文档内容
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随州市 2023 年初中毕业升学考试
数学试题
（考试时间120分钟 满分120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如雷改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试
卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的）
1. 实数﹣2023的绝对值是（ ）
A. 2023 B. ﹣2023 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2. 如图，直线 ，直线l与 、 相交，若图中 ，则 为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行求解，即可得到答案．
【详解】解： 直线 ，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互
补．
3. 如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）
A. 主视图和俯视图 B. 左视图和俯视图 C. 主视图和左视图 D. 三个视图均相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【详解】该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆．
故选：C．
【点睛】本题考查三视图的知识点，主要掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的前面、左面、上面
看到的图形是解题的关键．
4. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4
（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
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【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从
小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工
程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，
则可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，根据“最终用的时间比甲工程队
少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修 千米，
依题意得 ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
6. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关
系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距 ；②甲车的平均速度是 ，乙车的平均速度
是 ；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在 追上乙车．正确的有（ ）
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A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
【详解】解：由图象知：
①A，B两城相距 ，故此项正确；
②甲车的平均速度是 ，乙车的平均速度是 ，故此项错误；
③乙车 先出发， 才到达B城，甲车 后出发， 就到达B城，故此项错误；
④两车在 时，行驶路程一样，即甲车在 追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
7. 如图，在 中，分别以B，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过
M，N两点作直线交 于点O，交 于点E，F，下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据作图可知： 垂直平分 ，得到 ，于是得到点O为 的对称中心，
，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的性质得到
，推出四边形 是菱形，据此判断即可．
【详解】解：根据作图可知： 垂直平分 ，
∴ ，
∴点O为 的对称中心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
∴ ，
∴ ，故A正确；
∴四边形 是菱形，
∴ ，故C正确；
与 不一定相等，故D错误，
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故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，
掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
8. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： )是反比例函数关系，
它的图象如图所示，则当电阻为 时，电流为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为
，再把 代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为 ，
由题意可知，当 时， ，
，
解得： ，
设该反比函数解析式为 ，
当 时， ，
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即电流为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．
9. 设有边长分别为a和b( )的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所
示要拼一个边长为 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为
、宽为 的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】计算出长为 ，宽为 的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即
可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为 ，宽为 的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解 结果中 项的
系数即为需要C类卡片的张数．
10. 如图，已知开口向下的抛物线 与x轴交于点 ，对称轴为直线 ．则下列结论
正确的有（ ）
① ；
② ；
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③方程 的两个根为 ；
④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由抛物线的开口可知： ，由抛物线与y轴的交点可知： ，由抛物线的对称轴可知：
，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线 与x轴交于点 ，对称轴为直线 ，
则另一个交点 ，
∴ 时， ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线 与x轴交于点 和 ，
∴ 的两根为6和 ，
∴ ， ，则 ， ，
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如果方程 的两个根为 成立，
则 ，
而 ，∴ ，
∴方程 的两个根为 不成立，故③不正确；
∵ ，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵ ，
即 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
∴ ，故④不正确．
综上，正确的有①②，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、
对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对
应题号处的横线上）
11. 计算： ___________．
【答案】0
【解析】
【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减．
【详解】解： ．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则．
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12. 如图，在 中， ，则 的度数为___________．
【答案】 ##30度
【解析】
【分析】根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半是解题的关键．
13. 已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x，x，则x＋x﹣xx 的值等于_____．
1 2 1 2 1 2
【答案】2
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得x+x＝3，xx＝1，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【详解】解：根据根与系数的关系得：
x+x＝3，xx＝1，
1 2 1 2
∴x+x﹣xx＝3﹣1＝2．
1 2 1 2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x
1 2 1 2
，xx ．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
1 2
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14. 如图，在 中， ，D为 上一点，若 是 的角平
分线，则 ___________．
【答案】3
【解析】
【分析】首先证明 ， ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方
程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
15. 某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
的
设有编号为1-100 100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，
每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人
把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所
有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终
状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和
第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏．
【答案】10
【解析】
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定 1-
100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，
81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
16. 如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线
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对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为___________；
的最大值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当 最大时， 即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定
的最值，从而求得 的最大值．
【详解】解：由题意可得 的面积等于矩形 的一半，
∴ 的面积为 ，
在 中， ，
∴当 最大时， 即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线 与圆相切时， 最大，此时C、N、M
三点共线，如图：
由题意可得： ， ，
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∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性
强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代
入求出答案即可．
【详解】解：
，
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当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
18. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质求得 ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得 的面积，然后结合菱形的性质求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵矩形 中， ，
∴平行四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：矩形 的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
∴菱形 的面积为 ．
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【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确
推理论证是解题关键．
19. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了
