文档内容
2026年中考数学常考考点专题之分式
一．选择题（共12小题）
4a2 b2
1．（2025•历城区二模）化简 + 的结果是（ ）
2a-b b-2a
A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b
1 2
2．（2025•怀宁县二模）化简 + 的结果是（ ）
x-1 1-x2
1 x+3
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
x+1 x2-1
1 m
3．（2025•河东区一模）计算 + 的结果正确的是（ ）
m-1 1-m
m m+1
A．1 B．﹣1 C． D．
m-1 m-1
4．（2025•邯郸二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（ ）
x2-4x+2
A． B．x2
x-1
x2
C． D．2x﹣1
x-1
x 1 1
5．（2025•邯郸校级二模）老师在黑板上给出了一道分式计算题： ÷( + )．
x2-1 x-1 x+1
沙沙解答过程：
x 1 1
÷( + )
x2-1 x-1 x+1
x x
= ×(x-1)+ ×(x+1)⋯①
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
x x
= + ⋯②
x+1 x-1
2x2
= ⋯③
(x+1)(x-1)
…
沙沙的解答过程是从______开始出现错误的，正确的结果是______，下列结论正确的是（ ）
第1页（共25页）1 1 1 1
A．①， B．②， C．②，- D．①，-
2 2 2 2
x+2 4x
6．（2025•莲池区一模）对于M= ，N= ，嘉嘉和淇淇给出如下结论：
2 x+2
嘉嘉：当x＞0时，M﹣N＞0．
淇淇：当x＝2时，M＝N．则下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都对 D．嘉嘉、淇淇都不对
7．（2025•岳麓区校级二模）下列分式变形正确的是（ ）
x2 x x-2 x
A． = B． =
y2 y y-2 y
-1+ y 1+ y 1+ y x+xy
C． =- D． =
3 3 xy x2y
2 2
8．（2025•静宁县校级三模）计算 - 的结果等于（ ）
x-1 x2-1
2 2x
A．x B．2x C． D．
x+1 x2-1
x+ y 1
9．（2025•玉田县校级三模）如图是“计算：( -x- y)⋅ ”的部分解题步骤，则“______”上
2x x+ y
应填写的算式是（ ）
x+ y 1 1
A． ⋅ -
2x x+ y (x+ y) 2
x+ y 1 x- y
B． ⋅ -
2x x+ y x+ y
x+ y 1 x- y
C． ⋅ +
2x x+ y x+ y
x+ y 1 x+ y
D． ⋅ -
2x x+ y x+ y
1 1
10．（2025•永川区模拟）已知两个分式 ， (a≠0且a≠1），将这两个分式进行如下运算：
a a-1
第2页（共25页）1 1 1 1
第一次运算：M = + ，N = - ；第二次运算：M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；第三次运算：
1 a a-1 1 a a-1 2 1 1 2 1 1
M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①M ＝﹣2M ；②N •N ＝
3 2 2 3 2 2 3 1 2 8
10
N •N ；③M = ；④M •N + ＝2M •N （n为正整数）．以上结论正确的个数有（ ）
4 6 10 a n+2 n 2 n n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025•港北区校级模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a﹣5•a2＝a﹣10 B．（a﹣2）﹣3＝a6
a6 2a 4a
C． =a3 D．( ) 2=
a2 b b2
12．（2025•凉山州模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．3x+y＝3xy
B．（2a）0＝1
1 1
C．( -x) 2=x2-2+
x x2
D．（2025a+b）（2025a﹣b）＝2025a2﹣b2
二．填空题（共8小题）
1 1
13．（2025•遵义模拟）实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则 + 的值是
m n
．
1 1 xy
14．（2025•高要区一模）已知实数x，y满足 + =2，则 = ．
x y 3x+3 y
1 a2
15．（2025•英山县校级模拟）计算：(a- )⋅ = ．
a a-1
4m+4 2m2
16．（2025•成华区校级三模）已知m2+2m﹣3＝0时，则代数式（m+ ）• 的值为 ．
m m+2
1
17．（2025•合肥校级三模）计算：( )
-1-(1+π) 0=
．
3
1 1
18 ． （ 2025• 秦 皇 岛 模 拟 ） 若 (□-1)× = ， 则 “ □ ” 表 示 的 最 简 分 式 为
5-x x-4
．
b2 a
- =
19．（2025•祁阳市校级一模）已知等式“ a(a+b) a+b”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖
第3页（共25页）的部分是 ．
3x+ y 2x
20．（2025•武汉模拟）计算 - 的结果是 ．
x2- y2 x2- y2
三．解答题（共5小题）
{
3x-2＜5x
21．（2025•莱西市校级模拟）（1）解不等式组 x-1 x-4 ，并写出它的正整数解．
- ≤1
3 4
a+1 1 a2
（2）先化简，再求值：( - )÷ ，其中﹣1≤a≤2，选取一个合适的整数．
2a-2 2a2-2 a2-1
1 x2-4x+4
22．（2025•南山区一模）先化简：(1- )÷ ，然后从﹣1，0，1，2这四个数中选取一个
x-1 x2-1
