文档内容
姓 名________________
准考证号________________
绝密★启用前
掰南堵力 届龙三一松象R收官碟考
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数学
命题学校：
审校：
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知集合4=卜K>-1}1 = {-2,—1,0』,2},则住冷c3 =
A. {-2-1} B. {-1,0,1,2} C. {0,1,2} D. {1,2}
2 .记S“为等差数列{对}的前"项和若2s3 = 3$ + 6 ,则公差d为
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
3 .已知双曲线U W-二=1(。>0力>0)的左右焦点分别为石，F2,过月的直线与双曲线的右支交于4辆点，若
a~ b~
△48月的周长为10。，则双曲线离心率的取值范围为
4 .已知/(x + 1)是偶函数，对任意演,x,w(yo,1],且x产吃，都有‘㈤一"三)〈函 且〃0) = 0, 〃x)>0的解集是
演-x2
A. (-oo,0)U(2,4w)B. (0,2) c. (-0时.xgG)>/(x)恒成立；
(3)是否存在实数a. b,使得曲线了 = 86)关于直线x = b对称，若存在、求a.涮值，若不存在，说明理由.
17. (15 分)
新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式,每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答
对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求.在某次数学测评中,第11题(6分制多选题)得分的学
生有100人，其中1的学生得部分分，:的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个
书签.假设每个学生在第11题得分情况相互独立.
(D从第11题得分的10。名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为X个，求X的分布列和数学期望；
(2)从第11题得分的100名学生中随机抽取〃人(0 < 〃 士 100," e N'),记这〃人得到书签的总数为(〃 +1)个的概率为P,,,求
4 + A + 2 +…+耳的值；
(3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据’请问王老师应该提前准备多少
个书签比较合理？
数学试题第4页共5页18. （17 分）
如图1所示，直角梯形MD//8C, BM LMD .且MD = -2C = 2 ,点4七分别在线段MD. BC±_,且
3
M4 = BK = 1.点P为。C的中点，将四边形MBE4沿9折起，使二面角C-NE-B的大小为出
(1)若NE=L8 = 3 (如图2所示)，求直线段与平面BCD所成角的正弦值：
⑵若9 = 5点妫平面婀一点，若尸。/平面布(如图3所示)，求尸砌直:
⑶若4E = 1,0 =今时，点N为线段EC的中点，将aZ)CN沿ZW折起，使")CN与四边形线在平面心。的同侧且平
面CDN 1平面4出，点R为四面体内切球球面上一动点，求AD + 的最小值.
19. （17 分）
当，4BC内一点P满足条件44="皿=〃色=6时，则称点P为48c的布洛卡点，角8为布洛卡角.如图，在ABC
中，角45C所对边长分别为瓦c,点P为，铝C的布洛卡点，其布洛卡角为夕
(1)若 8 = 30。.求证：
①。2+/+。2=46工皿 ⑸皿为的面积)；
②，4BC为等边三角形.
⑵若力二 28、求证：sin，= sin5sinC
数学试题第5页共5页领南若力 届高三一松象R收官碟考
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数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D A B B B C
1. A 2. A 3. D 4. A
5. B【解析】由题意得：1000(1 + 10%)” >2000,即IT >2,所以(])>2,两边取对数得：
]g2 Jg2 0.3
”>嚏2=海f前而r雨=75,因为〃eN*,所以"的最小值为8,所以" = 8.
行
6. B【解析】^/(x)=-^y = 0,得X = 0,所以〃x)只有1个零点，即函数/(X)的图象与X轴只有1个交点
1 —X
,故A错误；由1_/=0,得xx±l,所以/(x) = F^的定义域为(yo,-1)u(-U)u(1,«»),故C错误；当
L-X
00,故 D 错误.
1 - X
7. B【解析】甲地的5个数据的中位数为24,众数为22,则甲地连续5天的日平均温度的记录数据中必有22 ,
22 , 24,其余2天的记录数据大于24,且不相等，故甲地符合进入夏季的标准；乙地的5个数据的中位数为
27,总体均值为24,当5个数据为19, 20 , 27, 27, 27时，其连续5天的日平均温度中有低于22℃的，
此时乙地不符合进入夏季的标准；丙地的5个数据中有1个数据是32,总体均值为26 ,设其余4个数据分别为
*1 , x2 , x3 , x4 ,则总体方差*=Q(22■动咐-可■电刊TXfR)24-&[=7.2+：[(西-26)-+(西-冲+(须-26)-+&-26)]若
X],吃，鼻，匕有小于22的数据时，则$2 2 7.2 + 5=12.2 ,即S2>10.8,不满足题意，所以X1，々/，^4
均大于或等于22,故丙地符合进入夏季的标准.综上所述，肯定进入夏季的地区有①
8. C【解析】由题设。G :(.丫 + 4)-+广=3中圆心G(-4,0),半径八=百，
©G :(x-4)2+V=l中圆心。式4,0),半径弓=1,根据双曲线方程知其左右焦
点为 G，G,连接PCaPCxCiMqN ,所以C[M LPM、GN LPN ,
所以阚+网•诙=(丽+珂.(丽-丽卜丽2 _而=陷|2 -^)-(|做|23
=(I PCJ2 -3)-(1 PC2|2 -I) = (I pq H PC? 1)(1 PCJ + IPC21)-2,
= 2 4ac-2 =4x2x4-2 =3(,当且仅当P为双曲线右顶点
时等号成立，故(PM +PN、NM的最小值为30.
