四川省元三维大联考·高2022级第三次诊断性测试数学答案_2025年4月_250421四川省绵阳市高中2022级第三次诊断性考试（A卷+元三维大联考B卷）

高中 2022 级第三次诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． CBADB CAD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ABD 10．ABD 11．AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 5 12． 13．3 14． 6 6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． sinA a 7 15．解：（1）由正弦定理知：   ，·············································2分 sinB b 8 ∴8sinA7sinB，·········································································3分 又8sinA7sinB8 3，··································································4分 3 ∴16sinA8 3，则sinA ，·······················································5分 2  又a0， 1 ∴ f(x) x3x2 3(x4) ，····························································7分 3 1 设g(x)(x4)ex  x3x23x12 ， 3 ∴g(x)(x3)ex x2 2x3(x3)(ex x1)，································9分 易知ex≥x1，··········································································· 10分 由g(x)0得0x3，由g(x)0得x3，·····································11分 所以g(x)在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，························12分 所以g(x)≥ g (x)g(3)21e3 0，············································· 14分 min ∴当x>0时， f(x)(x4)ex．························································15分 17．解：（1）连接B D 交A C 于O ，连接DO ， 1 1 1 1 1 1 在平行六面体ABCD-A B C D 中，BB =DD 且BB //DD ， 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴四边形BDD B 是平行四边形，······················································2分 1 1 ∴BD=B D ，且BD//B D ，且O，O 分别为BD，B D 的中点， 1 1 1 1 1 1 1 ∴OD=O B ，OD//O B ，可得四边形ODO B 是平行四边形，·················3分 1 1 1 1 1 1 ∴OB //O D，·················································································4分 1 1 由平面 ACE//平面 A C D，平面 ACE∩平面 BDD B =OE，平面 A C D∩平面 1 1 1 1 1 1 BDD B =O D， 1 1 1 ∴OE//O D，··················································································5分 1 ∴OB //OE，且都经过点O，∴O，E，B 三点共线，·····························6分 1 1 又因为△OBE∽△B D E， 1 1 BE BD   ∴ 1  1 1 2，所以BE 2EO；·················································7分 EO OB 1 （2）记CD的中点为点F，连接BF，FD ， 1 ∵DC=BC=BD=2，则BF⊥DC，且BF  3，······································ 8分 参考答案及评分标准 第 2 页 共 8 页∵平面CC D D⊥平面ABCD， 1 1 且平面CC D D∩平面ABCD=CD， 1 1 BF 平面ABCD，BF⊥DC， ∴BF⊥平面CC D D，·····································································9分 1 1 ∴BF⊥FD ，即BD2 BF2 DF2 6， 1 1 1 ∴DF  3，则DF2 DF2 DD2 4，∴FD DC，······················10分 1 1 1 1 以F 为原点，以FD，FB，FD 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角 1 坐标系O-xyz． 1 3 则A(2， 3，0)，C(−1，0，0)，A(1， 3， 3)，B(1， 3， 3)，O( ， ，0)， 1 1 2 2 B(0， 3，0)，·····················································································11分  1 1 3 3    3 3 ∴OE  OB ( ， ， )，BE BOOE (0， ， ) ，········· 12分 3 1 2 6 3 3 3   AC (3， 3，0)，AA (1，0， 3)，···········································13分 1 不妨设平面ACC A 的法向量为n=(x，y，z)，直线BE与平面ACC A 所成角为θ， 1 1 1 1   ACn0  3x 3y0  ，即 ，不妨取n=( 3，3，−1)，·················14分 AA n0  x 3z0 1   nBE 2 26 则sin|cosn，BE|   ， |n||BE| 13 2 26 ∴直线BE与平面ACC A 所成角的正弦值为 ．