合适的数作为x的值代入求值．
A+B
23．（2025•东光县二模）已知整式A＝﹣x2+x﹣3，B＝2x2+x+4，分式C=
．
x2+x
（1）化简分式C；
（2）请从“﹣1，0，1”中选择一个合适的值作为C的结果，求出相对应的x．
x+4 x2-4x+4
24．（2025•蚌埠模拟）化简：(2- )÷ ，并在﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数求值．
x+1 x2-1
2 a2-2a+1
25．（2025•蓬江区校级一模）先化简，再代入求值：(1- )÷ ，其中a＝4．
a+1 a+1
第4页（共25页）2026年中考数学常考考点专题之分式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B C A B D D D A B
题号 12
答案 C
一．选择题（共12小题）
4a2 b2
1．（2025•历城区二模）化简 + 的结果是（ ）
2a-b b-2a
A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
4a2 b2
【解答】解：原式= -
2a-b 2a-b
4a2-b2
=
2a-b
(2a+b)(2a-b)
=
2a-b
＝2a+b．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的加减法运算，掌握分式的加减法运算法则是关键．
1 2
2．（2025•怀宁县二模）化简 + 的结果是（ ）
x-1 1-x2
1 x+3
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
x+1 x2-1
【考点】分式的加减法．
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【专题】计算题；分式．
【答案】B
【分析】原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
第5页（共25页）x+1-2 x-1 1
= = =
【解答】解：原式 ，
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1) x+1
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 m
3．（2025•河东区一模）计算 + 的结果正确的是（ ）
m-1 1-m
m m+1
A．1 B．﹣1 C． D．
m-1 m-1
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先把第二个加数写成分母是m﹣1的分式，然后按照同分母分式相加减法则进行计算，然后
约分即可．
1 m
【解答】解：原式= -
m-1 m-1
1-m
=
m-1
＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减法则．
4．（2025•邯郸二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（ ）
x2-4x+2
A． B．x2
x-1
x2
C． D．2x﹣1
x-1
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可．
【解答】解：根据题意盖住部分的代数式为：
2x-1 x2
+x-1= ，
x-1 x-1
第6页（共25页）故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键．
x 1 1
5．（2025•邯郸校级二模）老师在黑板上给出了一道分式计算题： ÷( + )．
x2-1 x-1 x+1
沙沙解答过程：
x 1 1
÷( + )
x2-1 x-1 x+1
x x
= ×(x-1)+ ×(x+1)⋯①
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
x x
= + ⋯②
x+1 x-1
2x2
= ⋯③
(x+1)(x-1)
…
沙沙的解答过程是从______开始出现错误的，正确的结果是______，下列结论正确的是（ ）
1 1 1 1
A．①， B．②， C．②，- D．①，-
2 2 2 2
【考点】分式的混合运算．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据分式运算法即可判断出解答过程是从①开始出现错误的；根据分式运算法则计算即可解
答．
【解答】解：沙沙的解答过程是从①开始出现错误的，错误原因是没有除法分配律；
正确的解答过程如下：
x x+1+x-1
原式 = ÷
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
x (x+1)(x-1)
= ×
(x+1)(x-1) 2x
x
=
2x
1
= ，
2
1
则正确的结果是 ，
2
故选：A．
第7页（共25页）【点评】本题考查分式的混合运算，熟知分式的混合运算的法则是解题的关键．
x+2 4x
6．（2025•莲池区一模）对于M= ，N= ，嘉嘉和淇淇给出如下结论：
2 x+2
嘉嘉：当x＞0时，M﹣N＞0．
淇淇：当x＝2时，M＝N．则下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都对 D．嘉嘉、淇淇都不对
【考点】分式的加减法；非负数的性质：偶次方．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】B
(x-2) 2
【分析】根据题意，计算M-N= ，当x＞0时，当x＝2时，分别判定其结果的情况即可求解．
2(x+2)
x+2 4x x2+4x+4-8x (x-2) 2
【解答】解：根据题意可知，M-N= - = = ，
2 x+2 2(x+2) 2(x+2)
当x＞0时，x+2＞0，（x﹣2）2≥0，
∴M﹣N≥0，故嘉嘉错；
(x-2) 2
当x＝2时，M-N= =0，
2(x+2)
∴M＝N，故淇淇对；
