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湖南省张家界市 2021 年普通初中学业水平考试试卷
数学
考生注意：本学科试卷共三道大题，23道小题，满分100分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. -2021的绝对值等于（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．
【详解】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键．
2. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过
700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将700000000写成a×10n（1＜|a|＜10，n为正整数）的形式即可．
【详解】解：700000000= ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了运用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为正
整数）的形式，确定a、n的值成为解答本题的关键．
3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形判断即可．
【详解】从上面看是一个圆，中间有一个点，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实
线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项，完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可．
【详解】解：A， 不能合并同类项，故选项错误，不符合题意；
B， ，故选项错误，不符合题意；
C， ，故选项正确，符合题意；
D， ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是：熟练掌
握合并同类项，完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则．
5. 某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（ ）
A. 总体是该校4000名学生的体重 B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的400名学生的体重 D. 样本容量是400
【答案】B
【解析】
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的知识解答．总体是指所要考察对象的全体；个体是指每一个
考查对象；样本是指从总体中抽取的部分考察对象称为样本；样本容量是指样本所含个体的个数(不含单
位)．
【详解】解：A、总体是该校4000名学生的体重，此选项正确，不符合题意；
B、个体是每一个学生的体重，此选项错误，符合题意；
C、样本是抽取的400名学生的体重，此选项正确，不符合题意；
D、样本容量是400，此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样
本，关键是明确考查的对象．总体、个体和样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量
是样本中包含的个体的数量，不能带单位．
6. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正
方形的中心成中心对称，设正方形 的面积为 ，黑色部分面积为 ，则 的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据题意，设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，分别表示出黑色部分面积和正方形 的
面积，进而即可求得 的比值．
【详解】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a
∴ ，圆的面积为
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
∴黑色部分面积为圆面积的一半
∴
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内
切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．
7. 对于实数 定义运算“☆”如下： ，例如 ，则方程
的根的情况为（ ）
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据题目所给新定义将方程 变形为一元二次方程的一般形式，即 的
形式，再根据根的判别式 的值来判断根的情况即可．
【详解】解：根据题意由方程 得：
整理得：根据根的判别式 可知该方程有两个不相等实数根．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据 的值来判断根的情况，
注意 时有两个不相等的实数根； 时有一个实数根或两个相等的实数根； 时没有实数根．
8. 若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同
一个坐标系内的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项
排查即可．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴ 的图像过二、一、四象限， 的图象在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为
解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9. 已知方程 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接移项求解一元一次方程的解．
【详解】解： ，
，
解得： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的解，解题的关键是：掌握解一元一次方程的一般步骤．
10. 如图是张家界市某周每天最高气温的折线统计图，则这7天的最高气温的中位数是______ ．
【答案】26
【解析】
【分析】将7天的最高气温按从小到大排列以后根据中位数的定义求解即可．【详解】解：根据7天的最高气温折线统计图，
将这7天的最高气温按从小到大排列为：
20，22，24，26，28，28，30，
故中位数为26 ．
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据
的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数．
11. 如图，已知 ， 是 的平分线，若 ，则 ________．
【答案】58°
【解析】
【分析】先根据对顶角的性质可得∠BDC= ,然后根据平行线的性质求得∠ABC,最后根据角平分线
的定义求解即可．
【详解】解：∵∠BDC和∠2是对顶角
∴∠BDC=
∵
∴∠BDC+∠ABD=180°，即∠ABD=116°
∵ 是 的平分线
∴∠3=∠1= ∠ABD=58°．
故填：58°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的相关知识，掌握平行线的性质成为解
答本题的关键．12. 不等式 的正整数解为______．
【答案】3
【解析】
【分析】直接解出各个不等式的解集，再取公共部分，再找正整数解即可．
【详解】解：由 ，
解得： ，
由 ，
原不等式的解集是： ．
故不等式 的正整数解为： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集和求不等式组的正整数解，解题的关键是：掌握解不等式
组的基本运算法则，求出解集后，找出满足条件的正整数解即可．
13. 如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连接 ， ， ，则
_________．
【答案】
【解析】
【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．
【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，，
为等腰三角形，
又 点 是 的中点，根据等腰三角形三线合一，
为 的角平分线，
，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：
根据性质求出 ，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
14. 如图，在正方形 外取一点 ，连接 ， ， ，过点 作 的垂线交 于点 ，若
， ．下列结论：① ；② ；③点 到直线 的距离
为 ；④ ，其中正确结论的序号为______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明 ，可得①正确；②
根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得
出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE的长，根据
△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出CF的长，
可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出正方形
ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE，
∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，
∴∠EDC=∠PDA，在△APD和△CED中 ，
∴△APD≌△CED，故①正确，
∴∠APD=∠DEC，
∵DP=DE，∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠DEP=45°，
∴∠APD=∠DEC=135°，
∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，
∴AE⊥CE，故②正确，
如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，
∵ ，∠PDE=90°，
∴PE= ，
∵ ，∠PEC=90°，
∴CE= =2，
∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，
∴∠FEC=45°，
