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1
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绝密★启用前
2024 年高考数学点睛密卷(北京卷)
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合
1
M = { x | − 4 x 2 } ， N = { x | x 2 − x − 6 0 } ，则 M N = ( )
A． { x | − 4 x 3 } B．{x|−4x −2} C． { x | − 2 x 2 } D． { x | 2 x 3 }
【解答】解： 集合M ={x|−4x2}，
N = { x | x 2 − x − 6 0 } = { x | − 2 x 3 } ，
M N ={x|−4x 3}．
故选：A．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为 ( 2 , − 1 ) ，则 z z = ( )
A．5 B．3 C． 5 − 4 i D． 3 − 4 i
【解答】解： 复数z对应的点的坐标为(2,−1)，z=2−i，2
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2
zz =(2−i)(2+i)=4−i2 =5．
故选： A ．
3.下列关于函数 f ( x ) =
1 +
x
x 2
( x 0 ) 的论述中，正确的是 ( )
A．是奇函数 B．是增函数 C．最大值为
1
2
D．有一个零点
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对 A
x
，因为 f(x)= (x0)，定义域不关于原点对称，
1+x2
所以 ( x ) 不是奇函数，故A错误；
对 B ，因为 f ( x ) =
1 +
x
x 2
=
x
1
+
1
x
，
因为 y = x +
1
x
在 ( 0 ,1 ) 上单调递减，在 (1 , + ) 上单调递增，
所以 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递增，在 (1 , + ) 上单调递减，故B错误；
对 C ，由 B 知， f(x)在 ( 0 ,1 ) 上单调递增，在 (1 , + ) 上单调递减，
所以 f ( x )
m ax
= f (1 ) =
1
2
，故C正确；
对 D ，因为 1 + x 2 1 0 ，x0，
所以 f ( x ) =
1 +
x
x 2
0 恒成立，即 f ( x ) 没有零点，故 D 错误．
故选： C ．
4.在
2 x −
1
x
5
的展开式中， x 3 的系数为 ( )
A．40 B．−40 C．80 D．−80
【解答】解：在
2 x −
1
x
5
的展开式中，含 x 3 的项为 C 15
−
1
x
1
( 2 x ) 4 = − 5 1 6 x 3 = − 8 0 x 3 ，
x3的系数为−80．
故选：D．3
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5．已知直线
3
y = x + m 与圆 O : x 2 + y 2 = 4 交于 A ， B 两点，且△AOB为等边三角形，则m的
值为 ( )
A． 2 B． 3 C．2 D． 6
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为 3，
| 0 − 0 +
2
m |
= 3 ，
m = 6 ，
故选： D ．
6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示
的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为 1 6 ，屋顶的体积为
3 2
3
5
，
算得侧面展开图的圆心角约为 ( )
A．
2
3
B．
5
6
C．
4
3
D．
7
6
【解答】解：设其底面半径为 r ，高为h，母线长为 l ，
由
1
3
r
2
r
=
2
1
h
6
=
3 2
3
5
，解得
r
h
=
=
4
2 5
．
l = r 2 + h 2 = 6 ．
设侧面展开图的圆心角为，又圆锥母线长为6，
可得展开后扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
即6=24=8，则
4
3
=
．
4
即侧面展开图的圆心角约为 ．
3
故选：C．4
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7．设等比数列
4
{ a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，则“a +a 2a ”是“
1 3 2
S
2 n − 1
0 ”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： 等比数列{a }，
n
a
1
+ a
3
2 a
2
a
1
( q − 1 ) 2 0 ，a 0且q1，
1
由S 0，
2n−1
①当 q 1 时，
a
1
( 1
1
−
−
q
q
2 n − 1 )
0 ，则 a
1
0 且 q 1 ，
②当 q = 1 时， ( 2 n − 1 ) a
1
0 ，即 a
1
0 且 q = 1 ，
a +a 2a 是
1 3 2
S
2 n − 1
0 的充分不必要条件．
故选：A．
8.已知函数 f(x)=sinxcosx，将 f ( x ) 的图象向左平移
6
个单位后得到函数 g ( x ) 的图象，若
f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 ( 0 , t ) 上均单调递增，则 t 的最大值为 ( )
A．
1 2
2
B． C． D．
4 3 3