∴嘉嘉错，淇淇对．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键．
7．（2025•岳麓区校级二模）下列分式变形正确的是（ ）
x2 x x-2 x
A． = B． =
y2 y y-2 y
-1+ y 1+ y 1+ y x+xy
C． =- D． =
3 3 xy x2y
【考点】分式的基本性质．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．
第8页（共25页）x2 x
【解答】解：A、 ≠ ，选项变形错误，不符合题意；
y2 y
x-2 x
B、 ≠ ，选项变形错误，不符合题意；
y-2 y
-1+ y 1- y
C、 =- ，选项变形错误，不符合题意；
3 3
1+ y x+xy
D、 = ，选项变形正确，符合题意．
xy x2y
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．
2 2
8．（2025•静宁县校级三模）计算 - 的结果等于（ ）
x-1 x2-1
2 2x
A．x B．2x C． D．
x+1 x2-1
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
2 2
【解答】解：原式= -
x-1 (x+1)(x-1)
2(x+1)-2
=
(x+1)(x-1)
2x+2-2
=
x2-1
2x
=
，
x2-1
故选：D．
【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
x+ y 1
9．（2025•玉田县校级三模）如图是“计算：( -x- y)⋅ ”的部分解题步骤，则“______”上
2x x+ y
应填写的算式是（ ）
第9页（共25页）x+ y 1 1
A． ⋅ -
2x x+ y (x+ y) 2
x+ y 1 x- y
B． ⋅ -
2x x+ y x+ y
x+ y 1 x- y
C． ⋅ +
2x x+ y x+ y
x+ y 1 x+ y
D． ⋅ -
2x x+ y x+ y
【考点】分式的混合运算．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可．
x+ y 1 x+ y 1 x+ y
【解答】解：( -x- y)⋅ = • - ．
2x x+ y 2 x+ y x+ y
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
1 1
10．（2025•永川区模拟）已知两个分式 ， (a≠0且a≠1），将这两个分式进行如下运算：
a a-1
1 1 1 1
第一次运算：M = + ，N = - ；第二次运算：M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；第三次运算：
1 a a-1 1 a a-1 2 1 1 2 1 1
M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①M ＝﹣2M ；②N •N ＝
3 2 2 3 2 2 3 1 2 8
10
N •N ；③M = ；④M •N + ＝2M •N （n为正整数）．以上结论正确的个数有（ ）
4 6 10 a n+2 n 2 n n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】通过计算前几次运算结果，发现规律，逐一验证各结论的正确性．
1 1 2a-1 1 1 a-1-a 1
【解答】解：∵M = + = ，N = - = =- ，
1 a a-1 a(a-1) 1 a a-1 a(a-1) a(a-1)
第10页（共25页）1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
M ＝M +N = + + - = ，N ＝M ﹣N = + - + = ，
2 1 1 a a-1 a a-1 a 2 1 1 a a-1 a a-1 a-1
2 2 2(2a-1) 2 2 -2
M ＝M +N = + = =2M ，N ＝M ﹣N = - = 2N ，
3 2 2 a a-1 a(a-1) 1 3 2 2 a a-1 a(a-1) 1
故①错误；
4 8 16
同理可求出N = ，N = ，N = ，
4 a-1 6 a-1 8 a-1
32 32
= =
∴N •N ，N •N ，
2 8 (a-1) 2 4 6 (a-1) 2
∴N •N ＝N •N ，故②正确；
2 8 4 6
32
通过递推得N = ，故③错误；
10 a
由递推关系M ＝2M ，N ＝2N ，得M •N ＝4M •N ，与题目中的2M •N 不符，故④错误．
n+2 n n+2 n n+2 n+2 n n n n
综上，仅结论②正确，正确个数为1个，
故选：A．
【点评】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算．
11．（2025•港北区校级模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a﹣5•a2＝a﹣10 B．（a﹣2）﹣3＝a6
a6 2a 4a
C． =a3 D．( ) 2=
a2 b b2
【考点】分式的乘除法；负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算法则，分式的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A、a﹣5•a2＝a﹣3，故选项A不正确；
B、（a﹣2）﹣3＝a6，故选项B正确；
a6
C、
=a4
，故选项C不正确；
a2
2a 2 4a2
D、( ) = ，故选项D不正确．
b b2
故选：B．
【点评】本题考查了整数指数幂的运算，涉及同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算，分式的乘方，
第11页（共25页）熟练掌握整数指数幂的运算法则是解题的关键．
