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2020 年初中学业水平考试数学
一、选择题
1.2的倒数是（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2× =1，
∴2的倒数是 ，
故选B .
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.
2.sin45°的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°= ．
故选B．
【点睛】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
3.2019新型冠状光病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】0.00012= ．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法．
4.如图是由4个完全相同的正方形搭成的几何体，则（ ）
A. 三视图都相同 B. 俯视图与左视图都相同
C. 主视图与俯视图都相同 D. 主视图与左视图相同
【答案】D
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得
答案．
【详解】解：从正面看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，
从左边看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，
从上面看靠外边一层有1个小正方形，靠里边一层有2个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，
从左边看得到的图形是左视图．
5.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除运算法则逐个运算即可求解．【详解】解：选项A： ，故选项A错误；
选项B： ，故选项B错误；
选项C： ，故选项C正确；
选项D： ，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则是解决此类题的关键．
6.下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等
C. 全等三角形的对应角相等 D. 正方形的四个角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判
断即可得．
【详解】A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题
B、逆命题：同位角相等，两直线平行
由平行线的判定可知，此逆命题是真命题
C、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题
D、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形
如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题
故选：B．
【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，
正确写出各命题的逆命题是解题关键．
7.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式 ，
由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5【答案】D
【解析】
【分析】
先根据方差 的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算
公式逐项判断即可得．
【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为
的
则样本 容量是4，选项A正确
样本的中位数是 ，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是 ，选项D错误
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确
得出样本数据是解题关键．
8.点D，E分别是三角形ABC的边AB，AC的中点，如图，
求证： 且
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，
又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形，
接着以下是排序错误的证明过程；
① ；
② ；③四边形DBCF是平行四边形；
④ 且
则正确的证明排序应是：（ ）
A. ② ③ ① ④ B. ② ① ③ ④ C. ① ③ ④ ② D. ① ③ ② ④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已经证明出四边形ADCF是平行四边形，则利用平行四边形的性质可得 ，可得
，证出四边形DBCF是平行四边形，得出 ，且 ,即可得出结论
且 ，对照题中步骤，即可得出答案.
【详解】解： 四边形ADCF是平行四边形，
，
，
四边形DBCF是平行四边形,
，且 ;
,
;
且 ;
对照题中四个步骤，可得② ③ ① ④正确；
故答案选：A.
【点睛】本题考查平行四边形性质与判定综合应用；当题中出现中点的时候，可以利用中线倍长的辅助线
做法，证明平行四边形后要记得用平行四边形的性质继续解题.9.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛
在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据方位角的定义分别可求出 ，再根据角的和差、平行线的
性质可得 ， ，从而可得 ，然后根据三角形的内角和定理可得
，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识
点，掌握理解方位角的概念是解题关键．10.观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（
）
A. 499 B. 500 C. 501 D. 1002
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【详解】设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
11.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有
长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），
则不同的截法有（ ）
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
【答案】B
【解析】
【分析】
设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可．
【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，
若从60cm长的木条上截取，
∵x+y≤60<120，
∴不符合题意；
若从120cm长的木条上截取，
①当60cm与75cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴ ，
解得x=80，y=96，
∵80+96=176cm>120cm，∴此种情况不符合题意；
②当60cm与100cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴ ，
解得x=45，y=72，
∵60cm <45+72=117cm<120cm，
∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；
③当60cm与120cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴ ，
解得x=37.5，y=50，
∵60cm <37.5+50=87.5cm<120cm，
∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；
综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm
长的木条截取37.5cm和50cm两根木条．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应
边的不同分情况讨论．
12.把二次函数 的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为
，若 ，则m的最大值为（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为 ，再根据对称轴、与y轴的
交点问题可求出 ， ，然后代入解一元一次不等式即可得．
【详解】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数 的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为
则 与 相同
由对称轴得： ，解得
当 时，由函数 得 ；由函数 得
则 ，即
将 ， 代入 得：
整理得：
解得
则m的最大值为6
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据
二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．
二、填空题
13.计算： _________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据负有理数的减法法则计算即可．
【详解】 ．
故答案为:6．
【点睛】本题考查负有理数的减法计算,关键在于熟练掌握计算法则．
14.分解因式： ________________．【答案】 .
