6 6，
9 2r r
设圆锥内切球半径为r，  ，解得 r 3 2 ，
6 6 3 6
正方体恰好可以在圆锥内任意转动，故D正确.
故选ACD.
高三数学联考题参考答案 第3页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．20250 13．y2 8x 14．1022 110
【解析】
    
12． a , b 为等差数列，则 a b 为等差数列
n n n n
a b 2，a b 18
1 1 2025 2025

a b

的前2025项的和是
n n
     
a b  a b 218 2025
 1 1 2025 2025 2025 20250
2 2
13．根据题意作出如图所示的图象：
p
其中，F( ,0)，QE为双曲线的准线，
2
p
且准线方程为x ，PQQE，A(0,2).
2
p p
设P(x ,y )，则Q( ,y )， PQ x  .
0 0 2 0 0 2
在QEF 中，O为EF的中点，则A为QF 的中点，即QE 4，y 4.
0
1 p pp
∵PQF 的面积为8，∴ (x  )4180，即xx 545 .
2 0 2 00 22
pp
∵y 2 2px ，∴442222pp((545 ))，即p2p210810pp161600. ∴p42
0 0 22
∴该抛物线的方程为y2 8x.
14．不妨记两个盒子为甲、乙．第一步，将小球装入甲盒子，可以装的小球数量为1,2,,9，
故装法有C1 C2 C9 210 21022种；第二步，将剩下的小球装入乙盒子，
10 10 10
装法只有1种，故共有1022种装法．
所有积之和的最小值为：1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＝110
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）因为bcosC 3bsinCac0，根据正弦定理可得：
sinBcosC 3sinBsinCsinAsinC 0, ………………1分
又A(BC)，
所以sinBcosC 3sinBsinCsin(BC)sinC 0 ………………2分
高三数学联考题参考答案 第4页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}所以sinBcosC 3sinBsinCsinBcosCcosBsinCsinC 0 ……3分
 3sinBsinCcosBsinCsinC 0， ………………4分
因为C为三角形内角，故sinC 0，
 π 1
所以 3sinBcosB10sinB  ………………5分
 6 2
π π π
因为B是三角形内角，所以B  ，所以B . ......6分
6 6 3
（2）如图：
1 3
①因为S  acsinB ac4 3，所以ac16. ………………7分
△ABC 2 4
由余弦定理：b2 a2c22accosB  a2c2 32.
所以a c4.
△ABC的周长是12 ………………9分
  4
②△ABC为等边三角形.又AC3AD，所以AD . ………………10分
3
π 16 16 1 7
在△ABD中，BD2  AB2 AD22ABADcos 16 2  16 .
3 9 3 2 9
………………12分
4 7
所以BD  . ………………13分
3
16．解：
（1） f x的定义域为0,， ………………1分
1
由 f(x)lnxx可得 f(x) 1， f(1)2 ………………2分
x
所以 f(x)lnxx在x=1处的切线方程为y－1=2(x－1），
即2x－y－1=0 ………………3分
切线2x－y－1=0与曲线y mx2 (m2)x1相切，
y mx2 (m2)x1
即
2x y10
得mx2 mx20，m2 8m0 ………………6分
m=0（舍去）或m=8 ∴m=8 ………………7分
1
（2）法一：由 f(x)lnxax可得 fx a ，
x
当a0时， f(x)0，
所以 f x在0,上单调递增，不成立。 ………………9分
1
当a0时，令 fx0，得x ，
a
 1
所以当x0, 时， f(x)0， f x单调递增；
 a
高三数学联考题参考答案 第5页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}1 
当x ,时， fx0， f x单调递减，
a 
1
所以当x 时， f x取得极大值，也是最大值，
a
1 1
即 f(x)  f( )ln 1 ………………12分
max
a a
1
所以有ln 1a2，即lnaa10 ………………13分
a
1
设galnaa1，则ga 10，
a
所以ga在0,上单调递增，
又g10，所以g(a)g(1)，得a>1，
故实数a的取值范围是(1, ). ………………15分
 
法二：因为 f x lnxaxa2恒成立，又x0
lnx2
 a  恒成立， ………………9分
x1
1 1
lnx2  x1 lnx2 lnx1
令g  x   ， g'  x  x  x …………10分
x1  x1 2  x1 2
1 1 1
   