···························15分 1 1 13 b1 a 3 18．解：（1）由 解得： ，···················································2分 c2 b1 参考答案及评分标准 第 3 页 共 8 页x2 ∴双曲线C的方程为 y2 1；······················································3分 3 （2） 当l 1 x轴时，l 2 必然与x轴重合，由曲线对称性知AB中点M在x轴上， DE的中点N也在x轴上，故MN经过的定点P (x ，y )在x轴上．···········4分 1 1 1 设为P 1 (n，0)，直线AB方程为：xty3，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， xty3 联立 ，得：(t23)y26ty60 ，······································5分 x23y2 3 6t 18 由韦达定理可得：y y  ，x x t(y y )6 ，············6分 1 2 t23 1 2 1 2 t23 9 3t 故AB中点M( , )，···························································7分 t23 t23 1 3( ) 同理：直线DE方程为：x 1 y3，DE中点N( 9 ， t )， t 1 1 ( )23 ( )23 t t 9t2 3t 即：N( ， )，··································································· 8分 13t2 13t2 3t 3t 3t  由P MN三点共线可得：k k ，即： t23  13t2 t23 ，········9分 1 P1M MN 9 9t2 9 n  t23 13t2 t23 9 9 解得：n ，即P ( ，0)；···························································10分 1 2 2 9 （3）由（2）可知，P(3，0)时，定点P 1( ，0)， 2 同理可知，P 2(x 2 ，y 2 )也一定在x轴上． 考虑一般情况，假设点P(m，0)时，设P (n，0)， 1 并设直线AB方程为：xtym，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， xtym 联立 得：(t23)y22tmym230， 3x2y2 3 2tm 6m 由韦达定理可得：y y  ，x x t(y y )2m ， 1 2 t23 1 2 1 2 t23 3m tm 故AB中点M( ， ) ，························································11分 t23 t23 参考答案及评分标准 第 4 页 共 8 页1 ( )m 同理：直线DE方程为：x 1 ym，DE中点N( 3m ， t )， t 1 1 ( )23 ( )23 t t 3t2m tm 即：N( ， )，··································································12分 13t2 13t2 tm mt tm  由P 1 MN三点共线可得：k P1M k MN ，即： t2 3m 3  1   3m 3t t 2 2 t2 3  m 3 ，·······13分 n  t23 13t2 t23 3m 3m 解得：n ，即：点P(m，0)时，P 1( ，0)， 2 2 3 3 3 故当点P(3，0)时，可得P (3 ，0)，P (3( )2，0)，……，P(3( )n，0)， 1 2 2 2 n 2 1 3 由题意知，△QRP n 的面积为：S n  2 1[3( 2 )n1]，··························14分 1 2 21 2 故 =  ( )n，·················································· 15分 S 3 3 3 n 3( )n 1 3( )n 11 2 2 1 1 1 1 所以  +  S S S S 1 2 3 n 2 2 2 2 ( )1( )2( )3( )n 3 3 3 3 2 2 [1( )n]  3 3  2[1( 2 )n] 2．························································17分 2 3 1 3 19．解：（1）设事件X：顶点A与顶点B相互可达，事件Y：A与B之间有边， 当n3时，A与B相互可达分以下两种情况： 1 ①A与B之间有边，概率为 ，························································1分 2 1 1 1 1 ②A与B之间无边，但都与第三个顶点有边，概率为(1 )   ， 2 2 2 8 1 1 5 故A与B相互可达的概率P(X)   ，······································· 3分 2 8 8 1 1 5 1 故P(X)   ，而P(XY)P(Y) ， 2 8 8 2 参考答案及评分标准 第 5 页 共 8 页P(XY) 4 故P(Y |X)  ，·································································4分 P(X) 5 4 故A与B之间有边的概率为 ；························································5分 5 （2）设事件C：恰有3个顶点相互可达，任取3个顶点，第4个顶点与这3个顶 1 1 点均无边的概率为C3(1 )3  ， ·······················································6分 4 2 2 1 同时这3个顶点相互可达，故P(C) R(3)，····································7分 2 图G 连通以下两种情况： 3 1 1 ①三个顶点两两有边，概率为( )3  ，·············································8分 2 8 1 1 3 ②有两个顶点间无边，但都与第3个顶点有边，概率为C2(1 )( )2  ， 3 2 2 8 1 3 1 1 1 ∴R(3)   ，则P(C) R(3) ，········································9分 8 8 2 2 4 1 ∴恰有3个顶点相互可达的概率为 ；··············································10分 4 （3）固定任意一个顶点A，G 是连通的就是两个顶点间有边时， 2 1 ∴R(2) ，················································································11分 2 当n2时，设事件D ：恰好有(i1)个顶点与x相互可达， n，i 任取除A以外i1个顶点， 1 ∴剩下(ni)个顶点与这i个顶点都无边的概率为Ci1 (1 )i(ni)，········12分 n1 2 1 同时这i个顶点相互可达，则P(D )Ci1(1 )i(ni)R(i) ，···················13分 n，i n1 2 显然，任意两个事件D 和D 均为互斥事件， n，i n，j n1 1 n1 因此R(n)1Ci1( )i(ni)R(i)1P(D ) ， n1 2 n，i i1 i1 1 1 P(D )C0( )3R(1) ， 4，1 3 2 8 参考答案及评分标准 第 6 页 共 8 页1 3 P(D )C1( )4R(2) ， 4，2 3 2 32 1 3 1 3 3 19 P(D )C2( )3R(3) ，故R(4)1(   ) ， 4，3 3 2 16 8 32 16 32 1 1 1 1 P(D )C0( )4R(1) ，P(D )C1( )6R(2) ， 5，1 4 2 16 5，2 4 2 32 1 3 1 19 P(D )C2( )6R(3) ，P(D )C3( )4R(4) ，···················· 16分 5，3 4 2 64 5，4 4 2 128 1 1 3 19 91 ∴R(5)1(    ) ．·············································17分 16 32 64 128 128 54 方法二：G 共有 10条可能的边， 5 2 1 ①当G 不存在任何边时，不可能连通，概率为(1 )10；······················11分 5 2 1 1 ②当G 中只存在1条边时，概率为C1 ( )(1 )9，此时G 不可能是连通的； 5 10 2 2 5 ··································································································12分 1 1 ③同理，G 中只存在2条或3条边时，概率分别为：C2 ( )2(1 )8， 5 10 2 2 1 1 C3 ( )3(1 )7，G 均不可能是连通的；·······································13分 10 2 2 5 ④当G 中只存在4条边时，计算G 不连通的概率： 5 5 i) G 中存在1个孤立的顶点时，4条边只能存在于其它4个顶点之间. 四个顶 5 1 1 点组成的图最多有6条边，故概率为C1 C4( )4(1 )6. 5 6 2 2 ii) G 中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于4，与假设矛盾. 5 iii) G 中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边，并且这3个顶 5 1 1 点相互都有边. 概率为C2( )4(1 )6. 5 2 2 ⑤当G 中只存在5条边时，计算G 不连通的概率： 5 5 i) G 中存在1个孤立的顶点时，5边只能存在于其它4个顶点之间. 四个顶点 5 1 1 组成的图最多有6条边，故概率为C1 C5( )5(1 )5 ， 5 6 2 2 参考答案及评分标准 第 7 页 共 8 页ii) G 中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于5，与假设矛盾. 5 iii) G 中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边时，边数小于5， 5 与假设矛盾，··············································································· 14分 ⑥当G 中只存在6条边时，不连通的情况只当存在1个孤立点时， 5 1 1 概率为：C1 C6( )6(1 )4；·····················································15分 5 6 2 2 ⑦当G 中存在多于6条边时，因为G 最多只有6条边，因此G 必然连通，故G 不 5 4 5 5 1 37 连通的概率为：(C1 C2 C3 C1 C4 C2 C1 C5 C1 C6 1) ( )10= ， 10 10 10 5 6 5 5 6 5 6 2 128 ··································································································16分 37 91 ∴R(5)1  ．··································································17分 128 128 参考答案及评分标准 第 8 页 共 8 页