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保山市 2024~2025 学年普通高中上学期期末质量监测
高三数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A B C D A
【解析】
1．由 得 ，故 ，故选B．
2．因为 ，所以 ， ，所以 ，故
选D．
3．由题意得： 所以 所以 或 ，又因为
为正项等比数列，则 ， ．
4．因为 是非零向量，且 ，则有
共线；又 ，故“
”是“ 共线”的充分不必要条件，故选A．
5．因为 图象的一条对称轴是 ，所以有
，
， ，故选B.
6．由随机变量 且 ，得 ，
当且
仅当 所以 的最小值是 ，故选C．
高三数学参考答案·第1页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7． 是边长为4的等边三角形， ， ，取AC边的中点E，连接
OE，SE，则有 ，所以 是截面 SAC 与底面所成的角，
， ，
是直角三角形，设三棱锥 的外接球的球心为 ，外接球的半径是 ，
底面 ，且 平面 ，
，故三棱锥 外接球的体积为
，故选D．
8． 因为 是奇函数， ， ；对
都 有 ，
， 是周期为 4 的周期函数， ；设
则 ， 在R上单调递增， ；
， 所 以 有
，所以不等式 的解集是 ，故选A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABD AC ABD
【解析】
9． 对于A，因为函数 的最小正周期 ，故A正确；对于B，
由 ， 即 ， 所 以 函 数 的 定 义 域 为
，故 B 正确；对于 C，函数 的对称中心应该满足
高三数学参考答案·第2页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司， 即 ， 所 以 函 数 的 对 称 中 心 为
， 故 C 错 误 ； 对 于 D ， 由 ， 得
，所以 的增区间是 ，故D正
确，故选ABD．
10．对于A，事件“X为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为
，故A正确；对于B，事件“ ”等价于“ 或 ”，而“
”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为 ，“ ”等价于“掷出
的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为 ，因此 ，故B
错 误 ； 对 于 C ， 事 件 “ ” 和 事 件 “ ” 包 含 相 同 的 样 本 点
，因此是相等事件，故C正确；对于D，事件“
”等价于“3次掷出的点数中有 2个1和1个4，或者 2个2和1个1”，其概率为
，事件“ ”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或
者1个1，1个2和1个3”，其概率为 ，而积事件等价于“3次掷出的点
数中有2个1和1个4”，其概率 ，D错误，故选AC．
11．设点 点
. ，
对 于 A ， 直 线 的 斜 率
， 故 A 正 确 ； 对于 B ， 中 ，
高三数学参考答案·第3页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，所以 是锐角三角形，故 B 正确；对于 C，四边形 MNDF 的
面积 ，故C错误；对于D，
， 即 所以D正确，故选ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 20
【解析】
12．因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以常中数项为 .
13．由 ，得 ，两式联立得 ，所以
， ， ，则 在点 处的切线方程是
14．由 得 ，
高三数学参考答案·第4页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司曲线C在点 处的曲率是 ．
，
， 上 单 调 递 增 ，
时， 上单调递减，在
上单调递增， 而曲率 的曲
率有最大值是 .
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）
，
. …………………………（6分）
（2） ，
为锐角三角形，即 …………………………（9分）
高三数学参考答案·第5页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
当且仅当 时，上式取“=”号，
. …………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明： ，
∴点 共面，
在菱形ABCD中， ，
又 平面 ，∴ ，
，
. ………………………………（5分）
（2）解：如图所示，以 建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
，
当 四点共面时，
存在实数 ，使得
，
所以 ． ………………………………（9分）
设平面 的一个法向量为 ，
，
平面 ，∴平面 的一个法向量是 ，
，
设平面 与平面 所成的夹角为θ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
∴平面 与平面 所成的夹角为 ． ………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）
……………………………（4分）
由题意得 ，
（2）
，
若 ，
. ………………………………（6分）
所以有
N [70，85) [85，90) [90，100]
利润y
5a + 0.15
P 0.55−5a 0.3
. ………………………………（8分）
， ………………………………（11分）
，
，
高三数学参考答案·第7页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司恒成立，则 上单调递增．………………………………（13
分）
又 ，
时， 不恒成立， ………………………………（14分）
∴该产品不一定能盈利，需要继续生产升级．
………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）∵焦点F到渐近线 的距离是 ，
，
所以双曲线的方程是 . ………………………………（4分）
（2）（i）由题意知：直线AB的斜率一定存在，
设直线的方程是 ， ，
，
，
又因为直线AB与曲线C的左、右支分别相交， ，
，
∵直线AB与圆 相交，
∴圆心(0，0)到直线AB： 的距离为 ，
又∵A，B与M，N不重合，∴ ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司综上，直线AB斜率的取值范围是 ．
……………………………（11分）
（ii）由（i）知 ， ，
， ，
，
， ，
，
，
的取值范围是 ． ………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）解：设 是方程 的三个根，
，
则 ，
，
可变形为 ，
． ………………………（6分）
（2）解：若方程 的三个根分别为
则 ． ……………………………（9
分）
（3）证明：设关于 的一元三次方程的三个根分别为 ，
则有 ， ………………………………（11分）
高三数学参考答案·第9页（共9页）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
，所以此方程的三个根均不为0． ………………………………（13分）
假设此方程存在负根t(t<0)，
则有 ，
，
，
这与 矛盾，
∴假设方程存在负根是错误的． ………………………………（16分）
综上，此方程的三个根 均大于0，所以 ．
…………………………………………（17分）
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