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益阳市 2024 年下学期普通高中期末质量检测
高 三 数 学 (试题卷)
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 A={x|❑√3x−2+❑√x−2<6},B={x∈Z|00)的图象是以直线 y=ax，x=0 为渐近线的双曲线.现将函数
x
3 1
y= x+ 的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是
4 x
❑√5 ❑√10
A. B. C. ❑√5 D.❑√10
2 3
5.(x+ y−1)⁵ 的展开式中所有二次项(即含x²， xy， y²的项)的系数和为
A. - 40 B. - 20 C. 0 D. 40
6.已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为 ❑√3,则
该圆台的体积为
26❑√3π 28❑√3π
A.8❑√3π B. C. D.10❑√3π
3 3
7.如图所示，点F 是抛物线 y²=4x的焦点，点A，B分别在抛物线 y²=4x及圆
(x−1)²+ y²=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周
长的取值范围是
A. [8,10] B. (5,8)
C. (10,12) D. (8,10)高三数学试题卷 第 1 页 共 4 页8.己知定义域为R的函数f(x)满足当x≤1时， f (x)= { x2+1,x≤0 ) ，且对任意x≥0都有
log (x+1),0n D.D <
a 2n 3
n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数z满足 z|z|=2❑√3−2i, 则复数z =` .
1 1
13. 已知 f (x)=|sinx− |+ cos2x+❑√3cosx, 则函数f(x)的最小值为 .
2 2
14.若函数y=f(x)满足在定义域内的某个集合 A上，对任意x∈A，都有( eˣ[f (x)−eˣ)是一个
常数a，则称f(x)在A上具有M性质.设y=g(x)是在区间[-2，2]上具有M性质的函数，
且对于任意 x₁,x₂∈[−2,2),都有 [|g(x₁)|−|g(x₂)|)(x₁−x₂)>0成立，则a的取值范
围为 .
高三数学试题卷 第 2 页 共 4 页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13分)
x2 y2
已知椭圆 C: + =1(a)b>0)过点 P(❑√2,1),且椭圆C的短轴长等于焦距.
a2 b2
(I)求椭圆C的方程；
❑√2
(II)若直线l的斜率为 ,且与椭圆C相交于A、B两点，求 △ABP面积取得最大值时直线l的
2
方程.
16. (本小题满分15分)
b−2cosA 2cosC
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且 = .
sin A sinC
(I)求边c;
(II)若tanC=2tanB , 求△ABC面积的最大值.
17. (本小题满分15分)
如图，四棱锥 P−ABCD中, PA⊥平面ABCD, AB=AD=2, CD=BC.
(I)作点A 在平面PBD 内的射影H，写出作法及理由；
(II)若 ∠BAD=120°,∠BCD=60°,且 PB⊥PD,求二面角 H−AB−D的正弦值.18. (本小题满分17分)
某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标
大于或等于76为合格品，小于 76为次品，现抽取这种元件 100件进行检测，检测结果统计如
下表：
测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100]
元件数 (件) 2 18 36 40 4
(I)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的
概率；
(II)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 X具有数学期望
σ2
E(X)=μ, 方差 D(X)=σ²,则对任意正数ε，均有 P(|X−μ|≥ε)≤ 成立.
ε2
( 1) 1
(i)若 X∼B 100, , 证明： P(0≤X≤25)≤ ;
2 50
(ii)由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界
的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等
式”说明该工厂所提供的合格率是否可信? (注：当随机事件A发生的概率小于 0.05时，
可称事件A为小概率事件)
19. (本小题满分17分)
已知函数 f (x)=ln(x+1).
(I)求f(x)在原点处的切线方程；
( 1 ) 1 ( 1 )
(II)n为正整数, 对任意x≥0, 求证: f ≤ −x +ln(x+1);
2n x+1 2n
2
(Ⅲ)求证: ＜ (e为自然对数的底数).
e
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