令h x  lnx1，h' x   0
x x2 x
所以h  x  在  0，  单调递减 ………………12分
因为h  1  0，所以当x  0，1  时，h  x  0，g'  x  0，g  x  单调递增
当x  1，  时，h  x  0，g'  x  0，g  x  单调递减
   
所以当x1时，g x 取得极大值，也是g x 的最大值
 g  x   g  1  1
max

a 1 ………………14分
 实数a的取值范围是  1，  ………………15分
17．解：
（1）设ACBD O ，连接PO, 因为四边形ABCD为菱形，
则O为AC、BD的中点，且BD AC， ………………1分
因为ADC60，PAPC,PD  AD 2，
则△ACD是边长为2的等边三角形，
1
则 OD= AD2AO2 = 2212 = 3 ，PO AC1，
2
因为PD2 PO2DO2，所以DOPO，即BDPO， ………………4分
因为ACPOO，AC、PO平面PAC，所以BD平面PAC. ……5分
高三数学联考题参考答案 第6页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}（2）因为BD平面PAC ，BD平面ABCD，
故平面PAC ⊥平面ABCD，
过点P作AC的垂线交AC于点E，
因为PA<PC，所以点E在线段AO上，
因为平面PAC ∩平面ABCD=AC，PE 平面PAC ，
所以PE⊥平面ABCD， …………7分
菱形ABCD的面积S 22sin600 2 3，
1 3
又四棱锥P ABCD的体积为1，即 SPE 1，可得PE ，
3 2
1
因为PO=1，所以OE  .
2
以O为原点，OD、OC所在直线分别为x轴、y轴，过点O且与平面ABCD垂
直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， ………………9分
则D  3,0,0  、A0,1,0、C0,1,0，P(0, 1 , 3 )，
2 2
1 3 1 3
ABDC( 3,1,0)，DP( 3, , )，AP(0, , )
2 2 2 2

设平面PCD的法向量为nx,y,z，则
 nDC  3x y 0

 1 3
nDP  3x y z 0
 2 2
，令x1,则y  3,z 3,所以n（1，3，3） ………………11分
设平面PAB的法向量为 m（a，b，c），则
 mAB  3ab0

 1 3
mAP  b c0
 2 2
，令a 1,则b 3,c1,所以m（1，3，1） ………………13分
设平面PAB与平面PCD的夹角为，
|nm| 1 65
cos   ………………14分
|n||m| 5 13 65
65
所以，平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 ………………15分
65
18．解：
56789 0.550.500.600.650.70
（1）由表知，x 7，y  0.6，
5 5
………………1分
5
x xy y  0.625 0.05 1 0.1 0010.0520.10.45，
i i
i1
………………2分
高三数学联考题参考答案 第7页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}5 5
∵x x2 10，y y2 00..004235，
i i
i1 i1
n n
∴x x2y y2 00..2453， ………………3分
i i
i1 i1
n
x xy y
i i 00.6.455 0.45
所以r i1  0.99 0.9 ………………4分
n n 0.605.265 0.5
x x2y y2
i i
i1 i1
∵ r  0.75,1 ，
∴可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． ………………5分
（2）记事件A：机器人正确执行命令；事件
A
：机器人执行命令出错；
事件B：使用者对结果满意，则
B
表示使用者不满意. ………………6分
   
依题意：P  A  0.9，P  A  0.1 P B A 10.80.2，P B A 10.30.7，
………………7分
       
 
所以P B  P A P B A P A P B A 0.90.20.10.70.25 ……9分
 
   
  P AB P A P B A 0.90.2 0.18
所以P AB         0.72.
P B P B 0.25 0.25
即如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的
概率是0.72. ………………10分
（3）设小李挑战成功为事件C，则
PP CA  p2p22p 1 p p22p2p 1 p   p p  p p 21 p p 2p 1 p  
1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 p p 2p 2p 3p p ， ………………12分
1 2 1 2 1 2
由p  p 
63
，得P  C  p p  33p p 3p p  1 p p ． ………………13分
1 2 52 1 2 1 2 1 2 1 2
36   3 2 9 1
令x p 1 p 2  pp 11    25 pp 11     ，因   为p 1 0 5    p 1  2 1 5 ，0 p 2 1，所以 2  p 1 1，
1 9 
所以x