12．（2025•凉山州模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．3x+y＝3xy
B．（2a）0＝1
1 1
C．( -x) 2=x2-2+
x x2
D．（2025a+b）（2025a﹣b）＝2025a2﹣b2
【考点】分式的混合运算；零指数幂；合并同类项；平方差公式．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，零次幂计算，完全平方公式计算及平方差公式依次判断即可．
【解答】解：根据合并同类项，零次幂计算，完全平方公式计算及平方差公式逐项分析判断如下：
A、3x与y不是同类项，无法合并，选项错误，不符合题意；
B、当2a≠0（即a≠0）时，（2a）0＝1，选项错误，不符合题意；
1 2 1
C、( -x) =x2-2+ ，选项正确，符合题意；
x x2
D、（2025a+b）（2025a﹣b）＝（2025a）2﹣b2＝20252a2﹣b2，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】题目主要考查合并同类项，零次幂计算，完全平方公式计算及平方差公式，熟练掌握各个运
算法则是解题关键．
二．填空题（共8小题）
1 1
13．（2025•遵义模拟）实数m，n分别满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，则 + 的值是 3
m n
．
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】3．
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
【解答】解：由题可知，m和n是x2﹣3x+1＝0的两个根，
所以m+n＝3，mn＝1，
1 1 m+n
所以 + = =3；
m n mn
第12页（共25页）故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，
b c
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x 和x ，则x +x =- ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
1 1 xy 1
14．（2025•高要区一模）已知实数x，y满足 + =2，则 = ．
x y 3x+3 y 6
【考点】分式的加减法；代数式求值．
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【专题】分式；运算能力．
1
【答案】 ．
6
1 1 x+ y
【分析】由 + =2，得 =2，则x+y＝2xy，然后代入即可求解．
x y xy
x+ y
【解答】解：由条件可知 =2，
xy
∴x+y＝2xy，
xy xy xy 1
= = =
∴ ，
3x+3 y 3(x+ y) 3×2xy 6
1
故答案为： ．
6
【点评】本题考查了分式求值，分式运算，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
1 a2
15．（2025•英山县校级模拟）计算：(a- )⋅ = a （ a + 1 ） ．
a a-1
【考点】分式的混合运算．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】a（a+1）．
【分析】先算括号里面的，再算乘法即可．
1 a2
【解答】解：(a- )⋅
a a-1
a2-1 a2
= •
a a-1
(a+1)(a-1) a2
= •
a a-1
＝a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
第13页（共25页）4m+4 2m2
16．（2025•成华区校级三模）已知m2+2m﹣3＝0时，则代数式（m+ ）• 的值为 6 ．
m m+2
【考点】分式的化简求值．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，则约分得到原式＝2m2+4m，然后利用整体代入
的方法计算．
m2+4m+4 2m2
【解答】解：原式= •
m m+2
(m+2) 2 2m2
= •
m m+2
＝2m（m+2）
＝2m2+4m，
∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3，
∴原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6．
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．解题时可根据
题目的具体条件选择合适的方法．
1
17．（2025•合肥校级三模）计算：( )
-1-(1+π) 0=
2 ．
3
【考点】零指数幂；负整数指数幂．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
1
【解答】解：( )
-1-(1+π) 0
3
＝3﹣1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
1 1 1
18．（2025•秦皇岛模拟）若(□-1)× = ，则“□”表示的最简分式为 ．
5-x x-4 x-4
【考点】最简分式．
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第14页（共25页）【专题】分式；运算能力．
1
【答案】 ．
x-4
【分析】将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可．
【解答】解：将未知分式设为变量，根据等式的基本性质转化变形可得：
1 1 5-x 5-x+x-4 1
□= ÷ +1= +1= = ．
x-4 5-x x-4 x-4 x-4
1
故答案为： ．
x-4
【点评】本题主要考查了分式的运算．熟练掌握分式的基本性质是关键．
b2 a
- =