【解答】解：由题意得 f ( x ) =
1
2
s in 2 x ，则 g ( x ) =
1
2
s in
2 x +
3
，
当 x ( 0 , t ) 时， 2 x +
3
3
, 2 t +
3
，
因为 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 ( 0 , t ) 上均单调递增，
所以
2
0
t
+
t
3
4
2
，解得 0 t
1 2
，故 t
的最大值为 ．
12
故选：A．
9．中国古代钱币历史悠久，品种纷繁，多姿多彩，大多数是以铜合金形式铸造的，方孔钱
是古代钱币最常见的一种，如图 1．现有如图 2 所示某方孔钱中心方孔为正方形，M ， N
为正方形的顶点， O 为圆心， A
1
为圆上的点，且tanMAO= ，
5
M N ⊥ O A ，定义方孔钱金
金属面积
属面积比率= 100%，则该方孔钱金属面积比率约为（方孔钱厚度不计，
圆形面积5
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5
3 ) ( )
A． 8 3 .3 % B． 8 8 .9 % C． 9 2 .3 % D． 9 6 .3 %
【答案】 D
【解答】解：设OA与 M N 交于点 P ， M N = a ，
a
则PM =PO= ，
2
又因为 ta n M A O =
P
P
M
A
=
1
5
，
5
所以PA= a，
2
O A = P A + P O = 3 a ，
所以方孔钱金属面积比率为
O
A
O
2 −
A 2
a 2
1 0 0 % =
( 3
a
(
)
3
2
a
−
) 2
a 2
1 0 0 % =
9 a
9
2
−
a 2
a 2
1 0 0 % 9 6 .3 % ．
故选： D ．
10．设数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，若对任意的正整数 n ，总存在正整数m，使得 S
n
= a
m
，下
列正确的命题是( )
① { a
n
} 可能为等差数列；
② { a
n
} 可能为等比数列；
③a(i 2)均能写成{a }的两项之差；
i n6
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④对任意
6
n N ，n 1，总存在 m N ，m 1，使得 a
n
= S
m
．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：对于①，当数列 { a
n
} 为等差数列时，不妨令 a
n
= n ，所以其前 n 项和为
S
n
=
n ( n
2
+ 1 )
，
又因为 n ( n + 1 ) 必为偶数，所以
n ( n
2
+ 1 )
必为整数，所以存在正整数 m ，使得 S
n
= a
m
，故①正
确；
对于②，若数列 { a
n
} 为等比数列，设其公比为 q ，则当 q = 1 时，显然不满足要求；
当 q 1 时，由题意可得： S
n + 1
= a
m 1
， S
2 n + 2
= a
m 2
，即1+q+q2 ++qn =qm1，
1 + q + q 2 + + q 2 n + 1 = (1 + q + q 2 + + q n ) (1 + q n + 1 ) = q m 2 ，
两式相除得： 1 + q n + 1 = q m 2 − m 1 ．
若|q|1，则当n为奇数时，qn+1 0，所以 q m 2 − m 1 | q n| + 2 ，
所以 1 = q m 2 − m 1 − q n + 1 | q n| + 2 − q n + 1 = | q n| + 1 ( | q | − 1 ) ．
当n充分大时，显然不成立；
若|q|1，则 | q m 2 − m 1 | ( 0 , | q |
|
1
q |
, +
，
因为 | q | 1
|
1
q |
，所以当 n
1
充分大时，可以使得1+qn+1|q|, ，故不成立，故②不正确；
|q|
对于③：由题意，对任意的正整数 n ，总存在正整数 m ，使得S =a ，则存在正整数
n m
p 使得
S =a (n 2)，
n−1 p
则a =S −S =a −a (n 2)．③正确．
n n n−1 m p
对于④，取数列 a
n
= n ，显然不存在 m ，使得S =a =2，故④不正确．
m 2
故选：A．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．7
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11．函数
7
f ( x ) =
1
2
−
x
ln
− 2
x
的定义域为 ．
【解答】解：函数 f ( x ) =
1
2
−
x
ln
− 2
x
，
所以
1
2
−
x
ln
− 2
x
0
0
，
解得 0 x e ，且 x 1 ，
所以 f ( x ) 的定义域为 ( 0 ,1 ) ( 1 , e ．
故答案为： ( 0 ,1 ) ( 1 , e ．
12．双曲线 C : x 2 −
y
3
2
= 1 的离心率为 ；设O为坐标原点，过C的右焦点 F 且垂直于
x 轴的直线与 C 的两条渐近线分别交于 P ， Q 两点，则 △ O P Q 的面积为 ．
【答案】 2 ； 4 3
【解答】解：由双曲线 C : x 2 −
y
3
2
= 1 得a=1， b = 3 ， c = 2 ， e =
c
a
= 2 ；
过 C 的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线 l 的方程为 x = 2 ，
与两渐近线 y = 3 x 相交于两点 P
(
2 , 2 3
)
， Q
(
2 ， − 2 3
)
，
△ O P Q
1
的面积为 |OF||PQ|=4 3．
2
故答案为： 2 ； 4 3 ．
13．已知点 P 在棱长为4的正方体表面上运动， A B 是该正方体外接球的一条直径，则PAPB
的最小值为 .