二、选择题
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ABD
9. ACD
10. BCD【解析】对于A,因为所以y = log户是增函数，所以/⑺在(d+e)
上单调递增，/(x)>/(a) = l,故A错误；对于B,当a = 2时，函数
x1 -3 r < 2
/(-r)= ' ';在(-8,0]上单调递减，在。+8)上单调递增，且
log2 x,x >2
(4) = 2 ,直线y = 2与函数y = f (x)有两个交点，则方程/(x) = 2有两个
根，即函数^ = /(“-2有2个零点，故B正确；对于C,由在(。/8)上单调递
\a>\ “、
增，可知< 2,1 …解得1<心2，故C正确；对于D，当1<〃42时，/ x
[a--3slog/=l
数学参考答案-1在（。+8）上单调递增，画出了（X）的图象，如图1所示，当。＞2时，画出/（X）
的图象，如图2所示，则/（X）的图象上不存在关于原点对称的点，即函数
产--+3（.丫＞0）与函数）； = /（"（丫＞0）的图象没有交点©当0＞2时，函数
歹=--+3（.丫＞0）与函数^ = /（力（丫＞0）的图象一定有交点，比如（6,0）;②当
1＜。±2时，直线丫 =。分别与函数y=x2-3,y = -x2+3,y = log.x交于点
—3）,（a,-＜r+3）,（4,1）,由题意可得力 -3 ＜ -a2+3 ＜1,解得正V”退
,故当了⑴的图象上不存在关于原点对称的点时，。的取值范围是［啦,石），故
D正确.
11. ABD【解析】旋转体是一个由两个相同的圆锥底面重合形成的组合体，如图所示：
若BCla,则旋转体在平面a内的投影如选项D所示；若BC〃a ,则旋转体在平面。
内的投影为正方形；若8c与。所成的角在（45。,90。）时，则旋转体在平面a内的投影如
B所示；若2C与。所成的角在（。°,45。）时，则旋转体在平面。内的投影如A所示；所以
综上可知ABD有可能是旋转体在平面a内的投影.
三、填空题
12. 2【解析】令/卜）=0,得2%.寸-1 = 0,作出y = |lgx|与y = 的图象，可知它们只有2个交点.
?3
13. S【解析】抛一枚质地均匀的骰子3次，共有6x6x6 = 216种情况，其中满足
216
卜 + y-二| + 卜-丁 + 二| + |_》+ 7 + :|＜8,包含三个数字为（1,1,1） , （1,1,2）, （1,2,1） ,（2,1,1） , （1,1,3）, （1,3,1）,
（3,1,1）, （1,2,3）, （1,3,2）,（2,1,3）, （2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,（2,2,2）,（2,2,1）,（2,1,2）, （1,2,2）,⑵2,3）
23
,（2,3,2）,（3,2,2）, （1,3,3）,（3,1,3）,（3,3,1）,共23个.所以不等式成立的概率尸=不”
216
14. 31 3054【解析】第一次得到的新数列为1, 1, 2, ^ = 1 = 21-1;
5 3 7 「， ）
第二次得到的新数列为1, 4 y 2 9 4 9 2；上= 3 = 2 -1;
9 5 11 3 13 7 15 c ,
第三次得到的新数列为1,
8，4 ' 8 ' 2 ' 8，" 8，， ，
以此类推可得：〃=5时, k = * -1 = 31 ；
〃二10 时，A- = 210 -1 ；
再结合等差中项可得：T\ =/=3x|,7；=7x1,...,7；0=（210-l）x|
所以 1+4+…+ 4o =（21 +22+--- + 210-10）x| = 3054 ,
四、解答题
15.【解析】（1）由已知双曲线离心率e = £ = 1 +1 = -\fs > 即 b? = 4a2 ,
a
2 2 5 1 、
则双曲线方程为=1,又曲线过点 ,即7^一7^ 二 1，解得〃~=1, 2分
a- 4a~ 4〃~ 4a~
2
所以双曲线方程为X?-匕=1；................... 4分
4
（2）由（1）得尸（60）,
①由已知直线的斜率"存在且彳=0,设直线4）=k仁-右），A（X“7）,B（X2y2）,
且再吃＜0 ,
x2_r =1 _
联立直线与双曲线， 4 ,得（4**+2后■z―入4 = 0,
y = k（x-布）
数学参考答案-2=(2^A-2 V - 4(4 - A-2) (-5A-2 - 4 )= 64k2 + 64 > 0 恒成立，JL^+x,=-_ 2辰 _,XiX2=_ -5F _ -4 1 -5k2 -4 .