解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非
常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总
人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健
康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率为 ．
【解析】
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的
人数，求出“了解很少”的人数；用 乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：接受问卷调查的学生共有 （人 ，
（人 ，
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扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
故答案为：80，16， ；
【小问2详解】
解：根据题意得：
（人 ，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【小问3详解】
解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为 ．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
20. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度 ，在建筑物附近有一斜坡，坡长 米，
坡角 ，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为 ，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 ．
（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面 的距离；
（2）求该建筑物的高度 ．
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【答案】（1）5米 （2） 米
【解析】
【分析】（1）过点D作 ，根据坡角的概念及含 直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明 ，然后解直角三角形分析求解．
【小问1详解】
解：过点D作 ，
由题意可得 ，
∴在Rt 中， ，
即点D到地面 的距离为5米；
【小问2详解】
如图，
由题意可得 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴在Rt 中， ，即 ，
解得 ，
在Rt 中， ，即 ，
解得 ，
答：该建筑物的高度 为15米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角
三角形是解答此题的关键．
21. 如图， 是 的直径，点E，C在 上，点C是 的中点， 垂直于过C点的直线 ，
垂足为D， 的延长线交直线 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，①求 的半径；②求线段 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①3；②2
【解析】
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到 ，推出 ，
进而得到 ，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接 ，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到 ，进而得到
，再利用锐角三角函数，求得 ，即可求出 的半径；
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
②利用锐角三角函数，分别求出 和 的长，即可得到线段 的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
点C是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
解：①如图，连接 ，
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ；
②由（1）可知， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三
角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．
22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天
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中，第x天（ 且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式 （且
x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为 ，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价
为40元/千克，设第x天的销售额为W元
（1） ___________， ___________；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
【答案】（1） ，
（2） 时， ，当 时，
（3）7天
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求待定系数；
（2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式，
（3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解.
【小问1详解】
解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，
∴ ，解得 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：由题意当 时， ，
当 时， ，
【小问3详解】
解：由题意当 时， ，
∵ ，
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∴当 时， 最大为 ，
当 时， ，
由 时，解得 ，
又∵x为整数，且 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴第 至 天，销售额超过1000元，共7天．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和
二次函数的性质是解题关键．
23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求
平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该
点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中
选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，
④处填写该三角形的某个顶点）
当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故
，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，
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此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
（2）如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P为
的“费马点”，求 的值；
（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知
．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，
已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ ，a元/ ， 元/ ，选取合适的P的
位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③ ；④A．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，即可得出可知当B，P， ，A
在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，在根据 可证明
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，由勾股定理求 即可，
（3）由总的铺设成本 ，通过将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，
得到等腰直角 ，得到 ，即可得出当B，P， ，A在同一条直线上时，
取最小值，即 取最小值为 ，然后根据已知和旋转性质求出 即
可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ 为等边三角形；
∴ ， ，
又 ，故 ，
由两点之间线段最短可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，
最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
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∴ ， ，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③ ；④ ．
【小问2详解】
将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由（1）可知当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
由旋转性质可知： ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
【小问3详解】
的
∵总 铺设成本
∴当 最小时，总的铺设成本最低，
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将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转性质可知： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，
过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
的最小值为
总的铺设成本 （元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股
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定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
24. 如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， 和 ，连接
，点 为抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交 轴于点 ．
（1）直接写出抛物线和直线 的解析式；
（2）如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
的
（3）当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点 三角形与以 ， ，
为顶点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）抛物线： ；直线 ：
（2） 或 或
（3） ， 或 ， 或 ，
【解析】
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛物线的解析式；
设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ， ，进而得直线 的解析式．
（2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分类讨论，进
而列方程求解；
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（3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解
，进而可得 ， 的坐标．
【小问1详解】
解： 抛物线过点 ， ，
抛物线的表达式为 ，
将点 代入上式，得 ，
．
抛物线的表达式为 ，即 ．
设直线 的表达式为 ，
将点 ， 代入上式，
得 ，
解得 ．
直线 的表达式为 ．
【小问2详解】
解： 点 在直线 上，且 ，
点 的坐标为 ．
， ， ．
当 为等腰三角形时，
①若 ，则 ，
即 ，
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解得 ．
②若 ，则 ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ．
综上， 或 或 ．
【小问3详解】
解： 点 与点 相对应，
或 ．
①若点 在点 左侧，
则 ， ， ．
当 ，即 时，
直线 的表达式为 ，
，解得 或 （舍去）．
，即 ．
，即 ，
解得 ．
， ．
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当 ，即 时，
， ，
，即 ，
解得 （舍去）或 （舍去）．
在
②若点 点 右侧，
则 ， ．
当 ，即 时，
直线 的表达式为 ，
，解得 或 （舍去），
，
，即 ，
解得 ．
， ．
当 ，即 时，
， ．
，即 ，
解得 或 （舍去）．
， ．
31【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
综上， ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面
直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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