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】 = = ．
故答案为 ．
15.如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形
（是，或不是）．
【答案】是
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出 ，再根据平行四
边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最
后根据菱形的判定即可得．
【详解】如图，过点B作 ，交DA延长线于点E，过点D作 ，交BA延长线于点F
由题意得：
四边形ABCD是平行四边形
在 和 中，平行四边形ABCD是菱形
故答案为：是．
【点睛】本题考查了平行四边形与菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四
边形与菱形的判定是解题关键．
16.经过人民路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至
少有一辆向左转的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有 4种情况，至少有一辆向左转有3种情况，根据概率公式
计算可得．
【详解】解：由题意画出“树状图”如下：
∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向左转有3种情况，
∴至少有一辆向左转的概率是 ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情
况数之比求解．
17.如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形 处，
此时边 与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S +S -S ，
四边形ADEF 扇形DAD′ 四边形AF′E′D′
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S =S
四边形ADEF 四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S =
扇形DAD′
故答案为：3π．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
18.已知函数 与函数 的部分图像如图所示，有以下结论：
①当 时， 都随x的增大而增大；
②当 时， ；③ 的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数 的最小值为2；
则所有正确的结论是_________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据
完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④．
【详解】当 时， ，
当 时， ，
画出两个函数的图象如下所示：
则当 时， 随x的增大而减小； 随x的增大而增大，结论①错误
当 时，函数 的图象位于函数 的图象的上方，则 ，结论②正确
当 时，
即 的图象位于第一象限的交点坐标为
由对称性可知， 的图象位于第二象限的交点坐标为
因此， 的图象的两个交点之间的距离是 ，结论③正确又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立
即函数 的最小值为2，结论④正确
综上，所有正确的结论是②③④
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌
握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题
19.计算：
【答案】10．
【解析】
【分析】
先计算零指数幂、绝对值运算、算术平方根，再计算二次根式的乘法、去括号、有理数的乘方，然后计算
二次根式的加减法即可得．【详解】原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值运算、算术平方根、二次根式的加减法与乘法等知识点，熟记各运
算法则是解题关键．
20.解方程组：
【答案】 ．
【解析】
【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
① ② 得
解得
将 代入②得
解得
则方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
21.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求 的值．
【答案】（1）k>-1；（2）1【解析】
【分析】
（1）根据∆>0列不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
【详解】解：（1）由题意得
∆=4+4k>0，
∴k>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，
∴
=
=
=
=1.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若
x，x 为方程的两个根，则x，x 与系数的关系式： ， ．
1 2 1 2
22.在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签定了农产品销售合同，并于今年在自家荒地
种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为 ，几个品种果树
树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中．
（1）种植B品种树苗有多少棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高?【答案】（1）种植B品种树苗有 棵；（2）补全图形见解析；（3）C品种果树苗的成活率最高．
【解析】
【分析】
（1）由总量乘以B品种树苗所占的百分比即可得到答案；
（2）先计算出 种树苗种植的数量，得到成活的数量，补全图形即可；
（3）分别计算出 三种树苗的成活率，结合已知的 种树苗的成活率，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：种植B品种树苗有：
（棵）．
（2）因为 种树苗种植了 棵，
所以成活 棵，
补全图形如下：
图②（3） 种树苗的成活率为：
种树苗的成活率为：
C品种果树苗的成活率为 ，
品种果树苗的成活率为
所以：C品种果树苗的成活率最高．
【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取有效的信息，同时考查了对信息的整理与计算，
掌握以上知识是解题的关键．
23.如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与
圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC．
（1）求证：EF是圆O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解；
(2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例
求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长．
【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°
又EC=EF，∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE,
又∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圆O的切线．
(2)如下图所示，
∵D是OA的中点，且AB=4，
∴DO=1，BD=BO+DO=3，
又AB=CD=4，
∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=3²+4²=5²，
∴BC=5，
又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，∴ ，代入数据后得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、
勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键．
24.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600
千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100
天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1） （0