【答案】−8
【解答】解：由题意知：设正方体的外接球的球心为O，
正方体的外接球的直径|AB|= 42 +42 +42 =4 3，则O为AB的中点，
所以 O A = − O B ，且 | O A |= | O B |= 2 3 ，
故PAPB=(OA−OP ) ( O B − O P ) = O A O B − ( O A + O B ) O P + O P
2
= O P
2
− 1 2 ，
由于|OP| 2，所以PAPB的最小值4−12=−8．8
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故答案为：
8
− 8 ．
14．若点 M ( c o s , s in ) 关于x轴的对称点为 N c o s
6
, s in
6
−
−
，则的一个取值
可以为 ．
【答案】
1 2
（答案不唯一，只要符合 k
1 2
= +
， k Z 均可）．
【解答】解： 点 M ( c o s , s in ) 关于x轴的对称点为 N c o s
6
, s in
6
−
−
，
cos=cos− ，sin=−sin− ，
6 6
由诱导公式 s in s in ( ) = − − ， c o s c o s ( ) = − ，
所以− =−+2k，
6
k Z
，解得= +k，
12
k Z ，
则符合题意的值可以为
1 2
．故答案为：
1 2
（答案不唯一，只要符合 k
1 2
= +
，kZ
均可）．
|x|,x m
15．已知函数 f(x)= ，设
x2 −2mx+4m,xm
g ( x ) = f ( x ) − b ．给出下列四个结论：
①当 m = 4 时， f ( x ) 不存在最小值；
②当 0 m 3 时， f(x)在 ( 0 , + ) 为增函数；
③当m0时，存在实数b，使得 g ( x ) 有三个零点；
④当 m 3 时，存在实数 b ，使得 g ( x ) 有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．
【解答】解：①当 m = 4 时，作出函数的图象，如图所示：9
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由此可得
9
f ( x )
m in
= f ( 0 ) = 0 ，故错误；
②当 0 m 3 时，
y = x 在 ( 0 , m ) 内单调递增，
二次函数 f ( x ) = x 2 − 2 m x + 4 m 在 ( 0 , m ) 上单调递减，在 ( m , + ) 上单调递增，
且此时 f ( m ) = − m 2 + 4 m ，
又因为 − m 2 + 4 m − m = − m 2 + 3 m = − m ( m − 3 ) 0 ，
所以 − m 2 + 4 m m ，
所以函数在(0,+)上单调递增，故正确；
③当 m 0 时，令 g ( x ) = f ( x ) − b = 0 ，则 f ( x ) = b ，
如图所示：10
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此时
10
y = b 与y= f(x)最多只有2个交点，
即函数 g ( x ) 最多只有2个零点，故错误；
④当m3时，令 g ( x ) = f ( x ) − b = 0 ，则 f ( x ) = b ，
如图所示：
当 m in 0 , 4 m − m 2 b m 时， y = b 与y= f(x)有3个交点，
此时函数 g ( x ) 有3个零点，故正确．
故答案为：②④．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．(本小题13分)
在△ABC中，bsin2A= 3asinB．11
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(1)求A；
(2)若△ABC的面积为3 3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使△ABC存在且唯一确定，求
11
a 的值．
2 7
条件①：sinC= ；条件②：
7
b
c
=
3
4
3 21
；条件③：cosC=
7
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）因为 b s in 2 A = 3 a s in B ，由正弦定理得， s in B s in 2 A = 3 s in A s in B ，
又 B ( 0 , ) ，所以 s in B 0 ，得到 s in 2 A = 3 s in A ，
又sin2A=2sinAcosA，所以 2 s in A c o s A = 3 s in A ，
又 A ( 0 , ) ，所以 s in A 0 ，得到 c o s A =
2