A ,即------<0
'4-k2
,解得一2W2,又Q为4, 6中点，
则与=^^=-^1,则为“卜。一根卜一 44&® 即0仁丝一皿史]
屋不，即鼠4丁，4一句， 6分
4-k2
4
则直线。。：歹二不工，
k
联立,1与’2,即‘
y =
即点雌直线x =。上;
-5k2 -4 =8(1 + 二)
②,却=J1 +左2 - {"1 +口2)2 _43巧=Jl + k2 -
4-k2 = 4-k2 )
4 aA +5 ___►
M= y[5- + 0- —,又点N：葩於MN =MA + MB ,
5 kl
则四边形MANB为平行四边形,且MF 1 AB ,
32(1 + F)a/5 + 5F _32a/5 | (1 + "]
则 SMANB = 2sAM铝=|^-8|-|AfF| = 9分
5网（4孑） 5
士日，设小 (5-O3 所(5-02-(11/-40)
设/ = 4-昭/>0 ,则/=4-乙 则= 瓦/，则〃"(4笠/
5
令/'（。= 0,解得”詈40 ，........
10分
当时
40 ,/-（r）o ,所以了⑺在（0,黑 上单调递减，在（帘，+8）上单调递增,
所以当/=《时,%）取最小值为了（'40、3>/15
12分
16
即当左=± 时，SMA^的最小值为6也.......................................... 13分
16.【解析】(1)依题意/'(x) = 2 —e)据此可得/(0) = 0J，(0) = l, ........................................ 2分
函数在(0,/(。))处的切线方程为.y-0 = i(x-0),
即x-y=0....................................................................................................................................................... 4分
(2)当 〃 =0 时，且x>0 时，xg(x)-/(x) =ln(x+l) + e Y-2x-l ,
令k(x) = eY -2x-l + lii(x + l)(x> 0),下证人(x) > 0 即可.
/('(x)=ex-2 + -!-,......................................................................................................................................
5分
x + 1
再令加(x) = "(x),则加(x) = ev -(. + 以, ...................................... 6分
显然7"'(x)在(0,4co)上递增，则加(.丫)>加(0) = 6°-1 = 0,即 ”(x) =，"(x)在(0,+co)上递增，故
//'(x)>/7(O) = e°-2 + l = O ,即/(x)在(0,物)上单调递增，故//(.r)>/)(0) = e°-1 + 1111 = 0,
所以当x>0时，xg(x)>/(x)恒成立................................................... 9分
⑶令〃(x) = g][= (x + 6f)lnf —+ lj,
] X +1
函数的定义域满足—nl =-----> 0 ,即函数的定义域为（h°,-1） u （0,+°0）,
数学参考答案-3定义域关于直线工=一；对称，由题意可得6 = -），................................................. 11分
由对称性可知"| -二 + x | = 〃| -二-x x>：
取X = |■可得〃(1) = "(-2) , .................................................................................................................................................13分
即 3 + l)ln2 = (〃- 2)ln；,则 q + 1 = 2 — q,解得
经检验Q =1力=一!满足题意，故〃==力=一5..........................................................................................................14分
2 2 2 2
即存在 a - =~~ 满足题意..................................................................... 15分
17.【解析】（1）由题意得书签的总数X的所有可能取值为4, 5, 6, 7, 8,
其中尸国=4）=曾=悬,尸（£ = 5）5》（步〉
尸（X = 6）= %（小曾喂,尸（钎7）心（扑〉二
所以X的分布列为...............................................................................4分
X 4 5 6 7 8
81 27 27 3 1
P
256 64 128 64 256
?，81 < 27 , 27 『3 。 1
E (X) = 4 x-----F 5 x-----F 6 x-------F 7 x-----1- 8 x-----= 5「
' 7 256 64 128 64 256
（2）因为这〃人得到书签的总数为（〃 + 1）个（OcxwlOOmwN"）,
所以其中只有1人得到2个书签，
=《**图 胃图（0C,〃wN"）, ................................................................................................7分
=—x 1 x—4- 2 x -] + 3 x -] +... + w XI 一
3 4 ⑷(4/ U
所以《3+ 2+A+-+ “心喏）+2X图+3X图+...+（1卜伟+处@J
两式相减得：（6 + 8 +月+…+4）=gx1+（勺+（1）+•••+（
所以［+鸟+4+…+ £=4-（" + 4）xg）（0 3(20-x) A 59 63
整理得, ,解得 .................13分
3(21-x) > x
而 0wxw20, xe N ,所以 x = 15,所以〃 =40-15 =25 , .........................................................................................14 分
所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理.................... 15分
数学参考答案-418.【解析】(1)如图2,由题40、AE,力。三线两两垂直，建立如图所示的坐标系，/(。。0), 5(1,0,1),