∵∠EFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=EF= = ，
∴点 到直线 的距离为 ，故③错误，
∴DF=EF+DE= +1，
∴CD2= = = ，
∴ ，故④正确，综上所述：正确的结论有①②④，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、正方形面积公式、
勾股定理的运用等知识，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知
识成为解答本题的关键．
16. 先化简 ，然后从0，1，2，3中选一个合适的 值代入求解．
【答案】 ，6
【解析】
【分析】将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a的取值不能使
原算式的分母及除数为0．
【详解】解：原式因为a=0，1，2时分式无意义，所以
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a的取值不能使原算式的分母及除数
为0．
17. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活
动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数
10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【答案】（1）10%；（2）13.31万
【解析】
【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，根据题意列出等式解出 即可；
（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为 ．
（2） （万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利
用增长率来预测．
18. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕
点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 ．（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）90°，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且 ，可以证明两三角
形全等；
（2）根据平行四边形对角线垂直即可说明．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（2）当 时四边形 为菱形，
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，∴四边形 为菱形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判断定理，菱形的判定定理，解题的关键是：根据两直线平行的性质得
出角之间的关系，利用 来证明；证明四边形是菱形，只要求证明平行四边形对角线垂直即可．
19. 为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的
调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A
（完全使用）、B（多数时间使用）、C（偶尔使用）、D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了两
幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生总人数共有_________．
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是__________．
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D
组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概
率．
【答案】（1）50人；（2）作图见解析；（3）72°；（4）
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，得D类学生数量，再根据条形统计图性质作图，即可得到答案；
（3）根据扇形统计图的性质计算，即可得到答案；
（4）根据列表法求概率，即可得到答案．
【详解】（1）本次抽取的学生总人数共有： 人
故答案为：50人；（2）根据（1）的结论，得D类学生数量为： 人
条形统计图补全如下：
；
（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：
故答案为： ；
（4）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1，男2 男1，男3 男1，女
男2 男2，男1 男2，男3 男2，女
男3 男3，男1 男3，男2 男3，女
女 女，男1 女，男2 女，男3
∴总共有12种情况，其中抽取 的两位学生恰好是一男一女的情况总共有6种
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率 ．
【点睛】本题考查了统计调查和简单概率的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、列表
法或者树状图法求概率的性质，从而完成求解．
20. 如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 的延
长线于点 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，连接 ．（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求弧 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可
得 ，再证明 可得 即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接
∵ ，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴∴
又∵点 在 上
∴ 是 的切线；
（2）∵
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的
关键．
21. 张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小
组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 ，观测到桥面 ， 的仰角分别
为 ，测得 长为320米，求观测点 到桥面 的距离．（结果保留整数，参考数据：
）【答案】277米
【解析】
【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，根据已知条件可得 ，在
中，求出AD即可
【详解】解：过点 作 交 的延长线于点
由图可知： ，AM∥CD
∴∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°
∴
∴
∴
在 中，
∴ ，即
∴ （米）
答．观测点 到桥面 的距离是277米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、根据三角函数正确列方程是解题
的关键．
22. 阅读下面的材料：
如果函数 满足：对于自变量 取值范围内 的任意 ， ，
（1）若 ，都有 ，则称 是增函数；（2）若 ，都有 ，则称 是减函数．
例题：证明函数 是增函数．
证明：任取 ，且 ，
则
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴函数 是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数 ， ， ， _______， _______；
（2）猜想 是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】（1） ， ；（2）减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．
【详解】解：（1） ，
（2）猜想： 是减函数；
证明：任取 ， ， ，则∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，即
∴函数 是减函数．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
23. 如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点 的坐标及直线 的表达式；
（3）判断 的形状，试说明理由；
（4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运动到点 后停止运动，求点
的运动时间 的最小值．【答案】（1） ；（2） ， ；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式
即可；
（3）根据二次函数对称性可知 为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利
用勾股定理验证即可；
（4）根据题意可知动点 的运动时间为 ，在 上取点 ，使 ， 可证明
，根据相似三角形比例关系得 ，即 ，当
、 、 三点共线时， 取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计
算即可．
【详解】解：（1） 二次函数 的图象经过 ，且与 轴交于原点及点
∴ ，二次函数表达式可设为：
将 ， 代入 得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点 为二次函数图像的顶点，∴ ，
∴顶点坐标为： ，
设直线 的函数表达式为 ，则有：
解之得：
∴直线 的函数表达式为
（3） 是等腰直角三角形，
过点 作 于点 ，易知其坐标为
∵ 的三个顶点分别是 ， ， ，
∴ ，
且满足
∴ 是等腰直角三角形
（4）如图，以 为圆心， 为半径作圆，则点 在圆周上，依题意知：
动点 的运动时间为在 上取点 ，使 ，
连接 ，则 在和 中，
满足： ， ，
∴ ，
∴ ，
从而得：
∴
显然当 、 、 三点共线时， 取得最小值，
过点 作 于点 ，由于 ，
且 为等腰直角三角形，
则有 ， ，
∴动点 的运动时间 的最小值为：
．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似
三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．