3
，所以 A =
6
；
（2）选条件①： s in C =
2
7
7
；
由（1）知， A =
6
，根据正弦定理知，
c
a
=
s
s
in
in
C
A
=
2
71
2
7
=
4
7
7
1 ，即ca，
所以角 C 有锐角或钝角两种情况， △ A B C 存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件②：
b
c
=
3
4
3
；
1 1 1
因为S = bcsinA= bcsin = bc=3 3，所以
△ABC 2 2 6 4
b c = 1 2 3 ，
b 3 3
又 = ，得到
c 4
b =
3
4
3
c ，代入 b c = 1 2 3 ，得到
3
4
3
c 2 = 1 2 3 ，解得c=4，所以 b = 3 3 ，
由余弦定理得， a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c c o s A = ( 3 3 ) 2 + 4 2 − 2 3 3 4
2
3
= 2 7 + 1 6 − 3 6 = 7 ，
所以a= 7．
21
选条件③：cosC= ；
7
1 1 1
因为S = bcsinA= bcsin = bc=3 3，所以
△ABC 2 2 6 4
b c = 1 2 3 ，
21
由cosC= ，得到
7
s in C = 1 − c o s 2 C = 1 −
2
4
1
9
=
2
7
7
，12
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又
12
s in B = s in ( − A − C ) = s in ( A + C ) = s in A c o s C + c o s A s in C ，由（1）知 A =
6
，
所以 s in B =
1
2
2
7
1
+
2
7
7
2
3
=
3
1
2
4
1
，
3 21
b sinB 14 3 3 3 3
又由正弦定理得 = = = ，得到b= c，代入
c sinC 2 7 4 4
7
b c = 1 2 3 ，
得到
3
4
3
c 2 = 1 2 3 ，解得 c = 4 ，所以 b = 3 3 ，
3
由余弦定理得，a2 =b2 +c2 −2bccosA=(3 3)2 +42 −23 34 =27+16−36=7，
2
所以a= 7．
17．(本小题14分)
如图，四棱锥 S − A B C D 的底面是正方形，点 P ， Q 在侧棱SD上， E 是侧棱SC的中点．
(1)若 S Q = Q P = P D ，证明： B E ∥ 平面PAC；
(2)若每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，从下面两个条件中选一个，求二面角 P − A C − D
的大小．
①SD⊥平面 P A C ；② P 为 S D 的中点．
【解答】解：(1)证明：连接BD，交 A C 为点 O ，连接BQ，QE，OP，
在△SCP中，点 E 是 S C 的中点，点 Q 是线段 S P 的中点， Q E ∥ P C ，
又PC平面 P A C ，且QE 平面 P A C ，QE∥平面 P A C ，
在△BQD中，点O是线段BD的中点，点P是线段DQ的中点，所以QB∥OP，13
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又OP平面
13
P A C ，且 Q B 平面 P A C ，
Q B ∥ 平面PAC，又 B Q E Q = Q ，且 B Q ， E Q 平面 B E Q ，
平面 B E Q ∥ 平面PAC，又 B E 平面 B E Q ， B E ∥ 平面PAC；
（2）若选① S D ⊥ 平面 P A C ，连接 B D ，交 A C 为点 O ，连接 S O ，
A B C D 为正方形，点 O 为 A C 与 B D 的中点，
又易知 S B = S D ， S O ⊥ B D ，同理 S O ⊥ A C ，
又BD AC=O， S O ⊥ 平面 A B C D ，
以 O C ， O D ， O S 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建系如图，
设 O C = 1 ，则 C D = 2 ， S C = 2 ， O S = 3 ， S C O =
3
，
C (1 , 0 , 0 ) ， A ( − 1 , 0 , 0 ) ， D ( 0 ,1 , 0 ) ， B ( 0 , − 1 , 0 ) ， S ( 0 , 0 , 3 ) ， S D = ( 0 ,1 , − 3 ) ，
S D ⊥ 平面 P A C ， 平面 P A C 的一个法向量为 n
1
= S D = ( 0 ,1 , − 3 ) ，
显然平面 D A C 的一个法向量为 n
2