,

………………14分
2 16
设 f xx3  x 1 1 2 x3  x，   则 f  x 3x  1x 3x23x3  x 1   2  3 ……15分
 5   2 4
19 3
当x 时， f x取得最大值 ． ………………16分
225 4
31 3 3
所以，当p  或p 1时，小李挑战成功的概率取得最大值 ． ……17分
1 52 1 5 4
高三数学联考题参考答案 第8页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}19．解：
3
（1）将点( ,1)代入椭圆方程，解得m的值为3， ………………2分
2
x2 y2
则椭圆E的方程为  1. ………………3分
3 4
（2）由题意，直线CD的斜率一定存在，设直线CD的方程为：ykxm  m2 ，
设Cx,y ，Dx ,y ，
1 1 2 2
y 2
则直线AC为：y 1 x2 ①
x
1
y 2
直线BD为：y 2 x2 ②
x
2
y 2 x y2
由①②得： 1  2 
x y 2 y2
1 2
1 y 2 x 3
∵P在直线y 上，∴ 1  2  ， ………………4分
2 x y 2 5
1 2
x2 y2 x 3y 2 y 2 y 2 4
∵ 2  2 1，∴ 2  2 ，∴ 1  2  ，
3 4 y 2 4x x x 5
2 2 1 2
kx m2kx m2
4
∴ 1 2  ，
xx 5
1 2
k2xx km2x x  m22 4
∴ 1 2 1 2  ③ ………………6分
xx 5
1 2
x2 y2
联立：   3  4 1 得方程：  3k24  x26kmx3  m24  0，

 ykxm
Δ6km24  3k24  3  m24  0， ………………7分
6km 3  m24 
由韦达定理：x x  ， xx  ，
1 2 3k24 1 2 3k24
将韦达定理代入③得：m210m160， ∴m2（舍），m8,
∴直线CD过定点0,8 . ………………9分
 1  1 1 1
（3）Mx, ，Nx , ，显然C，D在直线l:y 的两侧，不妨设y   y .
 1 2  2 2 2 1 2 2
1  1 1  1 1 1 
则SS △CCMMQQ  2 x 1   y 1  2   ,SS △MMNNQQ  2 x 1 x 2   8 2   ,SS △DDNNQQ  2 x 2  2 y 2   …11分
设存在常数t，使得S ，tS ，S 为等比数列，即t2S2 SS ,
1 2 3 2 1 3
222255tt22 11 11 11 
即： 1166     xx 11 xx 22 22     44 xx 11 xx 22   22 yy 11 yy 22  44 yy 11 yy 22    ,
222255tt22 11 11 11 
即： 1166     xx 11 xx 22 2244xx 11 xx 22      44 xx 11 xx 22   22 yy 11 yy 22  44 yy 11 yy 22    , …………13分
高三数学联考题参考答案 第9页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}因为Cx,y ，Dx ,y 在直线ykx8上，所以m8，
1 1 2 2
将x x  6km  48k ， xx  3  m24   180 ,
1 2 3k24 3k24 1 2 3k24 3k24
48k 48k248k264 64
y  y kx x 16k 16  ，
1 2 1 2 3k24 3k24 3k24
180 48k 4
 643k2
y y kx 8kx 8k2xx 8k x x 64k2 k 64
1 2 1 2 1 2 1 2 3k24 3k24 3k24
y y kx 8kx 8k2xx 8k x x 64k2 180 k8k 484k8k 6464 44  (664433kk22  ) ， ………………15分
1 2 1 2 1 2 1 2 3k24 3k3k2244 33kk2244
代入，化简得： 225t2  144k22880   45 45k2900  ,
16 4
∵Δ48k24180  3k24  0,
45  k220  16 45 1 1
∴k2 20,∴t2 
144  k220 

225

4

4
，t 
2
1
∴存在t  时，S ，tS ，S 总构成等比数列. ………………17分
2 1 2 3
高三数学联考题参考答案 第10页 （共10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}