设平面88的法向是加二(xj,二)，..................................................................3分
nrBC = 0 J2y-二二0
册• BD = 0 ' 芋［-X + ,y - - = 0
所以取平面夕的一个法向量加=(-1,1,2), ...................................................................................................................5分
|m-AB| 1 枢
设/点与平面4B8所成角为a , 所以sma =所询=不环=T'
..48与平面3co所成角的正弦值为也
............................................................................................................................6分
6
(2)如图，设/正、/亩的中点分别为K、T,连接K7.................................................................................................7分
由平面几何知：AE i.KT , AE LPK ,所以NPKT =。，且4E 1平面PA7
若尸。/平面WBE,因为/Eu平面
所以 NE1P0,又 NE1PK, PQ, PKu 平面 PQK , PQnPK =P ,所以 4E1 平面尸 QK,
又4E1平面尸KT,所以0wKT且|K0|e 0,1 , .............................................9分
。
在aPK 中，cos0=l^,因为。=£,又1瓦巴=：,所以|尸。|4匹|,
| A_r | 4 2
所以在△尸0K中，|尸0|=乎；................................................................... 11分
(3)显然，MECD为棱长为五的正四面体，作CO1面8WE,设内切球球心为。】，
建立如图所示的坐标系，且|OC|=]G,则。[一“,0,0),40,0,% )............................................................12分
设内切球半径为r,由等体积法知，r=—,所以。1= 0,0,
6 k
1
所以内切球。1的方程为/+廿+ 14分
12
由阿氏球知，空间中必存在一定点二0),使球。上的点满足上五。=夫5 ,
即扑?+/ +
一切-+(%-埒+(二 一:)一,
0 0
-18;° 二 + 9x02 + 9y02 +9ro2-1 = O ,
则 8x~ + 8y~ + 8二--18x°x — 18yoy +
由球Q的方程x2+y2+产一g二=0 ,...........................................................................................................................
15分
数学参考答案-519.【解析】(1)①若6 = 30。，
则'女=黑婚 +S.C +S»* = / 2尸 sin8+ ^i -BP sin 8+ * CP sin 6
= ^sine(c AP + a BP + b-CP)= ^(c-AP + a BP + b-CP),
所以 c • 4P + a • BP + b • CP = 4S 4ABc , ..................................................................................................................................3 分
在 aPABaPBC^PAC中,分别由余弦定理得：
BP'c'AP2-2c Ap358, CP2 =a2^-BP2-2a BPcos0 , AP?二护 + CP?-2b CPco58 ,
三式相加整理得2cos8(c・4P + Q・BP + b•。尸)=/ + b? + / ,
即 JJx4s =a~ +Z>2 +c2 ,
所以/+b?+/=4Qs△皿； ...................................................................... 6分
②由余弦定理可得/ =/ +/ -2bccosA,
则 a2 +b2 +c2 - 4Qs△期,=2b? +2(？ - 2bc cos A - 4 a/3S^^c
=2b2 + 2c2 - 2bc cos A - 2/3bc sin N = 2b? + 2c? - 4bc sin > 4bc - 4bc = 0 ..................................................8分
当且仅当b = c且sin(4 +.)=1时取等号，
有心(0,兀)，所以信V所以4 所以幺百
7T
即当且仅当6 且/ =,时取等号，............................................................... 10分
即当且仅当N2C为等边三角形时取等号，所以。2+〃+,2 W4JJS△疑一当且仅当4BC为等边三角形时取等
号，又由①知/+6?+c? =4&5△泅c ,所以 48c为等边三角形；....................................12分
(2)由(1) =-^sin0{c-AP + a- BP + b-CP),
2s
所以c,AP” BP + b,CP=~ 4ABe...................................................................................................................................13分
sin 6
a~ +b- +c2 =2cos8(c , AP + a • BP + b , CP),
所以 / + / +(? = 2 cos ""c = 2 cos 夕 ‘亩阪■晟 8 , ............................................................................14 分
sin 6 sin 6
又由余弦定理可得炉 +(? =〃2 + 2ftc cos28=/ + 2bc (cos2 9- sin2 3 ),
所以2〃2+26。(8528-$皿8)= 4A8526,所以/ 二防卜加 S+cos? 8),所以/二庆，.................16分
由正弦定理可得sin2』= siiBsinC .........................................................................................................................................17分
数学参考答案-6