= ( 0 , 0 ,1 ) ，
设二面角P−AC−D的平面角为， c o s
|
1
1
||
2
2
| 2
3
=
n
n
n
n
= ，
6
=
；
若选②P为 S D 的中点，连接SO， A B C D 为正方形， 点 O 分别为AC与BD的中点，
由题意SB=SD，SO⊥BD．同理SO⊥AC，又 B D A C = O ， S O ⊥ 平面ABCD．
以 O C ， O D ，OS所在直线分别为 x ， y ，z轴，建系如图，14
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设
14
O C = 1 ，则 C D = 2 ， S C = 2 ， O S = 3 ， S C O =
3
，
C (1 , 0 , 0 ) ， A ( − 1 , 0 , 0 ) ， D ( 0 ,1 , 0 ) ， B ( 0 , − 1 , 0 )
( )
，S 0,0, 3 ， P
0 ,
1
2
,
2
3
，
1 3 1 3
则AP=1, , ，CP=−1, , ，设平面
2 2 2 2
A P C 的法向量为 n
1
= ( x , y , z ) ，
则
n
n
1
1
A
C
P
P
=
=
x
−
+
x +
1
2
y
1
2
+
y +
2
3
2
z
3
=
z
0
= 0
，取 n
1
=
(
0 , 3 , − 1
)
，
显然平面 D A C 的一个法向量为 n
2
= ( 0 , 0 ,1 ) ，设二面角 P − A C − D 的平面角为，
c o s
|
1
1
||
2
2
|
1
2
=
n
n
n
n
=
，= ．
3
18．(本小题13分)
天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看
到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球 3 2 .6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映
恒星的真实发光本领．如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 1 0 颗最亮恒星的相关数
据，其中 a [ 0 ,1 .3 ] ．
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四
视星等 − 1 .4 7 − 0 .7 2 − 0 .2 7 − 0 .0 4 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a
绝时星等 1 .4 2 − 5 .5 3 4 .4 − 0 .3 8 0.6 0.1 − 6 .9 8 2.67 − 2 .7 8 − 5 .8 5
赤纬 −16.7 − 5 2 .7 − 6 0 .8 1 9 .2 3 8 .8 46 − 8 .2 5 .2 −57.2 7 .4
(1)从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
(2)已知北京的纬度是北纬40，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于−50时，能在北京的夜
空中看到它．现从这 1 0 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为 X
颗，求X 的分布列和数学期望；
(3)记a=0时10颗恒星的视星等的方差为 s 21 ，记 a = 1 .3 时 1 0 颗恒星的视星等的方差为 s 22 ，
判断s2与s2之间的大小关系．（结论不需要证明）
1 215
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【答案】(1)
15
1
2
14
；(2)分布列见解析；数学期望为 ；(3)
5
s 21 s
2
2 ．
【解答】解：(1)设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件 A ，
由图表可知：10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值． P ( A ) =
1
5
0
=
1
2
．
(2)由图表知，有 7 颗恒星的“赤纬”数值大于 − 5 0 ，有 3 颗恒星的“赤纬”数值小于 − 5 0 ，则随
机变量 X 的所有可能取值为： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ．
C1C3 7 1 C2C2 3
且P(X =1)= 7 3 = = ，P(X =2)= 7 3 = ，
C4 210 30 C4 10
10 10
P ( X = 3 ) =
C
C
37 C
41