19．（2025•祁阳市校级一模）已知等式“ a(a+b) a+b”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖
b-a
的部分是 ．
a
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
b-a
【答案】 ．
a
【分析】根据分式加减法的计算方法进行计算即可．
b2 a b2-a2
【解答】解： - =
a(a+b) a+b a(a+b)
(b+a)(b-a)
=
a(a+b)
b-a
= ，
a
b-a
故答案为： ．
a
【点评】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法是正确计算的前提，分式的通分、约分
以及因式分解是正确解答的关键．
3x+ y 2x 1
20．（2025•武汉模拟）计算 - 的结果是 ．
x2- y2 x2- y2 x- y
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
第15页（共25页）1
【答案】 ．
x- y
【分析】将分子相减，然后分子、分母因式分解，最后约分即可．
x+ y 1
= =
【解答】解：原式 ，
(x+ y)(x- y) x- y
1
故答案为： ．
x- y
【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
{
3x-2＜5x
21．（2025•莱西市校级模拟）（1）解不等式组 x-1 x-4 ，并写出它的正整数解．
- ≤1
3 4
a+1 1 a2
（2）先化简，再求值：( - )÷ ，其中﹣1≤a≤2，选取一个合适的整数．
2a-2 2a2-2 a2-1
【考点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
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【专题】分式；运算能力．
a+2
【答案】 ，1．
2a
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并写出它的正整数解即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可．
{
3x-2＜5x①
【解答】解：（1） x-1 x-4 ，
- ≤1②
3 4
由①得，x＞﹣1，
由②得，x≤4，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，
它的正整数解为：1，2，3，4；
a+1 1 a2
（2）( - )÷
2a-2 2a2-2 a2-1
a+1 1 (a+1)(a-1)
＝[ - ]•
2(a-1) 2(a+1)(a-1) a2
第16页（共25页）a+1 (a+1)(a-1) 1 (a+1)(a-1)
= • - •
2(a-1) a2 2(a+1)(a-1) a2
(a+1) 2 1
= -
2a2 2a2
a2+1+2a-1
=
2a2
a2+2a
=
2a2
a+2
= ，
2a
∵a+1≠0，a﹣1≠0，a≠0，
∴a≠﹣1，1，0，
2+2
∵﹣1≤a≤2，∴当a＝2时，原式= =1．
2×2
【点评】本题考查的是分式的化简求值，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟知以
上知识是解题的关键．
1 x2-4x+4
22．（2025•南山区一模）先化简：(1- )÷ ，然后从﹣1，0，1，2这四个数中选取一个
x-1 x2-1
合适的数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
x+1 1
【答案】 ，- ．
x-2 2
【分析】先把括号内的1化成分母是x﹣1的分式进行计算，再把被除数中的分子和分母分解因式，除
法化成乘法进行约分，最后选出适合的数代入进行计算即可．
x-1 1 (x-2) 2
【解答】解：原式=( - )÷
x-1 x-1 (x+1)(x-1)
x-2 (x+1)(x-1)
= ⋅
x-1 (x-2) 2
第17页（共25页）x+1
= ，
x-2
∵x不能为±1和2，
∴x只能为0，
0+1 1
当x＝0时，原式= =- ．
0-2 2
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的
通分与约分．
A+B
23．（2025•东光县二模）已知整式A＝﹣x2+x﹣3，B＝2x2+x+4，分式C= ．
x2+x
（1）化简分式C；
（2）请从“﹣1，0，1”中选择一个合适的值作为C的结果，求出相对应的x．
【考点】分式的化简求值；分式的混合运算．
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【专题】分式；运算能力．
x+1
【答案】（1） ；
x
1
（2）当C＝﹣1时，x=- ．
2
A+B
【分析】（1）把A＝﹣x2+x﹣3，B＝2x2+x+4代入C=
中，根据完全平方公式化简即可；
x2+x
（2）当C＝﹣1，0，1时，分别分析求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A＝﹣x2+x﹣3，B＝2x2+x+4，
A+B -x2+x-3+2x2+x+4 (x+1) 2 x+1
∴C= = = = ；
x2+x x2+x x(x+1) x
x+1
（2）当C＝﹣1时，即 =-1，
x
1
解得：x=- ，
2
1
经检验，x=- 是原方程的解，
2
x+1
当C＝0时，即 =0，
x
解得：x＝﹣1（原方程分母为0，舍去），
第18页（共25页）x+1
当C＝1时，即 =1，无解，
x
1
∴当C＝﹣1时，x=- ．
2
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
x+4 x2-4x+4
24．（2025•蚌埠模拟）化简：(2- )÷ ，并在﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数求值．
x+1 x2-1
【考点】分式的化简求值；分式有意义的条件．
