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高一上数学暑假测试密卷（二）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．设集合 ， ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.
【详解】因为集合 ， ，
所以 .
故选：D
2．角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得.
【详解】已知角 的终边经过点 ，所以 .
故选：A
3．已知 ，且 则 的值为
A．4 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】设 ，
本题选择A选项.4．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指、对数函数的知识判断出 的范围即可.
【详解】因为 ， ，
所以
故选：B
5．已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.
【详解】由已知得 ， ， ， ，
，
所以 ，由零点的存在定理得， 的零点所在的区间为 ，
故选：D．
6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）
毫克/毫升，小于 毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于） 毫克/毫升
的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上 点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量
上升到 毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时 的速度减少，则他次日上午最早
（ ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得不等式 ，解不等式可求得 ，由此可得结论.【详解】假设经过 小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则 ，即 ， ，
则 ， ，
次日上午最早 点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故选：D.
7．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】 ，
，
两式相加得 ，
.
故选：C.
8．已知函数 ，若方程 有四个不同的根 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数 的部分图象，确定a的取值范围，进而求出 范围
作答.
【详解】函数 ，当 时， 单调递增， ，
当 时， 单调递减， ，
当 时， 在 上递减，在 上递增， ，
作出函数 的部分图象，如图，
方程 有四个不同的根 ，不妨令 ，即直线 与函数 的图象有4
个公共点，
观察图象知， ， ，
显然有 ，且 ，由 得 ，
即 ，则有 ，因此 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考
查所有零点是解决问题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为
B． 的单调递减区间为
C． 是增函数
D． 的值域为
【答案】ACD
【分析】对于A，由 且 ，求解即可判断；对于B，区间 不在定义域内，即可判断；
对于C，根据复合函数的单调性判断方法即可判断；对于D，可得真数能取遍所有大于0的数，从而可判
断.
【详解】对于A，由 且 ，得 ，故 的定义域为 ，A对；
对于B，区间 不在定义域内，B错；
对于C， 函数 在 为增函数，
函数 在 为增函数
故函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，C对；
对于D， 在 为增函数,
真数能取遍所有大于0的数，故值域为R，D对.
故选：ACD.
10．下列运算中，结果是1的是（ ）
A． B． C． D．【答案】BCD
【分析】根据特殊角的三角函数值，结合正切的两角差公式、二倍角的正弦公式、诱导公式逐一计算判断
即可.
【详解】A：因为 ，所以不符合题意；
B：因为 ，所以符合题意；
C：因为 ，所以符合题意；
D： ，符合题意，
故选：BCD
11．下列结论正确的是（ ）．
A．若 ，则 的最大值为
B．若 ， ，则
C．若 ， ，且 ，则 的最大值为9
D．若 ，则 的最大值为2
【答案】ABD
【解析】利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，由 可得 ，当且仅当 ，即
时，等号成立；即 的最大值为 ；A正确；
B选项，由 ， ，可得 ，即 ，故B正确；
C选项，若 ， ，且 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；即 的最小值为9，故C错；
D选项，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使 对一切实数 均成立，则称 为
“倍约束函数”.现给出下列函数是“倍约束函数”的有（ ）
A．
B． ；
C． ；
D． 是定义在实数集 上的奇函数，且对一切 ， 均有
【答案】AD
【分析】结合新定义，逐项证明或举出反例即可得解.
【详解】对于A，函数 ，存在实数 ，使得 恒成立，故A正确；
对于B，函数 ，若要使 恒成立，则当 时， 恒成立，不存在这样的实数 ，故B错误；
对于C， ，
由 恒成立，可得 不是“倍约束函数”，故C错误；
对于D，由函数 是定义在R上的奇函数，得 ，
当 时，可得 成立，所以该函数是“倍约束函数”，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算 ．
【答案】
【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案.
【详解】 .
故答案为： .
14．已知 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据诱导公式结合条件即得.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
15．《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台､诗里的叠扇，就是折扇.折扇展开后
可看作是半径为 的扇形，是圆面的一部分，如图所示.设某扇形的面积为 ，该扇形所在圆面的面积为 ，
当 与 的比值为 时，该扇面为“黄金美观扇面”.若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径
，则此时的扇形面积为 .
【答案】
【分析】利用 与 比值，列出方程即可.
【详解】 ，
扇形所在圆面的面积为：
且：
；
故答案为：
16．若存在实数 ，使得函数 在区间 上单调递减，且 在区间上的取值范围为 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据 ，去绝对值符号化简 ，根据对勾函数的性质，判断 的单调性，根据题意
建立 之间的等式关系，将 消掉后化简可得 ，代入到方程组中可建立 与 和 与 的等
式关系，通过移项变形，将两式形式化为统一，构造函数画出图象，列出不等式解出即可.