0
13
=
1
2
， P ( X = 4 ) =
C 47C C
41
0
03
=
1
6
，
随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3 4
P
1 3
30 10
1
2
1
6
E ( X ) = 1
1
3 0
+ 2
1
3
0
+ 3
1
2
+ 4
1
6
=
1 4
5
．
(3)结论： s 21 s
2
2 ．
理由：前 9 颗恒星视星等的平均数约为−0.159，故当 a = 0 时，第10颗恒星视星等数据更接
近平均数，视星等数据方差更小，当a=1.3时，视星等数据离散程度更大，方差更大．
19．(本小题15分)
1
已知 f(x)= x2 −ln(x+1)+ax(aR)．
2
(1)当 a = 2 时，求函数 f(x)在(0,0)处的切线方程；
(2)求证：
1
2
x 2 + x ln ( x + 1 ) ；
(3)若 f(x) 0在 x [ 0 , + ) 恒成立，求a的取值范围．
1
【解答】（1）解：当a=2时， f(x)=x− +2， f(0)=1，
x+1
则 f(x)在(0,0)处的切线方程为y=x；
1
（2）证明：设g(x)= x2 +x−ln(x+1)，
2
g ( x ) = x + 1 −
x
1
+ 1
=
x ( x
x
+
+
2
1
)
，
x(−1,0)时，g(x)0，g(x)在(−1,0)上单调递减，
x(0,+)时，g(x)0，g(x)在(0,+)上单调递增，16
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16
g ( x )
m in
= g ( 0 ) = 0 ，所以 g ( x ) g ( 0 ) = 0 ，
则
1
2
x 2 + x − ln ( x + 1 ) 0 ，即
1
2
x 2 + x ln ( x + 1 ) ；
（3）解：当 a 1 时，由（2）得 f ( x )
1
2
x 2 −
1
2
x 2 + x
+ a x = ( a − 1 ) x 0 ，
当 a 1 时， f ( 0 ) = a − 1 0 ，设 m ( x ) = f ( x ) ， m ( x ) = 1 +
( x
1
+ 1 ) 2
0 ，
则 f(x)在 [ 0 , + ) 上单调递增，
f ( x ) =
x 2 + ( a +
x
1
+
) x
1
+ a − 1
= 0 ，得 x
1
=
− ( a + 1 ) + ( a +
2
1 ) 2 − 4 ( a − 1 )
，
则在0,x )上，
1
f ( x ) 0 ， f ( x ) 在0,x )上单调递减，
1
f ( x ) f ( 0 ) = 0 ， f ( x ) 0 在 [ 0 , + ) 上不恒成立，不合题意．
综上，当 a 1 时， f ( x ) 0 在x[0,+)恒成立．
20．(本小题15分)
已知椭圆 E :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 ,1 ) ，离心率 e =
3
6
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(− 3,1)作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B ， C ，直线 A B ， A C 分别
与x轴交于点 M ， N ．设椭圆的左顶点为 D
|MD|
，求 的值．
|MN|
【解答】解：（1）由题设得
b
c
aa
= 1
=
2 =
3b
6
2 + c 2
，解得a= 3， b = 1 ，c= 2，
x2
所以椭圆的方程为 + y2 =1．
3
（2）直线 B C 的方程为y−1=k(x+ 3)，
联立 y
x
−
2
1
+
=
3 y
k
2
( x
=
+
3
3 ) ，得 ( 3k2 +1 ) x2 + ( 6 3k2 +6k ) x+9k2 +6 3k =0，
由 ( 6 3 k 2 6 k ) 2 4 ( 3 k 2 1 ) ( 9 k 2 6 3 k ) 0 = + − + + ，解得 k 0 ，
设B(x,y)，C(x ,y )，
1 1 2 217
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所以
17
x
1
+ x
2
= −
6 3 k
3 k
2
2
+
+ 1
6 k
， x
1
x
2
=
9 k 2
3
+
k 2
6
+ 1
3 k
，
直线 A B 的方程为 y =
y
1x
−
1
1
x + 1 ，
令y=0得 M
x x
点的横坐标为x =− 1 =− 1 ，
M y −1 k(x + 3)
1 1
同理可得 N 点的横坐标为 x
N
= −
y
x
2
2−
1
= −
k ( x
2
x
2
+ 3 )
，
所以 x
M
+ x
