2025届重庆康德一诊数学_2025年1月_250119重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试（康德一诊）（全科）_数学

2025 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学 数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合A{x|3 x6}，B{x|x≤4}，则AB A．{x|3 x≤4} B．{x|x6} C．{x|4≤x6} D．{x|x≤4} 2． 已知aR ，则“x2 2xa0的解集为R”是“a  0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件      3． 已知O为坐标原点，点A(1， 3)，将OA绕点O逆时针方向旋转 得到OA，则OAOA的模等于 3 A．2 B．2 2 C．2 3 D．4 4． 已知平行六面体ABCD ABC D 的体积为1，若将其截去三棱锥AABD ，则剩余部分几何体的体积为 1 1 1 1 1 1 1 7 2 3 5 A． B． C． D． 12 3 4 6 5． 若sin2cos，则cos2 A． 53 B．2 5 C． 52 D．3 5 π 6． 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a 1，bc  2，A ，则sinBsinC  4 2 2 2 A． B． C．1 D． 2 2 3 x2 y2 7． 已知双曲线E：  1（a  0，b 0）的右焦点为F(c，0)，A，B是其一条渐近线上的两点，且 a2 b2 | AB|2a，若△ABF 的面积等于c，则c的最小值为 A． 2 B．2 C．2 2 D．4 8． 已知数列a 的通项a n2 n(R )，若p，qN，且 p  q，使得a a 120，则的取 n n p q 值个数为 A．0个 B．1个 C．8个 D．无数个 第一次联合诊断检测（数学）第1页 共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9． 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究 学科 数学 物理 化学 生物 合计 性别 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么 A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 10．声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该 技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率、振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为π 3 2 π 的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是 f(x) sin( x )， 4 3 6 则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有 3 2 π 3 2 π A． f(x) sin( x ) B． f(x) cos( x ) 4 3 6 4 3 3 3 2 3 2 π C． f(x) cos( x) D． f(x) cos( x ) 4 3 4 3 6 11．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1，0)，F (1，0)，若满足 PF  PF a（a为正常数）的动点P(x，y) 1 2 1 2 的轨迹为C，则下列说法正确的是 A．a 0，使得曲线C经过原点O B．a 1，曲线C既是轴对称图形，也是中心对称图形 5 C．当a 1.2时，△PFF 面积的最大值为 1 2 5 x2 y2 D．当a 8时，曲线C围成的面积大于曲线E：  1围成的面积 8 7 第一次联合诊断检测（数学）第2页 共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知i2 1，若复数z (1i)(1i)2i，则|z| ． 13．已知圆C ：x2  y2 2x0，C ：x2  y2 4x8y40，P，Q分别是C ，C 上的动点，则|PQ| 1 2 1 2 的最大值为 ． 14．若函数 f(x) x(2x a)|x1|有且仅有一个零点x ，且x 0，则实数a的取值集合为 ． 0 0 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 1 已知函数 f(x)2x2alnx （aR ）． x （1）当a 1时，求 f(x)在(1，f(1))处的切线方程； （2）已知a为整数，若 f(x)在(2，3)上单调递减，且在(4，)上单调递增，求a． 16．（15分） 2 如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，ABCD为矩形，AB  AD  PD，点E在棱PB 2 π 上，且直线PD与CE所成的角为 ． P 6 （1）证明：点E为棱PB的中点； E （2）求直线CD与平面ACE 所成角的正弦值． D A B C 17．（15分） 已知抛物线C：y2 4x，过点F(1，0)的直线l与抛物线交于A，B两点，A在x轴上方，AM ，BN 均 垂直于C的准线，垂足分别为M ，N ． （1）当 AB 3 BN 时，求直线l的方程； （2）已知O为坐标原点，证明： OA OB  OM  ON ． 第一次联合诊断检测（数学）第3页 共4页18．（17分） 2019年7月30日国家市场监督管理总局第11次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自2019 年10月1日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标 准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品， 固形物含量低于50%为二级品或不合格品． （1）现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品． （i）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级 品的概率； （ii）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的等级时终止检验，记检 验次数为X ，求随机变量X 的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 p（0 p1），且各件产品是否为优级品相互独立，若在 10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于70.759（约为0.5256），求 p的最小值． 19．（17分） 由边长为1，1， 2的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形： ①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边； ②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边． 设k (1；1； 2)，由方法①，②均可得到k (1；2；3)，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序 0 1 列  k k (a；b；c )  （其中a，b，c 是直角三角形k 的三条边，且a ≤b ，c 为斜边），满足对于任意 n n n n n n n n n n n n nN，有k (a；c； a2 c2)，k (b；c； b2 c2)． 2n n n n n 2n1 n n n n （1）设t k (nN)，求t 的通项公式； n 2n1 n （2）若k (5；6； 61)，求n； n a a （3）证明：在直角三角形序列k 中，若i  j，则 i  j ． n b b i j 第一次联合诊断检测（数学）第4页 共4页