【详解】解：因为 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
取 ，根据对勾函数性质可知：
在 上， 单调递减，在 上， 单调递增，
所以 在 上， 单调递增，在 上， 单调递减，
因为 区间 上单调递减，所以 ，
因为 区间 上单调递减，所以 ，
即 ，即 ，
即 ，化简可得 ，
因为 ，所以 ，代入 中，
化简可得： ，当 时方程组不成立，所以方程组可化为 ，
即 在 上与 有两个不同交点，
因为 ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
画出 及 的图象如下所示：
由图可知只需 即可，即 ，
即 ，即 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：该题考查函数的综合问题，属于中难题，关于对勾函数 的思路有：
（1）定义域： ，奇偶性：奇函数；
（2）单调性： ， 单调递增， ， 单调递减；
（3）最值：在 上有最大值 ，无最小值，在 上有最小值 ，无最大值；（4）渐近线： 轴和 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.
（2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答.
【详解】（1）角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，
所以 .
18．已知函数 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 ，求关于 的不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用代入法，结合基本不等式进行求解即可；
（2）利用代入法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】（1）由 可得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当且仅当 时取得最小值为 ；
（2）由 可得： ，
则 化为：
因为 ，所以 ，
则解不等式可得 或 ，
则不等式的解集为 .
19．已知函数 为定义在 上的奇函数．
(1)若当 时， ，求 在 上的解析式；
(2)若 在 上单调递增， ，且 ，求实数m的取值范围．．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)利用奇函数的定义，定义域关于原点对称以及 ，可以求出函数表达式；
(2)利用偶函数的性质及函数的单调性，得到 在定义区间上是增函数，自变量越大，函数值也越大，
得到不等式组，然后求解.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
则 ，
∴ ，
∴
（2）∵ 为奇函数，∴ ，
，
∴ 为偶函数，且 在 上为增函数， ，
∴ ∴ ∴ ，
∴m的取值范围为 ．
20．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ，如图）上设计
三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 .设直角梯形的高为
.
(1)当 时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 的面积最小）？
【答案】(1)
(2)当海报纸宽为 ，长为 ，可使用纸量最少．
【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边 ，再分别求出 ， ，即可
求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】（1） 宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 ，直角梯形的高为 ，
则梯形长的底边 ，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 ，
， ，
故海报面积为 ．
（2） 直角梯形的高为 ，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 ，
，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 ，
海报宽 ，海报长 ，
故 ，
当且仅当 ，即 ，
故当海报纸宽为 ，长为 ，可使用纸量最少．
21．已知函数 ， .
(1)若 在区间 上是单调函数，则 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，是否存在实数 ，使得函数 与函数 的图象在区间 上有唯一的交点，若
存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 或 ；
(2)存在，且 的取值范围是 .
【分析】（1）分 、 两种情况讨论，根据函数 在区间 上单调可出关于 的不等式，综
合可得出实数 的取值范围；
（2）分 、 、 、 四种情况讨论，分析两个函数在区间 上的单调性，根据已知条
件可得出关于实数 的不等式（组），综合可解得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：当 时 在 上单调递减.
当 时， 是二次函数，其对称轴为直线 ，
在区间 上是单调函数， 或 ，即 或 ，
解得： 或 或 .
综上： 或 .（2）解：①当 时， 单调递减， 单调递增，
则函数 单调递增，
因为 ， ，
由零点存在定理可知，存在唯一的 使得 ，
此时，函数 与函数 在区间 上的图象有唯一的交点，合乎题意；
②当 时，二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
所以， 在 上单调递减， 单调递增，
则函数 在 上单调递增，
要使得函数 与函数 的图象在区间 上有唯一的交点，
则 ，解得 ，此时 ；
③当 时，二次函数 的图象开口向上，对称轴 ，
则 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则函数 在 上单调递增，
要使得函数 与函数 的图象在区间 上有唯一的交点，
则 ，解得 ，此时 ；
④当 时，二次函数 的图象开口向上，对称轴 ，
所以， 在 上单调递增， 在 上单调递增，则 ， ，所以， 在 上恒成立，
此时，函数 与函数 的图象在区间 上没有交点.
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
22．已知函数 满足 ，当 时， 成立，且 ．
(1)求 ，并证明函数 的奇偶性；
(2)当 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) .
【分析】（1）令 ，可得 ，令 ， ，从而即可证明；
（2）由已知条件，可得 为增函数，又原不等式等价于 恒成立，则
在 上恒成立，令 ，分离参数 即可求解.
【详解】（1）解：令 ，可得 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 为奇函数；
（2）解： ，即 ，
所以 ，
又当 时， 成立，所以 为增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，可得 在 上恒成立，
又 ， ，所以当 时， ，
所以 ，即 .