N
= −
1
k
x
1
x
+
1
3
+
x
2
x
+
2
3
= −
1
k
x
2
1
x
1
x
2
x
+
2
+
3 (
3
x
(
1
x
+
1
+
x
2
x
)
2
+
)
3
= −
1
k
2
9
k
9
2
3
2 k
3
+
2 k
+
k
6
+
6
2 +
3
1
1
k
3 k
+
+
3
−
3
6
6
−
3 k
3 k
2 3 k
2 3 k
2 + 6
2 + 1
+
+
k
6
1
k
+
3
1 6 3k
=− =−2 3，
k 3
( )
因为点D的坐标为 − 3,0 ，
所以 D 为线段 M N 的中点，
所以
|
|
M
M
D
N
|
|
=
1
2
．
21．(本小题15分)
设有限数列 A : a
1
， a
2
， ， a
n
( n N * ) ，定义集合 M = a
i
+ a
j
| 1 i j n 为数列A的伴随
集合．
(1)已知有限数列P:−1， 0 ， 1 ， 2 和数列 Q : 1 ， 2 ， 4 ， 8 ．分别写出 P 和 Q 的伴随集合；
(2)已知有限等比数列A: 4， 4 2 ，， 4 n ( n N * ) ，求 A 的伴随集合 M 中各元素之和S；
(3)已知有限等差数列 A : a
1
， a
2
， ，a ，判断
2022
0 ，
5 0
7
11
， 是否能同时属于A的伴随集
100
合M ，并说明理由．
【解答】解：(1)数列 P 的伴随集合为 { − 1 , 0 ,1 , 2 , 3 } ，
数列Q的伴随集合为{3,5,6,9,10,12}．
(2)先证明：对任意ik，或 jl，则 a
i
+ a
j
a
k
+ a
l
( 1 i j n ,1 k l n ) ，
假设a +a =a +a (1 i j n,1 kl n)，
i j k l18
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当
18
i = k ，且 jl， a +a =a +a ，则
i j k l
a
j
= a
l
，即2j =2l，j=l ，与 jl矛盾，
同理当 i k ，且 j = l 时，也不成立．
当 i k ，且 j l 时，不妨设 i k ， a
i
+ a
j
= a
k
+ a
l
，则 2 i + 2 j = 2 k + 2 l ， 1 + 2 j− i = 2 k − i + 2 l− i ，
左边为奇数，右边为偶数， 1 + 2 j− i 2 k − i + 2 l− i ，
综上，对任意 i k ，或 j l ，则 a
i
+ a
j
a
k
+ a
l
( l i j n ,1 k l n ) ，
求集合 M 中元素之和时，每个 a
i
( 1 i n ) 均出现 n − 1 次，
S = ( n − 1 ) ( 4 + 4 2 + + 4 n )
4 ( 1−4n) 4 ( 4n −1 ) (n−1)( 4n+1−4 )
=(n−1) =(n−1) = ．
1−4 3 3
50
(3)假设0， ，
7 1
1
0
1
0
同时属于数列 A 的伴随集合 M ，设数列A的公差为 d ( d 0 ) ，
则
a
a
a
i1
i2
i3
+
+
+
a
a
a
j1
j2
j3
=
=
=
0
5 0
71
1
1 0 0
2a +(i + j −2)d =0,①
1 1 1
50
，即2a +(i + j −2)d = ,② ，
1 2 2 7
11
2a +(i + j −2)d = ,③
1 3 3 100
② − ①得， ( i2 + j2 ) − ( i1 + j1 ) d =
5 0
7
，③ − ①得， ( i3 + j3 ) − ( i1 + j1 ) d =
1
1
0
1
0
，
两式相除得，
(( i2
i3
+
+
j2
j3
)) −
−
(( i1
i1
+
+
j1
j1
))
=
5 0
7
0
7
0
，
i,j,i ,j ,i ,j N*，
1 1 2 2 3 3
( i2 + j2 ) − ( i1 + j1 ) = 5 0 0 0 k ，(i + j )−(i + j )=77k(kZ，k0)，
3 3 1 1
(i + j )−(i + j ) 5000，
2 2 1 1
1 i1 , j1 , i2 , j2 2 0 2 2 ，
(i + j )−(i + j ) (2022+2021)−(2+1)=4040，
2 2 1 1
(i + j )−(i + j ) (1+2)−(2021+2022)=−4040，
2 2 1 1
(i + j )−(i + j ) 4040，与 (i + j )−(i + j ) 5000矛盾，
2 2 1 1 2 2 1 1
50 11
0， ， 不能同时属于数列A的伴随集合M ．
7 10019
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19