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【专题】分式；运算能力．
x-1 1
【答案】 ，当x＝0时，原式= ．
x-2 2
【分析】把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再从﹣1、0、1、2选一个使原分式有
意义的数代入计算即可．
x+4 x2-4x+4
【解答】解：(2- )÷
x+1 x2-1
2(x+1)-(x+4) (x+1)(x-1)
= ⋅
x+1 (x-2) 2
2x+2-x-4 (x+1)(x-1)
= ⋅
x+1 (x-2) 2
x-2 (x+1)(x-1)
= ⋅
x+1 (x-2) 2
x-1
= ，
x-2
∵x＝﹣1，1或2时，原分式无意义，
∴x＝0，
0-1 1
当x＝0时，原式= = ．
0-2 2
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2 a2-2a+1
25．（2025•蓬江区校级一模）先化简，再代入求值：(1- )÷ ，其中a＝4．
a+1 a+1
【考点】分式的化简求值．
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第19页（共25页）【专题】分式；运算能力．
1 1
【答案】 ， ．
a-1 3
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝4代入进行计算即可．
a+1-2 a+1
【解答】解：原式= •
a+1 (a-1) 2
a-1 a+1
= •
a+1 (a-1) 2
1
= ，
a-1
1 1
当a＝4时，原式= = ．
4-1 3
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
第20页（共25页）考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；
字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到
化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指
数不变．
4．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知
识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数
量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，
设出其他未知数，然后列方程．
5．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
第21页（共25页）am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣
y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，
指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
7．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
8．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
9．分式的基本性质
第22页（共25页）（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的
符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
10．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
11．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再
约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
12．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
第23页（共25页）说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要
把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的
形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
13．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
14．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结
果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
15．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
第24页（共25页）16．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p=
（a≠0，p为正整数）
ap
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
17．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下
一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对
结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
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第25页（共25页）
