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山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三8月模块诊断（总第二次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李倩
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D． 或
5．在 中， ， 则这个三角形的最大内角为（ ）
A． B． C． D．
6．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．132 B．88 C．44 D．33
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 可由抛物线 平移得到，若抛物线
的焦点为 ，点 在抛物线E上且 ，则点 到 轴距离为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ）
A． B． 的渐近线方程是
C． 的焦距为 D． 的离心率为
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学科网（北京）股份有限公司10．在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和，若 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是公差为2的等差数列
C． D．数列 是等比数列
11．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 为偶函数
C． 为单调递增函数 D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量 ，则 .
13．已知函数 的导数 ，若 在 处取到极大值，则a
的取值范围是 ．
14．将两个半径均为 的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为
．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在区间 上的最值．
16．（本小题满分15分）已知A，F是椭圆 的右顶点和左焦
点，椭圆E过点 ，且焦距为2．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线 与E交于M点（不与B点重合），求 的面积．
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学科网（北京）股份有限公司17．（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形
是梯形， ， ，
，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）已知函数 ， 为 的导函数.
(1)若 ，讨论 在 上的极值点个数；
(2)设函数 ，若 恒成立．
①求 的取值范围；
②设函数 的零点为 ， 的极小值点为 ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分17分）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了
弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 、 两类，抽到较易的 类并答
对购物打八折优惠，抽到稍难的 类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一
不透明的纸箱中有 张完全相同的卡片，其中 张写有 字母， 张写有 字母， 张写
有 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 张卡片，若抽到写有 的卡片，则再抽
次，直至取到写有 或 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 的卡片的
条件下，求他共抽了3次的概率；
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回
头，他在街道上一共会遇到 条灯谜 不妨设每条灯谜的适合度各不相同 最适合的灯谜
出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前 条灯谜，自
第 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一
条.记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 ．
（i）若 ，求 ；
（ii）当 趋向于无穷大时，从理论的角度（ ），求 的最大值及 取最
大值时 的值．
（取 ）
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